材料力學(xué)：第五章彎曲內(nèi)力

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1、Page1上一講回顧（上一講回顧（7）閉口與開(kāi)口薄壁桿的概念閉口與開(kāi)口薄壁桿的概念 2T閉口薄壁桿的應(yīng)力與變形閉口薄壁桿的應(yīng)力與變形maxmin 2T tTlGI 24tIds 202TR圓：圓： 302TlG R圓：圓：#非圓截面桿扭轉(zhuǎn)非圓截面桿扭轉(zhuǎn)tTlGI maxtTW ,ttWI（ 查表）查表）#開(kāi)口薄壁桿扭轉(zhuǎn)開(kāi)口薄壁桿扭轉(zhuǎn) 313niiiTlGh maxmax313niiiTh max 1hb max 1h1h2 1 3h3 2TAPage2 Page3彎曲實(shí)例彎曲實(shí)例左圖：跳板左圖：跳板雙杠雙杠撐桿撐桿Page4彎曲構(gòu)件彎曲構(gòu)件計(jì)算簡(jiǎn)圖計(jì)算簡(jiǎn)圖: : 以軸線代表梁，設(shè)想外力以軸線代

2、表梁，設(shè)想外力作用在梁的軸線上，以便作用在梁的軸線上，以便于計(jì)算與分析之用于計(jì)算與分析之用外力特征：外力特征：外力或外力偶的矢量垂直于桿軸外力或外力偶的矢量垂直于桿軸變形特征：桿軸由直線變?yōu)榍€變形特征：桿軸由直線變?yōu)榍€彎曲與梁：以軸線變彎為主要特征的變形形式稱為彎曲彎曲與梁：以軸線變彎為主要特征的變形形式稱為彎曲 以彎曲為主要變形特征的桿件稱為梁。以彎曲為主要變形特征的桿件稱為梁。Page5主要支座形式與反力主要支座形式與反力 固定固定鉸支座：鉸支座：支反力支反力 FRx 與與 FRy 可動(dòng)可動(dòng)鉸支座鉸支座：垂直于支承平面的支反力垂直于支承平面的支反力 FR 固定固定端：端：支反力支反力

3、FRx , FRy 與矩為與矩為 M 的支反力偶的支反力偶Page6FFFF 簡(jiǎn)支梁簡(jiǎn)支梁：一端固定鉸支、另一端固定鉸支、另一端可動(dòng)鉸支的梁一端可動(dòng)鉸支的梁 外伸梁外伸梁：具有一個(gè)或兩個(gè)具有一個(gè)或兩個(gè)外伸部分的簡(jiǎn)支梁外伸部分的簡(jiǎn)支梁 懸臂梁：懸臂梁：一端固定、另一一端固定、另一端自由的梁端自由的梁約束反力數(shù)超過(guò)有效平衡方程數(shù)的梁（約束反力數(shù)超過(guò)有效平衡方程數(shù)的梁（ Ch7 研究研究）靜定梁靜定梁利用平衡方程可以確定全部支反力的梁，常見(jiàn)有利用平衡方程可以確定全部支反力的梁，常見(jiàn)有靜不定梁靜不定梁各種支座約束條件下的梁的類型各種支座約束條件下的梁的類型Page7FS剪力剪力M彎矩彎矩梁的內(nèi)力梁的內(nèi)

4、力剪力剪力作用線沿所切橫截作用線沿所切橫截面的內(nèi)力分量面的內(nèi)力分量彎矩彎矩矢量沿所切橫截面的矢量沿所切橫截面的內(nèi)力偶矩分量?jī)?nèi)力偶矩分量Page8剪力：剪力：使微段有沿順時(shí)使微段有沿順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)為正針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)為正彎矩：彎矩：使微段彎曲呈使微段彎曲呈下凹形為正下凹形為正彎矩符號(hào)另一定義：彎矩符號(hào)另一定義：使使橫截面頂部受壓為正橫截面頂部受壓為正剪力與彎矩的符號(hào)規(guī)定剪力與彎矩的符號(hào)規(guī)定Page9 假想地將梁切開(kāi)，并任選一段為研究對(duì)象假想地將梁切開(kāi)，并任選一段為研究對(duì)象 畫所選梁段的受力圖畫所選梁段的受力圖，F(xiàn)S 與與 M 宜均設(shè)為正宜均設(shè)為正 由由 S S Fy = 0 計(jì)算計(jì)算 FS 由

5、由 S S MC = 0 計(jì)算計(jì)算 M，C 為截面形心為截面形心任一指定截面剪力與彎矩的計(jì)算方法：截面法任一指定截面剪力與彎矩的計(jì)算方法：截面法S 1AyFFF() 1AyMF bF baPage10bFMxl 11aFMxl 22S1bFFl ,S2aFFl ,AC段段(0 x1a)：CB段段(0 x2b)：Page11lABqFAyFByqFAyxFSM例例1：試建立圖示簡(jiǎn)支梁的試建立圖示簡(jiǎn)支梁的剪力、彎矩方程，畫剪力、剪力、彎矩方程，畫剪力、彎矩圖。彎矩圖。解：解：1、求支反力，由梁的平衡：求支反力，由梁的平衡： FAy=FBy=ql/2xo2、建立坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)軸Ox軸軸3、在截面在截

6、面x處截取左段為研處截取左段為研究對(duì)象，根據(jù)平衡條件：究對(duì)象，根據(jù)平衡條件：FS=FAy-qx=q(l-2x)/2 M=FAyx-(qx2/2) =qx(l-x)/2 0 xlPage12FS=q(l-2x)/2 M= =qx(l-x)/2 0 xllABqFAyFByxoFS:xFSql/2ql/2+_M:xMql2/8+4、根據(jù)剪力、彎矩方程畫根據(jù)剪力、彎矩方程畫剪力、彎矩圖剪力、彎矩圖注意事項(xiàng)：注意事項(xiàng)：載荷、剪力、彎矩圖對(duì)齊載荷、剪力、彎矩圖對(duì)齊標(biāo)注段值、極值、正負(fù)號(hào)標(biāo)注段值、極值、正負(fù)號(hào)按工程圖要求，請(qǐng)用工具按工程圖要求，請(qǐng)用工具 作圖作圖注意：除了求支反力外，力的等效原理在求梁的注

7、意：除了求支反力外，力的等效原理在求梁的內(nèi)力與變形時(shí)，不再成立！內(nèi)力與變形時(shí)，不再成立！Page13M0 x FsxMM0lABFAy=Me /lMeFsx+課堂練習(xí)課堂練習(xí)x+-MMePage14Aq4RFqaBCa3aAyFByF( )a1x2x43qa53qaqa( ) csF212qa289qa( )dMRFqa4 AByMFqa30,4 AM0 ByFqa83 解：解：1、計(jì)算支座反力、計(jì)算支座反力，作用于，作用于AC梁中點(diǎn)。梁中點(diǎn)。例：例：建立剪力彎矩方程，并畫剪力彎矩圖建立剪力彎矩方程，并畫剪力彎矩圖43qa1SF1x1M2SF2x2M22RFqx( )b11RFqxsFqaqx

8、1143 Mqaxqx21114132 xa103 AB段內(nèi)力段內(nèi)力sFqx22 Mqx22212 xa20 BC段內(nèi)力段內(nèi)力Page15例：例：建立剪力彎矩方程，并畫剪力彎矩圖建立剪力彎矩方程，并畫剪力彎矩圖qqa2aaABCx可以不求支反力（條件？）可以不求支反力（條件？）建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系建立剪力彎矩方程：建立剪力彎矩方程：FS=-qx (0 x a) M=-qx2/2 (0 x a) FS=-qa (a x 2a) M=qa2-qa(x-a/2) (a x 0，F(xiàn)s上斜；上斜；q0，M上斜；上斜； Fs 0，M凹；凹；q0,上斜；上斜；Fs0處處,M圖凹圖凹; q0, 上斜上斜;q

9、0(a 0(a 0)q(x)= c 0q(x) = c 0q(x) = 0q線形與外載關(guān)系線形與外載關(guān)系Page24例：例：利用微積分關(guān)系畫剪力彎矩圖利用微積分關(guān)系畫剪力彎矩圖ABqa/2qa/2a/2aCD1、求支反力：、求支反力：FAy=5qa/8 FDy= 7qa/85qa/87qa/83、積分關(guān)系求、積分關(guān)系求特征點(diǎn)特征點(diǎn)剪力彎矩值：剪力彎矩值：049qa2/1285qa2/165qa2/160M-7qa/8qa/8qa/85qa/85qa/8FsD-C-B+B-A+CDBCAB2次凸曲線直線直線M圖斜下水平水平Fs圖q =常數(shù) 0q = 0q = 0qFSABCD+-5qa/8qa/

10、87qa/8MABCD+3qa2/85qa2/1649qa2/1282、微分關(guān)系確定各段、微分關(guān)系確定各段曲線形狀曲線形狀：4、畫剪力彎矩圖：、畫剪力彎矩圖：斜上斜上Page25AB2/3qa21/3qa2CD1/3qa2+-ABqaaaaCDqa22/3qa1/3qaAB+2/3qa1/3qaCD-例：例：利用微積分關(guān)系畫剪力彎矩圖利用微積分關(guān)系畫剪力彎矩圖Page26ABa/2-+qaCqaAB5/4qa2qa2qa2C - 例：例：qaqa22qaaACBqaPage272S2d Fdq0dxdx例：例：利用微積分關(guān)系畫三利用微積分關(guān)系畫三角形分布載荷剪力彎矩圖角形分布載荷剪力彎矩圖 l

11、x06q lAB0q q x03q lSFxCxCq l06q l03 l06q lAB0q03q l-q剪力圖凸曲線剪力圖凸曲線20maxCSA cql2MMF x39 31. 載荷的坐標(biāo)圖載荷的坐標(biāo)圖2. 分析剪力圖凹凸性分析剪力圖凹凸性3. 求剪力圖零點(diǎn)求剪力圖零點(diǎn)4. 求彎矩圖極值求彎矩圖極值Mx 209 3q l/3l200ccq lq xl0,x62l3Page280q0q aaaCBA( )a0q0q a0q a0q aq( )bx0q a012q a0q asF( ) cx012q aM( )dx2023q a23qaaaaqa( )a2q3qa4qaaqa( )bsF4qaq

12、a23qa( ) cM24qa2144qa24qa例：例：Page29sF12qa12qa32qa( 1)axM218qa232qa( 2)ax例：例：思考：思考：1. 如何計(jì)算支座反力？如何計(jì)算支座反力？2. 載荷作用在梁間鉸上、載荷作用在梁間鉸上、鉸鏈左側(cè)梁端，鉸鏈右鉸鏈左側(cè)梁端，鉸鏈右側(cè)梁端，剪力、彎矩圖側(cè)梁端，剪力、彎矩圖有無(wú)區(qū)別？有無(wú)區(qū)別？Page30sF12qa( 1)bx12qaM212qa( 2)bx218qa2qasF12qa32qa( 1)cx例：例：M232qa( 2)cx2qaPage31例：例：載荷載荷F F 可以在整個(gè)梁段上移動(dòng)，當(dāng)支座位于何位置時(shí)可以在整個(gè)梁段上移

13、動(dòng)，當(dāng)支座位于何位置時(shí)（a=?a=?），梁上的最大彎矩值（絕對(duì)值）最小。），梁上的最大彎矩值（絕對(duì)值）最小。（雙杠問(wèn)題）（雙杠問(wèn)題）Faal 解：解：當(dāng)載荷位于梁端點(diǎn)時(shí)當(dāng)載荷位于梁端點(diǎn)時(shí)分析：載荷在梁端點(diǎn)時(shí)，相鄰支座有最大分析：載荷在梁端點(diǎn)時(shí)，相鄰支座有最大負(fù)彎矩（絕對(duì)值）負(fù)彎矩（絕對(duì)值） ；在中點(diǎn)時(shí)，此點(diǎn)有最；在中點(diǎn)時(shí)，此點(diǎn)有最大正彎矩。支座內(nèi)移，負(fù)彎矩增，正彎矩大正彎矩。支座內(nèi)移，負(fù)彎矩增，正彎矩降；外移反之。降；外移反之。故正負(fù)彎矩絕對(duì)值相等時(shí)，故正負(fù)彎矩絕對(duì)值相等時(shí)，梁上最大彎矩（絕對(duì)值）最小。梁上最大彎矩（絕對(duì)值）最小。minMFa 當(dāng)載荷位于梁中點(diǎn)時(shí)，當(dāng)載荷位于梁中點(diǎn)時(shí)，max1M

14、F(l2a )4令：令：minmaxMM, la6 Page322qaqaDqaa剪力圖a22qa2qa232qa2qa彎矩圖ABC2qaqaq2qaa2a2qaqa例：例：已知剪力、彎矩圖，已知剪力、彎矩圖， 試畫載荷圖。試畫載荷圖。1. 根據(jù)剪力圖定集中與分布力根據(jù)剪力圖定集中與分布力2. 根據(jù)彎矩圖的跳躍值定集中根據(jù)彎矩圖的跳躍值定集中與分布力偶。與分布力偶。解：解：思考：是否能唯一確定載思考：是否能唯一確定載荷圖的約束形式？荷圖的約束形式？Page33作業(yè)作業(yè)5-6b5-7 b,c,f,h5-85-9Page34若簡(jiǎn)支梁上承受一集中力，則最大彎矩發(fā)生在集中力作用若簡(jiǎn)支梁上承受一集中力，

15、則最大彎矩發(fā)生在集中力作用處，若簡(jiǎn)支梁上承受一段均勻分布載荷，是否最大彎矩也處，若簡(jiǎn)支梁上承受一段均勻分布載荷，是否最大彎矩也發(fā)生在分布載荷的合力處？發(fā)生在分布載荷的合力處？（設(shè)集中載荷與均布載荷的合力都不在梁中點(diǎn)）。（設(shè)集中載荷與均布載荷的合力都不在梁中點(diǎn)）。思考：思考：ABFabABq-FsMFsM-Page35剛架：剛架：用剛性接頭連接用剛性接頭連接的桿系結(jié)構(gòu)；的桿系結(jié)構(gòu)；一、剛架一、剛架剛性接頭的力學(xué)性質(zhì)：剛性接頭的力學(xué)性質(zhì)： 約束限制相連桿端截約束限制相連桿端截面間的相對(duì)線位移與角位移面間的相對(duì)線位移與角位移 受力既可傳力，也可受力既可傳力，也可傳遞力偶矩傳遞力偶矩剛架中不但存在水平

16、桿件，也可能有豎直桿件。剛架中不但存在水平桿件，也可能有豎直桿件。Page36二、剛架的內(nèi)力及其符號(hào)二、剛架的內(nèi)力及其符號(hào)剛架的內(nèi)力包括軸力、扭矩、剪力和彎矩剛架的內(nèi)力包括軸力、扭矩、剪力和彎矩MM認(rèn)為正彎矩認(rèn)為正彎矩觀察者觀察者B B觀察者觀察者A A認(rèn)為負(fù)彎矩認(rèn)為負(fù)彎矩關(guān)于剛架的內(nèi)力符號(hào)：軸力、扭矩、剪力符號(hào)規(guī)定同前。關(guān)于剛架的內(nèi)力符號(hào)：軸力、扭矩、剪力符號(hào)規(guī)定同前。其正負(fù)與桿件的方位無(wú)關(guān)，但豎直桿件的彎矩符號(hào)易有歧義。其正負(fù)與桿件的方位無(wú)關(guān)，但豎直桿件的彎矩符號(hào)易有歧義。F認(rèn)為正剪力認(rèn)為正剪力觀察者觀察者B B觀察者觀察者A A也認(rèn)為正剪力也認(rèn)為正剪力F有的教材規(guī)定豎桿一側(cè)看作橫桿頂有的

17、教材規(guī)定豎桿一側(cè)看作橫桿頂或底面的延伸部分，可能導(dǎo)致矛盾?；虻酌娴难由觳糠郑赡軐?dǎo)致矛盾。Page37關(guān)于平面剛架的內(nèi)力圖（剪力、彎矩、軸力）關(guān)于平面剛架的內(nèi)力圖（剪力、彎矩、軸力）豎直桿件的彎矩正負(fù)與觀察方位有關(guān)，但彎矩圖的位置無(wú)歧義，豎直桿件的彎矩正負(fù)與觀察方位有關(guān)，但彎矩圖的位置無(wú)歧義，都畫在受壓側(cè)都畫在受壓側(cè)MM認(rèn)為正彎矩認(rèn)為正彎矩觀察者觀察者B B觀察者觀察者A A認(rèn)為負(fù)彎矩認(rèn)為負(fù)彎矩M兩觀察者均會(huì)將圖畫在右側(cè)（受壓側(cè)）兩觀察者均會(huì)將圖畫在右側(cè)（受壓側(cè)）規(guī)定：規(guī)定：正的剪力、軸力畫在剛架外側(cè)或上側(cè)，負(fù)正的剪力、軸力畫在剛架外側(cè)或上側(cè)，負(fù)的剪力、軸力的剪力、軸力畫內(nèi)側(cè)畫內(nèi)側(cè)或下側(cè)，標(biāo)正

18、負(fù)或下側(cè)，標(biāo)正負(fù) 彎矩畫在受壓側(cè)，不標(biāo)正負(fù)彎矩畫在受壓側(cè)，不標(biāo)正負(fù)豎直桿件的其它內(nèi)力正負(fù)與觀察方位無(wú)關(guān)，但內(nèi)力圖的位置有歧義豎直桿件的其它內(nèi)力正負(fù)與觀察方位無(wú)關(guān)，但內(nèi)力圖的位置有歧義Page38ABqCaa1、求支反力求支反力 FAx=qa FAy=qa/2 Fcy=qa/2FAyFAxFCy2、建立局部坐標(biāo)建立局部坐標(biāo)x2x13、分段列內(nèi)力方程分段列內(nèi)力方程：CB段：段：Fs=-Fcy=-qa/2 M=qax1/2 FN=0AB段：段：Fs=qa-qx2 M=qax2-qx22/2 FN=qa/2qa/2_+qaFS圖圖qa2/2qa2/2M圖圖FN圖圖qa/2+例：例：列內(nèi)力方程，畫內(nèi)力圖

19、。列內(nèi)力方程，畫內(nèi)力圖。Page39sF0q lxM2012q lx2012q l( )b( ) cM018q lsF012q l012q lDB012q l012q l0qABC0q l012q l012q l0q l( )a0q/2l/2lDABC20q l0q ll剛架拆為分段的梁剛架拆為分段的梁根據(jù)微積分關(guān)系畫圖根據(jù)微積分關(guān)系畫圖Page40012q l012q l0q lsF 圖()d( )e2018q lM 圖2012q l將分段梁的剪力與彎矩圖合成為剛架總的剪力彎矩圖，將分段梁的剪力與彎矩圖合成為剛架總的剪力彎矩圖，彎矩圖不標(biāo)正負(fù)號(hào)。彎矩圖不標(biāo)正負(fù)號(hào)。( )a0q/2l/2lDA

20、BC20q lPage41三、曲梁三、曲梁未受力時(shí)，軸線即為曲線的桿件，稱為曲桿。以彎曲為主未受力時(shí)，軸線即為曲線的桿件，稱為曲桿。以彎曲為主要變形的曲桿，稱為曲梁。要變形的曲桿，稱為曲梁。平面曲梁平面曲梁：SFFsin NFFcos MFR(1-cos ) F SFNFM例：例：計(jì)算圖示曲梁的計(jì)算圖示曲梁的內(nèi)力，畫彎矩圖。內(nèi)力，畫彎矩圖。解：解：FS，F(xiàn)N正負(fù)符號(hào)規(guī)定同前。正負(fù)符號(hào)規(guī)定同前。M不標(biāo)正負(fù)號(hào)，畫在受壓一側(cè)。不標(biāo)正負(fù)號(hào)，畫在受壓一側(cè)。曲梁內(nèi)力圖曲梁內(nèi)力圖通常根據(jù)內(nèi)力方程繪制。通常根據(jù)內(nèi)力方程繪制。Page42aaaOABCqxFqa( )aqaqxMSF( )b2qa( )dNF2qa( ) esFqa( )fM232qa272qa( ) cMNFSF2qa232qaO221M( x )qxFx21qxqax2 sF ( x )qaqx NF ( x )0 0 xa 223M()qa2qa sin2 SF ()2qacos NF ()2qa sin 02 圓弧段：圓弧段：例：例：繪制圖示曲桿內(nèi)力圖繪制圖示曲桿內(nèi)力圖直線段：直線段：Page43作業(yè)作業(yè)5-17c,d5-18b5-20bPage44謝謝謝謝