2018屆中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專(zhuān)題28 矩形、菱形、正方形和梯形試題（B卷含解析）

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1、專(zhuān)題28 矩形、菱形、正方形和梯形一、選擇題1. （甘肅蘭州，14，4分）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)Q，CEBD，DEAC，AD=，DE=2，則四邊形OCED的面積為（ ） A B4 C D8【答案】A【逐步提示】第一步，根據(jù)平行四邊形的定義判定四邊形OCED是平行四邊形，再由鄰邊相等證明四邊形OCED是菱形；第二步，連接OE，利用矩形、菱形的性質(zhì)以及勾股定理求AC、DC；第三步，證明四邊形AOED是平行四邊形，從而求得OE的長(zhǎng)；第四步；借助菱形的面積公式求得答案.【詳細(xì)解答】解：CEBD，DEAC，四邊形OCED是平行四邊形，OD=EC，OC=DE，矩形ABCD的對(duì)角線AC

2、與BD相交于點(diǎn)O，OD=OC，OCED是菱形. 連接OE，DE=2，AC=2OC=2DE=4，DC=，DEAC，AO=OC=DE，四邊形AOED是平行四邊形，OE=AD=2，四邊形OCED的面積為，故選擇A .【解后反思】本題借助平行四邊形、矩形、菱形等知識(shí)直接求得菱形的面積，也可間接地求利用矩形面積與四邊形OCED的面積的關(guān)系來(lái)求四邊形OCED的面積，解法如下：CEBD，DEAC，四邊形OCED是平行四邊形，2SODC=S平行四邊形OCED，矩形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，4SODC= S矩形ABCD，S平行四邊形OCED=S矩形ABCD，連接OE，DE=2，AC=2OC=2DE=

3、4，DC=， S矩形ABCD=ADDC=22=4，S平行四邊形OCED=2 .【關(guān)鍵詞】 平行四邊形的性質(zhì)與判定；矩形的性質(zhì)；菱形的性質(zhì)與判定；菱形的面積計(jì)算2. （貴州省畢節(jié)市，15，3分）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為9，將正方形折疊，使頂點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)E處，折痕為GH，若BEEC21，則線段CH的長(zhǎng)是（ ）A.3 B.4 C.5 D.6ABCDE（第15題圖）FGH【答案】B【逐步提示】本題考查正方形的性質(zhì)、圖形的折疊、勾股定理，解題的關(guān)鍵是設(shè)出恰當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，使能在RtECH中利用勾股定理列方程，進(jìn)而求解【詳細(xì)解答】解：設(shè)CHx，BEEC21，BC9，EC3，由折疊知性質(zhì)知，EHDH

4、9x，在RtECH中，由勾股定理，得，解得x4，故選B【解后反思】 此類(lèi)問(wèn)題的易錯(cuò)點(diǎn)是看不出折疊前后哪些邊（或角）相等而得出錯(cuò)誤的結(jié)論矩形的折疊是一種軸對(duì)稱(chēng)變換，也是中考數(shù)學(xué)中的熱點(diǎn)問(wèn)題折疊前后的圖形是全等的，即對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，折疊問(wèn)題常常伴隨著勾股定理，這是解決問(wèn)題的關(guān)鍵所在【關(guān)鍵詞】正方形的性質(zhì)；勾股定理；3. （ 河南省，8，3分）如圖，已知菱形OABC的頂點(diǎn)O（0,0），B（2,2），若菱形繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)45，則第60秒時(shí)，菱形的對(duì)角線交點(diǎn)D的坐標(biāo)為【 】（A）（1，-1） （B）（-1，-1）（C）（，0）（D）（0，-）【答案】B【逐步提示】本題是以平面直角坐標(biāo)

5、系為背景，利用旋轉(zhuǎn)變換而設(shè)計(jì)的圖形循環(huán)規(guī)律題，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)點(diǎn)D在旋轉(zhuǎn)變換中位置的變化情況，總結(jié)出一般規(guī)律.解題思維的一般步驟：（1）利用菱形的性質(zhì)和三角形的中位線（或中點(diǎn)公式）求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）探索點(diǎn)D的位置變化循環(huán)是8秒一個(gè)循環(huán)；（3）確定60秒經(jīng)歷多少循環(huán)以及最后一個(gè)循環(huán)D點(diǎn)的位置；（4）由點(diǎn)D的位置確定點(diǎn)D的坐標(biāo).【詳細(xì)解答】解：作軸，軸于點(diǎn)、（,），四邊形OABC是菱形，點(diǎn)坐標(biāo)為（,）由每秒旋轉(zhuǎn),可知秒繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)在第三象限的角平分線上，易求出點(diǎn)的坐標(biāo)為（-,-），故選擇 B.【解后反思】本題重點(diǎn)是菱形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換以及循環(huán)規(guī)律，難點(diǎn)是確定點(diǎn) D的坐標(biāo)和動(dòng)點(diǎn)的變化的的一般

6、規(guī)律.平面直角坐標(biāo)系與圖形結(jié)合的規(guī)律題的一般思維模式：利用圖形的性質(zhì)確定點(diǎn)的坐標(biāo)；觀察圖形的位置變化，發(fā)現(xiàn)和總結(jié)隱含的位置變化的一般規(guī)律，探索動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)與位置變化規(guī)律之間的關(guān)系，總結(jié)坐標(biāo)的變化規(guī)律.【關(guān)鍵詞】旋轉(zhuǎn)；菱形；循環(huán)規(guī)律；坐標(biāo)變化規(guī)律4. （ 湖南省郴州市，8，3分）如圖，在正方形ABCD中，ABE和CDF為直角三角形，AEBCFD90，AECF5，BEDF12，則EF的長(zhǎng)是（ ） A7 B8 C D【答案】C【逐步提示】此題考查了正方形的性質(zhì)和判定還有全等三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是找出圖中ABE、BCH、DAG、CDF的關(guān)系設(shè)AE的延長(zhǎng)線交DF于點(diǎn)G，CF的延長(zhǎng)線交BE于點(diǎn)H，

7、由AEBCFD90，AECF，BEDF，可以判定ABE與CDF全等，所以ABECDF，而CDFADGABEBAE90，DAGBAE 90，可得ABEDAG，BAEADG，且正方形的邊長(zhǎng)ABAD，可證ABE與DAG全等，同理，ABE與BCH全等，DAG與CDF全等從而得證四邊形EHFG也是正方形，所以EF 【詳細(xì)解答】解：設(shè)AE的延長(zhǎng)線交DF于點(diǎn)G，CF的延長(zhǎng)線交BE于點(diǎn)H，AEBCFD90，AECF，BEDF，ABECDF，ABECDF， 四邊形ABCD為正方形，ABCBCDCDADAB90，ABBCCDAD，CDFADGDAGBAE 90，又ABEBAE90， BAEADG，ABEDAG，A

8、BEDAG，同理可證ABEBCH，DAGCDF，BEAGDFCH12，AEBHDGCF5，EHFHFGEG7，BEG90，四邊形EHFG是正方形，EF7.GH【解后反思】正方形的判定方法：有一個(gè)角是直角的菱形；有一組鄰邊相等的矩形正方形的性質(zhì)四個(gè)角都是直角，四條邊都相等.選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ`活運(yùn)用定理解決問(wèn)題是關(guān)鍵【關(guān)鍵詞】 正方形的性質(zhì)；正方形的判定；全等三角形的判定；5. （ 湖南省益陽(yáng)市，4，5分）下列判斷錯(cuò)誤的是A兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形B四個(gè)內(nèi)角都相等的四邊形是矩形C四條邊都相等的四邊形是菱形D兩條對(duì)角線垂直且平分的四邊形是正方形【答案】D【逐步提示】本題考查了平行四邊形、

9、矩形、菱形、正方形的判定方法，根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定定理及相關(guān)推論作出判斷【詳細(xì)解答】解：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形正確，故選項(xiàng)A正確；四個(gè)內(nèi)角都相等的四邊形是矩形，故B選項(xiàng)正確；四條邊都相等的四邊形是菱形，故C選項(xiàng)正確；對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選擇D.【解后反思】四邊形的判定一覽表：平行四邊形（1）兩組對(duì)邊分別平行；（2）兩組對(duì)邊分別相等；（3）一組對(duì)邊平行且相等；（4）兩條對(duì)角線互相平分；（5）兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形矩形（1）有三個(gè)角是直角；（2）是平行四邊形，并且有一個(gè)角是直角；（3）是平行四邊形，并且兩條對(duì)角線

10、相等菱形（1）四條邊都相等；（2）是平行四邊形，并且有一組鄰邊相等；（3）是平行四邊形，并且兩條對(duì)角線互相垂直正方形（1）是矩形，并且有一組鄰邊相等；（2）是菱形，并且有一個(gè)角是直角【關(guān)鍵詞】平行四邊形的判定；矩形的判定；菱形的判定；正方形的判定6.（江蘇省無(wú)錫市，8，3分）下列性質(zhì)中，菱形具有而矩形不一定具有的是（ ）A對(duì)角線相等B對(duì)角線互相平分C對(duì)角線互相垂直D鄰邊互相垂直【答案】C【逐步提示】本題考查了矩形、菱形的特性，解題的關(guān)鍵是掌握矩形和菱形的特性本題中菱形的特性主要有兩個(gè)，一是對(duì)角線互相垂直；二是鄰邊相等可以據(jù)此逐項(xiàng)檢查判斷【詳細(xì)解答】解：A項(xiàng)對(duì)角線相等是矩形特征；B項(xiàng)對(duì)角線互相平

11、分是平行四邊形特征，所以矩形和菱形都具有這一特征；C項(xiàng)對(duì)角線互相垂直是菱形特征，矩形不一定具有；D項(xiàng)鄰邊互相垂直是矩形特征；故選擇C.【解后反思】四邊形的性質(zhì)一覽表：邊角對(duì)角線對(duì)稱(chēng)性平行四邊形對(duì)邊平行且相等對(duì)角相等兩條對(duì)角線互相平分中心對(duì)稱(chēng)矩形對(duì)邊平行且相等四個(gè)角都是直角兩條對(duì)角線互相平分且相等軸對(duì)稱(chēng)中心對(duì)稱(chēng)菱形對(duì)邊平行，四條邊都相等對(duì)角相等兩條對(duì)角線互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角軸對(duì)稱(chēng)中心對(duì)稱(chēng)正方形對(duì)邊平行，四條邊都相等四個(gè)角都是直角兩條對(duì)角線互相垂直平分且相等，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角軸對(duì)稱(chēng)中心對(duì)稱(chēng)【關(guān)鍵詞】菱形；矩形；7. （山東省德州市，12，3分）在矩形ABCD中，AD=2，AB

12、=4，E是AD的中點(diǎn)，一塊足夠大的三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)E重合，將三角板繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交AB、BC（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)M、N，設(shè)AEM= (090),給出下列四個(gè)結(jié)論：（1）AM=CN；(2)AME=BNE；(3)BN-AM=2；(4). 上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是A1 B.2 C.3 D.4 【答案】【逐步提示】對(duì)于（1），利用三角形全等逆推可得；對(duì)于（2），通過(guò)過(guò)點(diǎn)N作NHAD，利用同角的余角相等得到1=2，再由ADBC得2=BNE，進(jìn)而得到AME=BNE；，對(duì)于（3），由AEMHNE得到線段AM=EH，再根據(jù)線段的和差關(guān)系即可得到結(jié)論BN-AM=2；對(duì)于（4），在RtMEN

13、中，利用三角函數(shù)表示出，又有題意可知MEN為等腰直角三角形，再根據(jù)三角形的面積公式可得結(jié)論.【詳細(xì)解答】解：對(duì)于（1），若AM=CN，則有AEMCDN，進(jìn)而NDC=a，但因?yàn)辄c(diǎn)M、N都是動(dòng)點(diǎn)，這兩個(gè)角不一定相等，所以（1）不一定正確；對(duì)于（2），如圖12-1，連接DN，過(guò)點(diǎn)N作NHAD于點(diǎn)H，由題意得：a+1=90，a+2=90， 1=2又ADBC 2=BNE 1=BNE；即AME=BNE；所以（2）正確 ；對(duì)于（3）， 1=2，A=EHN=90，AE=HN AEMHNE ，AM=EH，BN-AM=AH-EH=AE=2，所以（3）正確；對(duì)于（4），由（3）知AEMHNE，EM=EN，在RtME

14、N中，AE=2，AEM= ，故答案為 .【解后反思】（1）旋轉(zhuǎn)改變的是圖形的位置，圖形的大小和位置關(guān)系不變，所以在解答有關(guān)旋轉(zhuǎn)的問(wèn)題時(shí)要注意挖掘全等圖形，找出相等的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角；（2）在解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，有的同學(xué)喜歡憑直覺(jué)或測(cè)量來(lái)判斷選項(xiàng)是否正確，有時(shí)候會(huì)收到意想不到的效果，有時(shí)候會(huì)容易產(chǎn)生錯(cuò)誤，如本題的第一個(gè)結(jié)論，若果憑觀察和測(cè)量很容易判斷錯(cuò)誤，所以，嚴(yán)密的邏輯推理才是解決問(wèn)題的關(guān)鍵；（3）在幾何證明題中，能夠正確的做出輔助線是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.【關(guān)鍵詞】矩形的性質(zhì) ；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；三角形全等；銳角三角函數(shù)；等腰直角三角形的性質(zhì)；三角形的面積；數(shù)形結(jié)合思想；動(dòng)面題型8. （ 鎮(zhèn)江，17,3分）如

15、圖，在平面直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)原點(diǎn)O是正方形OABC的一個(gè)頂點(diǎn)，已知點(diǎn)B坐標(biāo)為（1,7），過(guò)點(diǎn)P（a,0）(a0)，作PEx軸，與邊OA交于點(diǎn)E（異于點(diǎn)O、A），現(xiàn)將四邊形ABCE沿CE翻折，點(diǎn)A、B分別是點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，若點(diǎn)A恰好落在直線PE上，則a的值等于（ ） A. B. C. 2 D.3【答案】C.【逐步提示】本題考查了正方形的折疊和全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是通過(guò)作輔助線構(gòu)造兩對(duì)全等三角形，將未知轉(zhuǎn)向已知.先根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)求出正方形的邊長(zhǎng)，再通過(guò)證明兩對(duì)三角形全等求出OH的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出OP的長(zhǎng).【詳細(xì)解答】解：若折疊后點(diǎn)A落在PE上，則BAP=90，CBA=90，CB=CB

16、.連接OB，過(guò)A作AFx軸于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)B作AF的垂線交AF于點(diǎn)D，因?yàn)辄c(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，7），由勾股定理得OB=5，則正方形的邊長(zhǎng)為5，所以CB=BA=HP=CB=5.設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（m,n),則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m,7),由條件可證明ABDEAF，所以BD=AF，AD=OF，因此m-1=n.7-n=m.解得m=4,n=3.同理可證明CHOOFA，所以O(shè)H=AF=3，所以O(shè)P=HP-OH=5-3-2.因此點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0），所以a=2.故選擇C.【解后反思】本題通過(guò)添加輔助線，根據(jù)折疊圖形和正方形的性質(zhì)得到兩對(duì)全等的三角形，將求a值問(wèn)題化為全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等來(lái)解決；本題容易出錯(cuò)的地方是不能根

17、據(jù)題意添加輔助線，找不到需要求的量與已知量的關(guān)系，從而得不到解決.【關(guān)鍵詞】 正方形的性質(zhì)；折疊的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理二、填空題1. （ 安徽，14，5分）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=10.點(diǎn)E在CD上，將BCE沿BE折疊，點(diǎn)C恰落在邊AD上的點(diǎn)F處；點(diǎn)G在AF上，將ABG沿BG折疊，點(diǎn)A恰落在線段BF上的點(diǎn)H處.有下列結(jié)論：EBG=450；DEFABG；SABG=SFGH；AG+DF=FG.其中正確的是 （把所有正確結(jié)論的序號(hào)都選上）【答案】.【逐步提示】由折疊得到相等的角和相等的線段，結(jié)合矩形的性質(zhì)可求EBG的度數(shù)；在RtDEF和RtFGH中根據(jù)勾股定理建

18、立方程分別求出DE,GH,FG的長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形的判定方法對(duì)進(jìn)行判斷，根據(jù)三角形面積公式對(duì)進(jìn)行判斷.可以根據(jù)各線段的長(zhǎng)度直接進(jìn)行判斷.【詳細(xì)解答】解：由折疊知ABG=FBG,FBE=CBE,EBG=ABC=450,正確；又BC=BF=10，由勾股定理求得AF=8，DF=2，設(shè)CE=EF=x,由勾股定理得x2=22+(6-x)2,x=,DE=;又AB=BH=6，HF=4，設(shè)AG=GH=y,由勾股定理y2+42=(8-y)2,y=3,GF=5，,DEF與ABG不相似，錯(cuò)誤；SABG=，SFGH=6，故正確；AG+DF=3+2=5=FG,正確，故答案為.【解后反思】1.凡涉及到折疊的問(wèn)題，我們都找

19、到其中的相等的角和相等的邊；2.在直角三角形中，根據(jù)勾股定理若能建立關(guān)于一個(gè)未知數(shù)的方程，那么這個(gè)直角三角形的三邊的長(zhǎng)就可以分別求出來(lái)，這是我們解決直角三角形問(wèn)題時(shí)常用的方法之一.【關(guān)鍵詞】 折疊問(wèn)題，勾股定理，相似三角形的判定，矩形的性質(zhì)，三角形的面積2. （甘肅蘭州，19，4分）ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，且ACBD，請(qǐng)?zhí)砑觽€(gè)條件： ，使得ABCD為正方形【答案】ACBD或A=90或B=90或C=90或D=90【逐步提示】先根據(jù)條件ABCD的對(duì)角線ACBD判定ABCD是菱形，再根據(jù)正方形的判定添加條件【詳細(xì)解答】解：因?yàn)锳BCD中，ACBD，所以ABCD是菱形，所以當(dāng)ACBD或A

20、=90或B=90或C=90或D=90時(shí)菱形ABCD是正方形，故答案為ACBD或A=90或B=90或C=90或D=90.【解后反思】判定一個(gè)菱形是正方形，只需一個(gè)角是90度或?qū)蔷€垂直即可【關(guān)鍵詞】 菱形的判定；正方形的判定3. （廣東省廣州市，16，3分）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，AC，BD是對(duì)角線，將DCB繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45得到DGH，HG交AB于點(diǎn)E，連接DE交AC于點(diǎn)F，連接FG，則下列結(jié)論：四邊形AEGF是菱形；AEDGED；DFG=112.5；BC+FG=1.5其中正確的結(jié)論是 (填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào))A D C B E F G H 【答案】【逐步提示】由正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)

21、的性質(zhì)，易發(fā)現(xiàn)AEH與GBE都是等腰直角三角形，CFD是等腰三角形，從而可求AE，AF，EG的長(zhǎng)度相等，又AFEG，故可先證得結(jié)論成立；由結(jié)論，根據(jù)“HL”或“SAS”等判定方法很容易得到結(jié)論成立；再由前面的結(jié)論可求DFG的度數(shù)與BC+FG的值，即可判斷結(jié)論與正確與否【詳細(xì)解答】解：四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，ACBD，CD=AD=1，DCB=90，CBD=45，BD=DGH是由DCB繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45得到，DH=BD=AC=，DG=DC=1，H=CBD=45，DGH=90，AEH與GBE都是等腰直角三角形，GHAC，AE=AH=DHAD=1，EG=BG=BDDG=1，AE=EG，DE

22、平分ADG，ADE=GDE=22.5，于是可得CDF=67.5，CFD=67.5，CDF=CFD，CF=CD=1，AF=ACCF=1，AF=EG=AE由AF=EG，AFEG，可得四邊形AEGF是平行四邊形；由AF=AE，可得AEGF是菱形，故正確；AF=EG，ED=ED，AEDGED (HL)，由四邊形AEGF是菱形，得FGAB，GFC=BAC=45，DFG=45+67.5=112.5，故正確；故正確；BC+FG=1+1=，故錯(cuò)誤故答案為【解后反思】（1）我們一般習(xí)慣了通過(guò)推理證兩條線段相等，而往往忽視通過(guò)求解線段的具體長(zhǎng)度而得到線段相等的方法，這一點(diǎn)應(yīng)引起注意（2）旋轉(zhuǎn)屬于全等變換，解決以旋

23、轉(zhuǎn)為背景的問(wèn)題時(shí)，注意尋找旋轉(zhuǎn)前后相等的邊與角，圖形中所蘊(yùn)含的全等三角形，會(huì)給解決問(wèn)題帶來(lái)很大方便另外，旋轉(zhuǎn)問(wèn)題與三角形、特殊四邊形知識(shí)聯(lián)系非常密切，應(yīng)熟練掌握相關(guān)它們的性質(zhì)與判定方法【關(guān)鍵詞】正方形的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；平行四邊形的判定；菱形的判定和性質(zhì)；等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定；全等三角形的判定；勾股定理；三角形的外角性質(zhì)(或三角形內(nèi)角和定理)；角的平分線的判定4. （ 河南省，15，3分）如圖，已知ADBC，ABBC，AB=3. 點(diǎn)E為射線BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE，將ABE沿AE折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)B處，過(guò)點(diǎn)B作AD的垂線，分別交AD，BC于點(diǎn)M，N. 當(dāng)點(diǎn)B為線段MN的三

24、等分點(diǎn)時(shí)，BE的長(zhǎng)為_(kāi).【答案】或【逐步提示】本題考查了是以平行線（實(shí)際是以為矩形）為圖形背景進(jìn)行折疊即軸對(duì)稱(chēng)的圖形變換求長(zhǎng)度的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是線段三等分點(diǎn)的分類(lèi)以及在直角三角形中利用勾股定理和相似求線段長(zhǎng)度.思路：由線段MN的三等分點(diǎn)有兩個(gè)分為兩種情況：MB=2NB=2；NB=2MB=2.當(dāng)MB=2NB=2時(shí)，在RtAMB中，由折疊可知AB=AB=3，利用勾股定理求出AM長(zhǎng)，再由RtAMBRtBNE對(duì)應(yīng)邊成比例求出NE長(zhǎng)最后求BE長(zhǎng)；當(dāng)NB=2MB=2時(shí)，在RtAMB中，由折疊可知AB=AB=3，利用勾股定理求出AM長(zhǎng)，再由RtAMBRtBNE對(duì)應(yīng)邊成比例求出NE長(zhǎng)最后求BE長(zhǎng)【詳細(xì)解

25、答】解：（1）當(dāng)MB=2NB時(shí)，ABBC，ADBC ABAD，又MNADBAM=ABN=AMN=90四邊形ABNM是矩形MN=AB=3，BN=AM，MNB=90由折疊得ABE=ABE=90，AB=AB=3MB=2NB,MB=MN=2，NB=1在RtAMB中，AM=易證RtAMBRtBNENE=BE=AN-NE=（2）當(dāng)NB=2MB時(shí)，ABBC，ADBC ABAD，又MNADBAM=ABN=AMN=90四邊形ABNM是矩形MN=AB=3，BN=AM，MNB=90由折疊得ABE=ABE=90，AB=AB=3NB=2MB,NB=MN=2，MB=1在RtAMB中，AM=易證RtAMBRtBNENE=B

26、E=AN-NE=， 故答案為或 .【解后反思】本題的重難點(diǎn)是在矩形為圖形背景，在折疊變換的基礎(chǔ)上，從線段的三等分點(diǎn)的角度，借助直角三角形利用勾股定理和相似求線段長(zhǎng)度.一般思維模式是本題型是以特殊的四邊形為背景，線段的三等分點(diǎn)結(jié)合折疊轉(zhuǎn)化條件求線段長(zhǎng)度的題型，一般按線段的三等分點(diǎn)不同進(jìn)行分類(lèi)，折疊問(wèn)題求線段長(zhǎng)度一般是圍繞關(guān)鍵點(diǎn)（B），借助或構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理、三角函數(shù)或相似求解線段長(zhǎng)度注意作輔助線時(shí)一般關(guān)注已知線段或四邊形邊的方向，作輔助線平行或垂直于它們【關(guān)鍵詞】矩形的判定和性質(zhì)；三等分點(diǎn)；翻折變換（折疊問(wèn)題）；勾股定理；相似5. （湖南湘西，8，4分）如圖，已知菱形ABCD的兩條對(duì)

27、角線長(zhǎng)分別為AC=8和BD=6，那么，菱形ABCD的面積為 .【答案】24【逐步提示】本題考查了菱形的性質(zhì),根據(jù)菱形的面積公式即可求出答案【詳細(xì)解答】解：S=ACBD= 86=24，故答案為24 .【解后反思】菱形面積有兩種求法，如下圖，S菱形ABCD=ACBD =ABDE .【關(guān)鍵詞】 菱形的面積（第8題圖） （第8題答圖）6.（江蘇省南京市，16，2分）如圖，菱形ABCD 的面積為120 cm2，正方形AECF 的面積為50 cm2，則菱形的邊長(zhǎng)為 cm 【答案】13【逐步提示】本題考查了菱形與正方形的性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用菱形與正方形的面積公式構(gòu)建方程組，求出AC和BD的長(zhǎng)

28、，進(jìn)而得到菱形的邊長(zhǎng)【詳細(xì)解答】解：連接AC 和BD，由題意可知，BEFD四點(diǎn)都在對(duì)角線BD上，設(shè)AC=2a，BD=2b，根據(jù)菱形與正方形的面積計(jì)算公式，可得：，a=5；且，b=12，所以AB=故答案為13【解后反思】正方形屬于特殊的菱形，其面積公式可以和菱形相同，都是對(duì)角線乘積的一半【關(guān)鍵詞】 四邊形；特殊的平行四邊形；菱形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；直角三角形；勾股定理；整體思想；化歸思想7. （江蘇鹽城，18，3分）如圖，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，A60，點(diǎn)E、F分別在邊AB、AD上若將AEF沿直線EF折疊，使得點(diǎn)A恰好落在CD邊的中點(diǎn)G處，則EF 【答案】【逐步提示】本題考查了菱形中圖形的

29、折疊問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求出相關(guān)線段AG、BG及AE、AF的長(zhǎng)，再利用面積相等，求出EF的長(zhǎng)；也可用解析法求解，建立直角坐標(biāo)系，求出OD、OG、EF的關(guān)系式，從而確定E、F的坐標(biāo)，再求出EF的長(zhǎng)【詳細(xì)解答】解：方法1：連接AG、BD、BG，過(guò)點(diǎn)G作GHAD交AD的延長(zhǎng)線于H，則顯然CBD為等邊三角形，G為CD邊的中點(diǎn)，BGCD，BG在RtDGH中，GDH60，DG1，DH，GH，AG；由折疊知，EF垂直平分AG，AFFG，AEEG，在RtDFG中，F(xiàn)H2HG2FG2，即(AF)2()2AF2，AF，在RtEBG中，BE2BG2EG2，即(2AE)2()2AE2，AE；

30、EFAG，S四邊形AEGFAEBGAGEF，EF，EF故答案為方法2：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線為y軸，如圖所示建立直角坐標(biāo)系，易得點(diǎn)A(0，0)，B(2，0)，C(3，)，D(1，)，G(2，)，從而得到AG的中點(diǎn)M(1，)，直線AD的表達(dá)式為yx，直線AG的表達(dá)式為yx，因?yàn)镋FAG，設(shè)直線EF的表達(dá)式為yxb，代人點(diǎn)M(1，)，得到b，從而yx，所以E(，0)，F(xiàn)(，)，求得EF故答案為【解后反思】解決此類(lèi)問(wèn)題，可由折疊得到相等的線段，相等的角，再結(jié)合解直角三角形有關(guān)知識(shí)找到未知量與已知量之間的等量關(guān)系來(lái)列方程求解【關(guān)鍵詞】菱形的性質(zhì)；勾股定理；幾何變換法；實(shí)驗(yàn)

31、操作題型8. （江蘇省揚(yáng)州市，15，3分）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E為AD的中點(diǎn)，若OE=3，則菱形ABCD的周長(zhǎng)為 【答案】24【逐步提示】本題考查了菱形的性質(zhì)和直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、中位線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是由菱形性質(zhì)得到的對(duì)角線互相垂直平分【詳細(xì)解答】解：由菱形ABCD可知，因?yàn)閷?duì)角線互相垂直平分，所以AOD=90，而E為AD的中點(diǎn)，所以AD=2OE，若OE=3，則AD=6，所以菱形的周長(zhǎng)=4AD=24，故答案為24【解后反思】本題也可以運(yùn)用中位線的性質(zhì)解題由菱形ABCD可知，因?yàn)閷?duì)角線互相平分平分，所以AO=OC，而E為AD的中點(diǎn)，所以 OE為ADC的中位線

32、，則DC=2OE，若OE=3，則DC=6，所以菱形的周長(zhǎng)=4DC=24，故答案為24【關(guān)鍵詞】 平行四邊形；特殊的平行四邊形；菱形的性質(zhì)；三角形的中位線；三、解答題1. （ 福建福州，26，13分）如圖，矩形ABCD 中，AB4，AD3，M 是邊CD 上一點(diǎn)，將ADM沿直線AM對(duì)折，得到ANM（1）當(dāng)AN平分MAB時(shí)，求DM的長(zhǎng)；（2）連接BN ，當(dāng)DM1時(shí)，求ABN的面積；（3）當(dāng)射線BN 交線段CD于點(diǎn)F時(shí)，求DF的最大值【逐步提示】本題考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，難度較大，熟練掌握矩形和折疊的性質(zhì)，證明三角形

33、相似和三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵（1）由折疊性質(zhì)得MAN=DAM，證出DAM=MAN=NAB，由三角函數(shù)得出DM；（2）延長(zhǎng)MN交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，由矩形的性質(zhì)得出DMA=MAQ，由折疊性質(zhì)得出DMA=AMQ，得出MAQ=AMQ，證出MQ=AQ，設(shè)NQ=x，則AQ=MQ=1+x，在RtANQ中，由勾股定理得出方程，解方程求出NQ=4，AQ=5，即可求出ABN的面積；（3）過(guò)點(diǎn)A作AHBF于點(diǎn)H，證明ABHBFC，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，得出當(dāng)點(diǎn)N、H重合（即AH=AN）時(shí)，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此時(shí)點(diǎn)M、F重合，B、N、M三點(diǎn)共線，由AAS證明ABHBFC，得出CF=BH，由勾股定

34、理求出BH，得出CF，即可得出結(jié)果【詳細(xì)解答】解：（1）由折疊可知ANMADM，平分四邊形ABCD是矩形（2）如圖1，延長(zhǎng)MN交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q.四邊形ABCD是矩形，ABDC,有折疊可知AMNADM，設(shè)，則在中，解得 （3）如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AHBF于點(diǎn)H，則ABHBFC,AHAN=3,AB=4,當(dāng)點(diǎn)N,H重合（即）時(shí)，DF最大.(AH最大，BH最小，CF最小，DF最大)此時(shí)點(diǎn)M，F(xiàn)重合，B，N，M三點(diǎn)共線，ABHBFC(如圖3)DF的最大值為【解后反思】本題第(2)問(wèn)也可以過(guò)點(diǎn)N作AB的垂線交AB、CD分別為H、G，再通過(guò)相似三角形求出NH的長(zhǎng)就能得出ABN的面積.第(3)問(wèn)如何確定DF的最

35、大值時(shí)的位置是難點(diǎn)所在，我們也可以直觀想象得出這個(gè)位置，把AN和BF當(dāng)作兩根木棒，要讓AN把BF撐的最遠(yuǎn)，此時(shí)有AN垂直于BF.或者通過(guò)面積來(lái)說(shuō)明.三角形 ABF的面積是6，所以AHBF=12為定值.當(dāng)AH最大時(shí)，BF最小，從而CF最小，所以DF最大.【關(guān)鍵詞】實(shí)驗(yàn)操作題型；矩形的性質(zhì)；軸對(duì)稱(chēng)變換；全等三角形的性質(zhì)；等腰三角形的判定；勾股定理；直角三角形中的基本類(lèi)型；相似三角形的判定；相似三角形的性質(zhì)2. （甘肅蘭州，25，10分）閱讀下面材料： 在數(shù)學(xué)課上，老師請(qǐng)同學(xué)思考如下問(wèn)題：如圖1，我們把一個(gè)四邊形ABCD 的四邊中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H依次連接起來(lái)得到四邊形的EFGH是平行四邊形嗎?小敏在

36、思考問(wèn)題是，有如下思路：連接AC點(diǎn)E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)三角形中位線定理EFACEF=AC點(diǎn)G、H分別是CD、AD的中點(diǎn)三角形中位線定理GHACGH=ACEFGHEF=GH四邊形EFGH平行四邊形結(jié)合小敏的思路作答：(1)若只改變國(guó)l中四邊形ABCD的形狀（如圖2），則四邊形EFGH還是平行四邊形嗎？說(shuō)明理由；參考小敏思考問(wèn)題的方法，解決下問(wèn)題：(2) 如圖2，在(1)的條件下，若連接AC，BD當(dāng)AC與BD滿足什么條件時(shí)，四邊形EFGH是菱形寫(xiě)出結(jié)論并證明；當(dāng)AC與BD滿足什么條件時(shí)，四邊形EFGH是矩形直接寫(xiě)出結(jié)論圖1 圖2【逐步提示】(1)第一步：由三角形中位線定理得出EF與AC的數(shù)

37、量關(guān)系與位置關(guān)系；第二步：再由三角形中位線定理得出GH與AC的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系；第三步：利用等量代換與平行線的傳遞性得出EF與GH的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，從而得到結(jié)論(2) 由(1)已經(jīng)證得四邊形EFGH是平行四邊形，所以只需證明鄰邊FG=EF，由三角形中位線定理可得它們都等于BD或AC的一半，故易得“當(dāng)AC=BD時(shí)，四邊形EFGH是菱形”這一結(jié)論；當(dāng)ACBD時(shí)，由三角形中位線定理可知EFAC，F(xiàn)GBD，故可得EFFG，即EFG=90，故四邊形EFGH是矩形【詳細(xì)解答】解：(1)四邊形EFGH還是平行四邊形理由如下：連接AC EF分別是AB，BC的中點(diǎn) EFAC，EF=AC， G，H分別是AC

38、，BD的中點(diǎn)GHAC， GH=AC，EFGH，EF=GH，四邊形EFGH是平行四邊形(2)當(dāng)AC=BD時(shí)，四邊形EFGH是菱形理由如下： 由(1)可知四邊形EFGH是平行四邊形， 當(dāng)AC=BD時(shí)，F(xiàn)G=BD，EF=AC， FG=EF， 四邊形EFGH是菱形 當(dāng)ACBD時(shí)，四邊形EFGH是矩形理由如下：由(1)可知四邊形EFGH是平行四邊形，EF分別是AB，BC的中點(diǎn)， EFAC，ACBD，EFBD，G，F(xiàn)分別是CD，BC的中點(diǎn)FGAC，EFBD，EFFG，即EFG=90，EFGH是矩形【解后反思】本題的實(shí)質(zhì)是判定中點(diǎn)四邊形的形狀，而中點(diǎn)四邊形的形狀是由原四邊形的對(duì)角線的關(guān)系來(lái)決定的當(dāng)原四邊形的

39、對(duì)角線互相垂直時(shí)，中點(diǎn)四邊形是矩形；當(dāng)原四邊形的對(duì)角線相等時(shí)，中點(diǎn)四邊形是菱形；當(dāng)原四邊形的對(duì)角線既相等又互相垂直時(shí)，中點(diǎn)四邊形是正方形注意中點(diǎn)四邊形與原四邊形的對(duì)角線是否平分無(wú)關(guān)【關(guān)鍵詞】 菱形的判定；矩形的判定；三角形中位線定理3. （廣東省廣州市，18，9分）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，若AB=AO，求ABD的度數(shù)A B C D O 【逐步提示】由條件AB=AO，聯(lián)想到矩形對(duì)角線的性質(zhì)AO=BO，故可得AOB是等邊三角形，于是得其內(nèi)角ABD的度數(shù)【詳細(xì)解答】解：四邊形ABCD是矩形，AO=AC，BO=BD，AC=BD，AO=BO又AB=AO，AB=AO=BO，AOB是

40、等邊三角形，ABD=60 【解后反思】矩形的對(duì)角線互相平分且相等，故此矩形的兩條對(duì)角線把矩形分成了四個(gè)小等腰三角形另外，每條對(duì)角線所分得的兩個(gè)直角三角形都全等【關(guān)鍵詞】矩形的性質(zhì)；等邊三角形的判定和性質(zhì)4. （ 廣東茂名，14，3分）已知矩形的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，若AO=1，那么BD= .【答案】2【逐步提示】本題考查了矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握矩形的對(duì)角線相等且互相平分的性質(zhì).先根據(jù)矩形的對(duì)角線互相平分求出AC的長(zhǎng)度，再根據(jù)矩形的對(duì)角線相等求出BD的長(zhǎng).【詳細(xì)解答】解：四邊形ABCD是矩形，AC=BD，AC=2AO.AO=1，AC=21=2，BD=2. 故答案為 2 .【解后反思】

41、本題屬于與矩形知識(shí)相關(guān)的基礎(chǔ)題，熟記與矩形對(duì)角線相關(guān)的性質(zhì)是正確解答該題的前提.【關(guān)鍵詞】矩形的性質(zhì)5. （貴州省畢節(jié)市，22，12分）如圖，已知ABC中，ABAC，把ABC繞A點(diǎn)沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到ADE，連接BD，CE交于點(diǎn)F.(1)求證：AECADB；(2)若AB2，BAC45，當(dāng)四邊形ADFC是菱形時(shí)，求BF的長(zhǎng) （第25題圖）【逐步提示】本題考查了全等三角形的判定、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、勾股定理、菱形的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握這些判定定理及性質(zhì)定理(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出全等的條件，利用“SAS”判定AECADB；(2)由等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理

42、得出BAD是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理求出BD的長(zhǎng)度，再根據(jù)四邊形ABFE是菱形得出DF的長(zhǎng)，從而求出BF的長(zhǎng)【詳細(xì)解答】解：（1）證明：ABC繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到ADE，ABAD，ACAE，BACDAE，BACBAEDAEBAE，EACDAB. 又ABAC，AEAD，AECADB；（2）四邊形ADFC是菱形，且BAC45，DBABAC45，又ABAD，DBABDA45，BAD是等腰直角三角形.BD2AB2AD2 22228，BD.四邊形ADFC是菱形，ADDFFCACAB2，BFBDDF2.【解后反思】此類(lèi)問(wèn)題容易出錯(cuò)的地方是不能正確寫(xiě)出解答過(guò)程【關(guān)鍵詞】全等三角形的判定；SAS；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等

43、腰三角形的性質(zhì)；菱形的性質(zhì)6.（ 河南省，18，9分）如圖，在RtABC中，ABC=900，點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，以AB為直徑作O分別交AC,BM于點(diǎn)D,E.(1)求證：MD=ME;(2)填空：若AB=6,當(dāng)AD=2DM時(shí)，DE= ；連接OD,OE,當(dāng)A的度數(shù)為 時(shí)，四邊形ODME是菱形.【逐步提示】（1）MD=ME應(yīng)來(lái)源于MDE=MED，根據(jù)條件可知四邊形ABED是圓內(nèi)接四邊形，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角的性質(zhì)及直角三角形的斜邊中線性質(zhì)綜合可得結(jié)論。（2）由第一問(wèn)可知DEAB，由相似三角形的性質(zhì)可知,可得DE=2.(3)根據(jù)菱形性質(zhì)可知OEAM.O是AB中點(diǎn)，E為BM中點(diǎn)，連接AE，AB是

44、直徑，AEBM,可得AB=AM.同理AB=BM.ABM 是等邊三角形，A=60?！驹敿?xì)解答】解：（1）在RtABC中，點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，MA=MB，A=MBA. 四邊形ABED是圓內(nèi)接四邊形，ADE+ABE=180,又ADE+MDE=180,MDE=MBA.同理可證：MED=A. MDE=MED, MD=ME. （2）2； 60（或60）.【解后反思】本題考查了直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定；相似三角形的判斷和性質(zhì)以及菱形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng).【關(guān)鍵詞】圓內(nèi)接四邊形，相似，菱形，等腰三角形.7. （ 湖北省十堰市，23，8分）如圖，將矩形紙片ABCD（AD

45、AB）折疊，使點(diǎn)C剛好落在線段AD上，且折痕分別與邊BC、AD相交.設(shè)折疊后點(diǎn)C、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)G、H,折痕分別與邊BC，AD相交于點(diǎn)E、F.（1）判斷四邊形CEGF的形狀；（2）若AB=3,BC=9,求線段CE的取值范圍.【逐步提示】本題是一道幾何證明與計(jì)算的綜合題，也是一道考查手腦并用考查題.其中涉及到平行四邊形的判定、線段垂直平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、菱形的判定、菱形的性質(zhì)、勾股定理等；解題的思路：對(duì)于第（1）題，先感性再理性，可以先用圓規(guī)初步測(cè)量它們的四邊相等，然后根據(jù)本題的題設(shè)進(jìn)行說(shuō)明；對(duì)于第（2）題，可以先用紙片折疊一下，根據(jù)點(diǎn)C與與AD邊重合，有不同的情況，找出兩個(gè)端點(diǎn)情況

46、，進(jìn)行計(jì)算，以便確定其范圍.【詳細(xì)解答】解：（1）四邊形CEGF是菱形.證明如下：由題意知，EF是CG的垂直平分線，F(xiàn)C=FG, EC=EG,又ADBC,GFE=CEF,由折疊知CEF=GEF,GFE=GEF,EG=GF,EG=FG=FC=EC，四邊形CEGF是菱形。（2）如圖（1），當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時(shí)，四邊形CEFG是正方形，此時(shí)CE最小，且CE=CD=3，如圖（2）當(dāng)點(diǎn)G與A重合時(shí)，CE最大，設(shè)CE=x,則BE=9-x，由（1）知，AE=CE=x,在RtABE中,AB2+BE2=AE2, 即 9+(9-x)2=x2 解得 x=5,所以CE=5所以，線段CE的取值范圍為 3CE5.【解后反思

47、】本題中的菱形的判定、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理等都是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)部分，其中的手腦并用也是新課標(biāo)的基本要求.本題中的突出的數(shù)學(xué)思想是分類(lèi)討論：分類(lèi)討論思想是在對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行分類(lèi)的過(guò)程中尋求答案的一種思想方法.分類(lèi)討論既是一種重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種重要的數(shù)學(xué)方法.分類(lèi)的關(guān)鍵是根據(jù)分類(lèi)的目的，找出分類(lèi)的對(duì)象.分類(lèi)要求既不能重復(fù)，也不能遺漏，最后要全面總結(jié).【關(guān)鍵詞】垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理；菱形的判定；分類(lèi)討論思想8. （ 湖南省郴州市，26，12分）如圖1，矩形ABCD中，AB7cm，AD4cm，點(diǎn)E為AD上一定點(diǎn)，點(diǎn)F為AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DFacm，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿AB邊向點(diǎn)B以

48、2cms的速度運(yùn)動(dòng)連結(jié)PE，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts，PAE的面積為y當(dāng)0t1時(shí)，PAE的面積y（）關(guān)于時(shí)間t（s）的函數(shù)圖象如圖2所示連結(jié)PF，交CD于點(diǎn)H （1）t的取值范圍為 AE cm； （2）如圖3，將HDF沿線段DF進(jìn)行翻折，與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，連結(jié)AM當(dāng)a為何值時(shí)，四邊形PAMH為菱形？并求出此時(shí)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t； （3）如圖4，當(dāng)點(diǎn)P出發(fā)1s后，AD邊上另一動(dòng)點(diǎn)Q從E點(diǎn)出發(fā)，沿ED邊向點(diǎn)D以1cms的速度運(yùn)動(dòng)如果P、Q兩點(diǎn)中的任意一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)后，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)連結(jié)PQ、QH，若cm，請(qǐng)問(wèn)PQH能否構(gòu)成直角三角形？若能，請(qǐng)求出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由 【逐步提示】

49、本題考查的是矩形為背景下的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，翻折問(wèn)題解題的關(guān)鍵是巧妙的運(yùn)用相似三角形，尋找線段間的數(shù)量關(guān)系和比例關(guān)系（1）由于點(diǎn)P在AB邊上運(yùn)動(dòng)，且速度為2cms，即02t7，可以確定t的取值范圍；結(jié)合0t1時(shí)，圖2的函數(shù)圖象，能得到y(tǒng)與t的函數(shù)關(guān)系式，因?yàn)?，即y，可以求出AE的長(zhǎng)（2）將HDF沿線段DF進(jìn)行翻折，可得到HDDM，若四邊形PAMH為菱形，則有APAMMH2DM，因?yàn)锳D4，ADM90，由勾股定理可以求出DM，即可求出AP，又因?yàn)锳P2t，即可列式求出t值（3）因?yàn)镻QH若構(gòu)成直角三角形，則可能有PQH90，或PHQ90，每種情況下都可構(gòu)造“一線三等角”證明相似由于Q比P晚走1s，所以E

50、Qt1，所以QD表示為4t，因?yàn)橹纁m，所以DH也可以用“A”字型相似表示出來(lái)，寫(xiě)出正確的比例式就可計(jì)算出每種情況下的t值了【詳細(xì)解答】解：（1）P在邊AB上運(yùn)動(dòng)，速度為2cms，02t7，0t； 由圖2可得當(dāng)0t1時(shí)，yt，y，即t，AE1（2）將HDF沿線段DF進(jìn)行翻折得到MDF，HDDM，又四邊形PAMH為菱形，APAMMH2DM，AD4，ADM90，在RtADM中，DM，AP2t，t （3）P先出發(fā)1s后Q再?gòu)腅出發(fā)，AP2t，EQt1，QD41（t1）4t四邊形ABCD是矩形，ABCD，F(xiàn)DHFAP，由題意可知，若PQH為直角三角形，則有兩種情況：PQH90，或PHQ90當(dāng)PQH9

51、0時(shí)，AQDH90，APQAQP90，AQPDQH90，APQDQH，APQDQH，t2；當(dāng)PHQ90時(shí)，過(guò)P作PMCD于點(diǎn)M，同理可證PMHHDQ，PMAD4，解得當(dāng)t2或時(shí)PQH為直角三角形 【解后反思】動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題本身就是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的路徑判斷取值范圍較為常見(jiàn)，要認(rèn)真審題，看在哪些線段上運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)點(diǎn)和函數(shù)結(jié)合的題，往往求出的解析式是分段函數(shù)此題還體現(xiàn)了一線三等角的構(gòu)造，這是解決相似三角形時(shí)常用的方法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想、分類(lèi)討論思想【關(guān)鍵詞】 菱形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；動(dòng)點(diǎn)題型9.（湖南省湘潭市，25，10分）如圖，菱形ABCD中，已知BAD=120，

52、EGF=60，EGF的頂點(diǎn)G在菱形對(duì)角線AC上運(yùn)動(dòng)，角的兩邊分別交邊BC、CD于點(diǎn)E、F.CDABGEF （1）如圖甲，當(dāng)頂點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)A重合時(shí)，求證：EC+CF=BC； （2）知識(shí)探究： 如圖乙，當(dāng)頂點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)，探究線段EC、CF與BC的數(shù)量關(guān)系； 在頂點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段EC、CF與BC的數(shù)量關(guān)系（不需要寫(xiě)出證明過(guò)程）； （3）問(wèn)題解決： 如圖丙，已知菱形邊長(zhǎng)為8，BC=7，CF=，當(dāng)t2時(shí)，求EC的長(zhǎng)度.CDAB（G）EFCDAEFGBCDAEFGB圖甲圖乙圖丙【逐步提示】（1）易證ABC和ACD都是等邊三角形，然后利用ASA證明ABE和ACF全等，從而證明E

53、C+CF=BC；（2）當(dāng)G在AC的中點(diǎn)時(shí)，EC和CF都縮小到原來(lái)的一半，于是EC+CF=BC；當(dāng)時(shí)，于是EC和CF都縮小到原來(lái)，于是EC+CF=BC；（3）利用邊長(zhǎng)是8、BG=7，計(jì)算出AG的長(zhǎng)，從而計(jì)算出t的值，求出EC+CF的長(zhǎng)度，減去CF的長(zhǎng)度，即可得到EC的長(zhǎng)度.【詳細(xì)解答】（1）四邊形ABCD為菱形，且BAD=120，B=60，易證ABC與ACD都是等邊三角形，且它們?nèi)?，于是ACF=60，BAE+EAC=EAC+CAF=60，BAE=CAF，BAECAF（ASA），BE=CF，EC+CF=BC.（2）EC+CF=BC；EC+CF=BC.（3）如圖丙，作BHAC于H，易證H是AC中點(diǎn)

54、，即AH=4，且HB=4，BG=7，=1，GC=4-1=3，t=，根據(jù)第（2）小題的結(jié)論，有EC+CF=8=3.【解后反思】靈活地掌握菱形的性質(zhì)和等邊三角形的判定是解決本題的突破口，另外相似的意識(shí)、位似的意識(shí)，在本題中也得到充分的體現(xiàn).【關(guān)鍵詞】全等三角形的識(shí)別；等邊三角形的判定；菱形的性質(zhì)；勾股定理；三角形全等的識(shí)別；全等三角形的性質(zhì)；動(dòng)點(diǎn)題型；相似多邊形的性質(zhì)10. （ 年湖南省湘潭市，25，10分）如圖，菱形ABCD中，已知BAD=120，EGF=60, EGF的頂點(diǎn)G在菱形對(duì)角線AC上運(yùn)動(dòng)，角的兩邊分別交邊BC、CD于E、F。ABDC GFE（1）如圖甲，當(dāng)頂點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)A重合時(shí)，求

55、證：EC+CF=BC；（2）知識(shí)探究：如圖乙，當(dāng)頂點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，探究線段EC、CF與BC的數(shù)量關(guān)系；在頂點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，若，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段EC、CF與BC的數(shù)量關(guān)系（不需要寫(xiě)出證明過(guò)程）；（3）問(wèn)題解決：如圖丙，已知菱形的邊長(zhǎng)為8，BG=7，CF=，當(dāng)時(shí)，求EC的長(zhǎng)度。圖甲A(G)BDC FEABDC FEGABDC FEG圖乙圖丙【逐步提示】本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定、等邊三角形和相似三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)和轉(zhuǎn)化的思想。（1）要證明EC+CF=BC，只需證CF=BE，要證這兩條線段相等，就是證明它們所在的兩個(gè)三角形全等，即證明BAE和與CAF

56、全等，再分析全等的條件，AB=AC，BACF60，只要證BAE=CAF，由BAEEACEACCAF60可得；（2）觀察圖乙中的點(diǎn)G，只是把圖甲中的點(diǎn)G的位置向下移動(dòng)，考慮能不能把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成（1），為此過(guò)點(diǎn)A作AEEG，AFGF，利用相似三角形先找出CE與CE、CF與CF的關(guān)系，進(jìn)而得到EC、CF與BC的數(shù)量關(guān)系；（3）根據(jù)（2）中的結(jié)論，要求線段EC的長(zhǎng)，就是求t，也就是要求出AG或CG的長(zhǎng)，在ABG中已知AB，AG，BAC60，求AG的長(zhǎng)，可以考慮轉(zhuǎn)化為直角三角形，為此連接BD交AC于H，在RtABH中求得 AH、，BH，在RtBHG中得用勾股定理求出BH，進(jìn)而求出t，還需注意t2.【詳細(xì)解答】解：（1）四邊形ABCD是菱形，BAD120，BAC60，BACF60，AB=BC，AB=AC，BAEEACEACCAF60，BAE=CAF，在BAE和CAF中，,BAECAF，BECF，ECCFECBEBC，即ECCFBC；（2）線段EC，CF與BC的數(shù)量關(guān)系為：CECFBC.FEABDC FEG理由如下：過(guò)點(diǎn)A作AEEG，AFGF，分別交BC、CD于E、F.類(lèi)比（1）可得：ECCFBC，G為AC中點(diǎn)，AEEG，BAECAF，CECE，同理可得：C