2018屆中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專題五 函數(shù)壓軸題試題

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1、專題五 函數(shù)壓軸題類型一 動(dòng)點(diǎn)函數(shù)圖象問(wèn)題 此類問(wèn)題一般是通過(guò)分析動(dòng)點(diǎn)在幾何圖形邊上的運(yùn)動(dòng)情況，確定出有關(guān)動(dòng)點(diǎn)函數(shù)圖象的變化情況分析此類問(wèn)題，首先要明確動(dòng)點(diǎn)在哪條邊上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中引起了哪個(gè)量的變化，然后求出在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，最后根據(jù)函數(shù)表達(dá)式判別圖象的變化 (2016濟(jì)南)如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，B90，ABAD5，BC4，M，N，E分別是AB，AD，CB上的點(diǎn)，AMCE1，AN3.點(diǎn)P從點(diǎn)M出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線MBBE向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)N出發(fā)，以相同的速度沿折線NDDCCE向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)后，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)設(shè)APQ的面積為S

2、，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s，則S與t之間的函數(shù)關(guān)系的大致圖象為() 【分析】 由點(diǎn)Q從點(diǎn)N出發(fā)，沿折線NDDCCE向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，確定出點(diǎn)Q分別在ND，DC，CE運(yùn)動(dòng)時(shí)對(duì)應(yīng)的t的取值范圍，再根據(jù)t所在的取值范圍分別求出其對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，最后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式確定對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象 1(2017白銀)如圖1，在邊長(zhǎng)為4 cm的正方形ABCD中，點(diǎn)P以每秒2 cm的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿ABBC的路徑運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)C停止過(guò)點(diǎn)P作PQBD，PQ與邊AD(或邊CD)交于點(diǎn)Q，PQ的長(zhǎng)度y(cm)與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間x(s)的函數(shù)圖象如圖2所示當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)2.5 s時(shí)，PQ的長(zhǎng)是( ) 圖1圖2A2 cm B3 cmC4 cm D5

3、cm2(2017葫蘆島)如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，A60，點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別從點(diǎn)B和點(diǎn)C出發(fā)，沿射線BC向右運(yùn)動(dòng)，且速度相同，過(guò)點(diǎn)Q作QHBD，垂足為H，連接PH.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的距離為x(0x2)，BPH的面積為S，則能反映S與x之間的函數(shù)關(guān)系的圖象大致為 ( ) 類型二 二次函數(shù)綜合題 二次函數(shù)的綜合題是中考數(shù)學(xué)的必考問(wèn)題，一般作為壓軸題出現(xiàn)，常與動(dòng)點(diǎn)、存在點(diǎn)、相似等相結(jié)合，難度較大，是考生失分的重災(zāi)區(qū)1二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題 (2017濱州)如圖，直線ykxb(k，b為常數(shù))分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A(4，0)，B(0，3)，拋物線yx22x1與y軸交于點(diǎn)C.(1)求直線ykxb的函數(shù)表達(dá)式；(2)

4、若點(diǎn)P(x，y)是拋物線yx22x1上的任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到直線AB的距離為d，求d關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并求d取最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)E在拋物線yx22x1的對(duì)稱軸上移動(dòng)，點(diǎn)F在直線AB上移動(dòng)，求CEEF的最小值 【分析】 (1)利用待定系數(shù)法可求得直線表達(dá)式；(2)過(guò)P作PHAB于點(diǎn)H，過(guò)H作HQx軸，過(guò)P作PQy軸，兩垂線交于點(diǎn)Q，則可證明PHQBAO，設(shè)H(m，m3)，利用相似三角形的性質(zhì)可得到d與x的函數(shù)表達(dá)式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得d取得最小值時(shí)的P點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)設(shè)C點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為C，由對(duì)稱的性質(zhì)確定出C點(diǎn)的坐標(biāo)，利用(2)中所求函數(shù)關(guān)系式求得d的值，即可求

5、得CEEF的最小值解決二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，首先要明確動(dòng)點(diǎn)在哪條直線或拋物線上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度是多少，結(jié)合直線或拋物線的表達(dá)式設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或表示出與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的線段長(zhǎng)度，最后結(jié)合題干中與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的條件進(jìn)行計(jì)算. 3(2016東營(yíng))在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABOC如圖放置，點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別是(0，4 (1，0)，將此平行四邊形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，得到平行四邊形ABOC.(1)若拋物線過(guò)點(diǎn)C，A，A，求此拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)M是第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)M在何處時(shí)，AMA的面積最大？最大面積是多少？并求出此時(shí)M的坐標(biāo) 2二次函數(shù)存在點(diǎn)問(wèn)題 (2017臨沂)如圖，拋物線yax2bx

6、3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，3)，與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，且OC3OB.(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)D在y軸上，且BDOBAC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在以點(diǎn)A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 【分析】 (1)利用待定系數(shù)法可求得直線表達(dá)式；(2)先求出直線AB的表達(dá)式，然后求出直線AB與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出OBOD，得出點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)以AB為對(duì)角線和以AB為邊分別討論，從而得出結(jié)論解決二次函數(shù)存在點(diǎn)問(wèn)題，一般先假設(shè)該點(diǎn)存在，根據(jù)該點(diǎn)所在的直線或拋物線的表達(dá)式，設(shè)出該點(diǎn)的坐

7、標(biāo)；然后用該點(diǎn)的坐標(biāo)表示出與該點(diǎn)有關(guān)的線段長(zhǎng)或其他點(diǎn)的坐標(biāo)等；最后結(jié)合題干中其他條件列出等式，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)，然后判別該點(diǎn)坐標(biāo)是否符合題意，若符合題意，則該點(diǎn)存在，否則該點(diǎn)不存在. 4(2016日照)如圖1，拋物線y(x2)2n與x軸交于點(diǎn)A(m2，0)和B(2m3，0)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC.(1)求m，n的值；(2)如圖2，點(diǎn)M，P分別為線段BC和線段OB上的動(dòng)點(diǎn)，連接PM，PC，是否存在這樣的點(diǎn)P，使PCM為等腰三角形、PMB為直角三角形同時(shí)成立？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 3二次函數(shù)相似問(wèn)題 (2017棗莊)如圖，拋物線yx2bxc與x軸交于點(diǎn)

8、A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B坐標(biāo)為(6，0)，點(diǎn)C坐標(biāo)為(0，6)，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為E，連接BD.(1)求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)F是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)FBABDE時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MNx軸與拋物線交于點(diǎn)N，點(diǎn)P在x軸上，點(diǎn)Q在坐標(biāo)平面內(nèi)，以線段MN為對(duì)角線作正方形MPNQ，請(qǐng)寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo) 備用圖【分析】 (1)由B，C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線表達(dá)式，再求其頂點(diǎn)D即可；(2)過(guò)F作FGx軸于點(diǎn)G，可設(shè)出F點(diǎn)坐標(biāo)，利用FBGBDE，由相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于F點(diǎn)坐標(biāo)的方程，可求得F點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)由M

9、，N兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可知點(diǎn)P為對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)Q在對(duì)稱軸上，可設(shè)出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，則可表示出M的坐標(biāo)，代入拋物線表達(dá)式可求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)二次函數(shù)相似問(wèn)題常與動(dòng)點(diǎn)、存在點(diǎn)相結(jié)合，利用動(dòng)點(diǎn)或存在點(diǎn)的坐標(biāo)表示出與相似三角形有關(guān)的線段長(zhǎng)，要注意邊的對(duì)應(yīng)有多種可能，對(duì)每一種情況都要具體分析討論，然后利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例列出方程，通過(guò)解方程求得結(jié)果，還要考慮求出的結(jié)果是否符合題意及實(shí)際情況 5(2016濟(jì)南)如圖1，拋物線yax2(a3)x3(a0)與x軸交于點(diǎn)A(4，0)，與y軸交于點(diǎn)B.在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)E(m，0)(0m4)，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PM

10、AB于點(diǎn)M.(1)求a的值和直線AB的函數(shù)表達(dá)式；(2)設(shè)PMN的周長(zhǎng)為C1，AEN的周長(zhǎng)為C2，若，求m的值；(3)如圖2，在(2)的條件下，將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OE，旋轉(zhuǎn)角為(090)，連接EA，EB，求EAEB的最小值 6(2016萊蕪)如圖，二次函數(shù)yax2bxc的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，0)，B(4，0)，C(2，3)，直線BC與y軸交于點(diǎn)D，E為二次函數(shù)圖象上任一點(diǎn)(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)E在直線BC的上方，過(guò)點(diǎn)E分別作BC和y軸的垂線，交直線BC于不同的兩點(diǎn)F，G(F在G的左側(cè))，求EFG的周長(zhǎng)的最大值；(3)是否存在點(diǎn)E，使得EDB是以BD為直角邊的直角三角

11、形，如果存在，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 參考答案【例1】 如圖，過(guò)點(diǎn)D作DFAB于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)Q作QGAB于點(diǎn)G，當(dāng)0t2時(shí)，點(diǎn)Q在線段ND上ABCD，B90，四邊形BCDF是矩形，DFBC4，AF3，DCBF2，AQANNQ3t，APAMMP1t.QGDF，AQGADF，即，QG(3t)，SAPQG(1t)(3t)t2t，且當(dāng)t2時(shí)，點(diǎn)Q恰好運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，S6；當(dāng)2t4時(shí)，點(diǎn)Q在線段DC上，SAPBC(1t)42t2；當(dāng)4t5時(shí)，點(diǎn)P，Q均在BC上運(yùn)動(dòng)，BPCQt4，PQBCBPCQ122t，SABPQ5(122t)5t30，且當(dāng)t5時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E后停止運(yùn)動(dòng)，此時(shí)S5.綜上所述，

12、S由函數(shù)關(guān)系式，S與t之間的函數(shù)關(guān)系的大致圖象為C或D.t2時(shí)，S6；t5時(shí)，S5，65，S與t之間的函數(shù)關(guān)系的大致圖象為D.故選D.【變式訓(xùn)練】 1B2.A【例2】 (1)ykxb經(jīng)過(guò)A(4，0)，B(0，3)，解得直線的函數(shù)表達(dá)式為yx3.(2)如圖，過(guò)點(diǎn)P作PHAB于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)H作x軸的平行線MN，分別過(guò)點(diǎn)A，P作MN的垂線段，垂足分別為M，N.設(shè)H(m，m3)，則M(4，m3)，N(x，m3)，P(x，x22x1)PHAB，PHNAHM90.AMMN，MAHAHM90，MAHPHN.AMHPNH90，AMHHNP.MAy軸，MAHOBA，OBANHP，整理得dx2x，當(dāng)x時(shí)，d最小，即

13、P(，)(3)如圖，作點(diǎn)C關(guān)于直線x1的對(duì)稱點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作CFAB于F，交拋物線的對(duì)稱軸x1于點(diǎn)E，此時(shí)CECF的值最小根據(jù)對(duì)稱性，易知點(diǎn)C(2，1)點(diǎn)C在拋物線上，由(2)得，CF222，即CEEF的最小值為.【變式訓(xùn)練】 3解：(1)平行四邊形ABOC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，得到平行四邊形ABOC，A(0，4)，C(1，0)，A(4，0)，B(1，4)設(shè)拋物線的表達(dá)式為yax2bxc(a0)，又拋物線過(guò)點(diǎn)C，A，A，解得拋物線的表達(dá)式為yx23x4.(2)如圖，連接AA，設(shè)點(diǎn)M的位置如圖所示，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線交AA于點(diǎn)N，連接MA，MA，點(diǎn)M是第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M(x，x23

14、x4)，其中0x4.設(shè)直線AA的表達(dá)式為ykxm，則解得直線AA的表達(dá)式為yx4.MNx軸，點(diǎn)M，N的橫坐標(biāo)相同，點(diǎn)N(x，x4)，MNx23x4(x4)x24x，SAMASAMNSAMN(x0)(x24x)(4x)(x24x)2x28x2(x2)28，當(dāng)x2時(shí)，AMA的面積最大，最大面積是8.當(dāng)x2時(shí)，y223246，即M(2，6)【例3】 (1)當(dāng)x0時(shí)，y3，C(0，3)OC3OB，OB1，B(1，0)，解得拋物線的表達(dá)式為yx22x3.(2)設(shè)直線AB的表達(dá)式為ymxn，則解得直線AB的表達(dá)式為yx1，直線AB與y軸的交點(diǎn)E(0，1)，ECAC2，BAC45，BDOBAC45.點(diǎn)D在y

15、軸上，OBOD1.D點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，1)或(0，1)(3)存在如圖，AB為對(duì)角線時(shí)，易得平行四邊形AM1BN1，M1(0，3)；AB為一邊時(shí)，在平行四邊形ABM2N2中，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是2，點(diǎn)N2的橫坐標(biāo)是1，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是1，由圖形平移前后點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，得點(diǎn)M2的橫坐標(biāo)是2.點(diǎn)M2的縱坐標(biāo)y(2)22(2)35，點(diǎn)M2(2，5)；在平行四邊形ABN3M3中，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是1，點(diǎn)N3的橫坐標(biāo)是1，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是2，由圖形平移前后點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，得點(diǎn)M3的橫坐標(biāo)是4.點(diǎn)M3的縱坐標(biāo)y422435，點(diǎn)M3(4，5)綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0，3)，(2，5)或(4，5)【變式訓(xùn)練】 4解：(1)拋物線

16、的對(duì)稱軸是x2，m22m34，解得m1.A(1，0), B(5，0)把A(1，0)代入拋物線表達(dá)式，得(9n)0，解得n9.m1，n9.(2)假設(shè)點(diǎn)P存在，設(shè)點(diǎn)P(x0，0)(0x05)，當(dāng)點(diǎn)P為PMB的直角頂點(diǎn)時(shí)，CMMP.MPOC，MP(5x0)，CMx0.則(5x0)x0，解得x0.P(，0)當(dāng)點(diǎn)M為PMB的直角頂點(diǎn)時(shí)，則 CMMP.PMBCOB，PM(5x0)，BM(5x0)，CM(5x0).則(5x0)，解得x0.P(，0)綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，0)或(，0)【例4】 (1)將點(diǎn)B(6，0)，C(0，6)代入yx2bxc，得解得拋物線的表達(dá)式為yx22x6.yx22x6

17、(x2)28，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，8)(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)F在x軸上方時(shí)，過(guò)F作FGx軸于G，連接BF.設(shè)F點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，x22x6)，F(xiàn)BABDE，F(xiàn)GBBED90，F(xiàn)BGBDE，.點(diǎn)B(6，0)，點(diǎn)D(2，8)，點(diǎn)E(2，0)，BE4，DE8，OB6，解得x11，x26(舍去)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1，)當(dāng)點(diǎn)F在x軸下方時(shí)，同理可得點(diǎn)F的坐標(biāo)為(3，)綜上可知，滿足條件的點(diǎn)F為(1，)或(3，)(3)設(shè)對(duì)角線MN，PQ交于點(diǎn)O，如圖點(diǎn)M，N關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，且四邊形MPNQ為正方形，點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線對(duì)稱軸上，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2，2n)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2n，n)點(diǎn)M在

18、拋物線yx22x6的圖象上，n(2n)22(2n)6，化簡(jiǎn)得n22n160，解得n11，n21，滿足條件的點(diǎn)Q有兩個(gè)，坐標(biāo)分別為Q1(2，22)或Q2(2，22)【變式訓(xùn)練】 5解：(1)點(diǎn)A(4，0)在拋物線yax2(a3)x3上，016a4(a3)3，解得a.拋物線的表達(dá)式是yx2x3，令x0，得y3，B(0，3)設(shè)直線AB的函數(shù)表達(dá)式是ykxb，則解得故直線AB的函數(shù)表達(dá)式是yx3.(2)由E(m，0)，則N(m，m3)，P(m，m2m3)，PNm23m，AE4m，NEm3，AN.NEANMP，ENAMNP，ENAMNP，.代入整理，得m26m80.解得m2或m4(舍去)(3)如圖，在線

19、段OB上取一點(diǎn)C，使OCOE，連接CE，AC，由(2)知，m2，OEOE2.OB3，.OCOE，.COEEOB，COEEOB，CEEB，EAEBEAECAC，當(dāng)E恰好在AC上時(shí)，EAEB的值最小，最小值為.6解：(1)二次函數(shù)yax2bxc的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，0)，B(4，0)，C(2，3)，解得故這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為yx2x2.(2)設(shè)BC所在直線的表達(dá)式為ykxn，把B(4，0)，C(2，3)代入，得解得則直線BC的表達(dá)式為yx2.當(dāng)x0時(shí)，yx22，即D(0，2)在RtOBD中，OD2，BO4，BD2.設(shè)點(diǎn)E(x，x2x2)，點(diǎn)G(x0，x02)，EGy軸，x2x2x02，x0x23x

20、8，EGx0xx22x8.EGy軸，EGx軸，EGFDBO.又EFGDOB90，EFGDOB，EFEG，F(xiàn)GEG.EFG的周長(zhǎng)EFFGEGEGEGEG(1)(x22x8)(1)(x1)29即當(dāng)x1時(shí)，EFG的周長(zhǎng)最大，最大值是9.(3)假設(shè)存在點(diǎn)E，使EDB是以BD為直角邊的直角三角形連接AD，則AD.由(2)知，AB5，BD2.AD2BD2AB2，ABD是以BD為直角邊的直角三角形設(shè)直線AD的表達(dá)式為ymxp，代入點(diǎn)A，D坐標(biāo)，得解得故直線AD的表達(dá)式為y2x2.聯(lián)立解得或當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1，0)或(8，18)時(shí)，EDB是以BD為直角邊的直角三角形當(dāng)直線AD向上平移q個(gè)單位，使y2x2q恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，則0242q，解得q10，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B且恰好與BD垂直的直線表達(dá)式為y2x8.聯(lián)立解得或當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(3，2)時(shí)，EDB是以BD為直角邊的直角三角形；當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(4，0)時(shí)，與點(diǎn)B重合，不能構(gòu)成三角形，故舍去綜上所述，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1，0)或(8，18)或(3，2)時(shí)，EDB是以BD為直角邊的直角三角形13