2020年中考數(shù)學二輪復習 重難題型突破 類型六 二次函數(shù)與三角形相似問題

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1、類型六 二次函數(shù)與三角形相似問題例1、如圖1,已知拋物線的頂點為A(2,1),且經(jīng)過原點O,與x軸的另一個交點為B。求拋物線的解析式;(用頂點式求得拋物線的解析式為)若點C在拋物線的對稱軸上,點D在拋物線上,且以O、C、D、B四點為頂點的四邊形為平行四邊形,求D點的坐標;連接OA、AB,如圖2,在x軸下方的拋物線上是否存在點P,使得OBP與OAB相似?若存在,求出P點的坐標;若不存在,說明理由。例1題圖圖1圖2【答案】解:由題意可設拋物線的解析式為拋物線過原點,.圖1拋物線的解析式為,即 如圖1,當OB為邊即四邊形OCDB是平行四邊形時,CDOB,由得,B(4,0),OB4.D點的橫坐標為6

2、將x6代入,得y3,D(6,3); 根據(jù)拋物線的對稱性可知,在對稱軸的左側拋物線上存在點D,使得四邊形ODCB是平行四邊形,此時D點的坐標為(2,3), 當OB為對角線即四邊形OCBD是平行四邊形時,D點即為A點,此時D點的坐標為(2,1)如圖2,由拋物線的對稱性可知:AOAB,AOBABO.若BOP與AOB相似,必須有POBBOABPO 圖2設OP交拋物線的對稱軸于A點,顯然A(2,1)直線OP的解析式為 由,得.P(6,3)過P作PEx軸,在RtBEP中,BE2,PE3,PB4.PBOB,BOPBPO,PBO與BAO不相似, 同理可說明在對稱軸左邊的拋物線上也不存在符合條件的P點.所以在該

3、拋物線上不存在點P,使得BOP與AOB相似. 例2、已知拋物線經(jīng)過及原點(1)求拋物線的解析式(由一般式得拋物線的解析式為)(2)過點作平行于軸的直線交軸于點,在拋物線對稱軸右側且位于直線下方的拋物線上,任取一點,過點作直線平行于軸交軸于點,交直線于點,直線與直線及兩坐標軸圍成矩形是否存在點,使得與相似?若存在,求出點的坐標;若不存在,說明理由(3)如果符合(2)中的點在軸的上方,連結,矩形內(nèi)的四個三角形之間存在怎樣的關系?為什么?【答案】解:(1)由已知可得: 解之得,因而得,拋物線的解析式為:(2)存在設點的坐標為,則,要使,則有,即解之得,當時,即為點,所以得要使,則有,即解之得,當時,

4、即為點,當時,所以得故存在兩個點使得與相似點的坐標為(3)在中,因為所以當點的坐標為時,所以因此,都是直角三角形又在中,因為所以即有所以,又因為,所以例3、如圖,四邊形OABC是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片,點A在x軸上,點C在y軸上,將邊BC折疊,使點B落在邊OA的點D處。已知折疊,且。(1)判斷與是否相似?請說明理由;(2)求直線CE與x軸交點P的坐標;(3)是否存在過點D的直線l,使直線l、直線CE與x軸所圍成的三角形和直線l、直線CE與y軸所圍成的三角形相似?如果存在,請直接寫出其解析式并畫出相應的直線;如果不存在,請說明理由。OxyCBE【答案】解:(1)與相似。Oxy圖1CB

5、ED312A理由如下:由折疊知,又,。(2),設AE=3t,則AD=4t。圖2OxyCBEDPMGlNAF由勾股定理得DE=5t。由(1),得,。在中,解得t=1。OC=8,AE=3,點C的坐標為(0,8),點E的坐標為(10,3),設直線CE的解析式為y=kx+b,解得,則點P的坐標為(16,0)。(3)滿足條件的直線l有2條:y=2x+12,y=2x12。如圖2:準確畫出兩條直線。例4、在平面直角坐標系中,已知二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(點在點的左邊),與軸交于點,其頂點的橫坐標為1,且過點和(1)求此二次函數(shù)的表達式;(由一般式得拋物線的解析式為)(2)若直線與線段交于點(不與點重合),

6、則是否存在這樣的直線,使得以為頂點的三角形與相似?若存在,求出該直線的函數(shù)表達式及點的坐標;若不存在,請說明理由;(3)若點是位于該二次函數(shù)對稱軸右邊圖象上不與頂點重合的任意一點,試比較銳角與的大?。ú槐刈C明),并寫出此時點的橫坐標的取值范圍yCxBAO【答案】解:(1)二次函數(shù)圖象頂點的橫坐標為1,且過點和,由解得此二次函數(shù)的表達式為(2)假設存在直線與線段交于點(不與點重合),使得以為頂點的三角形與相似在中,令,則由,解得令,得設過點的直線交于點,過點作軸于點點的坐標為,點的坐標為,點的坐標為yxBEAOCD要使或,已有,則只需,或成立若是,則有而在中,由勾股定理,得解得(負值舍去)點的坐

7、標為將點的坐標代入中,求得滿足條件的直線的函數(shù)表達式為或求出直線的函數(shù)表達式為,則與直線平行的直線的函數(shù)表達式為此時易知,再求出直線的函數(shù)表達式為聯(lián)立求得點的坐標為若是,則有而在中,由勾股定理,得解得(負值舍去)點的坐標為將點的坐標代入中,求得滿足條件的直線的函數(shù)表達式為存在直線或與線段交于點(不與點重合),使得以為頂點的三角形與相似,且點的坐標分別為或(3)設過點的直線與該二次函數(shù)的圖象交于點將點的坐標代入中,求得此直線的函數(shù)表達式為設點的坐標為,并代入,得解得(不合題意,舍去)xBEAOCP點的坐標為此時,銳角又二次函數(shù)的對稱軸為,點關于對稱軸對稱的點的坐標為當時,銳角;當時,銳角;當時,

8、銳角例5 、如圖所示,已知拋物線與軸交于A、B兩點,與軸交于點C(1)求A、B、C三點的坐標(2)過點A作APCB交拋物線于點P,求四邊形ACBP的面積(3)在軸上方的拋物線上是否存在一點M,過M作MG軸于點G,使以A、M、G三點為頂點的三角形與PCA相似若存在,請求出M點的坐標;否則,請說明理由CBAPy【答案】圖1CPByA解:(1)令,得 解得令,得 A B C (2)OA=OB=OC= BAC=ACO=BCO=APCB, PAB=過點P作PE軸于E,則APE為等腰直角三角形令OE=,則PE= P點P在拋物線上 解得,(不合題意,舍去)PE=四邊形ACBP的面積=ABOC+ABPE=(3

9、) 假設存在PAB=BAC = PAACMG軸于點G, MGA=PAC =在RtAOC中,OA=OC= AC=在RtPAE中,AE=PE= AP= 設M點的橫坐標為,則M 點M在軸左側時,則GM圖2CByPA() 當AMG PCA時,有=AG=,MG=即 解得(舍去) (舍去)() 當MAG PCA時有=即 解得:(舍去) GM圖3CByPAM 點M在軸右側時,則 () 當AMG PCA時有=AG=,MG= 解得(舍去) M () 當MAGPCA時有= 即 解得:(舍去) M存在點M,使以A、M、G三點為頂點的三角形與PCA相似M點的坐標為,例6、已知:如圖,在平面直角坐標系中,是直角三角形,點的坐標分別為,(1)求過點的直線的函數(shù)表達式;點,(2)在軸上找一點,連接,使得與相似(不包括全等),并求點的坐標;(3)在(2)的條件下,如分別是和上的動點,連接,設,問是否存在這樣的使得與相似,如存在,請求出的值;如不存在,請說明理由ACOBxy【答案】解:(1)點,點坐標為設過點的直線的函數(shù)表達式為,由 得,圖1直線的函數(shù)表達式為(2)如圖1,過點作,交軸于點,在和中, ,點為所求又,(3)這樣的存在在中,由勾股定理得如圖1,當時,圖2則,解得如圖2,當時,則,解得11

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