2015年中學(xué)考試數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 全等與相似 含問題詳解整理

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1、word 專題 全等與相似 一 1．〔2012年，〕如圖，△ABC，AB＝AC＝1，∠A＝36°，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，如此AD的長(zhǎng)是______，cosA的值是______________．(結(jié)果保存根號(hào)) 考點(diǎn)：黃金分割；相似三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義． A B C D 分析：可以證明△ABC∽△BDC，設(shè)AD＝x，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，即可列出方程，求得x的值；過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，如此E為AB中點(diǎn)，由余弦定義可求出cosA的值． 2．〔2012年，〕(12分)如圖，在△ABC中，∠BAC＝90

2、°，AB＝AC＝6，D為BC的中點(diǎn)． (1)假如E、F分別是AB、AC上的點(diǎn)，且AE＝CF，求證：△AED≌△CFD； (2)當(dāng)點(diǎn)F、E分別從C、A兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿CA、AB運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)A、B時(shí)停止；設(shè)△DEF的面積為y，F(xiàn)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x，求y與x的函數(shù)關(guān)系式； (3)在(2)的條件下，點(diǎn)F、E分別沿CA、AB的延長(zhǎng)線繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，求此時(shí)y與x的函數(shù)關(guān)系式． 二. 1. 〔2012，22，12分〕如圖1，在△ABC中，D、E、F分別為三邊的中點(diǎn)，G點(diǎn)在邊AB上，△BDG與四邊形ACDG的周長(zhǎng)相等，設(shè)BC=a、AC=b、AB=c. 〔1〕求線段BG的長(zhǎng)

3、； 解： 〔2〕求證：DG平分∠EDF; 證： 〔3〕連接CG，如圖2，假如△BDG與△DFG相似，求證：BG⊥CG. 證： 2．〔2012〕如圖，E、F是四邊形ABCD的對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，AE∥CF，AE=CF，BE=DF．求證：△ADE≌△CBF． 3．〔2012年，〕 如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以acm/s(a＞0)的速度沿BA勻速向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q同時(shí)以1cm/s的速度從點(diǎn)D出發(fā)，沿DB勻速向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)它們運(yùn)

4、動(dòng)的時(shí)間為ts． (1)假如a＝2，△BPQ∽△BDA，求t的值； (2)設(shè)點(diǎn)M在AC上，四邊形PQCM為平行四邊形． ①假如a＝，求PQ的長(zhǎng)； ②是否存在實(shí)數(shù)a，使得點(diǎn)P在∠ACB的平分線上？假如存在，請(qǐng)求出a的值；假如不存在，請(qǐng)說明理由． 4．〔2012〕如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上，且BE=CF．求證：∠BAE=∠CDF． 5．〔2012?資陽〕〔1〕如圖〔1〕，正方形AEGH的頂點(diǎn)E、H在正方形ABCD的邊上，直接寫出HD：GC：EB的結(jié)果〔不必寫計(jì)算過程〕；

5、 〔2〕將圖〔1〕中的正方形AEGH繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖〔2〕，求HD：GC：EB； 〔3〕把圖〔2〕中的正方形都換成矩形，如圖〔3〕，且DA：AB=HA：AE=m：n，此時(shí)HD：GC：EB的值與〔2〕小題的結(jié)果相比有變化嗎？如果有變化，直接寫出變化后的結(jié)果〔不必寫計(jì)算過程〕． 6．〔2012年，〕〔12分〕如圖，△是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形， 是邊上一動(dòng)點(diǎn)，由向運(yùn)動(dòng)〔與、不重 合〕，是延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，與點(diǎn)同時(shí)以一樣 的速度由向延長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)〔不與重 合〕，過作⊥于，連接交于. 〔1〕當(dāng)∠時(shí)，求的長(zhǎng)； 〔2〕在運(yùn)動(dòng)過程中線段的長(zhǎng)是否發(fā)生變化？

6、如果不變，求出線段的長(zhǎng)；如果發(fā)生改 變，請(qǐng)說明理由． 7．〔2012年，〕 如圖，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，分別以為直角頂點(diǎn)的均是等腰直角三角形，且在的同側(cè)． 〔1〕的數(shù)量關(guān)系為___________， 的位置關(guān)系為___________； 〔2〕在圖中，以點(diǎn)為位似中心，作與位似，點(diǎn)是所在直線上的一點(diǎn)，連接，分別得到了圖和圖； ①在圖中，點(diǎn)在上，的相似比是，是的中點(diǎn).求證： ②在圖中，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，的相似比是，假如，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)為多少時(shí)，恰好使得〔用含的代數(shù)式表示〕． 8、〔2012年，〕〔10分〕類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到

7、一般等思想方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中經(jīng)常用到，如下是一個(gè)案例，請(qǐng)補(bǔ)充完整. 原題：如圖1，在中，點(diǎn)E是BC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)F是線段AE上一點(diǎn)，BF的延長(zhǎng)線交射線CD于點(diǎn)G，假如，求的值。 〔1〕嘗試探究 在圖1中，過點(diǎn)E作交BG于點(diǎn)H，如此AB和EH的數(shù)量關(guān)系是，CG和EH的數(shù)量關(guān)系是，的值是 〔2〕類比延伸 如圖2，在原題的條件下，假如如此的值是〔用含的代數(shù)式表示〕，試寫出解答過程。 〔3〕拓展遷移 如圖3，梯形ABCD中，DC∥AB，點(diǎn)E是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AE和BD相交于點(diǎn)F，假如，如此的值是〔用含的代數(shù)式表示〕. 9.

8、〔2012年，〕〔本小題7分〕 如圖，在△AEC和△DFB中，∠E=∠F，點(diǎn)A，B，C，D在同一直線上，有如下三個(gè)關(guān)系式：①AE∥DF，②AB=CD，③CE=BF。 〔1〕請(qǐng)用其中兩個(gè)關(guān)系式作為條件，另一個(gè)作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的所有命題〔用序號(hào)寫出命題書寫形式：“如果，，那么〞〕； 〔2〕選擇〔1〕中你寫出的一個(gè)命題，說明它正確的理由。 答案：一 1.解答：解：∵△ABC，AB＝AC＝1，∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠ACB＝＝72°

9、． ∵BD是∠ABC的平分線， ∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝36°． ∴∠A＝∠DBC＝36°， 又∵∠C＝∠C， ∴△ABC∽△BDC， A B C D E ∴＝， 設(shè)AD＝x，如此BD＝BC＝x．如此＝， 解得：x＝(舍去)或． 故x＝ ． 如右圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E， ∵AD＝BD， ∴E為AB中點(diǎn)，即AE＝AB＝． 在Rt△AED中，cosA＝＝＝． 故答案是：；． 點(diǎn)評(píng)：△ABC、△BCD均為黃金三角形，利用相似關(guān)系可以求出線段之間的數(shù)量關(guān)系；在求cosA時(shí)，注意構(gòu)造直角三角形，從而可以利用三角函數(shù)定義求解． 2． (1)證明:

10、∵∠BAC＝90° AB＝AC＝6,D為BC中點(diǎn) ∴∠BAD＝∠DAC＝∠B＝∠C＝45° 1分 ∴AD＝BD＝DC 2分． ∵AE＝CF ∴△AED≌△CFD 3分 第26題圖1 (2)依題意有:FC＝AE＝ 4分 ∵△AED≌△CFD ∴ 5分 ＝S△ADC＝9 6分 ∴ ∴7分 (3) 依題意有：AF＝BE＝－6，AD＝DB，∠ABD＝∠DAC＝45° ∴∠DAF＝∠DBE＝135° 8分 ∴△ADF≌△BDE9分 ∴ 10分 ∴ 11分 ∴ 12分 二.1.解析：三角形三邊中點(diǎn)連線

11、，利用三角形中位線性質(zhì)計(jì)算證明.〔1〕△ABC的邊長(zhǎng)，由三角形中位線性質(zhì)知，根據(jù)△BDG與四邊形ACDG周長(zhǎng)相等，可得.〔2〕由〔1〕的結(jié)論，利用等腰三角形性質(zhì)和平行線性質(zhì)可證. 〔3〕利用兩個(gè)三角形相似，對(duì)應(yīng)角相等，從而等角對(duì)等邊，BD=DG=CD，即可證明. 解〔1〕∵D、C、F分別是△ABC三邊中點(diǎn) ∴DE∥AB,DF∥AC， 又∵△BDG與四邊形ACDG周長(zhǎng)相等 即BD+DG+BG=AC+CD+DG+AG ∴BG=AC+AG ∵BG=AB－AG ∴BG== 〔2〕證明：BG=，F(xiàn)G=BG－BF=－ ∴FG=DF,∴∠FDG=∠FGD 又∵DE∥AB ∴∠EDG=∠

12、FGD ∠FDG=∠EDG ∴DG平分∠EDF 〔3〕在△DFG中，∠FDG=∠FGD, △DFG是等腰三角形, ∵△BDG與△DFG相似,∴△BDG是等腰三角形, ∴∠B=∠BGD,∴BD=DG, 如此CD= BD=DG,∴B、CG、三點(diǎn)共圓, ∴∠BGC=90°,∴BG⊥CG 點(diǎn)評(píng)：這是一道幾何綜合題，在計(jì)算證明時(shí)，根據(jù)題中條件，結(jié)合圖形性質(zhì)來完成.后面的問題可以結(jié)合前面問題來做. 考點(diǎn)：全等三角形的判定。 解答：證明：∵AE∥CF ∴∠AED=∠CFB，…〔3分〕 ∵DF=BE， ∴DF+EF=BE+EF， 即DE=BF，…〔6分〕 在△ADE和△CBF中

13、， ，…〔9分〕 ∴△ADE≌△CBF〔SAS〕…〔10分〕． 2.〔2012年，〕〔本小題總分為7分〕如圖〔8〕，在平行四邊形中，. 求證：. 【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；平行線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】證明題． A B C D E F 圖〔8〕 【分析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)求出AD∥BC，且AD=BC，推出∠ADE=∠CBF，求出DE=BF，證△ADE≌△CBF，推出∠DAE=∠BCF即可． 【解答】證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形 ∴AD∥BC,且AD=BC ∴∠ADE=∠BCF………………………2分 又∵BE=DF

14、, ∴BF=DE ………………1分 ∴△ADE≌△CBF ………………………2分 ∴∠DAE=∠BCF ………………………………2分 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行四邊形性質(zhì)，平行線性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出證出△ADE和△CBF全等的三個(gè)條件，主要考查學(xué)生的推理能力 3.【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；平行四邊形的性質(zhì)． 【專題】幾何綜合題． 【分析】〔1〕由△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=12厘米，D是BC的中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，即可求得BD與CD的長(zhǎng)，又由a=2

15、，△BPQ∽△BDA，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得t的值； 〔2〕①首先過點(diǎn)P作PE⊥BC于E，由四邊形PQCM為平行四邊形，易證得PB=PQ，又由平行線分線段成比例定理，即可得方程5 2 t 10 =1 2 (6-t) 6 ，解此方程即可求得答案； ②首先假設(shè)存在點(diǎn)P在∠ACB的平分線上，由四邊形PQCM為平行四邊形，可得四邊形PQCM是菱形，即可得PB=CQ，PM：BC=AP：PB，與可得方程組，解此方程組求得t值為負(fù)，故可得不存在． 【解答】解：〔1〕△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，D是BC的中點(diǎn)， ∴BD=CD=1 2 BC=6cm， ∵a=2，

16、 ∴BP=2tcm，DQ=tcm， ∴BQ=BD-QD=6-t〔cm〕， ∵△BPQ∽△BDA， ∴BP BD =BQ AB ， 即2t 6 =6-t 10 ， 解得：t=18 13 ； 〔2〕①過點(diǎn)P作PE⊥BC于E， ∵四邊形PQCM為平行四邊形， ∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM， ∴PB：AB=CM：AC， ∵AB=AC， ∴PB=CM， ∴PB=PQ， ∴BE=1 2 BQ=1 2 〔6-t〕cm， ∵a=5 2 ， ∴PB=5 2 tcm， ∵AD⊥BC， ∴PE∥AD， ∴PB：AB=BE：BD， 即5 2 t 10 =1 2 (6-t)

17、 6 ， 解得：t=3 2 ， ∴PQ=PB=5 2 t=15 4 〔cm〕； ②不存在．理由如下： ∵四邊形PQCM為平行四邊形， ∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM， ∴PB：AB=CM：AC， ∵AB=AC，∴PB=CM，∴PB=PQ． 假如點(diǎn)P在∠ACB的平分線上，如此∠PCQ=∠PCM， ∵PM∥CQ， ∴∠PCQ=∠CPM， ∴∠CPM=∠PCM， ∴PM=CM， ∴四邊形PQCM是菱形， ∴PQ=CQ， ∴PB=CQ， ∵PB=atcm，CQ=BD+QD=6+t〔cm〕， ∴PM=CQ=6+t〔cm〕，AP=AB-PB=10-at〔cm〕，

18、即at=6+t①， ∵PM∥CQ， ∴PM：BC=AP：AB， ∴6+t 12 =10-at 10 ， 化簡(jiǎn)得：6at+5t=30②， 把①代入②得，t=-6 11 ， ∴不存在實(shí)數(shù)a，使得點(diǎn)P在∠ACB的平分線上． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)以與等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)．此題難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用． 4.考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)。 專題：證明題。 分析：首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB=DC，AB∥DC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠B=∠DCF，即可證明△ABE≌△DCF，再根據(jù)全等三角

19、形性質(zhì)可得到結(jié)論． 解答：證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB=DC，AB∥DC， ∴∠B=∠DCF， 在△ABE和△DCF中，， ∴△ABE≌△DCF〔SAS〕， ∴∠BAE=∠CDF． 點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是找到證明△ABE≌△DCF的條件． 5. 考點(diǎn)： 相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形；正方形的性質(zhì)。 分析： 〔1〕首先連接AG，由正方形AEGH的頂點(diǎn)E、H在正方形ABCD的邊上，易證得∠GAE=∠CAB=45°，AE=AH，AB=AD，即A，G，C共線，繼而可得HD=

20、BE，GC=BE，即可求得HD：GC：EB的值； 〔2〕連接AG、AC，由△ADC和△AHG都是等腰直角三角形，易證得△DAH∽△CAG與△DAH≌△BAE，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例與正方形的性質(zhì)，即可求得HD：GC：EB的值； 〔3〕由矩形AEGH的頂點(diǎn)E、H在矩形ABCD的邊上，由DA：AB=HA：AE=m：n，易證得△ADC∽△AHG，△DAH∽△CAG，△ADH∽△ABE，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例與勾股定理即可求得HD：GC：EB的值． 解答： 解：〔1〕連接AG， ∵正方形AEGH的頂點(diǎn)E、H在正方形ABCD的邊上， ∴∠GAE=∠CAB=45°，AE=AH，AB

21、=AD， ∴A，G，C共線，AB﹣AE=AD﹣AH， ∴HD=BE， ∵AG==AE，AC==AB， ∴GC=AC﹣AG=AB﹣AE=〔AB﹣AE〕=BE， ∴HD：GC：EB=1：：1…〔3分〕 〔2〕連接AG、AC， ∵△ADC和△AHG都是等腰直角三角形， ∴AD：AC=AH：AG=1：，∠DAC=∠HAG=45°， ∴∠DAH=∠CAG，…〔4分〕 ∴△DAH∽△CAG， ∴HD：GC=AD：AC=1：，…〔5分〕 ∵∠DAB=∠HAE=90°， ∴∠DAH=∠BAE， 在△DAH和△BAE中， ， ∴△DAH≌△BAE〔SAS〕， ∴HD=EB，

22、 ∴HD：GC：EB=1：：1；…〔6分〕 〔3〕有變化， 連接AG、AC， ∵矩形AEGH的頂點(diǎn)E、H在矩形ABCD的邊上，DA：AB=HA：AE=m：n， ∴∠ADC=∠AHG=90°， ∴△ADC∽△AHG， ∴AD：AC=AH：AG=m：，∠DAC=∠HAG， ∴∠DAH=∠CAG，…〔4分〕 ∴△DAH∽△CAG， ∴HD：GC=AD：AC=m：，…〔5分〕 ∵∠DAB=∠HAE=90°， ∴∠DAH=∠BAE， ∵DA：AB=HA：AE=m：n， ∴△ADH∽△ABE， ∴DH：BE=AD：AB=m：n， ∴HD：GC：EB=m：：n．…〔8分〕

23、 6．解: (1)(6分)解法一：過P作PE∥QC 如此△是等邊三角形， ∵P、Q同時(shí)出發(fā)、速度一樣，即BQ=AP ∴BQ=PF ∴△≌△, ∴BD=DF ∵∠∠=∠=∠=, ∴BD=DF=FA=AB==2, ∴AP=2. 解法二： ∵P、Q同時(shí)同速出發(fā)，∴AQ=BQ 設(shè)AP=BQ=，如此PC=6-，QC=6+ 在Rt△QCP中，∠CQP=,∠C=∴∠CQP= ∴QC=2PC,即6+=2〔6-〕 ∴=2 ∴AP=2 〔2〕由〔1〕知BD=DF 而△APF是等邊三角形，PE⊥AF, ∵AE=EF

24、 又DE+(BD+AE)=AB=6, ∴DE+(DF+EF)=6， 即DE+DE=6 ∵DE=3為定值，即 DE的長(zhǎng)不變 7．解：〔1〕． 2分 〔2〕①證明：由題意， 位似且相似比是， . . 5分 又. . 7分 ②的長(zhǎng)為. 8、〔1〕 (2) 作EH∥AB交BG于點(diǎn)H，如此 ∴ ∵AB=CD，∴ EH∥AB∥CD，∴ ∴，∴CG=2EH ∴ 〔3〕 【提示】過點(diǎn)E作EH∥AB交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H。 9. 〔1〕命題1：如果①，②，那么③； 命題2：如果①，③，那么②。 〔2〕命題1的證明： ∵①AE∥DF， ∴∠A=∠D， ∵②AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即AC=DB， 在△AEC和△DFB中， ∵∠E=∠F，∠A=∠D，AC=DB， ∴△AEC≌△DFB〔AAS〕， ∴CE=BF③〔全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等〕； 命題2的證明： ∵①AE∥DF， ∴∠A=∠D， ∵②AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即AC=DB， 在△AEC和△DFB中， ∵∠E=∠F，∠A=∠D，③CE=BF ， ∴△AEC≌△DFB〔AAS〕， ∴AC=DB〔全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等〕，如此AC-BC=DB-BC，即AB=CD②。 注：命題“如果②，③，那么①〞是假命題。 12 / 12