高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理章末復(fù)習(xí)課課件 蘇教版選修23

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1、章末復(fù)習(xí)課第1章計(jì)數(shù)原理學(xué)習(xí)目標(biāo)1.歸納整理本章的知識(shí)要點(diǎn).2.能結(jié)合具體問題的特征，合理選擇兩個(gè)計(jì)數(shù)原理來(lái)分析和解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.3.理解排列、組合的概念，能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)和組合數(shù)公式，掌握組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)，并能用它們解決實(shí)際問題.4.掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)展開式的性質(zhì)，并能應(yīng)用它們解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的計(jì)算和證明問題題型探究知識(shí)梳理內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練知識(shí)梳理知識(shí)梳理1.分類計(jì)數(shù)原理完成一件事有n類不同的方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，在第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N 種不同的方法.2.分步計(jì)數(shù)原理完成一件事需要n個(gè)步

2、驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事有N 種不同的方法.m1m2mnm1m2mn 排列與排列數(shù)組合與組合數(shù)公式排列數(shù)公式 n(n1)(n2) _組合數(shù)公式 3.排列數(shù)與組合數(shù)公式及性質(zhì)(nm1)性質(zhì)當(dāng)mn時(shí)， 為全排列； n??；0！_備注n，mN*，且mn1 ； 4.二項(xiàng)式定理(1)二項(xiàng)式定理的內(nèi)容：(ab)n .(2)通項(xiàng)公式：(3)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：與首末兩端等距離的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等；題型探究題型探究命題角度命題角度1分類討論思想分類討論思想例例1車間有11名工人，其中5名男工是鉗工，4名女工是車工，另外兩名老師傅既能當(dāng)車

3、工又能當(dāng)鉗工，現(xiàn)在要在這11名工人里選派4名鉗工，4名車工修理一臺(tái)機(jī)床，則有多少種選派方法？解答類型一數(shù)學(xué)思想方法在求解計(jì)數(shù)問題中的應(yīng)用解解方法一設(shè)A，B代表2位老師傅.所以共有7510010185(種).所以共有3512030185(種).解含有約束條件的排列、組合問題，應(yīng)按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，分類時(shí)需要滿足兩個(gè)條件：(1)類與類之間要互斥(保證不重復(fù)).(2)總數(shù)要完備(保證不遺漏).反思與感悟解析解析1與3是特殊元素，以此為分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類.跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練1從1,2,3,4,5,6這6個(gè)數(shù)字中，任取3個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中若有1和3時(shí)，3必須排在1的前面；若只有1和3中的一

4、個(gè)時(shí)，它應(yīng)排在其他數(shù)字的前面，這樣不同的三位數(shù)共有_個(gè).(用數(shù)字作答)答案解析60同時(shí)有1和3時(shí)，把3排在1的前面，所以滿足條件的三位數(shù)共有解析解析若從正面考慮，需分當(dāng)a39時(shí)，a2可以取8,7,6,5,4,3，共6類；當(dāng)a38時(shí)，a2可以取7,6,5,4,3,2，共6類；分類較多，而其對(duì)立面a3a26包含的情況較少，當(dāng)a39時(shí)，a2取2，a1取1一種情況，利用正難則反思想解決.集合S的含有三個(gè)元素的子集的個(gè)數(shù)為 84.在這些含有三個(gè)元素的子集中能滿足a1a26的集合只有1,2,9，故滿足題意的集合A的個(gè)數(shù)為84183.命題角度命題角度2“正難則反正難則反”思想思想例例2設(shè)集合S1,2,3,4

5、,5,6,7,8,9，集合Aa1，a2，a3是S的子集，且a1，a2，a3滿足a1a2a3，a3a26，那么滿足條件的集合A的個(gè)數(shù)為_.83答案解析對(duì)于正面處理較復(fù)雜或不易求解的問題，常常從問題的對(duì)立面去思考.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練2由甲、乙、丙、丁4名學(xué)生參加數(shù)學(xué)、寫作、英語(yǔ)三科競(jìng)賽，每科至少1人(且每人僅報(bào)一科)，若學(xué)生甲、乙不能同時(shí)參加同一競(jìng)賽，則不同的參賽方案共有_種.答案解析30不同的參賽方案共有36630(種).例例3在高三一班元旦晚會(huì)上，有6個(gè)演唱節(jié)目，4個(gè)舞蹈節(jié)目.(1)當(dāng)4個(gè)舞蹈節(jié)目要排在一起時(shí)，有多少種不同的節(jié)目安排順序？解解第一步先將4個(gè)舞蹈節(jié)目捆綁起來(lái)，看成1個(gè)節(jié)目

6、，與6個(gè)演唱節(jié)目一起排，有 5 040(種)方法；第二步再松綁，給4個(gè)節(jié)目排序，有 24(種)方法.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，一共有5 04024120 960(種)安排順序.類型二排列與組合的綜合應(yīng)用解答(2)當(dāng)要求每2個(gè)舞蹈節(jié)目之間至少安排1個(gè)演唱節(jié)目時(shí)，有多少種不同的節(jié)目安排順序？解解第一步將6個(gè)演唱節(jié)目排成一列(如下圖中的“”)，一共有 720(種)方法.第二步再將4個(gè)舞蹈節(jié)目排在一頭一尾或兩個(gè)演唱節(jié)目中間，這樣相當(dāng)于7個(gè)“”選4個(gè)來(lái)排，一共有 840(種)方法.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，一共有720840 604 800(種)安排順序.解答(3)若已定好節(jié)目單，后來(lái)情況有變，需加上詩(shī)朗誦和快板2個(gè)節(jié)

7、目，但不能改變?cè)瓉?lái)節(jié)目的相對(duì)順序，有多少種不同的節(jié)目演出順序？解解若所有節(jié)目沒有順序要求，全部排列，則有 種排法，但原來(lái)的節(jié)目已定好順序，需要消除，所以節(jié)目演出的方式有 132(種)排列.解答排列與組合的綜合問題，首先要分清何時(shí)為排列，何時(shí)為組合.對(duì)含有特殊元素的排列、組合問題，一般先進(jìn)行組合，再進(jìn)行排列.對(duì)特殊元素的位置有要求時(shí)，在組合選取時(shí)，就要進(jìn)行分類討論，分類的原則是不重、不漏.在用間接法計(jì)數(shù)時(shí)，要注意考慮全面，排除干凈.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練3設(shè)集合A(x1，x2，x3，x4，x5)|xi1,0,1，i1,2,3,4,5，那么集合A中滿足條件“1|x1|x2|x3|x4|x5|3

8、”的元素個(gè)數(shù)為_.答案解析130解析解析由“1|x1|x2|x3|x4|x5|3”考慮x1，x2，x3，x4，x5的可能取值，設(shè)集合M0，N1,1.命題角度命題角度1二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題例例4已知在 的展開式中，第5項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)之比是563.(1)求展開式中的所有有理項(xiàng)；類型三二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用解答33于是有理項(xiàng)為T1x5和T713 440.(2)求展開式中系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)；解答解解設(shè)第r1項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值最大，則所以r7，當(dāng)r7時(shí)，T815 360 ，又因?yàn)楫?dāng)r0時(shí)，T1x5，當(dāng)r10時(shí)，T11(2)10 1 024 ，所以系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)為T815 3

9、60 .56x103x103x56x解答(1)確定二項(xiàng)式中的有關(guān)元素：一般是根據(jù)已知條件，列出等式，從而可解得所要求的二項(xiàng)式中的有關(guān)元素.(2)確定二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)：先寫出其通項(xiàng)公式，令未知數(shù)的指數(shù)為零，從而確定項(xiàng)數(shù)，然后代入通項(xiàng)公式，即可確定常數(shù)項(xiàng).(3)求二項(xiàng)展開式中條件項(xiàng)的系數(shù)：先寫出其通項(xiàng)公式，再由條件確定項(xiàng)數(shù)，然后代入通項(xiàng)公式求出此項(xiàng)的系數(shù).(4)求二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和差：賦值代入.(5)確定二項(xiàng)展開式中的系數(shù)最大或最小項(xiàng)：利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).反思與感悟跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練4已知二項(xiàng)式 展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和是各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和的16倍.(1)求n；解答解解令x1，得二項(xiàng)式 展開

10、式中各項(xiàng)系數(shù)之和為(51)n4n，各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n，由題意得，4n162n，所以2n16，n4.(2)求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；解答342,rx展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第3項(xiàng)(3)求展開式中所有x的有理項(xiàng).解答命題角度命題角度2二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)展開式的“賦值賦值”問題問題例例5若(x23x2)5a0a1xa2x2a10 x10.(1)求a2；解答解解(x23x2)5(x1)5(x2)5，a2是展開式中x2的系數(shù)，(2)求a1a2a10；解答解解令x1，代入已知式，可得a0a1a2a100，而令x0，得a032，a1a2a1032.(3)求(a0a2a4a10)2(a1a3a7a

11、9)2.解答解解令x1，可得(a0a2a4a10)(a1a3a7a9)65，再由(a0a2a4a10)(a1a3a7a9)0，把這兩個(gè)等式相乘可得，(a0a2a4a10)2(a1a3a7a9)26500.與二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān)，包括求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)、各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)或系數(shù)的和、奇數(shù)項(xiàng)或者偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)或系數(shù)的和以及各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值的和，主要方法是賦值法，通過(guò)觀察展開式右邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和所求式子的關(guān)系，確定給字母所賦的值，有時(shí)賦值后得到的式子比所求式子多一項(xiàng)或少一項(xiàng)，此時(shí)要專門求出這一項(xiàng)，而在求奇數(shù)項(xiàng)或者偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)或系數(shù)的和時(shí)，往往要兩次賦值，再由方程組求出結(jié)果.反思與感悟跟蹤訓(xùn)

12、練跟蹤訓(xùn)練5若(x21)(x3)9a0a1(x2)a2(x2)2a3(x2)3a11(x2)11，則a1a2a3a11的值為_.解析解析令x2，得a0(221)(23)95，令x3，則a0a1a2a3a11(321)(33)90，所以a1a2a3a11a05.5答案解析當(dāng)堂訓(xùn)練當(dāng)堂訓(xùn)練1.4名大學(xué)生到三家企業(yè)應(yīng)聘，每名大學(xué)生至多被一家企業(yè)錄用，則每家企業(yè)至少錄用一名大學(xué)生的情況有_種.答案23451解析解析解析分兩類：第一類：有3名被錄用，有 24(種)，第二類，4名都被錄用，則有一家企業(yè)錄用2名，有 36(種).根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得，共有243660(種).602.已知關(guān)于x的二項(xiàng)式 展開式的

13、二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，常數(shù)項(xiàng)為80，則a的值為_.答案23451解析解析解析由條件知，2n32，即n5，2331556rx3.六個(gè)人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有_種.答案23451解析解析解析當(dāng)甲在最左端時(shí)，有 120(種)排法；當(dāng)甲不在最左端時(shí)，乙必須在最左端，且甲也不在最右端，有 42496(種)排法，共計(jì)12096216(種)排法.2164.若(1xx2)6a0a1xa2x2a12x12，則a2a4a12_.答案23451解析解析解析對(duì)(1xx2)6a0a1xa2x2a12x12，令x1得(a0a2a10a12)(a1a3a9a11)36.令x1

14、得(a0a2a10a12)(a1a3a9a11)1.364令x0得a01，234515.航天員擬在太空授課，準(zhǔn)備進(jìn)行標(biāo)號(hào)為0,1,2,3,4,5的六項(xiàng)實(shí)驗(yàn)，向全世界人民普及太空知識(shí)，其中0號(hào)實(shí)驗(yàn)不能放在第一項(xiàng)，最后一項(xiàng)的標(biāo)號(hào)小于它前面相鄰一項(xiàng)的標(biāo)號(hào)，則實(shí)驗(yàn)順序的編排方法種數(shù)為_.(用數(shù)字作答)答案解析解析解析由于0號(hào)實(shí)驗(yàn)不能放在第一項(xiàng)，所以第一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)有5種選擇.因?yàn)樽詈髢身?xiàng)實(shí)驗(yàn)的順序確定，所以共有 300(種)不同的編排方法.300規(guī)律與方法1.排列與組合(1)排列與組合的區(qū)別在于排列是有序的，而組合是無(wú)序的.(2)排列問題通常分為無(wú)限制條件和有限制條件，對(duì)于有限制條件的排列問題，通常從以下兩

15、種途徑考慮：元素分析法：先考慮特殊元素的要求，再考慮其他元素.位置分析法：先考慮特殊位置的要求，再考慮其他位置.(3)排列與組合綜合應(yīng)用是本章內(nèi)容的重點(diǎn)與難點(diǎn)，一般方法是先分組，后分配.2.二項(xiàng)式定理(1)與二項(xiàng)式定理有關(guān)，包括定理的正向應(yīng)用、逆向應(yīng)用，題型如證明整除性、近似計(jì)算、證明一些簡(jiǎn)單的組合恒等式等，此時(shí)主要是要構(gòu)造二項(xiàng)式，合理應(yīng)用展開式.(2)與通項(xiàng)公式有關(guān)，主要是求特定項(xiàng)，比如常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)、x的某次冪等，此時(shí)要特別注意二項(xiàng)展開式中第r1項(xiàng)的通項(xiàng)公式是Tr1 anrbr(r0,1，n)，其中二項(xiàng)式系數(shù)是這是一個(gè)極易錯(cuò)點(diǎn).(3)與二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān)，包括求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)、各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)或系數(shù)的和、奇數(shù)項(xiàng)或者偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)或系數(shù)的和以及各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值的和等主要方法是賦值法.本課結(jié)束