高中數(shù)學 第一章 計數(shù)原理章末復習課課件 蘇教版選修23

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1、章末復習課第1章計數(shù)原理學習目標1.歸納整理本章的知識要點.2.能結(jié)合具體問題的特征，合理選擇兩個計數(shù)原理來分析和解決一些簡單的實際問題.3.理解排列、組合的概念，能利用計數(shù)原理推導排列數(shù)和組合數(shù)公式，掌握組合數(shù)的兩個性質(zhì)，并能用它們解決實際問題.4.掌握二項式定理和二項展開式的性質(zhì)，并能應用它們解決與二項展開式有關的計算和證明問題題型探究知識梳理內(nèi)容索引當堂訓練知識梳理知識梳理1.分類計數(shù)原理完成一件事有n類不同的方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，在第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N 種不同的方法.2.分步計數(shù)原理完成一件事需要n個步

2、驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事有N 種不同的方法.m1m2mnm1m2mn 排列與排列數(shù)組合與組合數(shù)公式排列數(shù)公式 n(n1)(n2) _組合數(shù)公式 3.排列數(shù)與組合數(shù)公式及性質(zhì)(nm1)性質(zhì)當mn時， 為全排列； n！；0！_備注n，mN*，且mn1 ； 4.二項式定理(1)二項式定理的內(nèi)容：(ab)n .(2)通項公式：(3)二項式系數(shù)的性質(zhì)：與首末兩端等距離的兩個二項式系數(shù)相等；題型探究題型探究命題角度命題角度1分類討論思想分類討論思想例例1車間有11名工人，其中5名男工是鉗工，4名女工是車工，另外兩名老師傅既能當車

3、工又能當鉗工，現(xiàn)在要在這11名工人里選派4名鉗工，4名車工修理一臺機床，則有多少種選派方法？解答類型一數(shù)學思想方法在求解計數(shù)問題中的應用解解方法一設A，B代表2位老師傅.所以共有7510010185(種).所以共有3512030185(種).解含有約束條件的排列、組合問題，應按元素的性質(zhì)進行分類，分類時需要滿足兩個條件：(1)類與類之間要互斥(保證不重復).(2)總數(shù)要完備(保證不遺漏).反思與感悟解析解析1與3是特殊元素，以此為分類標準進行分類.跟蹤訓練跟蹤訓練1從1,2,3,4,5,6這6個數(shù)字中，任取3個數(shù)字組成無重復數(shù)字的三位數(shù)，其中若有1和3時，3必須排在1的前面；若只有1和3中的一

4、個時，它應排在其他數(shù)字的前面，這樣不同的三位數(shù)共有_個.(用數(shù)字作答)答案解析60同時有1和3時，把3排在1的前面，所以滿足條件的三位數(shù)共有解析解析若從正面考慮，需分當a39時，a2可以取8,7,6,5,4,3，共6類；當a38時，a2可以取7,6,5,4,3,2，共6類；分類較多，而其對立面a3a26包含的情況較少，當a39時，a2取2，a1取1一種情況，利用正難則反思想解決.集合S的含有三個元素的子集的個數(shù)為 84.在這些含有三個元素的子集中能滿足a1a26的集合只有1,2,9，故滿足題意的集合A的個數(shù)為84183.命題角度命題角度2“正難則反正難則反”思想思想例例2設集合S1,2,3,4

5、,5,6,7,8,9，集合Aa1，a2，a3是S的子集，且a1，a2，a3滿足a1a2a3，a3a26，那么滿足條件的集合A的個數(shù)為_.83答案解析對于正面處理較復雜或不易求解的問題，常常從問題的對立面去思考.反思與感悟跟蹤訓練跟蹤訓練2由甲、乙、丙、丁4名學生參加數(shù)學、寫作、英語三科競賽，每科至少1人(且每人僅報一科)，若學生甲、乙不能同時參加同一競賽，則不同的參賽方案共有_種.答案解析30不同的參賽方案共有36630(種).例例3在高三一班元旦晚會上，有6個演唱節(jié)目，4個舞蹈節(jié)目.(1)當4個舞蹈節(jié)目要排在一起時，有多少種不同的節(jié)目安排順序？解解第一步先將4個舞蹈節(jié)目捆綁起來，看成1個節(jié)目

6、，與6個演唱節(jié)目一起排，有 5 040(種)方法；第二步再松綁，給4個節(jié)目排序，有 24(種)方法.根據(jù)分步計數(shù)原理，一共有5 04024120 960(種)安排順序.類型二排列與組合的綜合應用解答(2)當要求每2個舞蹈節(jié)目之間至少安排1個演唱節(jié)目時，有多少種不同的節(jié)目安排順序？解解第一步將6個演唱節(jié)目排成一列(如下圖中的“”)，一共有 720(種)方法.第二步再將4個舞蹈節(jié)目排在一頭一尾或兩個演唱節(jié)目中間，這樣相當于7個“”選4個來排，一共有 840(種)方法.根據(jù)分步計數(shù)原理，一共有720840 604 800(種)安排順序.解答(3)若已定好節(jié)目單，后來情況有變，需加上詩朗誦和快板2個節(jié)

7、目，但不能改變原來節(jié)目的相對順序，有多少種不同的節(jié)目演出順序？解解若所有節(jié)目沒有順序要求，全部排列，則有 種排法，但原來的節(jié)目已定好順序，需要消除，所以節(jié)目演出的方式有 132(種)排列.解答排列與組合的綜合問題，首先要分清何時為排列，何時為組合.對含有特殊元素的排列、組合問題，一般先進行組合，再進行排列.對特殊元素的位置有要求時，在組合選取時，就要進行分類討論，分類的原則是不重、不漏.在用間接法計數(shù)時，要注意考慮全面，排除干凈.反思與感悟跟蹤訓練跟蹤訓練3設集合A(x1，x2，x3，x4，x5)|xi1,0,1，i1,2,3,4,5，那么集合A中滿足條件“1|x1|x2|x3|x4|x5|3

8、”的元素個數(shù)為_.答案解析130解析解析由“1|x1|x2|x3|x4|x5|3”考慮x1，x2，x3，x4，x5的可能取值，設集合M0，N1,1.命題角度命題角度1二項展開式的特定項問題二項展開式的特定項問題例例4已知在 的展開式中，第5項的系數(shù)與第3項的系數(shù)之比是563.(1)求展開式中的所有有理項；類型三二項式定理及其應用解答33于是有理項為T1x5和T713 440.(2)求展開式中系數(shù)絕對值最大的項；解答解解設第r1項系數(shù)的絕對值最大，則所以r7，當r7時，T815 360 ，又因為當r0時，T1x5，當r10時，T11(2)10 1 024 ，所以系數(shù)的絕對值最大的項為T815 3

9、60 .56x103x103x56x解答(1)確定二項式中的有關元素：一般是根據(jù)已知條件，列出等式，從而可解得所要求的二項式中的有關元素.(2)確定二項展開式中的常數(shù)項：先寫出其通項公式，令未知數(shù)的指數(shù)為零，從而確定項數(shù)，然后代入通項公式，即可確定常數(shù)項.(3)求二項展開式中條件項的系數(shù)：先寫出其通項公式，再由條件確定項數(shù)，然后代入通項公式求出此項的系數(shù).(4)求二項展開式中各項系數(shù)的和差：賦值代入.(5)確定二項展開式中的系數(shù)最大或最小項：利用二項式系數(shù)的性質(zhì).反思與感悟跟蹤訓練跟蹤訓練4已知二項式 展開式中各項系數(shù)之和是各項二項式系數(shù)之和的16倍.(1)求n；解答解解令x1，得二項式 展開

10、式中各項系數(shù)之和為(51)n4n，各項二項式系數(shù)之和為2n，由題意得，4n162n，所以2n16，n4.(2)求展開式中二項式系數(shù)最大的項；解答342,rx展開式中二項式系數(shù)最大的項是第3項(3)求展開式中所有x的有理項.解答命題角度命題角度2二項展開式的二項展開式的“賦值賦值”問題問題例例5若(x23x2)5a0a1xa2x2a10 x10.(1)求a2；解答解解(x23x2)5(x1)5(x2)5，a2是展開式中x2的系數(shù)，(2)求a1a2a10；解答解解令x1，代入已知式，可得a0a1a2a100，而令x0，得a032，a1a2a1032.(3)求(a0a2a4a10)2(a1a3a7a

11、9)2.解答解解令x1，可得(a0a2a4a10)(a1a3a7a9)65，再由(a0a2a4a10)(a1a3a7a9)0，把這兩個等式相乘可得，(a0a2a4a10)2(a1a3a7a9)26500.與二項式系數(shù)有關，包括求展開式中二項式系數(shù)最大的項、各項的二項式系數(shù)或系數(shù)的和、奇數(shù)項或者偶數(shù)項的二項式系數(shù)或系數(shù)的和以及各項系數(shù)的絕對值的和，主要方法是賦值法，通過觀察展開式右邊的結(jié)構特點和所求式子的關系，確定給字母所賦的值，有時賦值后得到的式子比所求式子多一項或少一項，此時要專門求出這一項，而在求奇數(shù)項或者偶數(shù)項的二項式系數(shù)或系數(shù)的和時，往往要兩次賦值，再由方程組求出結(jié)果.反思與感悟跟蹤訓

12、練跟蹤訓練5若(x21)(x3)9a0a1(x2)a2(x2)2a3(x2)3a11(x2)11，則a1a2a3a11的值為_.解析解析令x2，得a0(221)(23)95，令x3，則a0a1a2a3a11(321)(33)90，所以a1a2a3a11a05.5答案解析當堂訓練當堂訓練1.4名大學生到三家企業(yè)應聘，每名大學生至多被一家企業(yè)錄用，則每家企業(yè)至少錄用一名大學生的情況有_種.答案23451解析解析解析分兩類：第一類：有3名被錄用，有 24(種)，第二類，4名都被錄用，則有一家企業(yè)錄用2名，有 36(種).根據(jù)分類計數(shù)原理得，共有243660(種).602.已知關于x的二項式 展開式的

13、二項式系數(shù)之和為32，常數(shù)項為80，則a的值為_.答案23451解析解析解析由條件知，2n32，即n5，2331556rx3.六個人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有_種.答案23451解析解析解析當甲在最左端時，有 120(種)排法；當甲不在最左端時，乙必須在最左端，且甲也不在最右端，有 42496(種)排法，共計12096216(種)排法.2164.若(1xx2)6a0a1xa2x2a12x12，則a2a4a12_.答案23451解析解析解析對(1xx2)6a0a1xa2x2a12x12，令x1得(a0a2a10a12)(a1a3a9a11)36.令x1

14、得(a0a2a10a12)(a1a3a9a11)1.364令x0得a01，234515.航天員擬在太空授課，準備進行標號為0,1,2,3,4,5的六項實驗，向全世界人民普及太空知識，其中0號實驗不能放在第一項，最后一項的標號小于它前面相鄰一項的標號，則實驗順序的編排方法種數(shù)為_.(用數(shù)字作答)答案解析解析解析由于0號實驗不能放在第一項，所以第一項實驗有5種選擇.因為最后兩項實驗的順序確定，所以共有 300(種)不同的編排方法.300規(guī)律與方法1.排列與組合(1)排列與組合的區(qū)別在于排列是有序的，而組合是無序的.(2)排列問題通常分為無限制條件和有限制條件，對于有限制條件的排列問題，通常從以下兩

15、種途徑考慮：元素分析法：先考慮特殊元素的要求，再考慮其他元素.位置分析法：先考慮特殊位置的要求，再考慮其他位置.(3)排列與組合綜合應用是本章內(nèi)容的重點與難點，一般方法是先分組，后分配.2.二項式定理(1)與二項式定理有關，包括定理的正向應用、逆向應用，題型如證明整除性、近似計算、證明一些簡單的組合恒等式等，此時主要是要構造二項式，合理應用展開式.(2)與通項公式有關，主要是求特定項，比如常數(shù)項、有理項、x的某次冪等，此時要特別注意二項展開式中第r1項的通項公式是Tr1 anrbr(r0,1，n)，其中二項式系數(shù)是這是一個極易錯點.(3)與二項式系數(shù)有關，包括求展開式中二項式系數(shù)最大的項、各項的二項式系數(shù)或系數(shù)的和、奇數(shù)項或者偶數(shù)項的二項式系數(shù)或系數(shù)的和以及各項系數(shù)的絕對值的和等主要方法是賦值法.本課結(jié)束