數(shù)學 第一部分 研究 第三章 函數(shù) 第五節(jié) 二次函數(shù)的綜合應用

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1、第三章第三章 函數(shù)函數(shù)第五節(jié)第五節(jié) 二次函數(shù)的綜合應用二次函數(shù)的綜合應用 重難點突破二次函數(shù)綜合題（二次函數(shù)綜合題（難點難點）例 1( (2016銅仁節(jié)選銅仁節(jié)選) )如圖，拋物線如圖，拋物線yax2bx1(a0)經(jīng)過經(jīng)過A(1，0)，B(2，0)兩點，與兩點，與y軸交于點軸交于點C. 類型一類型一 與線段、周長有關的問題與線段、周長有關的問題例例1 1題圖題圖【思維教練【思維教練】已知點已知點A、B的坐標且在拋物線上，的坐標且在拋物線上，將其代入拋物線解析式，求解即可，然后將其解析將其代入拋物線解析式，求解即可，然后將其解析式化為頂點式即可求得頂點坐標式化為頂點式即可求得頂點坐標(1)(1)

2、求拋物線的解析式及頂點求拋物線的解析式及頂點D的坐標；的坐標；解：把解：把A、B兩點坐標代入兩點坐標代入yax2bx1得：得： ，解得，解得 ， 拋物線的解析式為拋物線的解析式為 ，即即 ， .104210abab 1212ab 211122yx2119()228yx19( ,)28D(2)(2)點點P在拋物線的對稱軸上，當在拋物線的對稱軸上，當ACP的周長最的周長最小時，求出點小時，求出點P的坐標的坐標【思維教練思維教練】要使要使ACP的周長最小，因的周長最小，因AC長固長固定，只需定，只需APCP長最小即可因為點長最小即可因為點A與點與點B關于關于拋物線對稱軸對稱，即拋物線對稱軸對稱，即A

3、PBP，則只需，則只需BPCP長最小即可，所以連接長最小即可，所以連接BC，BC與對稱軸的交點即與對稱軸的交點即為周長最小時的點為周長最小時的點P.由拋物線的解析式可以求得由拋物線的解析式可以求得C點的坐標，再由點的坐標，再由B、C點的坐標即可求得點的坐標即可求得BC直線的直線的解析式，進而可求得解析式，進而可求得P點的坐標點的坐標解：如解圖，解：如解圖， A、B兩點關于拋兩點關于拋物線的對稱軸對稱，物線的對稱軸對稱，當當ACP的周長最小時，點的周長最小時，點P應應為直線為直線BC與拋物線對稱軸交點，與拋物線對稱軸交點，由由(1)知點知點C的坐標為的坐標為(0，1)，拋，拋物線的對稱軸為物線的

4、對稱軸為x ；設直線；設直線BC的解析式為的解析式為ykxb(k0)，代入，代入B、C兩點坐標得兩點坐標得：例例1 1題解圖題解圖12 ，解得，解得 ，直線直線BC解析式為解析式為 ，在直線在直線BC上，當上，當 時，時， ， 120bkb 121kb 112yx12x 1131224y 13( ,)24P例 2如圖，已知拋物線如圖，已知拋物線yx2bxc與與x軸交軸交于于A(1，0)，B(3，0)兩點，與兩點，與y軸交于點軸交于點C，拋物，拋物線的對稱軸與拋物線交于點線的對稱軸與拋物線交于點P，與直線，與直線BC交于點交于點M，連接連接PB.類型二與面積有關的問題類型二與面積有關的問題例例2

5、 2題圖題圖(1)求拋物線的解析式；求拋物線的解析式；【思維教練】【思維教練】已知拋物線與已知拋物線與x軸交于軸交于A(1，0)，B(3，0)兩點，利用兩點式即可求解兩點，利用兩點式即可求解解：由題意可知點解：由題意可知點A(1，0)，點，點B(3，0)是拋物線與是拋物線與x軸的兩個交點，軸的兩個交點，拋物線的解析式為拋物線的解析式為y(x1)(x3)x22x3.(2)(2)求求PBC的面積；的面積；【思維教練】【思維教練】已知已知PBC三邊均不在坐標軸上，要求三邊均不在坐標軸上，要求PBC的面積，只需求的面積，只需求PMC與與PMB的面積和，轉的面積和，轉化為求線段化為求線段PM的長，結合直

6、線的長，結合直線BC的解析式求得點的解析式求得點M的的坐標即可坐標即可解：解：拋物線的解析式為拋物線的解析式為yx22x3(x1)24，拋物線的對稱軸為直線拋物線的對稱軸為直線x1，頂點坐標頂點坐標為為P(1，4)，點，點C的坐標為的坐標為(0，3)，設直線設直線BCBC的解析式為的解析式為ykxd(k0)，則，則 ，解得，解得 ，直線直線BC的解析式為的解析式為yx3，= 33 += 0dkd= 3= -1dk當當x1時，時，y2，點點M的坐標為的坐標為(1，2)，PM422，SPBC PM(xBxC) 233，即即PBC的面積為的面積為3. .1212(3)(3)在第一象限內的拋物線上是否

7、存在點在第一象限內的拋物線上是否存在點D，使，使得得BCD的面積最大？若存在，求出點的面積最大？若存在，求出點D的坐標的坐標及及BCD面積的最大值；若不存在，請說明理由面積的最大值；若不存在，請說明理由. .【思維教練思維教練】設出點設出點D的坐標，同的坐標，同(2)(2)問表示出問表示出BCD的面積，利用二次函數(shù)的最值即可求解的面積，利用二次函數(shù)的最值即可求解解：存在設解：存在設D(t，t22t3)，如解圖，作如解圖，作DHx軸交軸交BC于點于點H, ,則則H(t，t3)，例例2 2題解圖題解圖2221()21(233) 3239223327()228BCDHxxtttttt BCDS ，當

8、當 時，即時，即D的坐標為的坐標為時，時，SBCD有最大值，且最大面積為有最大值，且最大面積為 . .30232t 3 15( ,)24278例 3 (2016(2016黃岡黃岡) )如圖，拋物線如圖，拋物線 與與 x 軸交于點軸交于點 A ，點，點 B ，與，與 y 軸交于點軸交于點C ，點，點D 與點與點C關于關于 x 軸對稱，點軸對稱，點 P 是是 x 軸上的一個動點，軸上的一個動點，設點設點P 的坐標為（的坐標為（m,0,0），過點），過點 P 作作 x 軸的垂線軸的垂線 l 交拋物線于點交拋物線于點 Q .213222yx 例例3 3題圖題圖(1)求點求點A，點，點B，點，點C的坐標

9、；的坐標；【思維教練思維教練】要想求要想求A、B、C點坐標，可以發(fā)現(xiàn)點坐標，可以發(fā)現(xiàn)它們均在拋物線上，且在它們均在拋物線上，且在x軸、軸、y軸上分別令軸上分別令y0，x0，可依次求出點，可依次求出點A、B、C的坐標的坐標解：當解：當y0時，時， ，解得解得x14, x21，則則A(1，0)、B(4，0)，當當x0時，時，y2，則，則C(0，2)2132022xx(2)(2)求直線求直線BD的解析式；的解析式；【思維教練思維教練】要想求直線的解析式，只要知道要想求直線的解析式，只要知道直線上兩點的坐標即可求解可以發(fā)現(xiàn)點直線上兩點的坐標即可求解可以發(fā)現(xiàn)點B、D均在直線上，且點均在直線上，且點B坐標

10、已知，點坐標已知，點D的坐標可利的坐標可利用對稱點的坐標規(guī)律求出用對稱點的坐標規(guī)律求出解：解：點點 D 與點與點 C 關于關于 x 軸對稱，軸對稱，點點D為為(0，2)，設直線，設直線BD的解析式為的解析式為ykxb，將將D(0，2)和和B (4，0)分別代入，得分別代入，得 ，解得，解得 ，直線直線BD的解析式為的解析式為 . .= -24 += 0bkb1=2= -2kb1=-22yx【思維教練】【思維教練】在四邊形在四邊形CQMD中，已知中，已知CDQM，若要使四邊形，若要使四邊形CQMD為平行四邊形，為平行四邊形，則需滿足則需滿足CDQM且且CQDM即可由于即可由于CD4，可考慮證可考

11、慮證CDQM，則需用含，則需用含m的式子表示出線的式子表示出線段段QM的長，根據(jù)的長，根據(jù)CDQM列方程即可求列方程即可求m值值（3 3）當點）當點P在線段在線段OB上運動時，直線上運動時，直線 l 交交 BD 于點于點M，試探究，試探究m為何值時，四邊形為何值時，四邊形CQMD是平行是平行四邊形；四邊形；解：易知解：易知CDQM，若，若CDQM，則四邊形，則四邊形CQMD為為平行四邊形平行四邊形P(m，0)， ，點點P在線段在線段OB上運動，上運動， ，CD4，解得解得m2或或m0( (舍去舍去) )，故當故當m2時，四邊形時，四邊形CQMD為平行四邊形為平行四邊形21312,2222QMy

12、mmym 2131(2)(2)222QMmmm 2131(2)(2)4222mmm (4)(4)在點在點P的運動過程中，是否存在點的運動過程中，是否存在點Q，使，使BDQ是以是以BD為直角邊的直角三角形？若存在，為直角邊的直角三角形？若存在，求出點求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由的坐標；若不存在，請說明理由【思維教練】【思維教練】要求點要求點Q的坐標，它需滿足的坐標，它需滿足BDQ是是以以BD為直角邊的直角三角形，只要是直角三角形都為直角邊的直角三角形，只要是直角三角形都滿足勾股定理，所以用滿足勾股定理，所以用m將點將點Q的坐標表示出來，得的坐標表示出來，得到到QB2 2、DQ2 2、BD

13、2 2，然后分情況討論，然后分情況討論，點點B為直為直角頂點時；角頂點時；點點D為直角頂點時為直角頂點時解：存在點解：存在點Q，使，使BDQ是以是以BD為直角邊為直角邊的直角三角形的直角三角形設點設點Q的坐標為的坐標為 則則13( ,2),22mmm222222222213(4)(2)2213(22)224220BQmmmDQmmmBD 當以點當以點B為直角頂點時，則為直角頂點時，則BQ2BD2DQ2， 解得解得m13，m24( (舍去舍去) )，點點Q的坐標為的坐標為(3，2)；2222213(4)(2)202213(22) ,22mmmmmm 當以點當以點D為直角頂點時，則為直角頂點時，則DQ2 2BD2 2BQ2 2， 解得解得m11，m28，Q點的坐標為點的坐標為(1，0)，(8，18)綜上所述，所求點綜上所述，所求點Q的坐標為的坐標為(3，2)，(1，0)，(8，18) 2222213(22)202213(4)(2)22mmmmmm