2017-2018學年高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線 3 柱面與平面的截面學案 北師大版選修4-1

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1、 §3 柱面與平面的截面 [對應學生用書P36] 1．圓柱面可以看成是一個矩形ABCD以一邊CD所在的直線為軸旋轉一周后AB邊所形成的曲面． 2．平面上一條曲線C繞著一條直線l旋轉一周后所形成的曲面稱為旋轉面． 3．用垂直于圓柱軸的平面截圓柱，所得交線是圓． 4．當截面β與圓柱面的軸不垂直時，所得交線為橢圓． 將兩個球放入圓柱內，使它們位于平面γ的兩側，且每一個球既與圓柱相切，又與平面γ相切．那么平面γ與圓柱面的截線是什么？ 提示：橢圓 [對應學生用書P37] 橢圓的度量性質 [例1]　已知平面α與一圓柱的母線成45°角，那么該平面與圓柱截口圖形的離心率是

2、(　　) A．　　　　　　　　　　　　 B．1 C． D． [思路點撥]　本題主要考查橢圓的度量性質，解決此題時只需結合橢圓的性質求解即可． [精解詳析]　設圓柱的底半徑為r，由題意知平面與圓柱截口圖形為橢圓，短軸長為2b＝2r， 則2a＝＝2b＝2r， ∴a＝r，c＝＝r ∴離心率e＝＝ [答案]　C 橢圓是圓柱與平面的截口，因此橢圓的度量性質與圓柱的底面半徑、截面與母線的夾角相關． 1．已知圓柱的底面半徑為r，平面α與圓柱母線的夾角為30°，則它們截口橢圓的焦距是(　　) A．2r B．4r C．r D

3、．3r 解析：選A　如圖，過G2作G2H⊥AD，H為垂足，則G2H＝2r. 在Rt△G1G2H中， G1G2＝＝2r×2＝4r， ∴長軸2a＝G1G2＝4r，短軸2b＝2r. ∴焦距2c＝2＝2×r＝2r. 橢圓的性質的應用 [例2]　如圖，已知球O1，O2分別切平面β于點F1，F(xiàn)2.G1G2＝2a，Q1Q2＝2b，G1G2與Q1Q2垂直且互相平分，求證：F1F2＝2. [思路點撥]　本題主要考查橢圓性質的應用．解決時要結合圖形，依據(jù)圓柱、雙球及其截面的關系綜合應用相關性質去求解． [精解詳析]　連接AB，過G1作G1H⊥BG2，H為垂足，則四邊形ABHG1是矩形．∴

4、G1H＝AB. 設P1，P2分別是Q1，Q2的平行射影，連接P1P2，P1Q1，P2Q2， 則P1Q1綊P2Q2. ∴P1Q1Q2P2是平行四邊形． ∴Q1Q2＝P1P2，即Q1Q2等于底面直徑， ∴G1H＝AB＝Q1Q2＝2b.又由切線長定理得 G1A＝G1F1＝G2F2，G2F1＝G2B， ∴G2F1－G2F2＝G2B－G1A. 又G1A＝BH， ∴G2F1－G2F2＝G2B－BH. ∴F1F2＝G2H. 在Rt△G1G2H中， G2H＝＝＝2 . 如圖將雙球放入圓柱內，可得： (1)圓柱形物體的斜截口是橢圓． (2)橢圓的長軸長為AD，短軸長為圓的直

5、徑．焦點為切點F1，F(xiàn)2.焦距2c＝2＝F1F2. 解決并應用此類問題時，要仔細考查雙球與圓柱及截面的關系，常用到切線長定理、三角形相似、全等、解直角三角形等相關知識． 2．如圖，已知PF1∶PF2＝1∶3，AB＝12，G1G2＝20，求PQ. 解：設橢圓長軸為2a，短軸為2b，焦距為2c. 由已知可得a＝10，b＝6，c＝＝8，e＝＝. 由橢圓定義PF1＋PF2＝K1K2＝G1G2＝20. 又∵PF1∶PF2＝1∶3， ∴PF1＝5，PF2＝15. 由離心率定義， ∴＝. ∴PQ＝. 本課時考點常以客觀題形式考查平面與柱面的截線的幾何性質及應用．難度中等

6、． [考題印證] 已知圓柱底面半徑為，平面β與圓柱母線夾角為60°，在平面β上以G1G2所在直線為橫軸，以G1G2中點為原點，建立平面直角坐標系，求平面β與圓柱截口橢圓的方程． [命題立意] 本題主要考查利用柱面與平面的截線性質及橢圓的定義求方程問題． [自主嘗試]　如圖，過G1作G1H⊥BC于H. ∵圓柱底面半徑為， ∴AB＝2. ∵四邊形ABHG1是矩形， ∴AB＝G1H＝2. 在Rt△G1G2H中， G1G2＝＝＝4. 又橢圓短軸長等于底面圓的直徑2， ∴橢圓的標準方程為＋＝1. [對應學生用書P38] 一、選擇題 1．用一個平面去截一個圓柱面

7、，其截線是(　　) A．圓　　　　　　　　　　　 B．橢圓 C．兩條平行線 D．以上均可能 解析：選D　平面與軸垂直時截線為圓；不垂直時截線可為橢圓；平面平行于軸自上而下時是兩平行線． 2．已知平面β與一圓柱斜截口(橢圓)的離心率為，則平面β與圓柱母線的夾角是(　　) A．30° B．60° C．45° D．90° 解析：選A　設β與母線夾角為φ，則cosφ＝， ∴φ＝30°. 3．如圖所示，過F1作F1Q⊥G1G2，△QF1F2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為(　　) A． B． C．2－ D．－1 解析：選D　

8、設橢圓的長軸長、短軸長、焦距分別為2a,2b,2c. ∵△QF1F2是等腰直角三角形， ∴QF1＝F1F2＝2c，QF2＝2c. 由橢圓的定義得QF1＋QF2＝2a， ∴e＝＝＝＝－1. 4．兩圓柱底面半徑分別為R，r(R>r)，平面γ與它們的母線的夾角分別為α，β(α<β<90°)，斜截口橢圓的離心率分別為e1，e2，則(　　) A．e1>e2 B．e1cosβ，∴e1>e2. 二、填空題 5．橢圓的一個頂點與兩個焦點構成等

9、邊三角形，則此橢圓的離心率是 ． 解析：設橢圓的長軸長，短軸長，焦距分別為2a,2b,2c，由a＝2c，得＝，即e＝. 答案： 6．如果方程x2＋ky2＝2表示焦點在y軸上的橢圓，那么實數(shù)k的取值范圍是 ． 解析：＋＝1表示焦點在y軸上的橢圓，則>2，則0＜k＜1. 答案：(0,1) 7．已知平面α截圓柱體，截口是一條封閉曲線，且截面與底面所成的角為30°，此曲線是 ，它的離心率為 ． 解析：曲線是橢圓，e＝. 答案：橢圓　 8．已知圓柱底面半徑為b，平面α與圓柱母線夾角為30°，在圓柱與平面交線上有一點P到一準線l1的

10、距離是b，則點P到另一準線l2對應的焦點F2的距離是 ． 解析：由題意知，橢圓短軸為2b，長軸長2a＝＝4b， ∴c＝＝b. ∴e＝＝(或e＝cos30°＝)． 設P到F1的距離為d，則＝， ∴d＝b. 又PF1＋PF2＝2a＝4b， ∴PF2＝4b－PF1＝4b－b＝b. 答案： 三、解答題 9．如圖所示，圓柱被平面α所截，已知AC是圓柱口在平面α上最長投影線段，BD是最短的投影線段，EG＝FH. (1)比較EF，GH的大??； (2)若圓柱的底面半徑為r，截面α與母線的夾角為θ，求CD. 解：(1)∵EG∥FH且EG＝FH， ∴四邊形EFHG

11、是平行四邊形． ∴EF＝GH. (2)過D作DP⊥AC于P， 在Rt△CDP中，＝sin∠DCP， ∴CD＝. 10．如圖所示，設兩焦點的距離F1F2＝2c，兩端點G1G2＝2a，求證：l1與l2之間的距離為. 證明：設橢圓上任意一點P，過P作PQ1⊥l1于Q1，過P作PQ2⊥l2于Q2， ∵e＝＝＝， ∴PF1＝PQ1，PF2＝PQ2. 由橢圓定義PF1＋PF2＝2a， ∴PQ1＋PQ2＝2a. ∴PQ1＋PQ2＝，即l1與l2之間的距離為. 11．如圖，設兩焦點的距離F1F2＝2c，兩端點距離G1G2＝2a，截面β與圓柱母線的夾角為φ. 求證：P到F1的距離與到l1的距離比等于. 證明：過G1作G1H⊥BC于H，則G1A＝BH. 由切線長定理得G2F1＝G2B，G1A＝G1F1＝G2F2， ∴G2F1－G2F2＝G2B－BH. ∴G2H＝F1F2＝2c. 在△PQK1和△G2G1H中，∠QPK1＝∠G1G2H＝φ，∠QK1P＝∠G1HG2＝90°， ∴△PQK1∽△G2G1H. ∴＝＝＝＝cosφ＝e. 又由切線長定理得PK1＝PF1， ∴＝＝＝cosφ＝e. 即e＝cosφ＝. 9