2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線 4 平面截圓錐面 5 圓錐曲線的幾何性質(zhì)學(xué)案 北師大版選修4-1

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1、 §4 & §5平面截圓錐面 圓錐曲線的幾何性質(zhì) [對應(yīng)學(xué)生用書P39] 1．平面截圓錐面 (1)當(dāng)截面β與圓錐面的軸l垂直時，所得交線是一個圓． (2)任取一平面β，它與圓錐面的軸l所成的夾角為θ(β與l平行時，記θ＝0°)，當(dāng)θ>σ(σ為圓錐母線與軸交角)時，平面截圓錐面所得交線為橢圓；當(dāng)θ＝σ時，交線為拋物線；當(dāng)θ<σ時，交線為雙曲線． 2．圓錐曲線的幾何性質(zhì) 拋物線、橢圓、雙曲線都是平面上到定點的距離與到定直線的距離之比為常數(shù)e(離心率)的動點的軌跡，此時定點稱為焦點，定直線稱為準線． 當(dāng)e＝1時，軌跡為拋物線； 當(dāng)01時，軌跡

2、為雙曲線． 1．當(dāng)平面β與圓錐面的軸l所成的夾角為θ＝時，其交線應(yīng)為什么？ 提示：圓 2．由圓錐曲線的統(tǒng)一定義可知，橢圓、雙曲線的準線有幾條？定義e時，定點與定直線有怎樣的關(guān)系？ 提示：因為橢圓、雙曲線各有兩個焦點，故其準線有兩條．定義e時，定點與定直線是對應(yīng)的．即右焦點應(yīng)對應(yīng)右準線、左焦點對應(yīng)左準線． [對應(yīng)學(xué)生用書P40] 圓錐曲線的探討 [例1]　在空間中，取直線l為軸，直線l′與l相交于O點，夾角為α，l′圍繞l旋轉(zhuǎn)得到以O(shè)為頂點，l′為母線的圓錐面，任取平面γ，若它與軸l的交角為β(當(dāng)γ與l平行時，記β＝0)，求證：β＝α?xí)r，平面γ與圓錐的交線是拋物線． [思

3、路點撥]　本題主要考查平面截圓錐面的曲線的討論問題．解題時，注意利用條件，結(jié)合圖形利用拋物線的定義求解． [精解詳析]　如圖，設(shè)平面γ與圓錐內(nèi)切球相切于點F，球與圓錐的交線為S，過該交線的平面為γ′，γ與γ′相交于直線m. 在平面γ與圓錐的截線上任取一點P，連接PF.過點P作PA⊥m，交m于點A，過點P作γ′的垂線，垂足為B，連接AB，則AB⊥m，∴∠PAB是γ與γ′所成二面角的平面角．連接點P與圓錐的頂點，與S相交于點Q，連接BQ，則∠BPQ＝α，∠APB＝β. 在Rt△APB中，PB＝PAcos β. 在Rt△PBQ中，PB＝PQcos α. ∴＝. 又∵PQ＝PF，α＝β

4、，∴＝1， 即PF＝PA，動點P到定點F的距離等于它到定直線m的距離，故當(dāng)α＝β時，平面與圓錐的交線為拋物線． 已知平面與圓錐面的軸的夾角為β，曲線與軸的夾角為α，當(dāng)α＝β時，平面與圓錐的交線為拋物線．β<α?xí)r為雙曲線，β>α?xí)r為橢圓．討論曲線類型時注意結(jié)合圖形． 1．一圓錐面的母線和軸線成30°角，當(dāng)用一與軸線成60°的不過頂點的平面去截圓錐面時，所截得的截線是(　　) A．橢圓　　　　　　　　 B．雙曲線 C．拋物線 D．兩條相交直線 解析：選A　如圖可知應(yīng)為橢圓． 圓錐曲線的幾何性質(zhì) [例2]　如圖，已知圓錐母線與軸的夾角為α，平

5、面γ與軸線夾角為β，焦球的半徑分別為R，r，且α<β，R>r，求平面γ與圓錐面交線的焦距F1F2，軸長G1G2. [思路點撥]　本題主要考查圓錐曲線的幾何性質(zhì)．由β>α知截線為橢圓．通過數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化到相應(yīng)平面中求解． [精解詳析]　如圖，在Rt△O1F1O中， OF1＝＝. 在Rt△O2F2O中，OF2＝＝. ∴F1F2＝OF1＋OF2＝. 同理，O1O2＝.在Rt△O1O2H中， O1H＝O1O2·cos α＝·cos α.又O1H＝A1A2，由切線定理，容易驗證G1G2＝A1A2，∴G1G2＝·cos α. 已知圓錐曲線的結(jié)構(gòu)特點，解決有關(guān)計算問題，通常利用圓錐曲線

6、結(jié)構(gòu)特點中的數(shù)量等式關(guān)系，列出方程來解決． 2．已知圓錐母線與軸夾角為60°，平面γ與軸夾角為45°，則平面γ與圓錐交線的離心率是 ，該曲線的形狀是 ． 解析：e＝＝. ∵e>1，∴曲線為雙曲線． 答案：　雙曲線 圓錐曲線的統(tǒng)一定義 [例3]　已知F是橢圓C的一個焦點，B是短軸的一個端點，線段BF的延長線交C于點D，且BF＝2FD，則C的離心率為 ． [精解詳析]　法一：如圖，|BF|＝＝a，作DD1⊥y軸于點D1，則由BF＝2FD，得＝＝， 所以|DD1|＝|OF|＝c， 即xD＝，由橢圓的第二定義得|FD|＝e(－)＝

7、a－. 又由|BF|＝2|FD|， 得a＝2a－?e＝. 法二：設(shè)橢圓方程為第一標(biāo)準形式＋＝1， 設(shè)D(x2，y2)，F(xiàn)分BD所成的比為2， xc＝?x2＝xc＝c； yc＝?y2＝＝＝－， 代入橢圓方程得：＋＝1?e＝. [答案]　 由圓錐曲線的統(tǒng)一定義可知它溝通了焦半徑與e的關(guān)系，故涉及焦半徑問題可考慮使圓錐曲線的定義進行轉(zhuǎn)化．同時注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 3．點A(x0，y0)在雙曲線－＝1的右支上，若點A到右焦點的距離等于2x0，則x0＝ . 解析：由題知a＝2，b＝4， 則c＝＝6， 所以右準線為x＝＝， 由雙曲線的第二定義知＝e

8、， 即＝3，所以2x0＝3x0－2，故x0＝2. 答案：2 本課時考點常用客觀題的形式考查圓錐曲線的統(tǒng)一定義及幾何性質(zhì)，屬中檔題． [考題印證] 過拋物線y2＝2x的焦點F作直線交拋物線于A，B兩點，若|AB|＝，|AF|<|BF|，則|AF|＝ . [命題立意] 本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系及拋物線定義的應(yīng)用． [自主嘗試]　設(shè)過拋物線焦點的直線為 y＝k，聯(lián)立得 整理得k2x2－(k2＋2)x＋k2＝0， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 x1＋x2＝，x1x2＝. |AB|＝x1＋x2＋1＝＋1＝，得k2＝24， 代入k2x2－

9、(k2＋2)x＋k2＝0得12x2－13x＋3＝0， 解之得x1＝，x2＝， 又|AF|<|BF|， 故|AF|＝x1＋＝. 答案： [對應(yīng)學(xué)生用書P41] 一、選擇題 1．橢圓＋＝1的右焦點到直線y＝x的距離為(　　) A．　　　　　　　　　　 B． C．1 D． 解析：選B　右焦點為(1,0)，∴距離為. 2．平面γ與圓錐的軸線平行，圓錐母線與軸線夾角為60°，則平面與圓錐面交線的離心率是(　　) A．2 B． C． D．2 解析：選A　e＝＝＝2. 3．平面γ與圓錐的母線平行，那么它們交線的離心率

10、是(　　) A．1 B．2 C． D．無法確定 解析：選A　由定義知交線為拋物線． 4．拋物線y＝4x2上的一點M到焦點的距離為1，則M的縱坐標(biāo)是(　　) A． B． C． D．0 解析：選B　設(shè)M的縱坐標(biāo)為y，則y＋＝1，∴y＝. 二、填空題 5．設(shè)圓錐面V是由直線l′繞直線l旋轉(zhuǎn)而得，l′與l交點為V，l′與l的夾角為α(0°<α<90°)，不經(jīng)過圓錐頂點V的平面γ與圓錐面V相交，設(shè)軸l與平面γ所成的角為β，則 當(dāng) 時，平面γ與圓錐面的交線為圓； 當(dāng) 時，平面γ與圓錐面

11、的交線為橢圓； 當(dāng) 時，平面γ與圓錐面的交線為雙曲線； 當(dāng) 時，平面γ與圓錐面的交線為拋物線． 答案：β＝90°　α<β<90°　β<α　β＝α 6．已知橢圓兩準線間的距離為20，長軸長為10，則短軸長為 ． 解析：由?a＝5，c＝. ∴2b＝2 ＝5. 答案：5 7．已知雙曲線的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上，離心率為，且過點(4，－)，則雙曲線方程為 ． 解析：∵e＝，∴可設(shè)雙曲線方程為x2－y2＝λ. ∵過點(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6， ∴雙曲線方程為x2－y2＝6. 答案：x2－y2＝6

12、 8．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P是準線上一點，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝4ab，則雙曲線的離心率是 ． 解析：∵PF1⊥PF2， ∴P在以F1F2為直徑的圓上． ∴點P(x，y)滿足解得y2＝. ∵|PF1|·|PF2|＝|F1F2|·|y|， ∴4ab＝2c·，解得e＝. 答案： 三、解答題 9．如圖，討論其中拋物線的準線與離心率． 解：由拋物線結(jié)構(gòu)特點知，拋物線上的任意一點P到焦點的距離PF1與到平面γ與γ′的交線m的距離PA相等， ∴e＝＝1. ∴拋物線的準線是m，離心率e＝1. 10．已知

13、雙曲線兩頂點間距離為2a，焦距為2c，求兩準線間的距離． 解：如圖，l1，l2是雙曲線的準線，F(xiàn)1，F(xiàn)2是焦點，A1，A2是頂點，O為中心． 由離心率定義＝， ∴A1H1＝A1F1. 又A1F1＝OF1－OA1＝c－a， ∴A1H1＝. ∴OH1＝OA1－A1H1， ∴a－＝. 由對稱性，得OH2＝， ∴H1H2＝. 11．如圖，一個焦球與圓錐面的交線為圓S，記圓S所在的平面為γ′，設(shè)γ與γ′的交線為m.在橢圓上任取一點P，連接PF1，在γ中過P作m的垂線，垂足為A，過P作γ′的垂線，垂足為B，連接AB，AB是PA在平面γ′上的射影．在Rt△ABP中，∠APB＝β. (1)求平面γ與γ′所成二面角的大??； (2)在所截橢圓上任取一點P，求證：為定值． 解：(1)由已知PB⊥γ′，平面γ′∩平面γ＝m. ∴m⊥PB.又PA⊥m， ∴m⊥面PAB， ∴∠PAB是γ與γ′所成二面角的平面角． 又∠APB＝β， ∴∠PAB＝－β. (2)證明：由已知PB＝PF1， ∴＝＝sin∠PAB＝cos β為定值． 9