2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明章末復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教B版選修2-2

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1、 第二章 推理與證明 — 題型一　合情推理與演繹推理 1．歸納和類比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整體的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推測未知，都能用于猜想，推理的結(jié)論不一定為真，有待進(jìn)一步證明． 2．演繹推理與合情推理不同，它是由一般到特殊的推理，是數(shù)學(xué)中證明的基本推理形式，也是公理化體系所采用的推理形式．另一方面，合情推理與演繹推理又是相輔相成的，前者是后者的前提，后者論證前者的可靠性． 例1　(1)有一個(gè)奇數(shù)列1,3,5,7,9，…，現(xiàn)在進(jìn)行如下分組：第一組含一個(gè)數(shù){1}；第二組含兩個(gè)數(shù){3,5}；第三組含三個(gè)數(shù){7,9,11}；第四組含四

2、個(gè)數(shù){13,15,17,19}；…試觀察每組內(nèi)各數(shù)之和f(n)(n∈N＋)與組的編號(hào)數(shù)n的關(guān)系式為________． (2)在平面幾何中，對于Rt△ABC，AC⊥BC，設(shè)AB＝c，AC＝b，BC＝a，則 ①a2＋b2＝c2； ②cos2A＋cos2B＝1； ③Rt△ABC的外接圓半徑為r＝. 把上面的結(jié)論類比到空間寫出相類似的結(jié)論；如果你能證明，寫出證明過程；如果在直角三角形中你還發(fā)現(xiàn)了異于上面的結(jié)論，試試看能否類比到空間？ (1)答案　f(n)＝n3 解析　由于1＝13,3＋5＝8＝23， 7＋9＋11＝27＝33,13＋15＋17＋19＝64＝43，…，猜想第n組內(nèi)各數(shù)之和

3、f(n)與組的編號(hào)數(shù)n的關(guān)系式為f(n)＝n3. (2)解　選取3個(gè)側(cè)面兩兩垂直的四面體作為直角三角形的類比對象． ①設(shè)3個(gè)兩兩垂直的側(cè)面的面積分別為S1，S2，S3，底面面積為S，則S＋S＋S＝S2. ②設(shè)3個(gè)兩兩垂直的側(cè)面與底面所成的角分別為α，β，γ，則cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1. ③設(shè)3個(gè)兩兩垂直的側(cè)面形成的側(cè)棱長分別為a，b，c，則這個(gè)四面體的外接球的半徑為R＝. 反思與感悟　(1)歸納推理中有很大一部分題目是數(shù)列內(nèi)容，通過觀察給定的規(guī)律，得到一些簡單數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列中的常見方法． (2)類比推理重在考查觀察和比較的能力，題目一般情況下較為新穎，也有一定的

4、探索性． 跟蹤訓(xùn)練1　(1)下列推理是歸納推理的是________，是類比推理的是________． ①A、B為定點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，則點(diǎn)P的軌跡是橢圓； ②由a1＝1，an＋1＝3an－1，求出S1，S2，S3，猜想出數(shù)列的通項(xiàng)an和Sn的表達(dá)式； ③由圓x2＋y2＝1的面積S＝πr2，猜想出橢圓的面積S＝πab； ④科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇． 答案?、凇、邰? (2)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差數(shù)列．類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積為Tn, 則T4，______，__

5、____，成等比數(shù)列． 答案　　 解析　等差數(shù)列類比于等比數(shù)列時(shí)，和類比于積，減法類比于除法，可得類比結(jié)論為：設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積為Tn，則T4，，，成等比數(shù)列． 題型二　綜合法與分析法 綜合法和分析法是直接證明中的兩種最基本的證明方法，但兩種證明方法思路截然相反，分析法既可用于尋找解題思路，也可以是完整的證明過程，分析法與綜合法可相互轉(zhuǎn)換，相互滲透，要充分利用這一辯證關(guān)系，在解題中綜合法和分析法聯(lián)合運(yùn)用，轉(zhuǎn)換解題思路，增加解題途徑．一般以分析法為主尋求解題思路，再用綜合法有條理地表示證明過程． 例2　用綜合法和分析法證明． 已知α∈(0，π)，求證：2sin 2α≤.

6、證明　(分析法) 要證明2sin 2α≤成立． 只要證明4sin αcos α≤. ∵α∈(0，π)，∴sin α>0. 只要證明4cos α≤. 上式可變形為4≤＋4(1－cos α)． ∵1－cos α>0， ∴＋4(1－cos α)≥2 ＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)cos α＝，即α＝時(shí)取等號(hào)． ∴4≤＋4(1－cos α)成立． ∴不等式2sin 2α≤成立． (綜合法) ∵＋4(1－cos α)≥4， (1－cos α>0，當(dāng)且僅當(dāng)cos α＝，即α＝時(shí)取等號(hào)) ∴4cos α≤. ∵α∈(0，π)，∴sin α>0. ∴4sin αcos α≤. ∴2sin

7、2α≤. 跟蹤訓(xùn)練2　求證：－2cos(α＋β)＝. 證明　∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α ＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin α ＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2cos(α＋β)sin α ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝sin[(α＋β)－α]＝sin β， 兩邊同除以sin α得 －2cos(α＋β)＝. 題型三　反證法 反證法是一種間接證明命題的方法，它從命題結(jié)論的反面出發(fā)引出矛盾，從而肯定命題的結(jié)論． 反證法的理論基礎(chǔ)是互為逆否命題的等價(jià)性，從邏輯角度看，命題：“若p則

8、q”的否定是“若p則綈q”，由此進(jìn)行推理，如果發(fā)生矛盾，那么就說明“若p則綈q”為假，從而可以導(dǎo)出“若p則q”為真，從而達(dá)到證明的目的． 例3　若x，y都是正實(shí)數(shù)，且x＋y>2，求證：<2或<2中至少有一個(gè)成立． 證明　假設(shè)<2和<2都不成立， 則有≥2和≥2同時(shí)成立． 因?yàn)閤>0且y>0， 所以1＋x≥2y且1＋y≥2x， 兩式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2. 這與已知x＋y>2矛盾． 故<2與<2至少有一個(gè)成立． 反思與感悟　反證法常用于直接證明困難或以否定形式出現(xiàn)的命題；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命題時(shí)，也常用反證法．

9、 跟蹤訓(xùn)練3　已知：ac≥2(b＋d)． 求證：方程x2＋ax＋b＝0與方程x2＋cx＋d＝0中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根． 證明　假設(shè)兩方程都沒有實(shí)數(shù)根， 則Δ1＝a2－4b<0與Δ2＝c2－4d<0，有a2＋c2<4(b＋d)，而a2＋c2≥2ac，從而有4(b＋d)>2ac，即ac<2(b＋d)，與已知矛盾，故原命題成立． 題型四　數(shù)學(xué)歸納法 數(shù)學(xué)歸納法是一種邏輯推理，它的第一步稱為奠基步驟，是論證的基礎(chǔ)保證，即通過驗(yàn)證落實(shí)傳遞的起點(diǎn)，這個(gè)基礎(chǔ)必須真實(shí)可靠；它的第二步稱為遞推步驟，是命題具有后繼傳遞性的保證，兩步合在一起為完全歸納步驟，這兩步缺一不可，第二步中證明“當(dāng)n＝k＋1時(shí)

10、結(jié)論正確”的過程中，必須用“歸納假設(shè)”，否則就是錯(cuò)誤的． 例4　用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n∈N＋時(shí)，1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n－2)·3＋(n－1)·2＋n·1＝n(n＋1)·(n＋2)． 證明　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，1＝·1·2·3，結(jié)論成立． (2)假設(shè)n＝k時(shí)結(jié)論成立， 即1·k＋2·(k－1)＋3·(k－2)＋…＋(k－2)·3＋(k－1)·2＋k·1＝k(k＋1)(k＋2)． 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，則1·(k＋1)＋2·k＋3·(k－1)＋…＋(k－1)·3＋k·2＋(k＋1)·1 ＝1·k＋2·(k－1)＋…＋(k－1)·2＋k·1＋[1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1

11、)] ＝k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)(k＋2) ＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)， 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)結(jié)論也成立． 綜合上述，可知結(jié)論對一切n∈N＋都成立． 跟蹤訓(xùn)練4　數(shù)列{an}滿足：a1＝1，an＋1＝an＋1. (1)寫出a2，a3，a4. (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． 解　(1)因?yàn)閍1＝1，an＋1＝an＋1，所以a2＝a1＋1＝＋1＝. a3＝a2＋1＝·＋1＝. a4＝a3＋1＝·＋1＝. (2)證明　方法一　猜想an＝.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明， ①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝＝1，滿足上式，顯然成立； ②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)ak＝，那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)， ak

12、＋1＝ak＋1＝·＋1＝＋1＝＝滿足上式， 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)猜想也成立， 由①②可知，對于n∈N＋都有an＝. 方法二　因?yàn)閍n＋1＝an＋1，所以an＋1－2＝an＋1－2，即an＋1－2＝(an－2)， 設(shè)bn＝an－2，則bn＋1＝bn， 即{bn}是以b1＝－1，為公比的等比數(shù)列， 所以bn＝b1·qn－1＝－， 所以an＝bn＋2＝. [呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律] 1．歸納和類比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整體的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推測未知，都能用于猜想，推理的結(jié)論不一定為真，有待進(jìn)一步證明． 2．演繹推理與合情推理不同，是由一般到特

13、殊的推理，是數(shù)學(xué)中證明的基本推理形式．也是公理化體系所采用的推理形式，另一方面，合情推理與演繹推理又是相輔相成的，前者是后者的前提，后者論證前者的可靠性． 3．直接證明和間接證明是數(shù)學(xué)證明的兩類基本證明方法．直接證明的兩類基本方法是綜合法和分析法：綜合法是從已知條件推導(dǎo)出結(jié)論的證明方法；分析法是由結(jié)論追溯到條件的證明方法，在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，常把它們結(jié)合起來使用，間接證法的一種方法是反證法，反證法是從結(jié)論反面成立出發(fā)，推出矛盾的證明方法． 4．?dāng)?shù)學(xué)歸納法主要用于解決與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題．證明時(shí)，它的兩個(gè)步驟缺一不可．它的第一步(歸納奠基)n＝n0時(shí)結(jié)論成立．第二步(歸納遞推)假設(shè)n＝k時(shí)，結(jié)論成立，推得n＝k＋1時(shí)結(jié)論也成立．?dāng)?shù)學(xué)歸納法是在可靠的基礎(chǔ)上，利用命題自身具有的傳遞性，運(yùn)用有限的步驟(兩步)證明出無限的命題成立． 6