2018-2019學年高中數(shù)學 第三講 柯西不等式與排序不等式 一 二維形式的柯西不等式學案 新人教A版選修4-5

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1、一　二維形式的柯西不等式 　1.認識并理解平面上的柯西不等式的代數(shù)和向量形式，以及定理1、定理2、定理3等幾種不同形式，理解它們的幾何意義． 2．會用柯西不等式的代數(shù)形式和向量形式以及定理1、定理2、定理3，證明比較簡單的不等式，會求某些函數(shù)的最值． 二維形式的柯西不等式 1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)·≥|ac＋bd|(當且僅當ad＝bc時，等號成立)．(　　) (2)(a＋b)(c＋d)≥(＋)2(a，b，c，d∈R＋，當且僅當ad＝bc時，等號成立)．(　　) (3)·≥|ac|＋|bd|(當且僅當|ad|＝|bc|時，等號成立)

2、．(　　) (4)在二維形式的柯西不等式的代數(shù)形式中，取等號的條件可以是＝.(　　) (5)設α，β是兩個向量，則|α·β|≤|α||β|中等號成立的條件是存在實數(shù)k，使α＝k·β.(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)× 2．設a＝(－2，)，|b|＝6，則a·b的最小值為(　　) A．18　　 B．6 C．－18 D．12 解析：選C.因為|a·b|≤|a||b|， 所以|a·b|≤18， 所以－18≤a·b≤18， a·b的最小值為－18，故選C. 3．設a，b∈R，若a2＋b2＝5，則a＋2b的最大值為(　　) A． B．－ C

3、．5 D．－5 解析：選C.由柯西不等式得(a2＋b2)(12＋22)≥(a＋2b)2， 所以(a＋2b)2≤5×5＝25，當且僅當2a＝b時，等號成立． 所以(a＋2b)max＝5. 4．設a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，則的最小值為________． 解析：根據(jù)柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，得25≤5(m2＋n2)，m2＋n2≥5，的最小值為. 答案： 　利用柯西不等式求最值[學生用書P40] 　(1)求f(x)＝2＋的最大值． (2)若3x＋4y＝2，求x2＋y2的最小值． 【解】　(1)因為f(x)＝2＋

4、＝×＋1× ≤× ＝×＝3. 當且僅當×＝， 即x＝0時取等號， 故f(x)＝2＋的最大值是3. (2)因為3x＋4y＝2， 所以x2＋y2＝(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2＝， 當且僅當時，即時“＝”成立． 所以x2＋y2的最小值為. 利用柯西不等式求最值 (1)先變形湊成柯西不等式的結構特征，是利用柯西不等式求解的先決條件；　 (2)有些最值問題從表面上看不能利用柯西不等式，但只要適當添加上常數(shù)項或和為常數(shù)的各項，就可以應用柯西不等式來解，這也是運用柯西不等式解題的技巧； (3)有些最值問題的解決需要反復利用柯西不等式才能達到目的，但在運用過程

5、中，每運用一次前后等號成立的條件必須一致，不能自相矛盾，否則就會出現(xiàn)錯誤．多次反復運用柯西不等式的方法也是常用技巧之一． 　1.若a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求ax＋by的最小值． 解：因為a2＋b2＝1，x2＋y2＝1， 由柯西不等式(a2＋b2)(x2＋y2)≥(ax＋by)2，得1≥(ax＋by)2， 所以ax＋by的最小值為－1. 2．已知2x2＋y2＝1，求2x＋y的最大值． 解：2x＋y＝×x＋1×y≤×＝×＝. 當且僅當x＝y(tǒng)＝時取等號． 所以2x＋y的最大值為. 　利用柯西不等式的代數(shù)形式證明不等式[學生用書P41] 　已知a1，a2，b1，b2為正

6、實數(shù)，求證：(a1b1＋a2b2)·(＋)≥(a1＋a2)2. 【證明】　(a1b1＋a2b2)(＋) ＝[()2＋()2][()2＋()2] ≥(·＋·)2＝(a1＋a2)2. 當且僅當b1＝b2時，等號成立． 利用柯西不等式的代數(shù)形式證明不等式的方法 利用柯西不等式的代數(shù)形式證明某些不等式時，有時需要將待證不等式進行變形，以具備柯西不等式的運用條件，這種變形往往要認真分析題目的特征，根據(jù)題設條件，利用添項、拆項、分解、組合、配方、數(shù)形結合等方法，才能找到突破口． 　已知a，b都是正實數(shù)，且ab＝2，求證：(1＋2a)(1＋b)≥9. 證明：因為a，b都是正實數(shù)， 所以

7、由柯西不等式可知(1＋2a)(1＋b) ＝[12＋()2][12＋()2]≥(1＋)2， 當且僅當a＝1，b＝2時取等號． 因為ab＝2， 所以(1＋)2＝9， 所以(1＋2a)(1＋b)≥9. 　柯西不等式向量形式的應用[學生用書P41] 　(1)已知θ為銳角，a，b∈R＋，求證：(a＋b)2≤＋. (2)已知x∈，求函數(shù)f(x)＝3cos x＋4的最大值，并說明等號成立的條件． 【解】　(1)設m＝，n＝(cos θ，sin θ)， 則|a＋b|＝ ＝|m·n|≤|m||n| ＝· ＝， 所以(a＋b)2≤＋. (2)設m＝(3，4)，n＝(cos x，)，

8、 則根據(jù)柯西不等式的向量形式可得： f(x)＝3cos x＋4 ≤·＝5. 當且僅當m∥n時上式取等號， 3－4cos x＝0，而且x∈， 解得sin x＝. 所以當sin x＝時， f(x)＝3cos x＋4取最大值為5. 應用二維形式柯西不等式向量形式 求最值及證明不等式的技巧 在應用二維形式柯西不等式向量形式求式子的最值或證明不等式時要根據(jù)式子的結構特征構造兩個向量，通常我們使構造的向量滿足積為待求式子或待證不等式一側的形式，再利用柯西不等式的向量形式求解或證明. 　已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，求證：(ax＋by)2≤ax2＋by2. 證明：設m＝(x，y

9、)，n＝(，)， 則|ax＋by|＝|m·n|≤|m||n| ＝· ＝· ＝， 所以(ax＋by)2≤ax2＋by2. 1．理解并記憶三種形式取“＝”的條件 (1)代數(shù)形式中當且僅當ad＝bc時取等號． (2)向量形式中當α＝kβ或β＝0時取等號． (3)三角形式中當P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，O(0，0)三點共線且P1，P2在原點O兩旁時取等號． 2．“二維”的含義 “二維”是對向量的個數(shù)來說的，在平面上一個向量有兩個量：橫坐標與縱坐標，因此“二維”就要有四個量，還可以認為是四個數(shù)組合成的一種不等關系． 3．二維形式的柯西不等式的變式 (1)·≥|ac＋bd|. (2)·≥|ac|＋|bd|. (3)·≥ac＋bd. 1．已知a，b，x1，x2為互不相等的正數(shù)，若y1＝，y2＝，求證：y1y2＞x1x2. 證明：y1y2＝· ＝ ＝ ≥ ＝＝x1x2.(※) 因為a，b，x1，x2為互不相等的正數(shù)， 因此(※)式等號不成立， 所以y1y2＞x1x2. 2．已知x，y∈R＋，且x＋y＝2.求證：＋≥2. 證明：＋＝(x＋y) ＝[()2＋()2] ≥＝2， 當且僅當時等號成立，此時x＝1，y＝1. 所以＋≥2. 7