2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 直線、多邊形、圓章末復(fù)習(xí)課學(xué)案 北師大版選修4-1

《2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 直線、多邊形、圓章末復(fù)習(xí)課學(xué)案 北師大版選修4-1》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 直線、多邊形、圓章末復(fù)習(xí)課學(xué)案 北師大版選修4-1（9頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第一章 直線、多邊形、圓 章末復(fù)習(xí)課 [對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P30] [對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P30] 平移反射旋轉(zhuǎn)相似 判斷兩個(gè)圖形是經(jīng)過(guò)平移、反射、旋轉(zhuǎn)、相似哪種變換而得到的．關(guān)鍵是抓住每一種變換的特點(diǎn)：即圖形的位置、形狀、大小會(huì)發(fā)生如何變化，從而解決與之相關(guān)的問題． [例1]　如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(8，8)，B(4,0)，C(12，－4)，D(16,4)，畫出它以原點(diǎn)O為位似中心、相似比為的位似圖形，并確定其對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)． [解]　A、B、C、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A′(4,4)，B′(2,0)，C′(6，－2)，D′(8,2)和A″(－4，－4)，B″(－

2、2,0)，C″(－6,2)，D″(－8，－2)． 與圓有關(guān)的角的計(jì)算與證明 圓中的角有四類：圓心角、圓周角、弦切角和弧所對(duì)的角，與圓有關(guān)的角的計(jì)算與證明通常涉及這四類角，因此圓周角定理，圓心角定理，弦切角定理是解決此類問題的知識(shí)基礎(chǔ)，通常利用圓周角、弦切角、圓心角與弧的關(guān)系轉(zhuǎn)化，借助于圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)和圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑(獲得直角)來(lái)解決． [例2]　(1)已知⊙O是∠ABC的外接圓，⊙I是△ABC的內(nèi)切圓，∠A＝80°，則∠BOC＝ ，∠BIC＝ . (2)如圖，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的割線PAB與切線PE，E為切點(diǎn)，連接AE，BE，∠APE

3、的平分線分別與AE，BE相交于點(diǎn)C，D.若∠AEB＝30°，則∠PCE＝ . [解析]　(1)如圖，∵∠A＝80°， 由一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半，得∠BOC＝2∠A＝160°. 又∵在△ABC中，∠A＝80°， ∴∠ABC＋∠ACB＝180°－80°＝100°. 又∵∠IBC＝∠ABC， ∠ICB＝∠ACB， ∴∠IBC＋∠ICB＝(∠ABC＋∠ACB)＝×100°＝50°. ∴在△IBC中，∠BIC＝180°－50°＝130°. (2)由圓的切割線定理可得PE2＝PB·PA?＝， ∴△PEB∽△PAE， 設(shè)∠PAE＝α， 則∠PEB＝α

4、，∠PBE＝α＋30°，∠APE＝150°－2α， ∴△PCE中，∠EPC＝75°－α，∠PEC＝30°＋α， ∴∠PCE＝75°. [答案]　(1)160°　130°　(2)75° 與圓有關(guān)的線段的計(jì)算與證明 解決與圓有關(guān)的線段的計(jì)算與證明問題時(shí)，首先考慮相交弦定理、割線定理、切割線定理和弦切角定理，從而獲得成比例線段，再結(jié)合相似三角形進(jìn)行等比代換或等線代換加以證明，或列出方程解得線段的長(zhǎng)． [例3]　如圖，D，E分別為△ABC邊AB，AC的中點(diǎn)，直線DE交△ABC的外接圓于F，G兩點(diǎn)．若CF∥AB，證明： (1)CD＝BC； (2)△BCD∽△GBD. [證明]　

5、(1)因?yàn)镈，E分別為AB，AC的中點(diǎn)， 所以DE∥BC. 又已知CF∥AB，故四邊形BCFD是平行四邊形， 所以CF＝BD＝AD. 而CF∥AD，連接AF， 所以四邊形ADCF是平行四邊形，故CD＝AF. 因?yàn)镃F∥AB， 所以BC＝AF， 故CD＝BC. (2)因?yàn)镕G∥BC， 故GB＝CF. 由(1)可知BD＝CF， 所以GB＝BD. 而∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，故△BCD∽△GBD. [例4]　如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，以D為圓心，DA為半徑的圓弧與以BC為直徑的⊙O交于點(diǎn)F，連接CF并延長(zhǎng)CF交AB于E. (1)求證：E是AB的中點(diǎn)；

6、 (2)求線段BF的長(zhǎng)． [解]　(1)證明：連接OD，OF，DF. ∵四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形， ∴BC＝CD，∠EBC＝∠OCD＝90°， ∵OF＝OC，DF＝DC，OD＝OD， ∴△OFD≌△OCD， ∴∠ODC＝∠ODF， ∠ECB＝∠FDC＝∠ODC， ∴△EBC≌△OCD， ∴EB＝OC＝AB，即E是AB的中點(diǎn)． (2)由BC為⊙O的直徑易得BF⊥CE， ∴S△BEC＝BF·CE＝CB·BE， ∴＝，∴BF＝a. 一、選擇題 1．如圖，已知DE∥BC，EF∥AB，現(xiàn)得到下列式子： ①＝；②＝； ③＝；④＝. 其中，正確式子的個(gè)數(shù)有(　　

7、) A．4個(gè)　　　　　　　　 B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè) 解析：選B　由DE∥BC，EF∥AB知①②④正確，③錯(cuò)誤． 2．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝9，AB＝6，CD＝4，若EF∥BC，且梯形AEFD與梯形EBCF的周長(zhǎng)相等，則EF的長(zhǎng)為(　　) A． B． C． D． 解析：選C　 過(guò)A作AG∥DC，交EF于H，交BC于G， 設(shè)AE＝x，DF＝y(tǒng)， 由AB＝BG＝6，可得AE＝EH＝x. 由題意知x∶6＝y(tǒng)∶4. 所以2x＝3y. ① 又梯形AEFD與

8、梯形EBCF的周長(zhǎng)相等， 所以3＋x＋3＋x＋y＝6－x＋9＋4－y＋3＋x. 所以x＋y＝8. ② 由①②解得x＝，所以EF＝＋3＝. 3. 如圖，在⊙O中，弦AB與半徑OC相交于點(diǎn)M，且OM＝MC，AM＝1.5，BM＝4，則OC＝(　　) A．2 B． C．2 D．2 解析：選D　延長(zhǎng)CO交⊙O于D，則DM＝3CM，CM·MD＝MA·MB，所以1.5×4＝3CM2，CM＝，OC＝2. 4.如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC. ①若∠A＝90°，AB＋CD＝BC，則以AD為直徑的圓與BC相切； ②若∠A ＝90

9、°，當(dāng)以AD為直徑的圓與BC相切時(shí)，則以BC為直徑的圓也與AD相切； ③若以AD為直徑的圓與BC相切，則AB＋CD＝BC； ④若以AD為直徑的圓與BC相切，則以BC為直徑的圓與AD相切． 以上判斷正確的個(gè)數(shù)有(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選C　(1)過(guò)AD的中點(diǎn)E，作EG⊥BC于點(diǎn)G，過(guò)E作AB的平行線EF，則EF是梯形ABCD的中位線． 所以EF＝(AB＋CD)＝BC＝CF. 所以∠CEF＝∠ECF， 因?yàn)镋F∥CD， 所以∠DCE＝∠CEF， 所以∠DCE＝∠ECF. 因?yàn)樵凇鱀CE和△GCE中， 所以△DCE

10、≌△GCE(AAS)， 所以EG＝DE＝AD，則以AD為直徑的圓與BC相切． 故命題①正確； (2)若∠A＝90°，當(dāng)以AD為直徑的圓與BC相切時(shí)，設(shè)以AD為直徑的圓的圓心是E，則E是AD的中點(diǎn)，設(shè)圓與BC相切于點(diǎn)G，則連接EG，則EG⊥BC，且EG＝ED. 因?yàn)樵赗t△DCE和Rt△GCE中， 所以Rt△DCE≌Rt△GCE(HL)， 所以CD＝CG，同理，BG＝AB， 所以AB＋CD＝BC，故③正確； 取BC的中點(diǎn)F，連接EF，則EF是梯形ABCD的中位線， EF＝(AB＋CD)＝BC， 又因?yàn)槿簟螦＝90°，則EF⊥AD， 所以以BC為直徑的圓也與AD相切．故②

11、正確； (3)若以AD為直徑的圓與BC相切，則以BC為直徑的圓與AD相切，根據(jù)(2)可以得到當(dāng)中位線EF是F到AD的垂線段時(shí)，以BC為直徑的圓與AD相切，否則就不相切．故④錯(cuò)誤． 故正確的是①②③.故選C. 二、填空題 5.如圖，⊙O的兩條弦AB，CD交于點(diǎn)P，已知AP＝4，BP＝6，CP＝3，則CD＝ . 解析：因?yàn)椤袿的弦AB，CD相交于點(diǎn)P，所以AP·PB＝CP·PD， 因?yàn)锳P＝4，BP＝6，CP＝3， 所以PD＝＝8， 所以CD＝CP＋PD＝3＋8＝11. 即CD的長(zhǎng)是11. 答案：11 6.(天津高考)如圖， △ABC為圓的內(nèi)接三角形， BD為圓

12、的弦， 且BD∥AC. 過(guò)點(diǎn)A作圓的切線與DB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，AD與BC交于點(diǎn)F.若AB＝AC，AE＝6，BD＝5，則線段CF的長(zhǎng)為 ． 解析：因?yàn)锳E是圓的切線，且AE＝6，BD＝5，由切割線定理可得EA2＝EB·ED，即36＝EB·(EB＋5)，解得EB＝4.又∠BAE＝∠ADB＝∠ACB＝∠ABC，所以AE∥BC.又AC∥BD，所以四邊形AEBC是平行四邊形，所以AE＝BC＝6，AC＝EB＝4.又由題意可得△CAF∽△CBA，所以＝，CF＝＝＝. 答案： 7.(廣東高考)如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C在圓O上．延長(zhǎng)BC到D使BC＝CD，過(guò)C作圓O的切線交AD于E.若A

13、B＝6，ED＝2，則BC＝ . 解析：因?yàn)锳B為圓O的直徑，所以AC⊥BC.又BC＝CD，所以△ABD是等腰三角形，所以AD＝AB＝6，∠DAC＝∠BAC.因?yàn)镃E切圓O 于點(diǎn)C，所以∠ECA＝∠ABC.又因?yàn)椤螧AC＋∠ABC＝90°，所以∠DAC＋∠ECA＝90°，故CE⊥AD.故CD2＝DE·DA＝2×6＝12，所以BC＝CD＝2. 答案：2 8.如圖，PA，PB分別切⊙O于A，B兩點(diǎn)，在劣弧上任取一點(diǎn)C，過(guò)C作⊙O的切線分別交PA，PB于D，E兩點(diǎn)． (1)若PA＝5，則△PDE的周長(zhǎng)為 ； (2)若∠APB＝50°，則∠DOE＝

14、. 解析：(1)由切線長(zhǎng)定理得DC＝DA， EC＝EB，PA＝PB， ∴△PDE的周長(zhǎng)為PD＋PE＋DE＝PD＋DC＋PE＋CE＝PD＋DA＋PE＋EB＝PA＋PB＝2PA＝10. (2)連接OP.∵PA、DC均為切線， ∴∠PAO＝90°.由切線長(zhǎng)定理得 ∠APO＝∠APB＝25°， ∴∠AOP＝65°. 又C在PO上，且∠DOC＝∠AOD， ∴∠COD＝，∴∠DOE＝2∠COD＝65°. 答案：10　65° 三、解答題 9.如圖，已知BC是⊙O的直徑，AH⊥BC，垂足為D，點(diǎn)A為的中點(diǎn)，BF交AD于點(diǎn)E，且BE·EF＝32，AD＝6. (1)求證：AE＝BE.

15、(2)求DE的長(zhǎng)． (3)求BD的長(zhǎng)． 解：(1)證明：連接AF，AB，AC. 因?yàn)锳是的中點(diǎn)， 所以∠ABE＝∠AFB. 又∠AFB＝∠ACB， 所以∠ABE＝∠ACB. 因?yàn)锽C為直徑， 所以∠BAC＝90°.因?yàn)锳H⊥BC. 所以∠BAE＝∠ACB. 所以∠ABE＝∠BAE. 所以AE＝BE. (2)設(shè)DE＝x(x>0)，由AD＝6，BE·EF＝32， AE·EH＝BE·EF， 則(6－x)(6＋x)＝32， 解得x＝2， 即DE的長(zhǎng)為2. (3)由(1)，(2)知：BE＝AE＝6－2＝4， 在Rt△BDE中，BD＝＝2. 10．(遼寧高考)如圖，A

16、B為⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，連接AE，BE. 證明：(1)∠FEB＝∠CEB； (2)EF2＝AD·BC. 證明：(1)由直線CD與⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB. 由AB為⊙O的直徑，得AE⊥EB， 從而∠EAB＋∠EBF＝； 又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝，從而∠FEB＝∠EAB. 故∠FEB＝∠CEB. (2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共邊， 得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF. 類似可證，Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF. 又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF， 所以EF2＝AD·BC. 9