2017-2018版高中數(shù)學 第二章 推理與證明 習題課 綜合法和分析法學案 新人教B版選修2-2

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1、 習題課 綜合法和分析法 明目標、知重點　加深對綜合法、分析法的理解，應用兩種方法證明數(shù)學問題． 1．綜合法 綜合法是中學數(shù)學證明中最常用的方法，它是從已知到未知，從題設(shè)到結(jié)論的邏輯推理方法，即從題設(shè)中的已知條件或已證的真實判斷出發(fā)，經(jīng)過一系列的中間推理，最后導出所要求證的命題．綜合法是一種由因?qū)Ч淖C明方法． 綜合法的證明步驟用符號表示是：P0(已知)?P1?P2?…?Pn(結(jié)論) 2．分析法 分析法是指從需證的問題出發(fā)，分析出使這個問題成立的充分條件，使問題轉(zhuǎn)化為判定那些條件是否具備，其特點可以描述為“執(zhí)果索因”，即從未知看需知，逐步靠攏已知．分析法的書寫形式一般為“因

2、為……，為了證明……，只需證明……，即……，因此，只需證明……，因為……成立，所以……，結(jié)論成立”． 分析法的證明步驟用符號表示是：P0(已知)?…?Pn－2?Pn－1?Pn(結(jié)論) 分析法屬邏輯方法范疇，它的嚴謹體現(xiàn)在分析過程步步可逆． 題型一　選擇恰當?shù)姆椒ㄗC明不等式 例1　設(shè)a，b，c為任意三角形三邊長，I＝a＋b＋c，S＝ab＋bc＋ca，試證：3S≤I2<4S. 證明　I2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca ＝a2＋b2＋c2＋2S. 欲證3S≤I2<4S， 即證ab＋bc＋ca≤a2＋b2＋c2<2ab＋2bc＋2ca. 先證明ab＋

3、bc＋ca≤a2＋b2＋c2， 只需證2a2＋2b2＋2c2≥2ab＋2bc＋2ca， 即(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2≥0，顯然成立； 再證明a2＋b2＋c2<2ab＋2bc＋2ca， 只需證a2－ab－ac＋b2－ab－bc＋c2－bc－ca<0， 即a(a－b－c)＋b(b－a－c)＋c(c－b－a)<0， 只需證a

4、主要是不等式的基本性質(zhì)和已知的重要不等式，其中常用的有如下幾個： (1)a2≥0(a∈R)． (2)(a－b)2≥0(a、b∈R)，其變形有a2＋b2≥2ab，()2≥ab，a2＋b2≥. (3)若a，b∈(0，＋∞)，則≥，特別地＋≥2. (4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)． 跟蹤訓練1　已知a，b是正數(shù)，且a＋b＝1，求證：＋≥4. 證明　方法一　∵a，b是正數(shù)且a＋b＝1， ∴a＋b≥2，∴≤，∴＋＝＝≥4. 方法二　∵a，b是正數(shù)，∴a＋b≥2>0， ＋≥2>0， ∴(a＋b)(＋)≥4. 又a＋b＝1，∴＋≥4. 方法三　＋＝＋＝1＋＋

5、＋1≥2＋2 ＝4.當且僅當a＝b時，取“＝”號． 題型二　選擇恰當?shù)姆椒ㄗC明等式 例2　已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，對應的三邊為a，b，c，求證：＋＝. 證明　要證原式，只需證＋＝3， 即證＋＝1，即只需證＝1， 而由題意知A＋C＝2B， ∴B＝，∴b2＝a2＋c2－ac， ∴＝ ＝＝1， ∴原等式成立，即＋＝. 反思與感悟　綜合法推理清晰，易于書寫，分析法從結(jié)論入手易于尋找解題思路．在實際證明命題時，常把分析法與綜合法結(jié)合起來使用，稱為分析綜合法，其結(jié)構(gòu)特點是：根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論Q；根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點去轉(zhuǎn)化條件，得到中間結(jié)論P；若

6、由P可推出Q，即可得證． 跟蹤訓練2　設(shè)實數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，非零實數(shù)x，y分別為a與b，b與c的等差中項，試證：＋＝2. 證明　由已知條件得 b2＝ac，① 2x＝a＋b,2y＝b＋c.② 要證＋＝2， 只要證ay＋cx＝2xy， 只要證2ay＋2cx＝4xy. 由①②得2ay＋2cx＝a(b＋c)＋c(a＋b)＝ab＋2ac＋bc， 4xy＝(a＋b)(b＋c)＝ab＋b2＋ac＋bc＝ab＋2ac＋bc， 所以2ay＋2cx＝4xy.命題得證． 題型三　立體幾何中位置關(guān)系的證明 例3　如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠

7、ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點． (1)證明：CD⊥AE； (2)證明：PD⊥平面ABE. 證明　(1)在四棱錐P－ABCD中， ∵PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD， ∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A， ∴CD⊥平面PAC，而AE?平面PAC，∴CD⊥AE. (2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°， 可得AC＝PA，∵E是PC的中點，∴AE⊥PC. 由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C， 所以AE⊥平面PCD.而PD?平面PCD， ∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD， ∴PA⊥AB，又AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD， ∴A

8、B⊥PD，又AB∩AE＝A，綜上得PD⊥平面ABE. 反思與感悟　綜合法證明線面之間的垂直關(guān)系是高考考查的重點，利用垂直的判定定理和性質(zhì)定理可以進行線線、線面以及面面之間垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化．另外，利用一些常見的結(jié)論還常?？梢詫⒕€面間的垂直與平行進行轉(zhuǎn)化．比如：兩條平行線中一條垂直于平面α，則另外一條也垂直于平面α；垂直于同一條直線的兩個平面相互平行等． 跟蹤訓練3　如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1. (1)求證：AF∥平面BDE； (2)求證：CF⊥平面BDE. 證明　(1)如圖，設(shè)AC與BD交于點G. 因為EF∥AG

9、，且EF＝1， AG＝AC＝1， 所以四邊形AGEF為平行四邊形． 所以AF∥EG. 因為EG?平面BDE， AF?平面BDE， 所以AF∥平面BDE. (2)連接FG. 因為EF∥CG，EF＝CG＝1， 且CE＝1， 所以四邊形CEFG為菱形． 所以CF⊥EG. 因為四邊形ABCD為正方形， 所以BD⊥AC. 又因為平面ACEF⊥平面ABCD， 且平面ACEF∩平面ABCD＝AC， 所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD. 又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE. [呈重點、現(xiàn)規(guī)律] 1．綜合法的特點是：從已知看可知，逐步推出未知． 2．分析法的特點是：從未知看需知，逐步靠攏已知． 3．分析法和綜合法各有優(yōu)缺點．分析法思考起來比較自然，容易尋找到解題的思路和方法，缺點是思路逆行，敘述較繁；綜合法從條件推出結(jié)論，較簡捷地解決問題，但不便于思考．實際證題時常常兩法兼用，先用分析法探索證明途徑，然后再用綜合法敘述出來． 5