2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)導(dǎo)練測 第九章 解析幾何階段測試（十三）理 新人教A版

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1、2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)導(dǎo)練測 第九章 解析幾何階段測試（十三）理 新人教A版 一、選擇題 1．若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓＋＝1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則·的最大值為(　　) A．2 B．3 C．6 D．8 答案　C 解析　設(shè)P(x0，y0)，則＋＝1， 即y＝3－，又∵F(－1,0)． ∴·＝x0·(x0＋1)＋y＝x＋x0＋3 ＝(x0＋2)2＋2，又x0∈[－2,2]， ∴·∈[2,6]，∴(·)max＝6. 2．設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為(　　) A. B.

2、C. D. 答案　D 解析　不妨設(shè)雙曲線方程為－＝1 (a>0，b>0)，焦點(diǎn)F(c,0)，虛軸端點(diǎn)B(0，b)，則漸近線方程為y＝±x，直線BF的斜率k＝＝－，∴·(－)＝－1，即b2＝ac，∴c2－a2＝ac， 兩邊同時(shí)除以a2，可得e2－e－1＝0，解得e＝(負(fù)值舍去)． 3．已知拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，并且經(jīng)過點(diǎn)M(2，y0)．若點(diǎn)M到該拋物線焦點(diǎn)的距離為3，則|OM|等于(　　) A．2 B．2 C．4 D．2 答案　B 解析　設(shè)拋物線方程為y2＝2px，則點(diǎn)M(2，±2)． ∵焦點(diǎn)，點(diǎn)M到該拋物線焦點(diǎn)的距離為3， ∴2＋4p＝9，解

3、得p＝2(負(fù)值舍去)， 故M(2，±2)． ∴|OM|＝＝2. 4．已知橢圓C：＋y2＝1的焦點(diǎn)為F1、F2，若點(diǎn)P在橢圓上，且滿足|PO|2＝|PF1|·|PF2|(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則稱點(diǎn)P為“★”點(diǎn)．下列結(jié)論正確的是(　　) A．橢圓C上的所有點(diǎn)都是“★”點(diǎn) B．橢圓C上僅有有限個(gè)點(diǎn)是“★”點(diǎn) C．橢圓C上的所有點(diǎn)都不是“★”點(diǎn) D．橢圓C上有無窮多個(gè)點(diǎn)(但不是所有的點(diǎn))是“★”點(diǎn) 答案　B 解析　設(shè)橢圓C：＋y2＝1上點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2cos α，sin α)，由|PO|2＝|PF1|·|PF2|，可得4cos2α＋sin2α＝·，整理可得cos2α＝，即可得cos

4、α＝±，sin α＝±.由此可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，即橢圓C上有4個(gè)點(diǎn)是“★”點(diǎn)． 5．已知拋物線y2＝2px (p>0)，過其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為(　　) A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2 答案　B 解析　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，因?yàn)锳、B兩點(diǎn)在拋物線上，得y＝2px1.① y＝2px2，② ①－②得(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)． 又線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，即y1＋y2＝4， 直線AB的斜率為1，故2p＝4，p＝2， 因此拋物線的準(zhǔn)線方程為x

5、＝－＝－1. 二、填空題 6．已知拋物線y2＝2px (p>0)的準(zhǔn)線與圓x2＋y2－6x－7＝0相切，則p的值為________． 答案　2 解析　由y2＝2px，得準(zhǔn)線方程x＝－，圓x2＋y2－6x－7＝0可化為(x－3)2＋y2＝16，由圓心到準(zhǔn)線的距離等于半徑得：3＋＝4，∴p＝2. 7．已知F1、F2是橢圓C：＋＝1 (a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，且⊥.若△PF1F2的面積為9，則b＝________. 答案　3 解析　依題意，有 可得4c2＋36＝4a2， 即a2－c2＝9，故有b＝3. 8．設(shè)雙曲線－＝1 (a>0，b>0)的右頂點(diǎn)為A，P為雙曲

6、線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不是頂點(diǎn))，若從點(diǎn)A引雙曲線的兩條漸近線的平行線，與直線OP分別交于Q、R兩點(diǎn)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|OP|2與|OQ|·|OR|的大小關(guān)系為|OP|2________|OQ|·|OR|.(填“>”，“<”或“＝”) 答案　＝ 解析　設(shè)P(x0，y0)，雙曲線的漸近線方程是y＝±x，直線AQ的方程是y＝(x－a)，直線AR的方程是y＝－(x－a)，直線OP的方程是y＝x，可得Q，R. 又－＝1，可得|OP|2＝|OQ|·|OR|. 三、解答題 9．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，且橢圓經(jīng)過圓C：x2＋y2－4x＋2y＝0的圓心． (1)求橢圓的方程；

7、 (2)設(shè)直線l過橢圓的焦點(diǎn)且與圓C相切，求直線l的方程． 解　(1)圓C方程化為(x－2)2＋(y＋)2＝6， 圓心C(2，－)，半徑r＝. 設(shè)橢圓的方程為＋＝1 (a>b>0)， 則? 所以所求的橢圓方程是＋＝1. (2)由(1)得到橢圓的左，右焦點(diǎn)分別是F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)，|F2C|＝＝<. ∴F2在C內(nèi)，故過F2沒有圓C的切線，設(shè)l的方程為y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0. 點(diǎn)C(2，－)到直線l的距離為d＝， 由d＝得＝. 解得：k＝或k＝－， 故l的方程為x－5y＋2＝0或x＋y＋2＝0. 10．已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，直線l過點(diǎn)

8、M(4,0)． (1)若點(diǎn)F到直線l的距離為，求直線l的斜率； (2)設(shè)A，B為拋物線上兩點(diǎn)，且AB不垂直于x軸，若線段AB的垂直平分線恰過點(diǎn)M，求證：線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值． (1)解　由已知，得x＝4不合題意， 設(shè)直線l的方程為y＝k(x－4)， 由已知，得拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)， 因?yàn)辄c(diǎn)F到直線l的距離為，所以＝， 解得k＝±，所以直線l的斜率為±. (2)證明　設(shè)線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因?yàn)锳B不垂直于x軸，則直線MN的斜率為， 直線AB的斜率為， 直線AB的方程為y－y0＝(x－x0)， 聯(lián)立方程 消去x得(1－)y2－y0y＋y＋x0(x0－4)＝0， 所以y1＋y2＝， 因?yàn)镹為AB中點(diǎn)，所以＝y(tǒng)0， 即＝y(tǒng)0， 所以x0＝2，即線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值2.