2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第四章 平面向量第四章平面向量

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1、2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第四章 平面向量第四章平面向量 [考情展望]　1.在平面幾何圖形中考查向量運(yùn)算的平行四邊形法則及三角形法則.2.以四種命題及充分必要條件為知識(shí)載體，考查向量的有關(guān)概念.3.借助共線向量定理探求點(diǎn)線關(guān)系或求參數(shù)的值． 一、向量的有關(guān)概念 1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或模)． 2．零向量：長(zhǎng)度為0的向量，其方向是任意的． 3．單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量． 4．平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共線向量．規(guī)定：0與任一向量平行． 5．相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量． 6．相反向量：長(zhǎng)度相等且方

2、向相反的向量． 二、向量的線性運(yùn)算 向量 運(yùn)算 定義 法則 (或幾何意義) 運(yùn)算律 加法 求兩個(gè)向量和的運(yùn)算 三角形法則 b＋a法則 (1)交換律：a＋b＝a＋(b＋c)． (2)結(jié)合律： (a＋b)＋c＝平行四邊形 減法 求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算叫做a與b的差 三角形法則 a－b＝a＋(－b) 數(shù)乘 求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)當(dāng)λ＞0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0. λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)

3、＝λa＋λb 向量加減法運(yùn)算的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)： 加法的三角形法則關(guān)鍵是“首尾相接，指向終點(diǎn)”，并可推廣為多個(gè)向量相加的“多邊形法則”；減法的三角形法則關(guān)鍵是“起點(diǎn)重合，指向被減向量”． 三、平面向量共線定理 　向量b與a(a≠0)共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa. 巧用系數(shù)判共線 ＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若A，B，C三點(diǎn)共線，則λ＋μ＝1；反之，也成立． 1．化簡(jiǎn)－＋＋的結(jié)果為(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 【答案】　D 2．下列給出的命題正確的是(　　) A．零向量是唯一沒(méi)有方向的向量 B．平面內(nèi)的單位向量有且僅有一個(gè) C

4、．a(chǎn)與b是共線向量，b與c是平行向量，則a與c是方向相同的向量 D．相等的向量必是共線向量 【答案】　D 3．設(shè)a，b為不共線向量，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，則下列關(guān)系式中正確的是(　　) A.＝ B.＝2 C.＝－ D.＝－2 【答案】　B 4．(xx·福建高考)設(shè)M為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則＋＋＋等于(　　) A. B．2 C．3 D．4 【答案】　D 5．設(shè)a、b都是非零向量，下列四個(gè)條件中，使＝成立的充分條件是(　　) A．a(chǎn)＝－b B．a(chǎn)∥b C．a(chǎn)＝2b D．a(chǎn)∥b且|a|＝|

5、b| 【答案】　C 6．(xx·四川高考)在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，＋＝λ，則λ＝ . 【答案】　2 考向一 [071]　平面向量的有關(guān)概念 　給出下列四個(gè)命題： ①若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b； ②若＝，則四邊形ABCD為平行四邊形； ③若a與b同向，且|a|＞|b|，則a＞b； ④λ，μ為實(shí)數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線． 其中假命題的個(gè)數(shù)為(　　) A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 【答案】　D 規(guī)律方法1　1.(1)易忽視零向量這一特殊向量，誤認(rèn)為④是正確的；(2)充分利用反例進(jìn)行否定是對(duì)向量的

6、有關(guān)概念題進(jìn)行判定的行之有效的方法． 2．準(zhǔn)確理解向量的基本概念是解決這類題目的關(guān)鍵：(1)相等向量具有傳遞性，非零向量平行也具有傳遞性；(2)共線向量(平行向量)和相等向量均與向量的起點(diǎn)無(wú)關(guān)． 3．“向量”和“有向線段”是兩個(gè)不同的概念，向量只有兩個(gè)要素：大小、方向；而有向線段有三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度． 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　給出下列四個(gè)命題： ①兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同； ②若a＝b，b＝c，則a＝c； ③若a∥b，b∥c，則a∥c； ④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b. 其中假命題的個(gè)數(shù)為(　　) A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 【答

7、案】　C 考向二 [072]　平面向量的線性運(yùn)算 　(1)在△ABC中，若D是AB邊上一點(diǎn)，且＝2，＝＋λ，則λ＝(　　) A.　　　　B.　　　　C．－　　　　D．－ (2)若O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，D為BC邊中點(diǎn)，且2＋＋＝0，那么(　　) A.＝ B.＝2 C.＝3 D．2＝ 【答案】　(1)A　(2)A 規(guī)律方法2　1.解答本例(1)的關(guān)鍵是利用向量的加法與減法把用、表示出來(lái)．解答本例(2)的關(guān)鍵是＋＝2. 2．進(jìn)行向量的線性運(yùn)算時(shí)，要盡可能轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，選用從同一頂點(diǎn)出發(fā)的基本向量或首尾相連的向量，運(yùn)用向量加、減法運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算來(lái)解． 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)

8、練　(1)(xx·課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，則＋＝(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. (2)(xx·南京質(zhì)檢)已知D為三角形ABC邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P滿足＋＋＝0，＝λ，則實(shí)數(shù)λ的值為 ． 【答案】　(1)C　(2)－2 考向三 [073]　共線向量定理的應(yīng)用 　設(shè)兩個(gè)非零向量e1和e2不共線． (1)如果＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2，求證：A、C、D三點(diǎn)共線． (2)如果＝e1＋e2，＝2e1－3e2，＝3e1－ke2，且A、C、F三點(diǎn)共線，求k的值． 【嘗試解答】　(1)＝e1－e2，＝

9、3e1＋2e2， ∴＝＋＝4e1＋e2， 又＝－8e1－2e2， 所以＝－2，∴與共線， 又∵與有公共點(diǎn)C， ∴A、C、D三點(diǎn)共線． (2)∵＝e1＋e2，＝2e1－3e2， ∴＝＋＝3e1－2e2. ∵A、C、F三點(diǎn)共線， ∴∥，從而存在實(shí)數(shù)λ，使得＝λ. ∴3e1－2e2＝3λe1－λke2， 又e1，e2是不共線的非零向量， ∴因此k＝2. 所以實(shí)數(shù)k的值為2. 規(guī)律方法3　1.向量b與非零向量a共線的充要條件是存在唯一實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.要注意通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，要注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用． 2．證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，可用向量共線

10、來(lái)解決，但應(yīng)注意當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線． 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　(1)已知向量a，b不共線，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么(　　) A．k＝1且c與d同向　　　　 B．k＝1且c與d反向 C．k＝－1且c與d同向 D．k＝－1且c與d反向 (2)對(duì)于非零向量a、b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】　(1)D　(2)A 易錯(cuò)易誤之八　忽視零向量的特殊性致誤 ——————————　[1個(gè)示范例]　—————— 　下列命題正確的是(　　)

11、 A．向量a、b共線的充要條件是有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa B．在△ABC中，＋＋＝0 C．不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中兩個(gè)等號(hào)不可能同時(shí)成立 D．向量a、b不共線，則向量a＋b與向量a－b必不共線 【解析】　A不正確，當(dāng)a＝b＝0時(shí)，有無(wú)數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)λ滿足b＝λa. 此處在求解時(shí)，常因忽視“共線向量定理中的條件a≠0”而致誤． B不正確，在△ABC中，＋＋＝0. 此處在求解時(shí)，常因混淆向量與數(shù)量的關(guān)系致誤，0是向量，其模為0，而0是數(shù)量，沒(méi)有方向． C不正確，當(dāng)b＝0時(shí)，不等式|a|≤|a|≤|a|顯然成立． 此處在求解時(shí)，常受代數(shù)不等式||a|－

12、|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|的影響，而忽略了向量中0的作用導(dǎo)致錯(cuò)誤． D正確．∵向量a與b不共線，∴a，b，a＋b與a－b均不為零向量． 若a＋b與a－b平行，則存在實(shí)數(shù)λ，使a＋b＝λ(a－b)， 即(λ－1)a＝(1＋λ)b， ∴λ無(wú)解，故假設(shè)不成立， 即a＋b與a－b不平行，故選D. 【防范措施】　(1)共線向量定理中，b＝λa要求a≠0，否則λ值可能不存在． (2)向量的加減及數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果，仍然是一個(gè)向量，而不是一個(gè)數(shù)． (3)應(yīng)熟練掌握向量不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|等號(hào)成立的條件． ————————　[1個(gè)防錯(cuò)練]　———————

13、 下列說(shuō)法不正確的有 ． ①若a∥b，則a與b的方向相同或相反； ②若λa＝0，則λ＝0； ③相反向量必不相等； ④若a＝e1＋λe2，b＝2e1，λ∈R，且λ≠0，則a∥b 的充要條件是e2＝0. 【解析】　①不正確，如a＝0. ②不正確，λa＝0，則λ＝0或a＝0. ③不正確，0＝－0. ④不正確，當(dāng)e1∥e2時(shí)該命題也成立． 【答案】　①②③④ 課時(shí)限時(shí)檢測(cè)(二十五)　平面向量的基本概念及線性運(yùn)算 (時(shí)間：60分鐘　滿分：80分) 一、選擇題(每小題5分，共30分) 1．若a＋c與b都是非零向量，則“a＋b＋c＝0”是“b∥(a＋c)”的(　

14、　) A．充分而不必要條件　　　 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】　A 2．已知兩個(gè)非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則下面結(jié)論正確的是(　　) A．a(chǎn)∥b B．a(chǎn)⊥b C．|a|＝|b| D．a(chǎn)＋b＝a－b 【答案】　B 3．如圖4－1－1，正六邊形ABCDEF中，＋＋＝(　　) 圖4－1－1 A．0 B. C. D. 【答案】　D 4．設(shè)a，b都是非零向量，下列四個(gè)條件中，一定能使＋＝0成立的是 (　　) A．a(chǎn)＝－b B．a(chǎn)∥b C．a(chǎn)＝2b D．a(chǎn)⊥b 【答案】　A 5．設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量(

15、　　) A．若|a＋b|＝|a|－|b|，則a⊥b B．若a⊥b，則|a＋b|＝|a|－|b| C．若|a＋b|＝|a|－|b|，則存在實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa D．若存在實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa，則|a＋b|＝|a|－|b| 【答案】　C 6．已知△ABC和點(diǎn)M滿足＋＋＝0.若存在實(shí)數(shù)m使得＋＝m成立，則m＝(　　) A．2　　　　B．3 C．4　　　　D．5 【答案】　B 二、填空題(每小題5分，共15分) 7．如圖4－1－2所示，向量a－b＝ (用e1，e2表示)． 圖4－1－2 【答案】　e1－3e2 8．若||＝8，||＝5，則||的取值范圍是

16、 ． 【答案】　[3,13] 9．已知向量a，b是兩個(gè)非零向量，則在下列四個(gè)條件中，能使a、b共線的條件是 (將正確的序號(hào)填在橫線上)． ①2a－3b＝4e，且a＋2b＝－3e； ②存在相異實(shí)數(shù)λ、μ，使λa＋μb＝0； ③xa＋yb＝0(實(shí)數(shù)x，y滿足x＋y＝0)． 【答案】　①② 三、解答題(本大題共3小題，共35分) 10．(10分)設(shè)a，b是不共線的兩個(gè)非零向量． (1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求證：A、B、C三點(diǎn)共線． (2)若8a＋kb與ka＋2b共線，求實(shí)數(shù)k的值． (3)若＝a＋b，＝2a－3b，＝2a－kb，且A、

17、C、D三點(diǎn)共線，求k的值． 【解】　(1)證明?。剑絘＋2b， ＝－＝－a－2b. 所以＝－，又因?yàn)锳為公共點(diǎn)， 所以A、B、C三點(diǎn)共線． (2)設(shè)8a＋kb＝λ(ka＋2b)， 則?或 所以實(shí)數(shù)k的值為±4. (3)＝＋＝(a＋b)＋(2a－3b)＝3a－2b， 因?yàn)锳、C、D三點(diǎn)共線，所以與共線． 從而存在實(shí)數(shù)λ使＝λ，即3a－2b＝λ(2a－kb)， 得解得λ＝，k＝， 所以k＝. 11．(12分)如圖4－1－3所示，在△ABC中，＝，P是BN上的一點(diǎn)，若＝m＋，求實(shí)數(shù)m的值． 圖4－1－3 【解】　如題圖所示，＝＋， ∵P為BN上一點(diǎn)，則＝k，

18、∴＝＋k＝＋k(－) 又＝，即＝， 因此＝(1－k)＋， 所以1－k＝m，且＝， 解得k＝，則m＝1－k＝. 12．(13分)設(shè)O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足＝＋λ(＋)，λ∈[0，＋∞)．求點(diǎn)P的軌跡，并判斷點(diǎn)P的軌跡通過(guò)下述哪一個(gè)定點(diǎn)： ①△ABC的外心；②△ABC的內(nèi)心；③△ABC的重心； ④△ABC的垂心． 【解】　如圖，記＝，＝，則，都是單位向量， ∴||＝||，＝＋，則四邊形AMQN是菱形，∴AQ平分∠BAC，∵＝＋，由條件知＝＋λ， ∴＝λ(λ∈[0，＋∞))，∴點(diǎn)P的軌跡是射線AQ，且AQ通過(guò)△ABC的內(nèi)心． 第二節(jié)　

19、平面向量基本定理及坐標(biāo)表示 [考情展望]　1.考查用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行向量的線性運(yùn)算.2.考查應(yīng)用平面向量基本定理進(jìn)行向量的線性運(yùn)算.3.以向量的坐標(biāo)運(yùn)算及共線向量定理為載體，考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力． 一、平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于該平面內(nèi)任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一組基底． 二、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量平行的坐標(biāo)表示 1．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，則a±b＝(x1±x2，y1±y2)． (2)若A(x1，y1)

20、，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)， ||＝. (3)若a＝(x，y)，λ∈R，則λa＝(λx，λy)． 2．向量平行的坐標(biāo)表示 (1)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件為x1y2－x2y1＝0. (2)三點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)共線的充要條件為(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)＝0. 共線向量的坐標(biāo)表示 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件不能表示成＝，因?yàn)閤2，y2有可能等于0，所以應(yīng)表示為x1y2－x2y1＝0. 1．下列各組向量：①e1＝(－

21、1,2)，e2＝(5,7)；②e1＝(3,5)，e2＝(6,10)；③e1＝(2，－3)，e2＝(，－)，能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量基底的是(　　) A．①　　　B．①③　　　C．②③　　　D．①②③ 【答案】　A 2．若a＝(3,2)，b＝(0，－1)，則2b－a的坐標(biāo)是(　　) A．(3，－4) B．(－3,4) C．(3,4) D．(－3，－4) 【答案】　D 3．已知a＝(4,5)，b＝(8，y)且a∥b，則y等于(　　) A．5 B．10 C. D．15 【答案】　B 4．(xx·福建高考)在下列向量組中，可以把向量a＝(3,2

22、)表示出來(lái)的是(　　) A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2) C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3) 【答案】　B 5．(xx·廣東高考)設(shè)a是已知的平面向量且a≠0.關(guān)于向量a的分解，有如下四個(gè)命題： ①給定向量b，總存在向量c，使a＝b＋c； ②給定向量b和c，總存在實(shí)數(shù)λ和μ，使a＝λb＋μ c； ③給定單位向量b和正數(shù)μ，總存在單位向量c和實(shí)數(shù)λ，使a＝λb＋μ c； ④給定正數(shù)λ和μ，總存在單位向量b和單位向量c，使a＝λb＋μ c. 上述命題中的向量b，c和a在同一

23、平面內(nèi)且兩兩不共線，則真命題的個(gè)數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】　B 6．(xx·北京高考)向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖4－2－1所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則＝ . 圖4－2－1 【答案】　4 考向一 [074]　平面向量基本定理及其應(yīng)用 　(1)在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，則λ＋μ＝ . 圖4－2－2 (2)如圖4－2－2，在四邊形ABCD中，AC和BD相交于點(diǎn)O，設(shè)＝a，＝b，若＝2，則＝ (用向量a和b表示)． 【

24、答案】　(1)　(2)a＋b 規(guī)律方法1　1.解答本例(1)的關(guān)鍵是根據(jù)平面向量基本定理列出關(guān)于λ，μ的方程組． 2．(1)利用平面向量基本定理表示向量時(shí)，要選擇一組恰當(dāng)?shù)幕讈?lái)表示其他向量，即用特殊向量表示一般向量．常與待定系數(shù)法、方程思想緊密聯(lián)系在一起解決問(wèn)題． (2)利用已知向量表示未知向量，實(shí)質(zhì)就是利用三角形法則進(jìn)行向量的加減運(yùn)算，在解題時(shí)，注意方程思想的運(yùn)用． 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　(xx·江蘇高考)設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2為實(shí)數(shù))，則λ1＋λ2的值為 ． 【答案】　 考向二 [075]　平面向量的坐

25、標(biāo)運(yùn)算 　已知O(0,0)，A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)． 設(shè)＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b， (1)求3a＋b－3c； (2)求滿足a＝mb＋nc的實(shí)數(shù)m，n； (3)求M、N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)． 【嘗試解答】　a＝＝(3－(－2)，－1－4)＝(5，－5)， b＝＝(－3－3，－4－(－1))＝(－6，－3)， c＝＝(－2－(－3)，4－(－4))＝(1,8)． (1)3a＋b－3c＝(15，－15)＋(－6，－3)－(3,24) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)由a＝mb＋nc，得(5，－5)＝(－6m，－3

26、m)＋(n,8n) ＝(－6m＋n，－3m＋8n)． ∴ 解得 (3)∵＝－＝3c， ∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M(0,20)． 又∵＝－＝－2b， ∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N(9,2)． ∴＝(9，－18)． 規(guī)律方法2　1.向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加減、數(shù)乘運(yùn)算的法則進(jìn)行．若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)，注意方程思想的應(yīng)用． 2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算的引入為向量提供了新的語(yǔ)言——“坐標(biāo)語(yǔ)言”，實(shí)質(zhì)是“形”化為“數(shù)”．向量的坐標(biāo)運(yùn)算，使得向量的線性運(yùn)算都可用坐標(biāo)來(lái)進(jìn)行，實(shí)現(xiàn)了向量運(yùn)

27、算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來(lái)． 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　(1)(xx·廣東高考)已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，則b－a＝(　　) A．(－2,1)　　　 B．(2，－1) C．(2,0) D．(4,3) (2)(xx·北京高考)已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，則2a－b＝(　　) A．(5,7) B．(5,9) C．(3,7) D．(3,9) 【答案】　(1)B　(2)A 考向三 [076]　平面向量共線的坐標(biāo)表示 　(1)設(shè)向量a，b滿足|a|＝2，b＝(2,1)，且a與b的方向相反，則a的坐標(biāo)為 ． (2)向量a＝，b＝(cos α，1)，且a

28、∥b，則cos 2α＝(　　) A．－　　　　B.　　　　C．－　　　　D. 【答案】　(1)(－4，－2)　(2)D 規(guī)律方法3　1.兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2－x2y1＝0；(2)若a∥b(a≠0)，則b＝λa. 2．向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù)．當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零時(shí)，也可以利用坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例來(lái)求解． 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　(1)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ為實(shí)數(shù)，(a＋λb)∥c，則λ＝(　　) A.　　　B.　　　C．1　　　D．2 (

29、2)已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，若點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m滿足的條件是 ． 【答案】　(1)B　(2)m≠ 思想方法之十二　待定系數(shù)法在向量運(yùn)算中的應(yīng)用 根據(jù)向量之間的關(guān)系，利用待定系數(shù)法列出一個(gè)含有待定系數(shù)的恒等式，然后根據(jù)恒等式的性質(zhì)求出各待定系數(shù)的值或消去這些待定系數(shù)，找出原來(lái)那些系數(shù)之間的關(guān)系，從而使問(wèn)題得到解決． ——————————　[1個(gè)示范例]　—————— 　如圖4－2－3所示，在△OAB中，＝， 圖4－2－3 ＝，AD與BC交于點(diǎn)M，設(shè)＝a，＝b，利用a和b表示向量. 【解】　設(shè)＝ma＋nb

30、， 則＝－＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb. ＝－＝－＝b－a.因?yàn)锳、M、D三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)λ，使＝λ，即(m－1)a＋nb＝－λa＋b. 所以消去λ，得m＋2n＝1，① 同理＝－＝ma＋nb－a＝a＋nb， ＝－＝b－a，因?yàn)镃、M、B三點(diǎn)共線， 所以存在實(shí)數(shù)t，使＝t，即a＋nb＝t. 所以消去t，得4m＋n＝1，② 聯(lián)立①②，得m＝，n＝，所以＝a＋b., ————————　[1個(gè)對(duì)點(diǎn)練]　——————— 如圖4－2－4所示，M是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足條件＋2＋3＝0，延長(zhǎng)CM交AB于N，令＝a，試用a表示. 圖4－2－4 【解】　因?yàn)椋剑?，＝＋?/p>

31、 所以由＋2＋3＝0，得 (＋)＋2(＋)＋3＝0， 所以＋3＋2＋3＝0. 又因?yàn)锳，N，B三點(diǎn)共線，C，M，N三點(diǎn)共線， 由平面向量基本定理，設(shè)＝λ，＝μ， 所以λ＋3＋2＋3μ＝0. 所以(λ＋2)＋(3＋3μ)＝0. 由于和不共線，由平面向量基本定理， 得所以 所以＝－＝，＝＋＝2＝2a. 課時(shí)限時(shí)檢測(cè)(二十六)　平面向量基本定理及坐標(biāo)表示 (時(shí)間：60分鐘　滿分：80分) 一、選擇題(每小題5分，共30分) 1．若向量＝(2,3)，＝(4,7)，則＝(　　) A．(－2，－4)　　　　　　　 B．(2,4) C．(6,10) D．(－6，－10)

32、 【答案】　A 2．(xx·陜西高考)已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，則實(shí)數(shù)m等于(　　) A．－ B. C．－或 D．0 【答案】　C 3．已知向量m＝(2,0)，n＝.在△ABC中，＝2m＋2n，＝2m－6n，D是BC邊的中點(diǎn)，則||等于(　　) A．2　　　　 B．4　　　　 C．6　　　　 D．8 【答案】　A 4．在△ABC中，點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，且＝，點(diǎn)O在線段CD上(與點(diǎn)C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，則x的取值范圍(　　) A．(0,1) B. C．(－1,0) D. 【答案】　C 5．設(shè)向

33、量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a、3b－2a、c的有向線段首尾相接能構(gòu)成三角形，則向量c為(　　) A．(1，－1) B．(－1,1) C．(－4,6) D．(4，－6) 【答案】　D 6．△ABC的三內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，設(shè)向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，則角C的大小為(　　) A. B. C. D. 【答案】　B 二、填空題(每小題5分，共15分) 7．若三點(diǎn)A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共線，則＋的值為 ． 【答案

34、】　 8．在△ABC中，若點(diǎn)D是邊AB上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，若＝a，＝b，則等于 ． 【答案】　a＋b 9．已知A(－3,0)，B(0，)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C在第二象限，且∠AOC＝30°，＝λ＋，則實(shí)數(shù)λ的值為 ． 【答案】　1 三、解答題(本大題共3小題，共35分) 10．(10分)設(shè)坐標(biāo)平面上有三點(diǎn)A，B，C，i，j分別是坐標(biāo)平面上x(chóng)軸、y軸正方向上的單位向量，若向量＝i－2j，＝i＋mj，那么是否存在實(shí)數(shù)m，使A，B，C三點(diǎn)共線． 【解】　法一　假設(shè)滿足條件的m存在，由A，B，C三點(diǎn)共線，得∥， ∴存在實(shí)數(shù)λ，使＝λ，即i－2j＝λ(i＋mj)

35、， ∴∴m＝－2. ∴當(dāng)m＝－2時(shí)，A，B，C三點(diǎn)共線． 法二　假設(shè)滿足條件的m存在，根據(jù)題意可知i＝(1,0)，j＝(0,1)． ∴＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)，＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)，由A，B，C三點(diǎn)共線，得∥， 故1·m－1·(－2)＝0， 解得m＝－2. ∴當(dāng)m＝－2時(shí)，A，B，C三點(diǎn)共線． 11．(12分)已知點(diǎn)O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且＝＋t(t∈R)，問(wèn)： (1)t為何值時(shí)，點(diǎn)P在x軸上？點(diǎn)P在二、四象限角平分線上？ (2)四邊形OABP能否成為平行四邊形？若能，求出相應(yīng)的t值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【解】　(1

36、)∵O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)， ∴＝(1,2)，＝(3,3)， ＝＋t＝(1＋3t,2＋3t)． 若P在x軸上， 只需2＋3t＝0，t＝－； 若P在第二、四象限角平分線上，則 1＋3t＝－(2＋3t)，t＝－. (2)＝(1,2)，＝(3－3t,3－3t)， 若OABP是平行四邊形， 則＝， 即此方程組無(wú)解． 所以四邊形OABP不可能為平行四邊形． 12．(13分)如圖4－2－5，G是△OAB的重心，P，Q分別是邊OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，且P，G，Q三點(diǎn)共線． 圖4－2－5 (1)設(shè)＝λ，將用λ，，表示； (2)設(shè)＝x，＝y(tǒng)，證明：＋是定值． 【

37、解】　(1)＝＋＝＋λ ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ. (2)證明　一方面，由(1)，得 ＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)x＋λy；① 另一方面，∵G是△OAB的重心， ∴＝＝×(＋)＝＋.② 而，不共線， ∴由①②，得 解得 ∴＋＝3(定值)． 第三節(jié)　平面向量的數(shù)量積 [考情展望]　1.以客觀題的形式考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算，向量垂直條件與數(shù)量積的性質(zhì).2.以平面向量數(shù)量積為工具，與平面幾何、三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)交匯命題，主要考查運(yùn)算能力及數(shù)形結(jié)合思想． 一、平面向量的數(shù)量積 1．?dāng)?shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為θ，則向量a與b的數(shù)量積是

38、數(shù)量|a||b|cos θ，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0. 2．向量的投影：設(shè)θ為a與b的夾角，則向量a在b方向上的投影是|a|cos θ；向量b在a方向上的投影是|b|cos θ. 3．?dāng)?shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積． 二、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律 1．交換律：a·b＝b·a； 2．?dāng)?shù)乘結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； 3．分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 三、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y

39、2)，θ為向量a，b的夾角． 結(jié)論 幾何表示 坐標(biāo)表示 模 |a|＝ |a|＝ 數(shù)量積 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 夾角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的 充要條件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|與|a||b|的 關(guān)系 |a·b|≤|a||b|(當(dāng)且僅 當(dāng)a∥b時(shí)等號(hào)成立) |x1x2＋y1y2|≤ · 1．已知a＝(1，－3)，b＝(4,6)，c＝(2,3)，則(b·c)a等于 (　　) A．(26，－78)　 B．(－28，－42) C．－52 D．－78 【答案】　A 2．已

40、知向量a、b滿足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，則a與b的夾角為(　　) A. B. C. D. 【答案】　C 3．已知向量a，b和實(shí)數(shù)λ，下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是(　　) A．|a|＝ B．|a·b|＝|a|·|b| C．λ(a·b)＝λa·b D．|a·b|≤|a|·|b| 【答案】　B 4．已知向量a，b滿足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，則|2a－b|＝(　　) A．0 B．2 C．4 D．8 【答案】　B 5．(xx·湖北高考)已知點(diǎn)A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，則向量在方向上的投影為(　　) A. B.

41、 C．－ D．－ 【答案】　A 6．(xx·課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)已知兩個(gè)單位向量a，b的夾角為60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，則t＝ . 【答案】　2 考向一 [077]　平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 　(1)(xx·浙江高考)在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM＝3，BC＝10，則·＝ . (2)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則·的值為 ；·的最大值為 ． 【答案】　(1)－16　(2)1　1 規(guī)律方法1　1.平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算有兩種形式，一是依據(jù)長(zhǎng)度與夾角，二是利用坐標(biāo)來(lái)計(jì)算． 2．要有“基底

42、”意識(shí)，關(guān)鍵用基向量表示題目中所求相關(guān)向量，如本例(1)中用、表示、等．注意向量夾角的大小，以及夾角θ＝0°，90°，180°三種特殊情形． 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　(1)(xx·江西高考)設(shè)e1，e2為單位向量， 且e1，e2的夾角為，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，則向量a在b方向上的投影為 ． (2)在邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC中，設(shè)＝2，＝3，則·＝ . 【答案】　(1)　(2)－ 考向二 [078]　平面向量的夾角與垂直 　(1)(xx·安徽高考)若非零向量a，b滿足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，則a與b夾角的余弦值為 ． (2)(xx·山東高

43、考)已知向量與的夾角為120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，則實(shí)數(shù)λ的值為 ． 【答案】　(1)－　(2) 規(guī)律方法2　1.當(dāng)a，b以非坐標(biāo)形式給出時(shí)，求〈a，b〉的關(guān)鍵是借助已知條件求出|a|、|b|與a·b的關(guān)系． 2．(1)非零向量垂直的充要條件：a⊥b?a·b＝0?|a＋b|＝|a－b|?x1x2＋y1y2＝0.(2)本例(2)中常見(jiàn)的錯(cuò)誤是不會(huì)借助向量減法法則把表示成－，導(dǎo)致求解受阻． 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　(1)(xx·重慶高考)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，則實(shí)數(shù)k＝(　　) A．－　　　　B．0　　　　C．3

44、　　　　D. (2)(xx·青島質(zhì)檢)已知向量與的夾角為120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，則實(shí)數(shù)λ的值是 ． 【答案】　(1)C　(2) 考向三 [079]　平面向量的模及其應(yīng)用 　(1)設(shè)x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，則|a＋b|＝(　　) A.　　　B.　　　C．2　　　D．10 【答案】　B (2)已知＝(cos θ，sin θ)，＝(1＋sin θ，1＋cos θ)，其中0≤θ≤π，求||的取值范圍及||取得最大值時(shí)θ的值． 【嘗試解答】　∵＝－＝(1＋sin θ－cos θ，1＋cos

45、θ－sin θ)， ∴|P|2＝(1＋sin θ－cos θ)2＋(1＋cos θ－sin θ)2 ＝4－4sin θcos θ＝4－2sin 2θ. ∵0≤θ≤π，∴－1≤sin 2θ≤1， ∴||2∈[2,6]，∴||∈[，]． 當(dāng)sin 2θ＝－1，即θ＝時(shí)，||取得最大值． 規(guī)律方法3　1.x1y2－x2y1＝0與x1x2＋y1y2＝0不同，前者是a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)共線的充要條件，而后者是它們垂直的充要條件． 2．求解向量的長(zhǎng)度問(wèn)題一般可以從兩個(gè)方面考慮： (1)利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再

46、利用余弦定理等方法求解； (2)利用公式|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2把長(zhǎng)度問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運(yùn)算問(wèn)題解決． 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　(1)(xx·江西高考)已知單位向量e1，e2的夾角為α，且cos α＝，若向量a＝3e1－2e2，則|a|＝ . (2)(xx·四川高考)平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c與a的夾角等于c與b的夾角，則m＝(　　) A．－2　　　　B．－1　　　　C．1　　　　D．2 【答案】　(1)3　(2)D 易錯(cuò)易誤之九　忽略向量共線條件致誤 ——————————　[1個(gè)示范例]　——————

47、　(xx·廣州模擬)已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a與a＋λb的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為 ． 【解析】　∵a與a＋λb均為非零向量，且?jiàn)A角為銳角， ∴a·(a＋λb)＞0，即(1,2)·(1＋λ，2＋λ)＞0， ∴(1＋λ)＋2(2＋λ)＞0，∴λ＞－， 當(dāng)a與 a＋λb共線時(shí)，存在實(shí)數(shù)m，使a＋λb＝ma， 此處在求解時(shí)，常因忽略“a與a＋λb共線”的情形致誤，出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因是誤認(rèn)為a·b＞0與〈a，b〉為銳角等價(jià)． 即(1＋λ，2＋λ)＝m(1,2)， ∴，∴λ＝0，即當(dāng)λ＝0時(shí)，a與a＋λb共線． 綜上可知，λ的取值范圍為 【防范措施】　1

48、.a，b的夾角為銳角并不等價(jià)于a·b＞0，a·b＞0等價(jià)于a與b夾角為銳角或0°. 2．依據(jù)兩向量的夾角θ求向量坐標(biāo)中的參數(shù)時(shí)，要注意θ＝0°或180°的情形．其中cos 0°＝1＞0，cos 180°＝－1＜0. ————————　[1個(gè)防錯(cuò)練]　——————— 已知a＝(2，－1)，b＝(λ，3)，若a與b的夾角為鈍角，則λ的取值范圍是 ． 【解析】　由a·b＜0，即2λ－3＜0，解得λ＜. 又當(dāng)a∥b時(shí)，λ＝－6，故所求λ的范圍為λ＜且λ≠－6. 【答案】　 課時(shí)限時(shí)檢測(cè)(二十七)　平面向量的數(shù)量積 (時(shí)間：60分鐘　滿分：80分) 一、選擇題(每小題

49、5分，共30分) 1．(xx·遼寧高考)已知點(diǎn)A(1,3)，B(4，－1)，則與向量同方向的單位向量為(　　) A.　　　　 B. C. D. 【答案】　A 2．(xx·大綱全國(guó)卷)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，則λ＝(　　) A．－4　　　B．－3　　　C．－2　　　D．－1 【答案】　B 3．若向量a, b，c滿足a∥b且a⊥c，則c·(a＋2b)＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．0 【答案】　D 4．已知|a|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝60°，則|2a－b|＝(　　) A．2 B．4 C

50、．2 D．8 【答案】　A 5．已知△ABC為等邊三角形，AB＝2.設(shè)點(diǎn)P，Q滿足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R.若·＝－，則λ＝(　　) A. B. C. D. 【答案】　A 6．已知平面向量|a|＝2，|b|＝1，且(a＋b)⊥，則a與b的夾角為(　　) A. B. C. D. 【答案】　A 二、填空題(每小題5分，共15分) 7．已知向量a＝(1,0)，b＝(1,1)，則向量b－3a與向量a夾角的余弦值為 ． 【答案】?。? 8．已知|a|＝1，|b|＝2，a與b的夾角為60°，則a＋b在a方向上的投影

51、為 ． 【答案】　2 9．設(shè)i、j是平面直角坐標(biāo)系(坐標(biāo)原點(diǎn)為O)內(nèi)分別與x軸、y軸正方向相同的兩個(gè)單位向量，且＝－2i＋j，＝4i＋3j，則△OAB的面積等于 ． 【答案】　5 三、解答題(本大題共3小題，共35分) 10．(10分)已知a＝(1,2)，b＝(x,1)， (1)若(2a＋b)∥(a－b)，求x的值； (2)若2a＋b與a－b的夾角是銳角，求x的取值范圍． 【解】　(1)∵a＝(1,2)，b＝(x,1)， ∴2a＋b＝(2＋x,5)， a－b＝(1－x,1)． 由(2a＋b)∥(a－b)可知 2＋x＝5－5x. 解得x＝.

52、 (2)由題意可知 (2a＋b)·(a－b)＞0且2a＋b與a－b不共線， ∴ ∴＜x＜且x≠. 即所求x的取值范圍是 ∪. 11．(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知四邊形OABC是等腰梯形，A(6,0)，C(1，)，點(diǎn)M滿足＝，點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)(包括端點(diǎn))，如圖． 圖4－3－1 (1)求∠OCM的余弦值； (2)是否存在實(shí)數(shù)λ，使(－λ)⊥，若存在，求出滿足條件的實(shí)數(shù)λ的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【解】　(1)由題意可得＝(6,0)，＝(1，)，＝＝(3,0)，＝(2，－)，＝(－1，－)． ∴cos∠OCM＝cos〈，〉＝＝. (2)設(shè)P(t，

53、)，其中1≤t≤5，λ＝(λt，λ)， －λ＝(6－λt，－λ)，＝(2，－)， 若(－λ)⊥，則(－λ)·＝0， 即12－2λt＋3λ＝0?(2t－3)λ＝12，若t＝，則λ不存在， 若t≠，則λ＝， ∵t∈∪，故λ∈(－∞，－12)∪. 12．(13分)已知點(diǎn)A(1,0)，B(0,1)， C(2sin θ，cos θ)． (1)若||＝||，求的值； (2)若(＋2)·＝1，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求sin θ·cos θ的值． 【解】　∵A(1,0)，B(0,1)，C(2sin θ，cos θ)， ∴＝(2sin θ－1，cos θ)，＝(2sin θ，cos θ－1)．

54、 (1)||＝||， ∴＝， 化簡(jiǎn)得2sin θ＝cos θ， 所以tan θ＝，∴＝＝＝－5. (2)＝(1,0)，＝(0,1)，＝(2sin θ，cos θ)， ∴＋2＝(1,2)， ∵(＋2)·＝1，∴2sin θ＋2cos θ＝1. ∴(sin θ＋cos θ)2＝， ∴1＋2sin θcos θ＝， ∴sin θ·cos θ＝－. 第四節(jié)　平面向量應(yīng)用舉例 [考情展望]　1.用向量的方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何證明問(wèn)題.2.與三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)交匯命題，體現(xiàn)向量運(yùn)算的工具性． 一、向量在平面幾何中的應(yīng)用 1．平面向量在平面幾何中的應(yīng)用主要是用向

55、量的線性運(yùn)算及數(shù)量積解決平面幾何中的平行、垂直、平移、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角等問(wèn)題． 2．用向量解決常見(jiàn)平面幾何問(wèn)題的技巧 問(wèn)題類型 所用知識(shí) 公式表示 線平行、點(diǎn)共線、相似等問(wèn)題 共線向量定理 a∥b?a＝λb ?x1y2－x2y1＝0(b≠0) 其中a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2) 垂直問(wèn)題 數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì) a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a，b 為非零向量 夾角問(wèn)題 數(shù)量積的定義 cos θ＝(θ為向量a，b的夾角) 二、向量在物理中的應(yīng)用 1．向量的加法、減法在力的分解與合成中的

56、應(yīng)用． 2．向量在速度的分解與合成中的應(yīng)用． 3．向量的數(shù)量積在合力做功問(wèn)題中的應(yīng)用：W＝f·s. 1．已知三個(gè)力f1，f2，f3作用于物體同一點(diǎn)，使物體處于平衡狀態(tài)，若f1＝(2,2)，f2＝(－2,3)，則|f3|為(　　) A．2.5　　　　B．4　　　　C．2　　　　D．5 【答案】　D 2．已知O是△ABC所在平面上一點(diǎn)，若·＝·＝·，則O是△ABC的(　　) A．內(nèi)心 B．重心 C．外心 D．垂心 【答案】　D 3．若·＋2＝0，則△ABC為(　　) A．鈍角三角形 B．銳角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 【答案】

57、　D 4．已知兩個(gè)力F1、F2的夾角為90°，它們的合力F的大小為10 N，合力與F1的夾角為60°，那么F1的大小為 ． 【答案】　5 N 5．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，·＝1，則BC＝(　　) A. B. C．2 D. 【答案】　A 6．(xx·山東高考)在△ABC中，已知·＝tan A，當(dāng)A＝時(shí)，△ABC的面積為 ． 【答案】　 考向一 [080]　向量在平面幾何中的應(yīng)用 　(1)在△ABC中，已知向量與滿足·＝0，且·＝，則△ABC為(　　) A．等邊三角形　 B．直角三角形 C．等腰非等邊三角形 D

58、．三邊均不相等的三角形 (2)設(shè)a，b，c為同一平面內(nèi)具有相同起點(diǎn)的任意三個(gè)非零向量，且a與b不共線，a⊥c，|a|＝|c|，則|b·c|的值一定等于(　　) A．以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積 B．以b，c為兩邊的三角形面積 C．以a，b為兩邊的三角形面積 D．以b，c為鄰邊的平行四邊形的面積 (3)已知△ABC的三邊長(zhǎng)AC＝3，BC＝4，AB＝5，P為AB邊上任意一點(diǎn)，則·(－)的最大值為 ． 【答案】　(1)A　(2)D　(3)9 規(guī)律方法1　1.向量在平面幾何中的三大應(yīng)用：一是借助運(yùn)算判斷圖形的形狀；二是借助模、數(shù)量積等分析幾何圖形的面積；三是借助向量探

59、尋函數(shù)的最值表達(dá)式，進(jìn)而求最值． 2．平面幾何問(wèn)題的向量解法 (1)坐標(biāo)法 把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，就賦予了有關(guān)點(diǎn)與向量具體的坐標(biāo)，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問(wèn)題得到解決． (2)基向量法 適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量共線構(gòu)造關(guān)于設(shè)定未知量的方程來(lái)進(jìn)行求解． 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　(1)已知點(diǎn)O，N，P在△ABC所在平面內(nèi)，且||＝||＝||，＋＋＝0，·＝·＝·，則點(diǎn)O，N，P依次是△ABC的(　　) A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、內(nèi)心 C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、內(nèi)心 (注：三角形的三條高線交于一點(diǎn)，此點(diǎn)稱為三角形的垂心)

60、 (2)(xx·課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為CD的中點(diǎn)，則·＝ . 【答案】　(1)C　(2)2 考向二 [081]　平面向量在解析幾何中的應(yīng)用 　(xx·蘇州模擬)已知平面上一定點(diǎn)C(2,0)和直線l：x＝8，P為該平面上一動(dòng)點(diǎn)，作PQ⊥l，垂足為Q，且·＝0. (1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程； (2)若EF為圓N：x2＋(y－1)2＝1的任一條直徑，求·的最大值． 【嘗試解答】　(1)設(shè)P(x，y)，則Q(8，y)． 由·＝0， 得||2－||2＝0，即(x－2)2＋y2－(x－8)2＝0，化簡(jiǎn)得＋＝1. 所以點(diǎn)P在橢圓上，其方程為＋＝1.

61、(2)因·＝(－)·(－) ＝(－－)·(－) ＝(－)2－2＝2－1， P是橢圓＋＝1上的任一點(diǎn)，設(shè)P(x0，y0)， 則有＋＝1，即x＝16－，又N(0,1)， 所以2＝x＋(y0－1)2＝－y－2y0＋17 ＝－(y0＋3)2＋20. 因?yàn)閥0∈[－2，2]， 所以當(dāng)y0＝－3時(shí)，2取得最大值20，故·的最大值為19. 規(guī)律方法2　1.平面向量與解析幾何交匯的題目，向量多用于“包裝”，解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是利用向量的意義、運(yùn)算脫去“向量外衣”，導(dǎo)出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而解決有關(guān)距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問(wèn)題． 2．向量工具作用：利用a⊥b?a·b＝0(a，b

62、為非零向量)，a∥b?a＝λb(b≠0)，可解決垂直、平行問(wèn)題，特別地，向量垂直、平行的坐標(biāo)表示對(duì)于解決解析幾何中的垂直、平行問(wèn)題是一種比較優(yōu)越的方法． 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　(xx·安徽高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量a，b，|a|＝|b|＝1，a·b＝0，點(diǎn)Q滿足＝(a＋b)．曲線C＝{P|＝acos θ＋bsin θ，0≤θ<2π}，區(qū)域Ω＝{P|0

63、向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈. (1)若|a|＝|b|，求x的值； (2)設(shè)函數(shù)f(x)＝a·b，求f(x)的最大值． 【嘗試解答】　(1)由|a|2＝(sin x)2＋sin2 x＝4sin2x， |b|2＝cos2x＋sin2x＝1， 及|a|＝|b|，得4sin2x＝1. 又x∈，從而sin x＝，所以x＝. (2)f(x)＝a·b＝sin x·cos x＋sin2x ＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋， 當(dāng)x＝∈時(shí)，sin取最大值1. 所以f(x)的最大值為. 規(guī)律方法3　平面向量與三角函數(shù)結(jié)合的題目的解題思路通常

64、是將向量的數(shù)量積與模經(jīng)過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算后轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題，然后利用三角函數(shù)基本公式求解． 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量＝(sin α，1)，＝(cos α，0)，＝(－sin α，2)，點(diǎn)P滿足＝. (1)記函數(shù)f(α)＝·，求函數(shù)f(α)的最小正周期； (2)若O、P、C三點(diǎn)共線，求|＋|的值． 【解】　(1)＝(cos α－sin α，－1)，設(shè)＝(x，y)，則＝(x－cos α，y)，由＝得x＝2cos α－sin α，y＝－1， 故＝(2cos α－sin α，－1)． ＝(sin α－cos α，1)，＝(2sin α，－1)， ∴f(α)＝(sin α－cos α，1)·

65、(2sin α，－1) ＝2sin2α－2sin αcos α－1 ＝－(sin 2α＋cos 2α) ＝－sin， ∴f(α)的最小正周期T＝π. (2)由O、P、C三點(diǎn)共線可得 (－1)×(－sin α)＝2×(2cos α－sin α)，得tan α＝， sin 2α＝＝＝， |＋|＝＝＝. 規(guī)范解答之七　平面向量與三角函數(shù)的交匯問(wèn)題 求平面向量與三角函數(shù)的交匯問(wèn)題的一般步驟：第一步：將向量間的關(guān)系式化成三角函數(shù)式；第二步：化簡(jiǎn)三角函數(shù)式；第三步：求三角函數(shù)式的值或求角或分析三角函數(shù)式的性質(zhì)；第四步：明確表述結(jié)論． ——————————　[1個(gè)示范例]　——————

66、 　(12分)(xx·江蘇高考)已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π. (1)若|a－b|＝，求證：a⊥b； (2)設(shè)c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值． 【規(guī)范解答】　(1)證明　由題意得|a－b|2＝2， 2分 即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2. 又因?yàn)閍2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1， 所以2－2a·b＝2，即a·b＝0，故a⊥b. 5分 (2)因?yàn)閍＋b＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)， 所以 7分 由此得，cos α＝cos(π－β)， 由0＜β＜π，得0＜π－β＜π. 9分 又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1， 得sin α＝sin β＝， 11分 而α＞β，所以α＝，β＝. 12分 【名師寄語(yǔ)】　(1)熟練掌握平面向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積的運(yùn)算是求解此類問(wèn)題的前提． (2)解決平面向量與三角函數(shù)的交匯問(wèn)題，要利用平面向量的定義和運(yùn)算法則準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)式．在此基礎(chǔ)上運(yùn)用三角函數(shù)的知識(shí)求解． —————————　[1個(gè)規(guī)