高中數學 第三章 數系的擴充與復數的引入綜合檢測 新人教B版選修2-2

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1、高中數學 第三章 數系的擴充與復數的引入綜合檢測 新人教B版選修2-2 一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．(xx·天津高考)i是虛數單位，復數＝(　　) A．2＋i　　　　　　　　　　 B．2－i C．－2＋i D．－2－i 【解析】　＝＝＝2－i. 【答案】　B 2．(xx·課標全國卷Ⅱ)＝(　　) A．2 B．2 C. D．1 【解析】　由＝＝＝1－i， ∴＝|1－i|＝.故選C. 【答案】　C 3．(xx·哈爾濱高二檢測)若復數(a＋i)2的對應點在y軸負半軸上，則實數a的值是(　　)

2、 A．－1 B．1 C．－ D. 【解析】　因為(a＋i)2＝a2－1＋2ai，又復數(a＋i)2的對應點在y軸負半軸上，所以即a＝－1. 【答案】　A 4．已知＝2＋i，則復數z＝(　　) A．－1＋3i B．1－3i C．3＋i D．3－i 【解析】　∵＝2＋i， ∴＝(1＋i)(2＋i)＝1＋3i， ∴z＝1－3i. 【答案】　B 5．設z的共軛復數是，若z＋＝4，z·＝8，則等于(　　) A．i B．－i C．±1 D．±i 【解析】　設z＝x＋yi(x，y∈R)， 則＝x－yi，則z＋＝4，z·＝8得， ?? ∴＝＝＝±i. 【答案】　D

3、 6．(xx·武漢高二檢測)i為虛數單位，則()2 013＝(　　) A．－i B．－1 C．i D．1 【解析】　因為＝i，故()2 013＝i2 013＝(i2)506·i＝i，所以選C. 【答案】　C 7．(xx·杭州高二檢測)若復數(b∈R)的實部與虛部互為相反數，則b＝(　　) A. B. C．－ D．2 【解析】　因為＝ ＝－i，又復數(b∈R)的實部與虛部互為相反數，所以＝，即b＝－. 【答案】　C 8．已知復數z1＝m＋2i，z2＝3－4i，若為實數，則實數m的值為(　　) A.　　　 B.　　　 C．－　　　 D．－ 【解析】　因為＝＝＝＋i，

4、又為實數，所以＝0，即m＝－. 【答案】　D 9．(xx·陜西高考)設a，b∈R，i是虛數單位，則“ab＝0”是“復數a＋為純虛數”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【解析】　∵a＋＝a－bi為純虛數，∴必有a＝0，b≠0， 而ab＝0時有a＝0或b＝0， ∴由a＝0，b≠0?ab＝0，反之不成立． ∴“ab＝0”是“復數a＋為純虛數”的必要不充分條件． 【答案】　B 10．(xx·陜西高考)設z是復數，則下列命題中的假命題是(　　) A．若z2≥0，則z是實數 B．若z2<0，則z是虛數 C．若z是虛

5、數，則z2≥0 D．若z是純虛數，則z2<0 【解析】　設z＝a＋bi(a，b∈R)， 選項A，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi≥0，則故b＝0或a，b都為0，即z為實數，正確． 選項B，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi<0，則則故z一定為虛數，正確． 選項C，若z為虛數，則b≠0，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi， 由于a的值不確定，故z2無法與0比較大小，錯誤． 選項D，若z為純虛數，則則z2＝－b2<0，正確． 【答案】　C 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在題中的橫線上) 11．(xx·湖南高考)已知復數z＝(

6、3＋i)2(i為虛數單位)，則|z|＝________. 【解析】　法一　∵z＝(3＋i)2，∴|z|＝|(3＋i)2|＝|3＋i|2＝10. 法二　∵z＝(3＋i)2＝9＋6i＋i2＝8＋6i， ∴|z|＝＝10. 【答案】　10 12．復數i2(1＋i)的實部是________． 【解析】　i2(1＋i)＝－1－i，實部為－1. 【答案】　－1 13．(xx·湖北高考)i為虛數單位，設復數z1，z2在復平面內對應的點關于原點對稱，若z1＝2－3i，則z2＝________. 【解析】　∵(2，－3)關于原點的對稱點是(－2,3)， ∴z2＝－2＋3i. 【答案】?。?

7、＋3i 14．若關于x的方程x2＋(2－i)x＋(2m－4)i＝0有實數根，則純虛數m＝________. 【解析】　設m＝bi(b∈R)，則x2＋(2－i)x＋(2bi－4)i＝0，化簡得(x2＋2x－2b)＋(－x－4)i＝0，即 解得∴m＝4i. 【答案】　4i 三、解答題(本大題共4小題，共50分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟) 15．(本小題滿分12分)已知復數z1滿足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i為虛數單位)，復數z2的虛部為2，z1·z2是實數，求z2. 【解】　(z1－2)(1＋i)＝1－i?z1＝2－i. 設z2＝a＋2i，a∈R，則z1z2＝(

8、2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i， ∵z1z2∈R，∴a＝4，∴z2＝4＋2i. 16．(本小題滿分12分)m為何實數時，復數z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i)是 (1)實數；(2)虛數；(3)純虛數． 【解】　z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i) ＝2m2＋m2i－3mi－3m－2＋2i ＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i. (1)由m2－3m＋2＝0得m＝1或2，即m＝1或2時，z為實數． (2)由m2－3m＋2≠0得m≠1且m≠2， 即m≠1且m≠2時，z為虛數． (3)由 得m＝－， 即m＝－時，z為純虛數．

9、 17．(本小題滿分12分)已知復數z＝(1－i)2＋1＋3i. (1)求|z|； (2)若z2＋az＋b＝，求實數a，b的值． 【解】　z＝(1－i)2＋1＋3i＝－2i＋1＋3i＝1＋i. (1)|z|＝＝. (2)z2＋az＋b＝(1＋i)2＋a(1＋i)＋b ＝2i＋a＋ai＋b ＝a＋b＋(a＋2)i， ∵＝1－i， ∴a＋b＋(a＋2)i＝1－i， ∴∴a＝－3，b＝4. 18．(本小題滿分14分)已知復數z滿足|z|＝，z2的虛部是2. (1)求復數z； (2)設z，z2，z－z2在復平面上的對應點分別為A，B，C，求△ABC的面積． 【解】　(1)設z＝a＋bi(a，b∈R)，則z2＝a2－b2＋2abi，由題意得a2＋b2＝2且2ab＝2，解得a＝b＝1或a＝b＝－1，所以z＝1＋i或z＝－1－i. (2)當z＝1＋i時，z2＝2i，z－z2＝1－i，所以A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝1. 當z＝－1－i時，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，所以A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，所以S△ABC＝1.