2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式 一 二維形式的柯西不等式學(xué)案 新人教A版選修4-5

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1、一　二維形式的柯西不等式 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.認(rèn)識二維形式的柯西不等式的代數(shù)形式、向量形式和三角形式，理解它們的幾何意義.2.會用柯西不等式證明一些簡單的不等式，會求某些特定形式的函數(shù)的最值． 知識點(diǎn)　二維形式的柯西不等式 思考1　(a2＋b2)(c2＋d2)與4abcd的大小關(guān)系如何？那么(a2＋b2)(c2＋d2)與(ac＋bd)2的大小關(guān)系又如何？ 答案　(a2＋b2)(c2＋d2)≥4abcd， (a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2. 思考2　當(dāng)且僅當(dāng)a＝b且c＝d時，(a2＋b2)(c2＋d2)＝4abcd，那么在什么條件下(a2＋b2)(c2＋d2)＝(ac＋b

2、d)2? 答案　當(dāng)且僅當(dāng)ad＝bc時，(a2＋b2)·(c2＋d2)＝(ac＋bd)2. 思考3　若向量α＝(a，b)，向量β＝(c，d)，你能從向量的數(shù)量積與向量模的積之間的關(guān)系發(fā)現(xiàn)怎樣的不等式？ 答案　·≥|ac＋bd|. 梳理　(1)二維形式的柯西不等式 ①定理1：若a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，則(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，當(dāng)且僅當(dāng)ad＝bc時，等號成立． ②二維形式的柯西不等式的推論： ·≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R)； ·≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R)． (2)柯西不等式的向量形式 定理2：設(shè)α，β是兩個向量，則|α·β|≤|α

3、|·|β|，當(dāng)且僅當(dāng)β是零向量，或存在實(shí)數(shù)k，使α＝kβ時，等號成立． (3)二維形式的三角不等式 ①定理3：＋≥(x1，y1，x2，y2∈R)． 當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)P1，P2與原點(diǎn)O在同一直線上，并且P1，P2點(diǎn)在原點(diǎn)O兩旁時，等號成立． ②推論：對于任意的x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R，有 ＋≥. 事實(shí)上，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)P1，P2，P3的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，根據(jù)△P1P2P3的邊長關(guān)系有|P1P3|＋|P2P3|≥|P1P2|，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)P1，P2，P3在同一直線上，并且點(diǎn)P1，P2在P3點(diǎn)的兩旁時，等號成立． 類型一　

4、利用柯西不等式證明不等式 例1　已知a1，a2，b1，b2∈R＋，求證：(a1b1＋a2b2)·≥(a1＋a2)2. 證明　∵a1，a2，b1，b2∈R＋， ∴(a1b1＋a2b2) ＝· ≥2 ＝(a1＋a2)2. ∴(a1b1＋a2b2)≥(a1＋a2)2. 反思與感悟　利用柯西不等式的代數(shù)形式證明某些不等式時，有時需要將待證不等式進(jìn)行變形，以具備柯西不等式的運(yùn)用條件，這種變形往往要認(rèn)真分析題目的特征，根據(jù)題設(shè)條件，利用添項(xiàng)、拆項(xiàng)、分解、組合、配方、數(shù)形結(jié)合等方法． 跟蹤訓(xùn)練1　已知θ為銳角，a，b∈R＋， 求證：＋≥(a＋b)2. 證明　∵＋＝(cos2θ＋sin2

5、θ) ≥2＝(a＋b)2， ∴＋≥(a＋b)2. 例2　若實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2＋4y2＋z2＝3，求證：|x＋2y＋z|≤3. 證明　因?yàn)閤2＋4y2＋z2＝3， 所以由柯西不等式得 [x2＋(2y)2＋z2](12＋12＋12)≥(x＋2y＋z)2 . 整理得(x＋2y＋z)2≤9，即|x＋2y＋z|≤3. 反思與感悟　(1)抓住柯西不等式的特征“方、和、積”，構(gòu)造使用柯西不等式的條件． (2)此類題也可以用三角不等式，把△ABO的三個頂點(diǎn)分別設(shè)為O(0,0)，A(x1，x2)，B(－y1，－y2)即可． 跟蹤訓(xùn)練2　設(shè)a，b，c為正數(shù)，求證：＋＋≥(a＋b＋c)

6、． 證明　由柯西不等式知，·≥a＋b， 即·≥a＋b， 同理，·≥b＋c，·≥a＋c. 將上面三個同向不等式相加， 得(＋＋)≥2(a＋b＋c)， ∴＋＋≥(a＋b＋c)． 類型二　利用柯西不等式求最值 例3　若3x＋4y＝2，試求x2＋y2的最小值及最小值點(diǎn)． 解　由柯西不等式(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2， 得25(x2＋y2)≥4，所以x2＋y2≥， 當(dāng)且僅當(dāng)＝時等號成立，點(diǎn)(x，y)為所求最小值點(diǎn)， 解方程組得 因此，當(dāng)x＝，y＝時，x2＋y2取得最小值，最小值為，最小值點(diǎn)為. 反思與感悟　利用柯西不等式求最值 (1)先變形湊成柯西不等式的

7、結(jié)構(gòu)特征，是利用柯西不等式求解的前提條件； (2)有些最值問題從表面上看不能利用柯西不等式，但只要適當(dāng)添加上常數(shù)項(xiàng)或和為常數(shù)的各項(xiàng)，就可以應(yīng)用柯西不等式來解，這也是運(yùn)用柯西不等式解題的技巧； (3)有些最值問題的解決需要反復(fù)利用柯西不等式才能達(dá)到目的，但在運(yùn)用過程中，每運(yùn)用一次前后等號成立的條件必須一致，不能自相矛盾，否則就會出現(xiàn)錯誤．多次反復(fù)運(yùn)用柯西不等式的方法也是常用技巧之一． 跟蹤訓(xùn)練3　已知a，b∈R，且9a2＋4b2＝18，求3a＋2b的最值． 解　由柯西不等式，得(9a2＋4b2)(12＋12)≥(3a＋2b)2， ∵9a2＋4b2＝18， ∴36≥(3a＋2b)2.

8、 ∴|3a＋2b|≤6. 當(dāng)即或時等號成立． ∴當(dāng)a＝1，b＝時，3a＋2b有最大值6. 當(dāng)a＝－1，b＝－時，3a＋2b有最小值－6. 1．已知a，b∈R，a2＋b2＝4，則3a＋2b的最大值為(　　) A．4 B．2 C．8 D．9 答案　B 解析　(a2＋b2)(32＋22)≥(3a＋2b)2，當(dāng)且僅當(dāng)3b＝2a時取等號，所以(3a＋2b)2≤4×13.所以3a＋2b的最大值為2. 2．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，則(　　) A．a(chǎn)b≤ B．a(chǎn)b≥ C．a(chǎn)2＋b2≥2 D．a(chǎn)2＋b2≤3 答案　C 解析　∵(a2＋b2)(12＋12)≥(a＋b)2＝4

9、， ∴a2＋b2≥2. 3．設(shè)xy＞0，則的最小值為________． 答案　9 解析　∵ ＝≥(1＋2)2＝9， 當(dāng)且僅當(dāng)xy＝，即xy＝時，取等號． ∴最小值為9. 4．設(shè)a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，則的最小值為________． 答案　 解析　∵(a2＋b2)(m2＋n2)≥(ma＋nb)2＝25， ∴m2＋n2≥5. ∴≥. 當(dāng)且僅當(dāng)an＝bm時取等號． 5．已知a2＋b2＝1，求證：|acosθ＋bsinθ|≤1. 證明　∵1＝a2＋b2＝(a2＋b2)·(cos2θ＋sin2θ) ≥(acosθ＋bsinθ)2， ∴|ac

10、osθ＋bsinθ|≤1. 1．利用柯西不等式的關(guān)鍵是找出相應(yīng)的兩組數(shù)，應(yīng)用時要對照柯西不等式的原形，進(jìn)行多角度的嘗試． 2．柯西不等式取等號的條件也不容易記憶，如(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2等號成立的條件是ad＝bc，可以把a(bǔ)，b，c，d看成等比，則ad＝bc來聯(lián)想記憶． 一、選擇題 1．已知a，b∈R＋且a＋b＝1，則P＝(ax＋by)2與Q＝ax2＋by2的關(guān)系是(　　) A．P≤Q B．P＜Q C．P≥Q D．P＞Q 答案　A 解析　設(shè)m＝(x，y)，n＝(，)， 則|ax＋by|＝|m·n|≤|m||n| ＝· ＝· ＝， ∴(a

11、x＋by)2≤ax2＋by2.即P≤Q. 2．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，則a－b的取值范圍是(　　) A．[－2，2] B．[－2，2] C．[－，] D．(－，) 答案　A 解析　(a2＋b2)[12＋(－1)2]≥(a－b)2， ∵a2＋b2＝10，∴(a－b)2≤20. ∴－2≤a－b≤2. 3．函數(shù)y＝＋2的最大值是(　　) A. B. C．3 D．5 答案　B 解析　根據(jù)柯西不等式知， y＝1×＋2×≤×＝(當(dāng)且僅當(dāng)x＝時取等號)． 4．若3x2＋2y2≤1，則3x＋2y的取值范圍是(　　) A．[0，] B．[－，0] C．[－，]

12、 D．[－5,5] 答案　C 解析　(3x＋2y)2≤ ＝5×(3x2＋2y2)≤5， ∴－≤3x＋2y≤. 5．已知a，b，c，d，m，n∈R＋，P＝＋，Q＝·，則P與Q的大小關(guān)系為(　　) A．P≤Q B．P＜Q C．P≥Q D．P＝Q 答案　A 解析　∵P＝＋ ≤ ＝·＝Q. ∴P≤Q. 6．已知a，b＞0，且a＋b＝1，則(＋)2的最大值是(　　) A．2 B. C．6 D．12 答案　D 解析　(＋)2 ＝(1×＋1×)2 ≤(12＋12)(4a＋1＋4b＋1) ＝2[4(a＋b)＋2]＝2×(4×1＋2)＝12， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝b＝時

13、等號成立． 二、填空題 7．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足3x2＋2y2≤6，則P＝2x＋y的最大值為________． 答案　 解析　由柯西不等式，得 (2x＋y)2≤[(x)2＋(y)2]· ＝(3x2＋2y2)·≤6×＝11， 所以2x＋y≤. 8．設(shè)x，y∈R＋，則(x＋y)的最小值是________． 答案　5＋2 解析　(x＋y)≥2 ＝(＋)2＝5＋2， 當(dāng)且僅當(dāng)·＝·時，等號成立． 9．已知x＞0，y＞0，且＋＝1，則2x＋y的最小值為________． 答案　3＋2 解析　2x＋y＝(2x＋y) ＝[()2＋()2] ≥2＝3＋2， 當(dāng)且僅當(dāng)·＝·時，等

14、號成立， 又＋＝1， 則此時 10．已知函數(shù)f(x)＝3＋4，則函數(shù)f(x)的最大值為________． 答案　5 解析　由柯西不等式知， (3＋4)2≤(32＋42)·[()2＋()2]＝25. 當(dāng)且僅當(dāng)3＝4時，等號成立， 因此f(x)≤5. 11．函數(shù)f(x)＝3cosx＋4的最大值為________． 答案　5 解析　設(shè)m＝(3,4)， n＝(cosx，)， 則f(x)＝3cosx＋4 ＝m·n≤|m||n| ＝·＝5. 當(dāng)且僅當(dāng)m∥n時，上式取“＝”． 此時，3－4cosx＝0. 解得sinx＝±，cosx＝. 故當(dāng)sinx＝±，cosx＝時．

15、 f(x)＝3cosx＋4取得最大值5. 12．已知關(guān)于x的不等式|x＋a|＜b的解集為{x|2＜x＜4}． 則＋的最大值為__________． 答案　4 解析　由|x＋a|＜b，得－b－a＜x＜b－a， 則解得a＝－3，b＝1. 又＋＝＋ ≤ ＝2＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即t＝1時等號成立， 故(＋)max＝4. 三、解答題 13．設(shè)a，b∈R＋，且a＋b＝2.求證：＋≥2. 證明　根據(jù)柯西不等式，有 [(2－a)＋(2－b)] ＝[()2＋()2] ≥2 ＝(a＋b)2＝4. ∴＋≥＝2. ∴原不等式成立． 四、探究與拓展 14．若a＋b＝1，則2＋

16、2的最小值為(　　) A．1 B．2 C. D. 答案　C 解析　2＋2 ＝a2＋2＋＋b2＋2＋. ∵a＋b＝1， ∴a2＋b2＝(a2＋b2)·(1＋1) ≥(a＋b)2＝. 又∵＋≥≥＝8， 以上兩個不等式都是當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時，等號成立． ∴2＋2≥＋2＋2＋8＝， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時等號成立． 15．已知a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞)．求證：(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥x1x2. 證明　由a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1， x1，x2∈(0，＋∞)，及柯西不等式，可得 (ax1＋bx2)(ax2＋bx1)＝[()2＋()2]·[()2＋()2]≥(·＋·)2＝(a＋b)2＝x1x2， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x1＝x2時取得等號． 所以(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥x1x2. 10