2022版高中數(shù)學(xué) 第二章 概率 課時訓(xùn)練16 正態(tài)分布 新人教B版選修2-3

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1、2022版高中數(shù)學(xué) 第二章 概率 課時訓(xùn)練16 正態(tài)分布 新人教B版選修2-3 (限時：10分鐘) 1．下列函數(shù)中，可以作為正態(tài)分布密度函數(shù)的是(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ 答案：A 2．如果隨機變量ξ～N(－1，σ2)，且P(－3≤ξ≤－1)＝0.4，則P(ξ≥1)等于(　　) A．0.1　B．0.2 C．0.3 D．0.4 答案：A 3．某校高考的數(shù)學(xué)成績近似服從正態(tài)分布N(100,100)，則該校成績位于(80,120)內(nèi)的人數(shù)占考生總?cè)藬?shù)的百分比約為(　　) A．22.8% B．45.6% C．95.44%

2、 D．97.22% 答案：C 4．設(shè)隨機變量X～N(1,52)，且P(X≤0)＝P(X＞a－1)，則實數(shù)a的值為__________． 解析：因為隨機變量X～N(1,52)，所以正態(tài)曲線關(guān)于x＝1對稱，因為P(X≤0)＝P(X＞a－1)，所以0與a－1關(guān)于x＝1對稱，所以×(0＋a－1)＝1，所以a＝3. 答案：3 5．若一批白熾燈共有10 000只，其光通量X服從正態(tài)分布，其概率密度函數(shù)是f(x)＝e，x∈R.試求光通量在下列范圍內(nèi)的白熾燈的個數(shù)． (1)(209－6,209＋6)． (2)(209－18,209＋18)． 解析：由于X的概率密度函數(shù)為 f(x)＝e，

3、所以μ＝209，σ＝6. 所以μ－σ＝209－6，μ＋σ＝209＋6. μ－3σ＝209－6×3＝209－18， μ＋3σ＝209＋6×3＝209＋18. 因此光通量X的取值在區(qū)間(209－6,209＋6)，(209－18,209＋18)內(nèi)的概率應(yīng)分別是0.682 6和0.997 4. (1)光通量X在(209－6,209＋6)范圍內(nèi)的白熾燈個數(shù)大約是10 000×0.682 6＝6 826. (2)光通量X在(209－18,209＋18)范圍內(nèi)的白熾燈個數(shù)大約是10 000×0.997 4＝9 974. (限時：30分鐘) 一、選擇題 1．如圖是當(dāng)ξ取三個不同值ξ1，ξ

4、2，ξ3的三種正態(tài)曲線N(0，σ2)的圖像，那么σ1，σ2，σ3的大小關(guān)系是(　　) A．σ1＞1＞σ2＞σ3＞0 B．0＜σ1＜σ2＜1＜σ3 C．σ1＞σ2＞1＞σ3＞0 D．0＜σ1＜σ2＝1＜σ3 解析：當(dāng)μ＝0，σ＝1時，正態(tài)曲線f(x)＝e.在x＝0時，取最大值，故σ2＝1.由正態(tài)曲線的性質(zhì)，當(dāng)μ一定時，曲線的形狀由σ確定．σ越小，曲線越“瘦高”；σ越大，曲線越“矮胖”，于是有0＜σ1＜σ2＝1＜σ3. 答案：D 2．若隨機變量ξ～N(μ，σ2)，且P(ξ≤c)＝P(ξ＞c)，則c的值為(　　) A．0 B．μ C．－μ D．σ2 解析：由正態(tài)分布密

5、度曲線的性質(zhì)知：曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對稱，且曲線與橫軸之間的面積為1，則有c＝μ. 答案：B 3．設(shè)隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2,9)，若P(ξ≥c＋1)＝P(ξ＜c－1)，則c＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：方法一：由P(ξ＞c＋1)＝P(ξ＜c－1)可知 2＝，解得c＝2. 方法二：∵P(ξ＞c＋1)＝P(ξ＜c－1)， ∴正態(tài)曲線關(guān)于x＝c對稱，又N(2,9)，∴c＝2. 答案：B 4．正態(tài)總體N(0,1)在區(qū)間(－2，－1)和(1,2)上取值的概率為P1，P2，則(　　) A．P1＞P2 B．P1＜P2 C．P1＝P2 D．不

6、確定 解析：根據(jù)正態(tài)曲線的特點，關(guān)于x＝0對稱，可得在區(qū)間(－2，－1)和(1,2)上取值的概率P1，P2相等． 答案：C 5．已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，則P(0＜ξ＜2)＝(　　) A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2 解析：∵ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，∴P(ξ＜2)＝. ∴P(2＜ξ＜4)＝0.8－＝0.3.∴P(0＜ξ＜2)＝0.3. 答案：C 二、填空題 6．設(shè)隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(0,1)，若P(ξ＞1)＝p，則P(－1＜ξ＜0)＝__________. 解析：P(－1＜ξ＜0)＝P(－1＜ξ＜1)

7、 ＝[1－2P(ξ＞1)]＝－P(ξ＞1) ＝－p. 答案：－p 7．在某項測量中，測量結(jié)果X服從正態(tài)分布N(1，σ2)(σ＞0)，若X在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4，則X在(0,2)內(nèi)取值的概率為__________． 解析：由X～N(1，σ2)(σ＞0)，知正態(tài)曲線的對稱軸為x＝1，從而由圖像可知P(0＜X＜1)＝P(1＜X＜2)，所以P(0＜X＜2)＝2P(0＜X＜1)＝2×0.4＝0.8. 答案：0.8 8．某人從某城市的A地乘公交車到火車站，由于交通擁擠，所需時間(單位：分鐘)服從X～N(50,102)，則他在時間段(30,70]內(nèi)趕到火車站的概率是__________

8、． 解析：∵X～N(50,102)，∴μ＝50，σ＝10. ∴P(30＜X≤70)＝P(50－20＜X≤50＋20)＝0.954 4. 答案：0.954 4 三、解答題 9．某年級的一次信息技術(shù)成績近似服從正態(tài)分布N(70,100)，如果規(guī)定低于60分為不及格，不低于90分為優(yōu)秀，那么成績不及格的學(xué)生約占多少？成績優(yōu)秀的學(xué)生約占多少？(參考數(shù)據(jù)：P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝0.954 4)． 解析：由題意得：μ＝70，σ＝10， P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝0.954 4. (1)P(ξ＜6

9、0)＝－P(60＜ξ≤80) ＝－×0.682 6 ＝0.158 7. (2)P(ξ≥90)＝－P(50＜ξ≤90) ＝－×0.954 4 ＝0.022 8. 答：成績不及格的學(xué)生約占15.87%，成績優(yōu)秀的學(xué)生約占2.28%. 10．一建筑工地所需要的鋼筋的長度X～N(8,22)，質(zhì)檢員在檢查一大批鋼筋的質(zhì)量時，發(fā)現(xiàn)有的鋼筋長度小于2米，這時，他是讓鋼筋工繼續(xù)用切割機截鋼筋呢，還是停下來檢修切割機？ 解析：由于X～N(8,22)，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可知，正態(tài)分布在(8－3×2,8＋3×2)之外的取值概率僅為0.3%，長度小于2米的鋼筋不在(2,14)內(nèi)，據(jù)此質(zhì)檢員應(yīng)讓鋼筋工馬

10、上停止切割，并對切割機進(jìn)行檢修． 11．某批待出口的水果罐頭，每罐凈重X(g)服從正態(tài)分布N(184,2.52)，求： (1)隨機抽取1罐，其實際凈重超過186.5 g的概率； (2)隨機抽取1罐，其實際凈重大于179 g小于等于189 g的概率． 解析：由題意知μ＝184，σ＝2.5. (1)易知P(X＞186.5)＝P(X＜181.5)，又P(181.5≤X≤186.5)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.682 6， 所以P(X＞186.5)＝[1－P(181.5≤X≤186.5)] ＝(1－0.682 6)＝0.158 7. (2)P(179＜X≤189)＝P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4.