2022年高考總復習文數(shù)（人教版）講義：第09章 平面解析幾何 第7節(jié) 拋物線及其性質(zhì) Word版含答案

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1、2022年高考總復習文數(shù)（人教版）講義：第09章 平面解析幾何 第7節(jié) 拋物線及其性質(zhì) Word版含答案 考點 高考試題 考查內(nèi)容 核心素養(yǎng) 拋物線的方程 及幾何性質(zhì) xx·全國卷Ⅱ·T5·5分 拋物線與反比例函數(shù)結(jié)合求函數(shù)解析式 數(shù)學運算 xx·全國卷Ⅰ·T5·5分 拋物線與橢圓結(jié)合求線段長度 數(shù)學運算 直線與拋物線 的位置關系 xx·全國卷Ⅰ·T20·12分 拋物線與直線的位置關系 數(shù)學運算 xx·全國卷Ⅱ·T12·5分 在拋物線中求點到直線距離 數(shù)學運算 xx·全國卷Ⅲ·T20·12分 以拋物線為載體證明直線平行，求軌跡方程 邏輯推理 數(shù)學

2、運算 命題分析 拋物線的定義、標準方程及其簡單性質(zhì)等基礎知識常以選擇題填空題形式出現(xiàn)，直線與拋物線的位置關系多以解答題形式考查. 標準 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的幾何意義：焦點F到準線l的距離 圖形 頂點 O(0,0) 對稱軸 y＝0 x＝0 焦點 F F F F 離心率 e＝1 準線 方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 開口 方向

3、向右 向左 向上 向下 焦半徑 (其中P(x0，y0)) |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y(tǒng)0＋ |PF|＝－y0＋ (以右圖為依據(jù)) 設A(x1，y1)，B(x2，y2)． (1)y1y2＝－p2，x1x2＝. (2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ為AB的傾斜角)． (3)＋為定值. (4)以AB為直徑的圓與準線相切． (5)以AF或BF為直徑的圓與y軸相切. 1．判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡一定是拋物線．(　　) (2)拋物線y2＝4x的焦點到準線

4、的距離是4.(　　) (3)若一拋物線過點P(－2,3)，其標準方程可寫為y2＝2px(p>0)．(　　) (4)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形．(　　) (5)過拋物線的焦點與拋物線對稱軸垂直的直線被拋物線截得的線段叫作拋物線的通徑，那么拋物線x2＝－2ay(a>0)的通徑長為2a.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ 2．(教材習題改編)拋物線y＝－x2的焦點坐標是(　　) A．(0，－1)　　　 B．(0,1) C．(1,0)　　 D．(－1,0) 解析：選A　y＝－x2化為標準方程x2＝－4y,2p＝4，p＝2，對稱軸y軸開口向下，焦

5、點坐標(0，－1)． 3．(教材習題改編)若拋物線y＝4x2上的一點M到焦點的距離為1，則點M的縱坐標是(　　) A．　　　 B．　　 C．　 D．0 解析：選B　M到準線的距離等于M到焦點的距離，又準線方程為y＝－，設M(x，y)，則y＋＝1，∴y＝. 4．(教材習題改編)拋物線x2＝2py(p＞0)上的點P(m,2)到焦點F的距離為3，則該拋物線的方程為________． 解析：∵P到焦點距離為3， ∴P到準線距離為3. 又P點坐標為(m,2)， ∴準線為y＝－1，∴p＝2.∴方程為x2＝4y. 答案：x2＝4y 拋物線定義及應用 [析考情] 高考中對拋物

6、線定義的考查有兩個層次，一是當已知曲線是拋物線時，拋物線上的點M滿足定義，它到準線的距離為d，則|MF|＝d，有關距離、最值、弦長等是考查的重點；二是利用動點滿足的幾何條件符合拋物線的定義，從而得到動點的軌跡是拋物線． [提能力] 【典例1】 已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，準線為l，P是準線l上一點，Q是直線PF與C的一個交點，若＝4，則|QF|＝(　　) A．　　 B． C．3　　 D．2 解析：選C　因為＝4， 所以||＝4||，所以＝. 如圖，過Q作QQ′⊥l，垂足為Q′， 設l與x軸的交點為A，則|AF|＝4， 所以＝＝，所以|QQ′|＝3， 根據(jù)拋物線定

7、義可知|QF|＝|QQ′|＝3. 【典例2】 已知F是拋物線y2＝x的焦點，A、B是該拋物線上的兩點，|AF|＋|BF|＝3，則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為(　　) A．　　 B．1 C．　　 D． 解析：選C　∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋＝3， ∴xA＋xB＝. ∴線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為＝. [悟技法] 　拋物線定義的應用 (1)利用拋物線的定義解決此類問題，應靈活地進行拋物線上的點到焦點的距離與到準線距離的等價轉(zhuǎn)化．即“看到準線想到焦點，看到焦點想到準線”． (2)注意靈活運用拋物線上一點P(x，y)到焦點F的距離|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋.

8、[刷好題] 1．設經(jīng)過拋物線C的焦點的直線l與拋物線C交于A、B兩點，那么拋物線C的準線與以AB為直徑的圓的位置關系為(　　) A．相離　　 B．相切 C．相交但不經(jīng)過圓心　　 D．相交且經(jīng)過圓心 解析：選B　設圓心為M，焦點為F，過點A，B，M作準線l的垂線， 垂足分別為A1，B1，M1， 則|MM1|＝(|AA1|＋|BB1|)． 由拋物線定義可知|BF|＝|BB1|，|AF|＝|AA1|， 所以|AB|＝|BB1|＋|AA1|，|MM1|＝|AB|， 即圓心M到準線的距離等于圓的半徑， 故以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切． 2．已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直

9、線l2：x＝－1，則拋物線y2＝4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是(　　) A．　　 B．2 C．　　 D．3 解析：選B　由題可知l2：x＝－1是拋物線y2＝4x的準線，設拋物線的焦點F為(1,0)，則動點P到l2的距離等于|PF|，則動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值即為焦點F到直線l1：4x－3y＋6＝0的距離，所以最小值是＝2. 拋物線標準方程及性質(zhì) [明技法] 1．求拋物線的標準方程的方法 (1)求拋物線的標準方程常用待定系數(shù)法，因為未知數(shù)只有p，所以只需一個條件確定p值即可． (2)因為拋物線方程有四種標準形式，因此求拋物線方程時，

10、需先定位，再定量． 2．確定及應用拋物線性質(zhì)的技巧 (1)利用拋物線方程確定及應用其焦點、準線等性質(zhì)時，關鍵是將拋物線方程化為標準方程． (2)要結(jié)合圖形分析，靈活運用平面幾何的性質(zhì)以圖助解． [提能力] 【典例1】 (xx·陜西卷)已知拋物線y2＝2px(p＞0)的準線經(jīng)過點(－1,1)，則該拋物線焦點坐標為(　　) A．(－1,0)　　 B．(1,0)　　 C．(0，－1)　　 D．(0,1) 解析：選B　拋物線y2＝2px(p＞0)的準線為x＝－且過點(－1,1)，故－＝－1，解得p＝2.所以拋物線的焦點坐標為(1,0)． 【典例2】 (xx·徐州調(diào)研)若拋物線y2＝2

11、px上一點P(2，y0)到其準線的距離為4，則拋物線的標準方程為(　　) A．y2＝4x　　 B．y2＝6x C．y2＝8x　　 D．y2＝10x 解析：選C　∵拋物線y2＝2px，∴準線為x＝－.∵點P(2，y0)到其準線的距離為4，∴＝4.∴p＝4.∴拋物線的標準方程為y2＝8x. [刷好題] 1．(xx·全國卷Ⅰ)以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A，B兩點，交C的準線于D，E兩點．已知|AB|＝4，|DE|＝2，則C的焦點到準線的距離為(　　) A．2　　 B．4　　 C．6　　 D．8 解析：選B　不妨設拋物線C：y2＝2px(p>0)，則圓的方程可設為x2＋y2＝r2

12、(r>0)，如圖，又可設A(x0,2)， D，點A(x0,2)在拋物線y2＝2px上， ∴8＝2px0，① 點A(x0,2)在圓x2＋y2＝r2上，∴x＋8＝r2，② 點D在圓x2＋y2＝r2上， ∴5＋2＝r2，③ 聯(lián)立①②③，解得p＝4，即C的焦點到準線的距離為 p＝4，故選B． 2．設拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點為F，點A(0,2)，若線段FA的中點B在拋物線上，則B到該拋物線準線的距離為________． 解析：拋物線的焦點F的坐標為， 則線段FA的中點B的坐標為， 代入拋物線方程得1＝2p×，解得p＝， 故點B的坐標為， 故點B到該拋物線準線的距離

13、為＋＝. 答案： 拋物線中的最值問題 [析考情] 在高考中對拋物線中最值問題的考查是一個熱考點，它是對拋物線定義、直線與拋物線關系及函數(shù)思想方法的綜合應用． [提能力] 命題點1：定義轉(zhuǎn)換法 【典例1】 (xx·豫南九校聯(lián)考)已知點P是拋物線x2＝4y上的動點，點P在x軸上的射影是點Q，點A的坐標是(8,7)，則|PA|＋|PQ|的最小值為(　　) A．7　　 B．8　　 C．9　　 D．10 解析：選C　拋物線的焦點為F(0,1)，準線方程為y＝－1，根據(jù)拋物線的定義知，|PF|＝|PM|＝|PQ|＋1. 所以|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PM|－1＝|PA|

14、＋|PF|－1≥|AF|－1＝－1＝10－1＝9. [悟技法] 與拋物線上的點到準線距離有關的最值問題，一般都是利用拋物線的定義，將到準線的距離轉(zhuǎn)化為到焦點的距離，然后通過數(shù)形結(jié)合直接判斷出取得最值時所要滿足的條件，這樣就能避免煩瑣的代數(shù)運算． 命題點2：平移直線法 【典例2】 拋物線y＝－x2上的點到直線4x＋3y－8＝0距離的最小值是__________. 解析：方法一　如圖，設與直線4x＋3y－8＝0平行且與拋物線y＝－x2相切的直線為4x＋3y＋b＝0， 切線方程與拋物線方程聯(lián)立得 消去y整理得3x2－4x－b＝0， 則Δ＝16＋12b＝0，解得b＝－， 所以切線

15、方程為4x＋3y－＝0， 拋物線y＝－x2上的點到直線4x＋3y－8＝0距離的最小值是這兩條平行線間的距離d＝＝. 方法二　由y＝－x2，得y′＝－2x. 如圖，設與直線4x＋3y－8＝0平行且與拋物線y＝－x2相切的直線與拋物線的切點是T(m，－m2)， 則切線斜率k＝y(tǒng)′|x＝m＝－2m＝－， 所以m＝，即切點T， 點T到直線4x＋3y－8＝0的距離d＝＝，由圖知拋物線y＝－x2上的點到直線4x＋3y－8＝0距離的最小值是. 方法三　設P(x，－x2)，則點P到直線4x＋3y－8＝0的距離d＝＝＝2＋，在拋物線y＝－x2中，x∈R， 所以當x＝時，d取得最小值，即拋物線y＝

16、－x2上的點到直線4x＋3y－8＝0距離的最小值是. 答案： [悟技法] 若拋物線上的任一點P到直線l的距離最小，則過點P與l平行的直線與拋物線相切，且最小距離為兩平行直線間的距離，所以可將問題轉(zhuǎn)化為求與拋物線相切的直線，然后求兩平行直線間的距離． 命題點3：函數(shù)法 【典例3】 若點P在拋物線y2＝x上，點Q在圓(x－3)2＋y2＝1上，則|PQ|的最小值為________． 解析：由題意得拋物線與圓不相交， 且圓的圓心為A(3,0)， 則|PQ|≥|PA|－|AQ|＝|PA|－1， 當且僅當P，Q，A三點共線時取等號， 所以當|PA|取得最小值時，|PQ|最小． 設P(

17、x0，y0)，則y＝x0，|PA|＝＝ ＝， 當且僅當x0＝時，|PA|取得最小值， 此時|PQ|取得最小值－1. 答案：－1 [悟技法] 解與拋物線有關的最值問題可通過兩點間距離公式或者點到直線的距離公式建立目標函數(shù)，再用求函數(shù)最值的方法求解．解題的關鍵是根據(jù)所給拋物線方程設出動點坐標． [刷好題] 1． (xx·四川卷)設O為坐標原點，P是以F為焦點的拋物線y2＝2px(p＞0)上任意一點，M是線段PF上的點，且|PM|＝2|MF|，則直線OM的斜率的最大值為(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D．1 解析：選C　設P，易知F， 則由|PM|＝2|MF|，得M，

18、 當t＝0時，直線OM的斜率k＝0，當t≠0時，直線OM的斜率k＝＝， 所以|k|＝≤＝， 當且僅當＝時取等號，于是直線OM的斜率的最大值為，選C． 2．(xx·遵義聯(lián)考)已知點P是拋物線x＝y(tǒng)2上的一個動點，則點P到點A(－1,2)的距離與點P到y(tǒng)軸的距離之和的最小值為(　　) A．2　　 B．2－1 C．－1　　 D．＋1 解析：選B　拋物線x＝y(tǒng)2的焦點為F(1,0)． 由拋物線定義，得點P到點A(－1,2)的距離與點P到y(tǒng)軸的距離之和為|PF|＋|PA|－1，其最小值為|AF|－1＝－1＝2－1.故選B． 3．(xx·黃山月考)已知拋物線x2＝2py(p＞0)，定點C(0，p)，點N是點C關于坐標原點O的對稱點，過定點C的直線l交拋物線于A，B兩點．設點N到直線l的距離為d，則|AB|·d的最小值為________． 解析：依題意，點N的坐標為N(0，－p)． 設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 直線AB的方程為y＝kx＋p，與x2＝2py聯(lián)立，消去y得x2－2pkx－2p2＝0. 由一元二次方程根與系數(shù)的關系，得 x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p2. ∴|AB|·d＝2S△ABN＝2××2p×|x1－x2|＝4p2. 當k＝0時，|AB|·d取得最小值，為4p2. 答案：4p2