2020年高中數(shù)學(xué) 1.1.4 投影與直觀圖2教案 北師大版必修2

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1、2020年高中數(shù)學(xué) 1.1.4 投影與直觀圖2教案 北師大版必修2 整幅畫，基本上是從一個視點(diǎn)且只向一個方向看時的統(tǒng)一景物，才能叫做。透視畫。，現(xiàn)存最古的透視畫大概是龐貝的壁畫。人們還不明白當(dāng)時的畫家是怎樣畫出的。與龐貝城建筑的同時，羅馬的建筑家維特魯威寫了《建筑十書》，其中有所謂。斯卡伊諾哥拉菲亞。，可解釋成：劇場舞臺背景透視畫與龐貝的壁畫不謀而合的說法可能是正確的。在維特魯威的書里的很多地方能看到關(guān)于光學(xué)和視覺的敘述，因此歐幾里德有同樣說法是可理解的。 雖然中世紀(jì)的學(xué)者阿爾哈真和培卡姆，也有與歐幾里德相似的敘述，遺憾的是那一時期的透視圖，除了樸素透視畫以外幾乎沒有留下別的。 課程

2、學(xué)習(xí)目標(biāo) ［課程目標(biāo)］ 目標(biāo)重點(diǎn)：平行投影的性質(zhì)和斜二測畫法。 目標(biāo)難點(diǎn)：正確地把握斜二測畫法的要點(diǎn)以及選擇放置直觀圖的角度。 ［學(xué)法關(guān)鍵］ 畫水平放置的空間圖形的直觀圖，一般采用斜二測畫法。 對于斜二測畫法，應(yīng)當(dāng)牢固掌握畫法的規(guī)則，再認(rèn)真地畫幾個常見圖形的直觀圖，從中領(lǐng)會斜二測畫法的要領(lǐng)。 對三視圖的學(xué)習(xí)要緊密地結(jié)合實際應(yīng)用。 可以到工廠去考察機(jī)器零件的實物和圖紙，要認(rèn)真完成教材中的實習(xí)作業(yè)，可以利用課外活動時間探索與研究本節(jié)后面提出的問題，看一看旋轉(zhuǎn)體的三視圖中是否一定有兩個視圖相同，這兩個相同的視圖中是否都包含有這個旋轉(zhuǎn)體的軸截面。 研習(xí)教材重難點(diǎn) 研習(xí)點(diǎn)1.

3、平行投影 1． 點(diǎn)的平行投影：已知圖形F，直線l與平面α相交，過F上任一點(diǎn)M作直線l’平行于l，交平面α于點(diǎn)M’，則M’叫做點(diǎn)M在平面α內(nèi)關(guān)于直線l的平行投影（或像）. 2．圖形的平行投影：如果圖形F上的所有點(diǎn)在平面α內(nèi)關(guān)于直線l的平行投影構(gòu)成圖形F’，則F’叫做圖形F在α內(nèi)關(guān)于直線l的平行投影，平面α叫做投射面，l叫做投射線。 3．平行投影的性質(zhì)： 當(dāng)圖形中的直線或線段不平行于投射線時，平行投影都具有以下性質(zhì)： 1．直線或線段的平行投影仍是直線或線段； 2．平行直線的平行投影是平行或重合的直線； 3．平行于投射面的線段，它的投影與這條線段平行且等長； 4．與投射面平行的平

4、面圖形，它的投影與這個圖形全等； 5．在同一直線或平行直線上，兩條線段平行投影長度的比等于這兩條線段長度的比。 聯(lián)想質(zhì)疑： 為什么平行投影的比例性質(zhì)不變？ 事實上，如果線段AB在平面α內(nèi)關(guān)于直線l的平行投影是A’B’ （如圖），點(diǎn)M在AB上，且AM:MB=m:n ，則點(diǎn)M的平行投影M’在A’B’上，由平行線分線段成比例定理得A’M’:M’B’=m:n 研習(xí)點(diǎn)2．空間圖形的直觀圖 1．概念：用來表示空間圖形的平面圖形，叫做空間圖形的直觀圖. 2．斜二測畫法：國家規(guī)定的統(tǒng)一的畫直觀圖的一種方法，它的規(guī)則是： （1）在已知圖形所在的空間中取水平平面，作互相垂直的軸Ox，Oy，再作

5、Oz軸，使∠xOz=90°，且∠yOz=90°. （2）畫直觀圖時，把Ox、Oy、Oz畫成對應(yīng)的軸O’x’、O’y’、O’z’，使∠x’O’y’=45°（或135°），∠x’O’z’=90°，x’O’y’所確定的平面表示水平平面; （3）已知圖形中，平行于x軸、y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x’軸、y’軸或z’軸的線段. 并使它們和所畫坐標(biāo)軸的位置關(guān)系，與已知圖形中相應(yīng)線段和原坐標(biāo)軸的位置關(guān)系相同； （4）已知圖形中平行于x軸和z軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，平行于y軸的線段，長度為原來長度的一半； （5）畫圖完成后，擦去作為輔助線的坐標(biāo)軸，就得到了空間圖形的直觀圖

6、聯(lián)想質(zhì)疑： 如何理解斜二測畫法？ 1．斜二測畫法是畫幾何體直觀圖的主要方法； 2．斜二測畫法的作圖規(guī)則可以簡要地說成：豎直或水平方向放置的線段畫出后方向、長度都不變，前后方向放置的線段畫出時方向與水平方向成45°或135°角，長度畫成原長度的一半（仍表示原長度 3.正等測畫法：正等測畫法的依據(jù)仍然是平行投影的性質(zhì)，不過這時的投影線和人的視線平行，并且投射線與投射影垂直； 正等測畫法一般用于畫圓柱、圓錐、圓臺、球等旋轉(zhuǎn)體的直觀圖，它的畫法步驟同斜二測畫法. 研習(xí)點(diǎn)3．水平放置的平面圖形的直觀圖的畫法 水平放置的平面圖形的直觀圖的畫法與空間圖形的直觀圖的畫法類似，其具體的畫法步驟

7、是： （1）在已知圖形中取水平平面，作互相垂直的軸Ox，Oy，使Ox⊥Oy； （2）畫直觀圖時，把軸Ox、Oy畫成對應(yīng)的軸Ox’、Oy’，使∠x’Oy’=45°（或135°），x’Oy’所確定的平面表示水平平面； （3）已知圖形中，平行于x軸、y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x’軸，y’軸的線段，并使它們和所畫坐標(biāo)軸的位置關(guān)系，與已知圖形中相應(yīng)線段和原坐標(biāo)軸的位置關(guān)系相同； （4）已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，平行于y軸的線段，長度為原來長度的一半； （5）畫圖完成后，擦去作為輔助線的坐標(biāo)軸，就得到了水平放置的平面圖形的直觀圖。 研習(xí)點(diǎn)4．中心投影

8、一個點(diǎn)光源把一個圖形照射到一個平面上，這個圖形的影子就是它在這個平面上的 中心投影。 聯(lián)想質(zhì)疑： 平行投影與中心投影的關(guān)系是什么？ 1．平行投影與中心投影的本質(zhì)區(qū)別在于：平行投影的投射線都互相平行，中心投影 的投射線是由同一點(diǎn)發(fā)出的； 2．中心投影和平行投影都是空間圖形的基本畫法，平行投影包括斜二測畫法和下一節(jié)要學(xué)習(xí)的三視圖，中心投影后的圖形與原圖形相比雖然改變較多，但直觀性強(qiáng)，看起來與人的視覺效果一致，最像原來的物體； 3．畫實際效果圖時，一般采用中心投影法，畫立體幾何中的圖形時一般用平行投影法； 探究解題新思路 基礎(chǔ)拓展型 題型1. 考查基本概念 例1. 當(dāng)圖

9、形中的直線或線段不平行于投射線時，關(guān)于平行投影的性質(zhì)，下列說法中不正確的是（ ） （A）直線或線段的平行投影仍是直線或線段 （B）平行直線的平行投影仍是平行的直線 （C）與投射面平行的平面圖形，它的投影與這個圖形全等 （D）在同一直線或平行直線上，兩條線段平行投影的比等于這兩條線段的比 【探究】根據(jù)平行投影的概念和性質(zhì)進(jìn)行判斷。 【研析】根據(jù)平行投影的性質(zhì)可知，平行直線的平行投影是平行或重合的直線，所以B不正確， 選B. 【反思·領(lǐng)悟】 理解并熟記平行投影的概念及其五條性質(zhì)是解好此類判斷題的關(guān)鍵 1．有下列說法： ①從投影的角度看，正等測畫法和斜

10、二測畫法畫出的直觀圖都是平行投影下畫出來的空間圖形； ②平行投影的投影線互相平行，中心投影的投射線相交于一點(diǎn)； ③空間圖形經(jīng)過中心投影后，直線變成直線，但平行線可能變成了相交的直線； ④空間幾何體在平行投影與中心投影下有不同的表現(xiàn)形式。 其中正確的命題個數(shù)是（ B ） （A）1個 （B）2個 （C）3個 （D）4個 小結(jié)：此類題通過選擇題或填空題的形式來考查平行投影的概念及相應(yīng)性質(zhì)，多為判斷題，解決此類題目的關(guān)鍵是熟練掌握平行投影的概念和性質(zhì)，注意各條性質(zhì)間的關(guān)系。 題型2．用斜二測畫法畫直觀圖 1．水平放置的直觀圖的畫法： 例2．用斜二

11、測畫法畫出水平放置的正五邊形的直觀圖。 【探究】先畫出正五邊形的圖形，然后按照斜二測畫法的作圖步驟進(jìn)行畫圖。 【研析】 （1）如圖所示，在已知五邊形ABCDE中，取中心O為原點(diǎn)，對稱軸FA為y軸，過點(diǎn)O與y軸垂直的是x軸，分別過B、E作GB//y軸，HE//y軸，與x軸分別交于點(diǎn)G、H, 畫對應(yīng)的軸O’x’、O’y’，使∠x’O’y’=45°, （2）如圖所示：以點(diǎn)O’為中點(diǎn)，在x’軸上取G’H’=GH，分別過G’，H’在x’軸的上方，作G’B’//y’軸，使G’B’=GB；作H’E’//y’軸，使H’E’=HE；在y’軸的點(diǎn)O’上方取O’A’=OA，在點(diǎn)O’下方取O’F’=OF，并且以

12、點(diǎn)F’為中點(diǎn)，畫C’D’//x軸，且使C’D’=CD, （3）連結(jié)A’B’、B’C’、C’D’、D’E’，E’A’所得正五邊形A’B’C’D’E’就是正五邊形ABCDE的直觀圖，如圖所示。 【反思·領(lǐng)悟】 在直觀圖中確定坐標(biāo)軸上的對應(yīng)點(diǎn)及與坐標(biāo)軸平行的線段端點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)都比較好辦，但是如果原圖中的點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上或不在與坐標(biāo)軸平行的線段上，就需要我們經(jīng)過這些點(diǎn)作坐標(biāo)軸的平行線段與坐標(biāo)軸相交，然后先確定這些平行線段在坐標(biāo)軸上的端點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)，再確定這些點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)。 【拓展·變式】 2. 畫出一個銳角為45°的平行四邊形的直觀圖。 2．空間圖形直觀圖的畫法： 例3．已知一個正四

13、棱臺的上底面邊長為2cm，下底面邊長為6cm，高為4cm，用斜二測畫法畫出此正四棱臺的直觀圖. 【探究】先畫出上、下底面正方形的直觀圖，再畫出整個正四棱臺的直觀圖. 【研析】（1）畫軸. 以底面正方形ABCD的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于O，使∠xOy=45°，∠xOz=90°. （2）畫下底面. 以O(shè)為中點(diǎn)，在x軸上取線段EF，使得EF=AB=6cm，在y軸上取線段GH，使得GH=AB，再過G，H分別作ABEF，CDEF，且使得CD的中點(diǎn)為H，AB的中點(diǎn)為G，這樣就得到了正四棱臺的下底面ABCD的直觀圖. （3）畫上底面. 在z軸上截取線段OO1=4cm，過O1點(diǎn)作

14、O1x’//Ox、O1y’//Oy，使∠x’O1y’=45°，建立坐標(biāo)系x’O1y’，在x’O1y’中重復(fù)（2）的步驟畫出上底面的直觀圖A1B1C1D1. （4）連結(jié)B1C1，A1D1，再連結(jié)AA1、BB1，CC1，DD1，得到的圖形就是所求的正四棱臺的直觀圖。 【反思·領(lǐng)悟】 用斜二測畫法畫空間圖形的直觀圖時，對于圖中與x軸、y軸、z軸都不平行的線段，可通過確定端點(diǎn)的辦法來解決：過與坐標(biāo)軸不平行的線段的端點(diǎn)作坐標(biāo)軸的平行線段，再借助于所作平行線段確定端點(diǎn)在直觀圖中的位置，有了端點(diǎn)在直觀圖中的位置，一切問題便可迎刃而解。 【拓展·變式】 3．畫出一個上、下底面及高分別為1

15、cm、2cm和2cm的正三棱臺的直觀圖. 教考動向·演練[ 1. 直線的平行投影可能是（ A ） （A）點(diǎn) （B）線段 （C）射線 （D）曲線 2. 兩條不平行的直線，其平行投影不可能是（ D ） （A）兩條平行線. （B）一點(diǎn)和一條直線 （C）兩條相交直線 （D）兩個點(diǎn) 3. 如圖為水平放置的△OAB的直觀圖，由圖判斷原三角形中AB、OB、OD、BD由小到大的順序為 OD

16、. 【探究】先建立45°角的坐標(biāo)系，再建立直角坐標(biāo)系，然后還原成實際圖形. 【研析】在圖中建立如圖所示的坐標(biāo)系x’A’y’，再建立一個直角坐標(biāo)系，如圖所示. 在x軸截取線段AB=A’B’，在y軸上截取線段AD，使AD=2A’D’. 過B作BC//AD，過D作CD//AB，則四邊形ABCD 即為A’B’C’D’的實際圖形. 【反思·領(lǐng)悟】 還原圖形的過程是畫直觀圖的逆過程，它主要包括平行于x軸的線段長度不變，平 行于y軸的線段變?yōu)樵瓉淼?倍 4. 下圖表示水平放置圖形的直觀圖，畫出它原來的圖形. 題型2. 開放探究題 例5. 一個水平放置的四邊形的斜二測直觀圖

17、是一個底角為45°，腰和上底的長均為1的等腰梯形，那么原四邊形的面積是（ ） （A）2+ （B）1+ （C）(2+) （D）(1+) 【探究】 此題是斜二測畫法的逆用，根據(jù)畫法原則還原求解 【研析】由題意可得下底為1+，而由斜二測畫法知一腰垂直于底邊，且腰長為2，于是面積為，故選C。 【反思·領(lǐng)悟】 本例是由直觀圖求原平面圖形的面積，應(yīng)根據(jù)畫法找出腰和底邊的夾角及邊長，再 利用面積公式求解。 請同學(xué)們思考斜二測畫法中夾角為45°和135°時圖形的面積相同嗎？原因是什么呢？ 教考動向·演練 4.下面圖形中采用中心投影畫法的是（ A ） 5. 用斜二測畫法畫直觀圖時，①三角形的直觀圖還是三角形；②平行四邊形的直觀圖還是平行四邊形；③正方形的直觀圖還是正方形；④菱形的直觀圖還是菱形，其中正確的是 ①② 。 6. 一個四邊形的直觀圖是邊長為a的正方形，則原圖形的面積是 2a2 。 7. 一個菱形的邊長為2cm，一個內(nèi)角為60°，畫出它的直觀圖。 1．已知△ABC的平面直觀圖△A’B’C’是邊長為a的正三角形，那么原△ABC的面積為( C ) （A）a2 （B） （C） （D）