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1、選修2-2 2.1.2 演繹推理
一、選擇題
1．“∵四邊形ABCD是矩形，∴四邊形ABCD的對角線相等”，補充以上推理的大前提是( )
A．正方形都是對角線相等的四邊形
B．矩形都是對角線相等的四邊形
C．等腰梯形都是對角線相等的四邊形
D．矩形都是對邊平行且相等的四邊形
[答案] B
[解析] 由大前提、小前提、結(jié)論三者的關(guān)系，知大前提是：矩形是對角線相等的四邊形．故應(yīng)選B.
2．“①一個錯誤的推理或者前提不成立，或者推理形式不正確，②這個錯誤的推理不是前提不成立，③所以這個錯誤的推理是推理形式不正確．”上述三段論是( )
A．大前提錯
B
2、．小前提錯
C．結(jié)論錯
D．正確的
[答案] D
[解析] 前提正確，推理形式及結(jié)論都正確．故應(yīng)選D.
3．《論語·學(xué)路》篇中說：“名不正，則言不順；言不順，則事不成；事不成，則禮樂不興；禮樂不興，則刑罰不中；刑罰不中，則民無所措手足；所以，名不正，則民無所措手足．”上述推理用的是( )
A．類比推理
B．歸納推理
C．演繹推理
D．一次三段論
[答案] C
[解析] 這是一個復(fù)合三段論，從“名不正”推出“民無所措手足”，連續(xù)運用五次三段論，屬演繹推理形式．
4．“因?qū)?shù)函數(shù)y＝logax(x>0)是增函數(shù)(大前提)，而y＝logx是對數(shù)函數(shù)(小前提)，所以y＝log
3、x是增函數(shù)(結(jié)論)”．上面推理的錯誤是( )
A．大前提錯導(dǎo)致結(jié)論錯
B．小前提錯導(dǎo)致結(jié)論錯
C．推理形式錯導(dǎo)致結(jié)論錯
D．大前提和小前提都錯導(dǎo)致結(jié)論錯
[答案] A
[解析] 對數(shù)函數(shù)y＝logax不是增函數(shù)，只有當a>1時，才是增函數(shù)，所以大前提是錯誤的．
5．推理：“①矩形是平行四邊形，②三角形不是平行四邊形，③所以三角形不是矩形”中的小前提是( )
A．①
B．②
C．③
D．①②
[答案] B
[解析] 由①②③的關(guān)系知，小前提應(yīng)為“三角形不是平行四邊形”．故應(yīng)選B.
6．三段論：“①只有船準時起航，才能準時到達目的港，②這艘船是準時到達目的港的，③所
4、以這艘船是準時起航的”中的小前提是( )
A．①
B．②
C．①②
D．③
[答案] B
[解析] 易知應(yīng)為②.故應(yīng)選B.
7．“10是5的倍數(shù)，15是5的倍數(shù)，所以15是10的倍數(shù)”上述推理( )
A．大前提錯
B．小前提錯
C．推論過程錯
D．正確
[答案] C
[解析] 大小前提正確，結(jié)論錯誤，那么推論過程錯．故應(yīng)選C.
8．凡自然數(shù)是整數(shù)，4是自然數(shù)，所以4是整數(shù)，以上三段論推理( )
A．正確
B．推理形式正確
C．兩個自然數(shù)概念不一致
D．兩個整數(shù)概念不一致
[答案] A
[解析] 三段論的推理是正確的．故應(yīng)選A.
9．在三段論中，M
5、，P，S的包含關(guān)系可表示為( )
[答案] A
[解析] 如果概念P包含了概念M，則P必包含了M中的任一概念S，這時三者的包含可表示為；如果概念P排斥了概念M，則必排斥M中的任一概念S，這時三者的關(guān)系應(yīng)為．故應(yīng)選A.
10．命題“有些有理數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，所以整數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)”是假命題，推理錯誤的原因是( )
A．使用了歸納推理
B．使用了類比推理
C．使用了“三段論”，但大前提使用錯誤
D．使用了“三段論”，但小前提使用錯誤
[答案] D
[解析] 應(yīng)用了“三段論”推理，小前提與大前提不對應(yīng)，小前提使用錯誤導(dǎo)致結(jié)論錯誤．
二、填空題
11．求函數(shù)
6、y＝的定義域時，第一步推理中大前提是有意義時，a≥0，小前提是有意義，結(jié)論是________．
[答案] log2x－2≥0
[解析] 由三段論方法知應(yīng)為log2x－2≥0.
12．以下推理過程省略的大前提為：________.
∵a2＋b2≥2ab，
∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab.
[答案] 若a≥b，則a＋c≥b＋c
[解析] 由小前提和結(jié)論可知，是在小前提的兩邊同時加上了a2＋b2，故大前提為：若a≥b，則a＋c≥b＋c.
13．(2020·重慶理，15)已知函數(shù)f(x)滿足：f(1)＝，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，則f(202
7、0)＝________.
[答案]
[解析] 令y＝1得4f(x)·f(1)＝f(x＋1)＋f(x－1)
即f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)?、?
令x取x＋1則f(x＋1)＝f(x＋2)＋f(x)?、?
由①②得f(x)＝f(x＋2)＋f(x)＋f(x－1)，
即f(x－1)＝－f(x＋2)
∴f(x)＝－f(x＋3)，∴f(x＋3)＝－f(x＋6)
∴f(x)＝f(x＋6)
即f(x)周期為6，
∴f(2020)＝f(6×335＋0)＝f(0)
對4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)，令x＝1，y＝0，得
4f(1)f(0)＝2f(1)，
∴f(0)＝
8、即f(2020)＝.
14．四棱錐P－ABCD中，O為CD上的動點，四邊形ABCD滿足條件________時，VP－AOB恒為定值(寫出一個你認為正確的一個條件即可)．
[答案] 四邊形ABCD為平行四邊形或矩形或正方形等
[解析] 設(shè)h為P到面ABCD的距離，VP－AOB＝S△AOB·h，
又S△AOB＝|AB|d(d為O到直線AB的距離)．
因為h、|AB|均為定值，所以VP－AOB恒為定值時，只有d也為定值，這是一個開放型問題，答案為四邊形ABCD為平行四邊形或矩形或正方形等．
三、解答題
15．用三段論形式證明：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，則∠B＝∠C.
9、
[證明] 如下圖延長AB，DC交于點M.
①平行線分線段成比例大前提
②△AMD中AD∥BC小前提
③＝結(jié)論
①等量代換大前提
②AB＝CD小前提
③MB＝MC結(jié)論
在三角形中等邊對等角大前提
MB＝MC小前提
∠1＝∠MBC＝∠MCB＝∠2結(jié)論
等量代換大前提
∠B＝π－∠1 ∠C＝π－∠2小前提
∠B＝∠C結(jié)論
16．用三段論形式證明：f(x)＝x3＋x(x∈R)為奇函數(shù)．
[證明] 若f(－x)＝－f(x)，則f(x)為奇函數(shù) 大前提
∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－x3－x＝－(x3＋x)＝－f(x)小前提
∴f(x)＝x3＋x是奇函數(shù)結(jié)論
10、
17．用三段論寫出求解下題的主要解答過程．
若不等式|ax＋2|＜6的解集為(－1,2)，求實數(shù)a的值．
[解析] 推理的第一個關(guān)鍵環(huán)節(jié)：
大前提：如果不等式f(x)＜0的解集為(m，n)，且f(m)、f(n)有意義，則m、n是方程f(x)＝0的實數(shù)根，
小前提：不等式|ax＋2|＜6的解集為(－1,2)，且x＝－1與x＝2都使表達式|ax＋2|－6有意義，
結(jié)論：－1和2是方程|ax＋2|－6＝0的根．
∴|－a＋2|－6＝0與|2a＋2|－6＝0同時成立．
推理的第二個關(guān)鍵環(huán)節(jié)：
大前提：如果|x|＝a，a＞0，那么x＝±a，
小前提：|－a＋2|＝6且|2a＋2|＝
11、6，
結(jié)論：－a＋2＝±6且2a＋2＝±6.
以下可得出結(jié)論a＝－4.
18．設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點在拋物線y＝2x2上，l是AB的垂直平分線．
(1)當且僅當x1＋x2取何值時，直線l經(jīng)過拋物線的焦點F？證明你的結(jié)論；
(2)當直線l的斜率為2時，求l在y軸上截距的取值范圍．
[解析] (1)F∈l?|FA|＝|FB|?A、B兩點到拋物線的準線的距離相等．
∵拋物線的準線是x軸的平行線，y1≥0，y2≥0，依題意，y1，y2不同時為0.
∴上述條件等價于
y1＝y(tǒng)2?x＝x?(x1＋x2)(x1－x2)＝0.
∵x1≠x2，∴上述條件等價于x1＋x2＝0，即當且僅當x1＋x2＝0時，l經(jīng)過拋物線的焦點F.
(2)設(shè)l在y軸上的截距為b，依題意得l的方程為y＝2x＋b；過點A、B的直線方程為y＝－x＋m，所以x1，x2滿足方程2x2＋x－m＝0，得x1＋x2＝－.
A、B為拋物線上不同的兩點等價于上述方程的判別式Δ＝＋8m>0，即m>－.設(shè)AB的中點N的坐標為(x0，y0)，則
x0＝(x1＋x2)＝－，
y0＝－x0＋m＝＋m.
由N∈l，得＋m＝－＋b，于是
b＝＋m>－＝.
即得l在y軸上截距的取值范圍是.
2020高中數(shù)學(xué) 2-1-2演繹推理同步檢測 新人教B版選修2-2
