2020高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)集錦 基本函數(shù)的性質(zhì)

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1、基本函數(shù)的性質(zhì) 【兩年真題重溫】 1.【2020新課標(biāo)全國】下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在單調(diào)遞增的函數(shù)是( )． A． B． C． D． 和：中，真命題是 （A）， （B）， （C）， （D）， 【答案】C 【解析】命題意圖：本題主要考查復(fù)合命題的真假的判斷，涉及函數(shù)的單調(diào)性等知識. ：函數(shù)在R為增函數(shù)為真命題，而函數(shù)為偶函數(shù)，則在R不可能為減函數(shù)，：函數(shù)在R為減函數(shù)為假命題，則為假命題，為真命題，然后根據(jù)復(fù)合命題的判斷方法即可確定答案C. 【命題意圖猜想】 高中階段包含基本函數(shù)有一次函數(shù)、二

2、次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)，其中以指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)為命題熱點(diǎn)，且常以復(fù)合函數(shù)或分段函數(shù)的形式出現(xiàn)，達(dá)到一題多考的目的。題型一般為選擇題、填空題，屬中低檔題，主要考查利用指數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較對數(shù)值大小，求定義域、值域、最值以及對數(shù)函數(shù)與相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．也應(yīng)為同學(xué)們必須得分的題目。2020年以指數(shù)函數(shù)為背景考查復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，2020年以多個(gè)基本函數(shù)為背景考查了函數(shù)性質(zhì)，均沒有涉及到對數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)，這是我們應(yīng)該關(guān)注的一個(gè)重點(diǎn)。同時(shí)需要注意冪函數(shù)的圖像在解題中應(yīng)用。 【最新考綱解讀】 1．指數(shù)函數(shù) ①通過具體實(shí)例，了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景． ②理解有理指數(shù)冪的含

3、義，通過具體實(shí)例了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運(yùn)算． ③理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義，能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)． ④在解決簡單實(shí)際問題的過程中，體會(huì)指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型． 圖象與性質(zhì)及數(shù)值大小比較等問題上，結(jié)合數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程的思想予以考查，與方程、不等式、分段函數(shù)、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)等相聯(lián)系，仍將是命題的重點(diǎn)． 【回歸課本整合】 1指數(shù)式、對數(shù)式： ，，，，，，，，，，， . 2.指數(shù)、對數(shù)值的大小比較：（1）化同底后利用函數(shù)的單調(diào)性；（2）作差或作商法；（3）利用中間量（0或1）；（4）化同指數(shù)（或

4、同真數(shù)）后利用圖象比較. 3.指數(shù)函數(shù)： （1）指數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì) 圖象 性質(zhì) 定義域：值域：過定點(diǎn) 在上是增函數(shù) 在上是減函數(shù) 當(dāng)，； 當(dāng)，. 當(dāng)，； 當(dāng)，. 抽象形式 （2）(且)的圖象特征： ①時(shí)，圖象像一撇，過點(diǎn),且在軸左側(cè)越大，圖象越靠近軸(如圖)； ②時(shí)，圖象像一捺，過點(diǎn),且在軸左側(cè)越小，圖象越靠近軸(如圖)； ③與的圖象關(guān)于軸對稱(如圖).④的圖象如圖4 4. 對數(shù)函數(shù) （1）對數(shù)的圖象和性質(zhì)： 圖 象 性 質(zhì) 定義域：（0，+∞）值域：R過定點(diǎn)（1

5、，0） 時(shí) 時(shí) 時(shí) 時(shí) 在（0，+∞）上是增函數(shù) 在（0，+∞）上是減函數(shù) 形式 （2） 的圖象特征： ①時(shí)，圖象像一撇，過點(diǎn)，在軸上方越大越靠近軸； ②時(shí)，圖象像一捺，過點(diǎn)，在軸上方越小越靠近軸. ③（）與互為反函數(shù)，圖象關(guān)于對稱；如圖2 ④的圖象3.⑤的圖象4. 5.冪函數(shù)的定義和圖象 （1）定義：形如y＝xα的函數(shù)叫冪函數(shù)(α為常數(shù))要重點(diǎn)掌握α＝1,2,3，2(1)，－1,0，－2(1)，－2時(shí)的冪函數(shù)。 (1)當(dāng)α>0時(shí)，冪函數(shù)圖象都過 (0,0)點(diǎn)和 (1

6、,1)點(diǎn)；且在第一象限都是增 函數(shù)；當(dāng)0<α<1時(shí)曲線上凸；當(dāng)α>1時(shí)，曲線下凸；α＝1時(shí)，為過(0,0)點(diǎn)和(1,1)點(diǎn)的直線 (2)當(dāng)α<0時(shí)，冪函數(shù)圖象總經(jīng)過 (1, 1) 點(diǎn)，且在第一象限為減函數(shù)． (3)α＝0時(shí)y＝x0，表示過(1,1)點(diǎn)平行于x軸的直線(除去(0,1)點(diǎn))． 6. 常見復(fù)合函數(shù)類型 ? y＝af(x)(a>0且a≠1) y＝logaf(x)(a>0且a≠1) 定義域 t＝f(x)的定義域 t＝f(x)>0的解集 值域 先求t＝f(x)的值域，再由y＝at的單調(diào)性得解 先求t的取值范圍,再由y＝logat的單調(diào)性得解 ? y＝af(x)

7、(a>0且a≠1) y＝logaf(x)(a>0且a≠1) 過定點(diǎn) 令f(x)＝0，得x＝x0,則過定點(diǎn)(x0,1) 令f(x)＝1，得x＝x0，則過定點(diǎn)(x0,0) 單調(diào)區(qū)間 先求t＝f(x)的單調(diào)區(qū)間，再由同增異減得解 先求使t＝f(x)>0恒成立的單調(diào)區(qū)間，再由同增異減得解 【方法技巧提煉】 1．指數(shù)運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是指數(shù)式的積、商、冪的運(yùn)算，對于指數(shù)式的和、差應(yīng)充分運(yùn)用恒等變形和乘法公式；對數(shù)運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是把積、商、冪的對數(shù)轉(zhuǎn)化為對數(shù)的和、差、倍． 2．指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)，應(yīng)從概念、圖象和性質(zhì)三個(gè)方面理

8、解它們之間的聯(lián)系與區(qū)別． 3．明確函數(shù)圖象的位置和形狀要通過研究函數(shù)的性質(zhì),要記憶函數(shù)的性質(zhì)可借助于函數(shù)的圖象．因此要掌握指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)首先要熟記指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象． 4.求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題時(shí)，首先要熟知指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時(shí)，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷，最終將問題歸納為與內(nèi)層函數(shù)相關(guān)的問題加以解決． 【考場經(jīng)驗(yàn)分享】 1.此類題一般在選擇題的中間位置，難度為中檔，應(yīng)該是得分的題目。在解題時(shí)注意解答選擇題常用的方法：驗(yàn)證法和排除法的應(yīng)用。 2. 指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>

9、0，a≠1)的圖象和性質(zhì)與a的取值有關(guān)，要特別注意區(qū)分a>1與00且a≠1)與對數(shù)式logaN＝b(a>0且a≠1，N>0)的關(guān)系以及這兩種形式的互化是對數(shù)運(yùn)算法則的關(guān)鍵． 5．在運(yùn)算性質(zhì)logaMn＝nlogaM(a>0且a≠1，M>0)時(shí)，要特別注意條件，在無M>0的條件下應(yīng)為logaMn＝nloga|M|(n∈N*，且n為偶數(shù))． 6.冪函數(shù)的圖象一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限，一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限，至于是

10、否出現(xiàn)在第二、三象限，要看函數(shù)的奇偶性；冪函數(shù)的圖象最多只能同時(shí)出現(xiàn)在兩個(gè)象限內(nèi)；如果冪函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn)． 【新題預(yù)測演練】 1.【唐山市2020學(xué)年度高三年級第一學(xué)期期末考試】 函數(shù)的定義域?yàn)椋? ） A． B． C． D． 3. （2020屆瀏陽一中高三第一次月考） 下列函數(shù)中，在內(nèi)有零點(diǎn)且單調(diào)遞增的是（ ） A. B. y=2x-1 C. D. 【答案】B 【解析】由所求函數(shù)在內(nèi)是增函數(shù),故排除C、D，又因?yàn)橹械恼鏀?shù)，故A錯(cuò)誤，故選B. 4.[濰坊市三縣2020屆高三

11、10月聯(lián)合考試] 下圖給出4個(gè)冪函數(shù)的圖像，則圖像與函數(shù)的大致對應(yīng)是( ) Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 【答案】B 【解析】因?yàn)槎x域?yàn)镽，且為奇函數(shù)，故應(yīng)為圖①；為開口向上的拋物線，且頂點(diǎn)為原點(diǎn)，應(yīng)為圖②，同理可得出選項(xiàng)B正確。 5.【2020年石家莊市高中畢業(yè)班教學(xué)質(zhì)量檢測(二)】 函數(shù)滿足，其導(dǎo)函數(shù)的圖象如下圖，則在[-2，1]上的最小值為 A．-1 B．0 C．2 D．3 【答案】A 【解析】由導(dǎo)函數(shù)的圖像可知，函數(shù)為二次函數(shù)，且對稱軸為開口方向向上，設(shè)函數(shù)因過點(diǎn)（-1,0）與（0,2），則有 則在[-2，1]上的最小值

12、為 6.【福州市2020屆第一學(xué)期期末高三質(zhì)檢】 已知，則 A． B． C． D． 8.（2020屆四川省自貢市高三第一次診斷性考試） 已知函數(shù)，則函數(shù)的圖像可能是 （ ） 9.[2020學(xué)年杭州學(xué)軍中學(xué)高三年級第2次月考] 已知集合M= ，集合(e為自然對數(shù)的底數(shù)），則=（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】M= ， ，故選C 10.【2020年石家莊市高中畢業(yè)班教學(xué)質(zhì)量檢測(二)】 已知定義域?yàn)镽的函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，||-，且對R，恒有，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 A．[0，2]

13、 B．[-，] C．[-1，1] D．[-2，0] 11.【河北省石家莊市2020屆高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(一)】 設(shè)集合，函數(shù)， 則的取值范圍是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ，解得 又 12.【唐山市2020學(xué)年度高三年級第一學(xué)期期末考試】 像向下平移了個(gè)單位，且圖像與y軸的交點(diǎn)在負(fù)半軸其漸近線大于-1，故 函數(shù)的圖像可以看做由函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，然后向下平移 的單位得到，結(jié)合反比例函數(shù)圖像和的范圍可知正確答案為C. 13.【山西省2020屆高三第二次四校聯(lián)考】 已知函數(shù)滿足對任意的實(shí)數(shù)都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為(　

14、　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依題意得知，函數(shù)是上的減函數(shù)，于是有，由此解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，選B. 14.【福州市2020屆第一學(xué)期期末高三質(zhì)檢】 已知為三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則它們的圖象可能是 15.【福州市2020屆第一學(xué)期期末高三質(zhì)檢】 設(shè)為有理數(shù)集，函數(shù)，則函數(shù) A．是奇函數(shù)但不是偶函數(shù) B．是偶函數(shù)但不是奇函數(shù) C．既是奇函數(shù)也是偶函數(shù) D．既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù) 綜上可知答案選C 17.【2020年上海市普通高等學(xué)校春季招生考試】 方程的解為 . 【答案】 【解析】 18.【2020年上海市普通高等學(xué)校春季招生考試】 函數(shù)的最大值為 . 【答案】5 【解析】因?qū)μ柡瘮?shù)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最大值為5. 19.【北京市朝陽區(qū)2020學(xué)年度高三年級第一學(xué)期期中統(tǒng)一考試】 已知函數(shù)若方程有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 _ _．