山東省2019年中考數學 題型專題復習 題型5 探索、延伸與應用問題課件.ppt

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,題型5探索、延伸與應用問題,類型①與三角形有關的探索、延伸與應用,例1?[2018永州]如圖1，在△ABC中，矩形EFGH的一邊EF在AB上，頂點G，H分別在BC，AC上，CD是邊AB上的高，CD交GH于點I.若CI＝4，HI＝3，AD＝.矩形DFGI恰好為正方形．(1)求正方形DFGI的邊長；(2)如圖2，延長AB至P，使得AC＝CP，將矩形EFGH沿BP的方向向右平移，當點G剛好落在CP上時，試判斷移動后的矩形與△CBP重疊部分的形狀是三角形還是四邊形，為什么？(3)如圖3，連接DG，將正方形DFGI繞點D順時針旋轉一定的角度得到正方形DF′G′I′，正方形DF′G′I′分別與線段DG，DB相交于點M，N，求△MNG′的周長．,規(guī)范解答：(1)如圖1，∵HI∥AD.∴＝.∴＝.∴CD＝6.∴ID＝CD－CI＝2.∴正方形的邊長為2..………………………(4分),(2)如圖2，設點G落在PC上時對應的點為G′，點F對應的點為F′.∵CA＝CP，CD⊥PA，∴∠ACD＝∠PCD，∠A＝∠P.∵HG′∥PA，∴∠CHG′＝∠A，∠CG′H＝∠P.∴∠CHG′＝∠CG′H，∴CH＝CG′.∴IH＝IG′＝DF′＝3.…………………………(6分)∵IG∥DB，∴＝.∴＝，∴DB＝3.∴DB＝DF′＝3.∴點B與點F′重合．∴移動后的矩形與△CBP重疊部分是△BGG′.∴移動后的矩形與△CBP重疊部分的形狀是三角形．(8分),滿分技法?解答探索、延伸與應用類題目時，解答好第(1)問是基礎，往往前面第(1)問中的方法思路為第(2)問的解決提供解題方向；解答后續(xù)的“延伸”時，要特別注意運用類比、數形結合、分類討論等數學思想；對于應用環(huán)節(jié)，就是把實際問題的背景，抽象成已探索出結論或規(guī)律的幾何模型．,(3)如圖3，將△DMI′繞點D順時針旋轉90得到△DF′R，此時N，F′，R共線．∵∠MDN＝∠NDF′＋∠MDI′＝∠NDF′＋∠FD′R＝∠NDR＝45，又∵DN＝DN，DM＝DR，∴△NDM≌△NDR.∴MN＝NR＝NF′＋RF′＝NF′＋MI′.∴△MNG′的周長＝MN＋MG′＋NG′＝MG′＋MI′＋NG′＋NF′＝2I′G′＝4.……………………(12分),【滿分必練】,1．[2018揚州]問題呈現如圖1，在邊長為1的正方形網格中，連接格點D，N和E，C，DN和EC相交于點P，求tan∠CPN的值．方法歸納求一個銳角的三角函數值，我們往往需要找出(或構造出)一個直角三角形．觀察發(fā)現問題中∠CPN不在直角三角形中，我們常常利用網格畫平行線等方法解決此類問題，比如連接格點M，N，可得MN∥EC，則∠DNM＝∠CPN，連接DM，那么∠CPN就變換到Rt△DMN中．問題解決(1)直接寫出圖1中tan∠CPN的值為________；(2)如圖2，在邊長為1的正方形網格中，AN與CM相交于點P，求cos∠CPN的值；思維拓展(3)如圖3，AB⊥BC，AB＝4BC，點M在AB上，且AM＝BC，延長CB到N，使BN＝2BC，連接AN交CM的延長線于點P，用上述方法構造網格求∠CPN的度數．,(3)如圖，取格點O，連接AO，NO.∵PC∥ON，∴∠CPN＝∠ANO.∵AO＝ON，∠AON＝90，∴∠ANO＝∠OAN＝45.∴∠CPN＝45.,解：(1)如圖1，∵EC∥MN，∴∠CPN＝∠DNM.∴tan∠CPN＝tan∠DNM.∵∠DMN＝90，∴tan∠CPN＝tan∠DNM＝＝＝2.故答案為：2.,(2)如圖2，取格點D，連接CD，DM.∵CD∥AN，∴∠CPN＝∠DCM.∵△DCM是等腰直角三角形，∴∠DCM＝∠D＝45.∴cos∠CPN＝cos∠DCM＝.,(2)如圖2，點D是邊CB上任意一點，連接AD，作等邊△ADE，且點E在∠ACB的內部，連接BE，試探究線段BE與DE之間的數量關系，寫出你的猜想并加以證明；(3)當點D為邊CB延長線上任意一點時，在(2)條件的基礎上，線段BE與DE之間存在怎樣的數量關系？請直接寫出你的結論________．,2．[2018日照]問題背景：我們學習等邊三角形時得到直角三角形的一個性質：在直角三角形中，如果一個銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半，即：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，∠ABC＝30，則：AC＝AB.探究結論：小明同學對以上結論作了進一步研究．(1)如圖1，連接AB邊上中線CE，由于CE＝AB，易得結論：①△ACE為等邊三角形；②BE與CE之間的數量關系為________；,拓展應用：如圖3，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為(－，1)，點B是x軸正半軸上的一動點，以AB為邊作等邊△ABC.當C點在第一象限內，且B(2，0)時，求C點的坐標．,解：(1)BE＝CE.,由(1)結論可知，△CPA為等邊三角形．∴∠CAP＝60，CA＝PA.∵△ADE為等邊三角形，∴∠DAE＝60，AD＝AE.∴∠CAP＝∠DAE.∴∠CAP－∠DAB＝∠DAE－∠DAB.∴∠CAD＝∠PAE.在△ACD和△APE中，∴△ACD≌△APE.(SAS)．∴∠APE＝∠ACD＝90.∴EP⊥AB.∵P為AB的中點，∴AE＝BE.∵DE＝AE，∴BE＝DE.,(2)BE＝ED.證明：如圖2，連接EP，,(3)BE＝DE.,拓展應用：方法一：如圖3，連接OA，OC.過點A作AH⊥x軸于點H.,方法二：【提示】如圖3，△AHB≌△BDC(AAS).∴DB＝AH＝1，CD＝BH＝2＋.∴OD＝2－1＝1.∴C點的坐標是(1，2＋)．,∵點A的坐標為(－，1)，∴∠AOH＝30.由探究結論(3)可知，CO＝CB.∵O(0，0)，B(2，0)，∴點C的橫坐標為1.設C(1，m)．∵CO2＝CB2＝12＋m2，AB2＝12＋(2＋)2，AB＝CB，∴12＋m2＝12＋(2＋)2，∴m＝2＋.∴C點的坐標是(1，2＋)．,圖3,3．(1)問題如圖1，在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，∠DPC＝∠A＝∠B＝90，求證：ADBC＝APBP.(2)探究如圖2，在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，當∠DPC＝∠A＝∠B＝θ時，上述結論是否依然成立？說明理由．(3)應用請利用(1)(2)獲得的經驗解決問題：如圖3，在△ABD中，AB＝6，AD＝BD＝5，點P以每秒1個單位長度的速度，由點A出發(fā)，沿邊AB向點B運動，且滿足∠DPC＝∠A，設點P的運動時間為t(秒)，當以D為圓心，以DC為半徑的圓與AB相切時，求t的值．,解：(1)證明：∵∠DPC＝∠A＝∠B＝90，∴∠ADP＋∠APD＝90，∠BPC＋∠APD＝90.∴∠ADP＝∠BPC.∴△ADP∽△BPC.∴∴ADBC＝APBP.,(2)結論ADBC＝APBP仍然成立．理由：∵∠BPD＝∠DPC＋∠BPC，∠BPD＝∠A＋∠ADP，∴∠DPC＋∠BPC＝∠A＋∠ADP.∵∠DPC＝∠A＝∠B＝θ，∴∠BPC＝∠ADP.∴△ADP∽△BPC.∴∴ADBC＝APBP.,∵AD＝BD＝5，AB＝6，∴AE＝BE＝3.由勾股定理，得DE＝4.∵以點D為圓心，DC為半徑的圓與AB相切，∴DC＝DE＝4.∴BC＝5－4＝1.又∵AD＝BD，∴∠A＝∠B.∴∠DPC＝∠A＝∠B.由(1)(2)獲得的經驗可知ADBC＝APBP，∴51＝t(6－t)，解得t1＝1，t2＝5.∴t的值為1秒或5秒．,(3)如圖3，過點D作DE⊥AB于點E.,類型②與四邊形有關的探索、延伸與應用,例2?[2018山西]綜合與實踐問題情境：在數學活動課上，老師出示了這樣一個問題：,反思交流：(1)①上述證明過程中的“依據1”“依據2”分別是指什么？②試判斷圖1中的點A是否在線段GF的垂直平分線上，請直接回答，不必證明；,自主解答：(1)①依據1：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例(或平行線分線段成比例)；依據2：等腰三角形頂角的平分線，底邊上的中線及底邊上的高互相重合(或等腰三角形的“三線合一”)．,②點A在線段GF的垂直平分線上．,(2)創(chuàng)新小組受到勤奮小組的啟發(fā)，繼續(xù)進行探究，如圖2，連接CE，以CE為一邊在CE的左下方作正方形CEFG，發(fā)現點G在線段BC的垂直平分線上，請你給出證明；,圖2,自主解答：(2)證明：如圖2，過點G作GH⊥BC于點H，,∵四邊形ABCD是矩形，點E在AB的延長線上，∴∠CBE＝∠ABC＝∠GHC＝90.∴∠1＋∠2＝90.∵四邊形CEFG是正方形，∴CG＝CE，∠GCE＝90.∴∠1＋∠3＝90.∴∠2＝∠3.∴△GHC≌△CBE.∴HC＝BE.∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC.∵AD＝2AB，BE＝AB，∴BC＝2BE＝2HC.∴HC＝BH.∴GH垂直平分BC.∴點G在BC的垂直平分線上．,圖2,探索發(fā)現：(3)如圖3，連接CE，以CE為一邊在CE的右上方作正方形CEFG，可以發(fā)現點C，點B都在線段AE的垂直平分線上，除此之外，請觀察矩形ABCD和正方形CEFG的頂點與邊，你還能發(fā)現哪個頂點在哪條邊的垂直平分線上，請寫出一個你發(fā)現的結論，并加以證明．,自主解答：(3)結論：點F在BC邊的垂直平分線上．,證明：如圖3，過點F作FM⊥BC于點M，過點E作EN⊥FM于點N.,∴∠BMN＝∠ENM＝∠ENF＝90.∵四邊形ABCD是矩形，點E在AB的延長線上，∴∠CBE＝∠ABC＝90.∴四邊形BENM為矩形．∴BM＝EN.∠BEN＝90.∴∠1＋∠2＝90.∵四邊形CEFG為正方形，∴EF＝EC，∠CEF＝90.,圖3,∴∠2＋∠3＝90.∴∠1＝∠3.∠CBE＝∠FNE＝90.∴△ENF≌△EBC.∴NE＝BE，BM＝BE.∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC.∵AD＝2AB，AB＝BE，∴BC＝2BM.∴BM＝MC.∴FM垂直平分BC.∴點F在BC邊的垂直平分線上．,滿分技法?探索、延伸與應用型問題常常用到以下方法與思想：①特殊值：利用特殊點、特殊數量、特殊線段、特殊位置等進行歸納、概括，從特殊到一般，從而得出規(guī)律；②分類討論法：當命題的題設和結論不唯一，難以統(tǒng)一解答時，則需要按可能出現的情況做到既不重復也不遺漏，分門別類加以討論求解，將不同結論綜合歸納得出正確結果；③類比猜想法：即由一個問題的結論或解決方法類比猜想出另一個類似問題的結論或解決方法，并加以嚴密的論證．,【滿分必練】,4．[2018益陽]如圖1，在矩形ABCD中，E是AD的中點，以點E為直角頂點的直角三角形EFG的兩邊EF，EG分別過點B，C，∠F＝30.(1)求證：BE＝CE；(2)將△EFG繞點E按順時針方向旋轉，當旋轉到EF與AD重合時停止轉動，若EF，EG分別與AB，BC相交于點M，N(如圖2)．①求證：△BEM≌△CEN；②若AB＝2，求△BMN面積的最大值；③當旋轉停止時，點B恰好在FG上(如圖3)，求sin∠EBG的值．,圖1,圖2,圖3,解：(1)證明：如圖1，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90.又∵AE＝DE，∴△ABE≌△DCE.∴BE＝CE.,(2)①證明：如圖2，∵∠AEB＋∠ABE＝90，∠AEB＋∠CED＝90，∴∠ABE＝∠CED.∵∠CED＝∠ECB，∴∠ABE＝∠ECB.∵∠BEC＝∠MEN＝90，∴∠BEM＝∠CEN.由(1)得BE＝CE，∴△BEM≌△CEN.,圖1,圖2,②由(1)得△ABE≌△DCE，∴∠BEA＝∠CED.∵∠ABE＝∠CED，∴∠BEA＝∠ABE.∴AB＝AE＝DE＝2.設BM＝x，由①得△BEM≌△CEN，∴BM＝CN＝x.∴BN＝4－x，∴△BMN面積＝x(4－x)＝－(x－2)2＋2，又∵0≤x≤2，∴當x＝2時，△BMN面積最大，最大值為2.,②折法一：如圖4－1，沿著過點D的直線翻折，使點A落在CD邊上的點Q處，此時折痕與AB的交點即為P；折法二：如圖4－2，沿著過點C的直線折疊，使點B落在CE邊上的點Q處，此時，折痕與AB的交點即為P.,又∵PH＝CP，∠A＝∠B＝90.∴Rt△APH≌Rt△BCP(HL)，∴∠APH＝∠BCP.又∵Rt△BCP中，∠BCP＋∠BPC＝90，∴∠APH＋∠BPC＝90.∴∠CPH＝90.,