2019年春七年級數(shù)學下冊 第六章 概率初步 3 等可能事件的概率同步課件（新版）北師大版.ppt

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,知識點一等可能事件發(fā)生的概率設一個試驗的所有可能的結果有n種,每次試驗有且只有其中的一種結果出現(xiàn).如果每種結果出現(xiàn)的可能性相同,那么我們就稱這個試驗的結果是等可能的.如擲硬幣、擲骰子等試驗都屬于等可能事件.一般地,如果一個試驗有n種等可能的結果,事件A包含其中的m種結果,那么事件A的概率為P(A)=.例1一個口袋中放有290個涂有紅、黑、白三種顏色的質(zhì)地相同的小球.若紅球個數(shù)是黑球個數(shù)的2倍多40個.從袋中任取一個球是白球的概率是.,(1)求袋中紅球的個數(shù);(2)求從袋中任取一個球是黑球的概率.,解析(1)設黑球的個數(shù)為x,則紅球的個數(shù)是(2x+40),由題意得,x+2x+40+290=290,解得x=80,2x+40=160+40=200.答:袋中紅球的個數(shù)為200.(2)由(1)知,黑球的個數(shù)為80,則=.答:從袋中任取一個球是黑球的概率是.,知識點二游戲的公平性與游戲的設計1.游戲規(guī)則的公平性游戲是否公平是指雙方獲勝的可能性是否相同,只有當雙方獲勝的可能性相同(等可能事件發(fā)生的概率相同)時,游戲才公平,否則游戲不公平.注意:游戲對雙方公平并不是說每一方獲勝的概率均為,只要游戲雙方獲勝的可能性(概率)相同即可.2.按要求設計游戲設計游戲是根據(jù)要求定好的規(guī)則解決具體問題,實際就是計算概率的逆向應用.這類題是近幾年中考的新題型.設計游戲需注意:(1)必須保證游戲中出現(xiàn)的各類事件是等可能的.(2)設計公平游戲時,要使隨機事件發(fā)生的概率相同,設計不公平游戲時,隨機事件發(fā)生的概率不相同.,例2一個轉盤被等分成6個扇形,如圖6-3-1.你能否在轉盤上涂上適當?shù)念伾?使得自由轉動這個轉盤,當它停止轉動時,分別滿足以下的條件:圖6-3-1(1)指針停在紅色區(qū)域和停在黃色區(qū)域的概率相同;(2)指針停在藍色區(qū)域的概率大于停在紅色區(qū)域的概率.你能設計一個方案,使得以上兩個條件同時滿足嗎?,分析因為這個轉盤被等分成6個扇形,并且能夠自由轉動,因此指針落在6個區(qū)域的可能性即概率相同.根據(jù)概率的計算公式就可得出結論.本題是一個開放題,答案不唯一.,解析(1)只需涂紅色和涂黃色的區(qū)域的面積相同即可;(2)只需涂藍色區(qū)域的面積大于涂紅色的即可.若要以上兩個條件同時滿足,則需涂紅色和涂黃色的區(qū)域面積相同,且小于涂藍色區(qū)域的面積即可.方案:4個扇形涂成藍色,1個扇形涂成紅色,1個扇形涂成黃色.知識點三幾何圖形中的概率在與圖形有關的概率問題中,概率的大小往往與面積有關,這種類型的概率稱為幾何概率.在幾何事件中,某一事件發(fā)生的概率等于這一事件所有可能結果組成的圖形的面積除以所有可能結果組成的圖形的面積.如P(小貓停留在黑磚上)=.再比如轉盤游戲中,在一個被等分成n個區(qū)域的幾何圖形上做一個試驗時,試驗結果發(fā)生在每個區(qū)域內(nèi)的,可能性一樣,即發(fā)生在n個區(qū)域中每一個區(qū)域內(nèi)的概率均為.,例3一張寫有密碼的紙片被隨意地埋在如圖6-3-2所示的矩形區(qū)域內(nèi)(每個方格大小一樣).(1)埋在哪個區(qū)域的可能性大?(2)分別計算出埋在三個區(qū)域內(nèi)的概率;(3)埋在哪兩個區(qū)域的概率相同?圖6-3-2,解析(1)埋在“2”號區(qū)域的可能性大.(2)P(埋在“1”號區(qū)域)=;P(埋在“2”號區(qū)域)==;P(埋在“3”號區(qū)域)=.(3)埋在“1”號和“3”號區(qū)域的概率相同.知識點四轉盤問題中的概率指針停留在某扇形內(nèi)的概率等于該扇形的面積除以圓的面積,等于扇形所占圓的份數(shù)除以總份數(shù),也等于扇形的圓心角的度數(shù)除以360,即P(指針停留在某扇形內(nèi))===.,例4如圖6-3-3,一個正六邊形轉盤被分成6個全等三角形,任意轉動這個轉盤1次,當轉盤停止時,指針指向陰影區(qū)域的概率是()圖6-3-3A.B.C.D.,解析轉盤被均勻地分成6份,陰影部分占2份,轉盤停止轉動時指針指向陰影部分的概率是=.故選C.,答案C,題型設計符合要求的數(shù)學模型例如圖6-3-4所示,準備了三張大小相同的紙片,其中兩張紙片上各畫一個半徑相等的半圓,另一張紙片上畫一個正方形.將這三張紙片放在一個盒子里搖勻,隨機地抽取兩張紙片,若可以拼成一個圓形(取出的兩張紙片都畫有半圓形),則甲贏;若可以拼成一個蘑菇形(取出的一張紙片畫有半圓、一張紙片畫有正方形),則乙贏.你認為這個游戲對雙方是公平的嗎?若不是,有利于誰?,圖6-3-4,分析通過計算拼成圓形和拼成蘑菇形的概率來判斷游戲是否公平.,解析P(拼成圓形)=,P(拼成蘑菇形)=,∴拼成蘑菇形的概率大于拼成圓形的概率,故游戲不公平,有利于乙.點撥設計符合要求的數(shù)學模型一定要有“預見性”,能預見到模型設計好后的概率是否符合題目要求.設計完數(shù)學模型后,要驗算一下所設計的數(shù)學模型是否符合題目要求.,易錯點沒有弄清“部分”與“全部”的區(qū)別例小華用如圖6-3-5的轉盤設計了一個游戲:指到紅色、甲勝;指到黃色,乙勝,這個游戲公平嗎?為什么?圖6-3-5,錯解認為轉盤有2種顏色,轉出每種顏色的可能性都一樣,所以游戲公平.,錯因分析沒注意到紅色部分和黃色部分的面積不相等.,正解指到紅色的概率是=,指到黃色的概率為=,∴游戲不公平.,在轉盤問題中感知數(shù)學建模素養(yǎng)解讀數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象,用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學知識與方法構建模型解決問題的過程.主要包括:在實際情境中從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、構建模型、求解結論、驗證結果并改進模型,最終解決實際問題.數(shù)學模型構建了數(shù)學與外部世界的橋梁,是數(shù)學應用的重要形式.數(shù)學建模是應用數(shù)學解決實際問題的基本手段,也是推動數(shù)學發(fā)展的動力.在數(shù)學建模核心素養(yǎng)的形成過程中,積累用數(shù)學解決實際問題的經(jīng)驗,同學們能夠在實際情境中發(fā)現(xiàn)和提出問題;能夠針對問題建立數(shù)學模型;能夠運用數(shù)學知識求解模型,并嘗試基于現(xiàn)實背景驗證模型和完善模型;能夠提升應用能力,增強創(chuàng)新意識.,典例剖析,例某商場柜臺為了吸引顧客,打出的小廣告如下:本專柜為了感謝廣大消費者的支持和厚愛,特舉行購物抽獎活動,中獎率100%,最高獎50元.具體方法是:顧客每購買100元的商品,就能獲得一次轉動轉盤的機會,如果轉盤停止后,指針正好對準黃、紅、綠、白色區(qū)域,顧客就可以分別獲得50元、20元、10元、5元的購物券(如圖6-3-6所示的轉盤被等分成16份).請根據(jù)以上信息,解答下列問題:,圖6-3-6,(1)小亮的媽媽購物150元,她獲得50元、5元購物券的概率分別是多少?(2)請在轉盤的適當?shù)胤酵可夏撤N顏色,使得自由轉動這個轉盤,當它停止轉動時,指針落在某一區(qū)域的事件發(fā)生概率為,并說出此事件.,解析(1)轉盤被等分成16份,黃色占1份,白色占11份,所以獲得50元、5元購物券的概率分別是,.(2)指針落在某一區(qū)域的事件發(fā)生概率為,則16=6塊,根據(jù)等級越高,中獎概率越小的原則,應涂綠色(圖略),事件為獲得10元購物券.,素養(yǎng)呈現(xiàn)本題要從生活中的轉盤游戲中構建數(shù)學模型.對實際問題進行數(shù)學抽象,用數(shù)學知識解決轉盤問題.要明確,轉盤被等分成16份,自由轉動過程中,指針指向每一份的可能性都相同,從而求出概率.,,知識點一等可能事件發(fā)生的概率1.(2015四川遂寧中考)一個不透明的布袋中,放有3個白球,5個紅球,它們除顏色外完全相同,從中隨機摸取1個,摸到紅球的概率是()A.B.C.D.,答案AP(摸到紅球)==.,2.口袋里有紅、綠、黃三種顏色的球,這些球除顏色外完全相同,其中有紅球4個,綠球5個,從中任意摸出一個球是綠色的概率是.求:(1)口袋里黃球的個數(shù);(2)任意摸出一個球是黃球的概率.,解析(1)口袋里共有球5=20(個),所以口袋里有黃球20-(5+4)=11(個).(2)P(任意摸出一個球是黃球)=.,知識點二游戲的公平性與游戲的設計3.桌子上有7張卡片,分別寫著1~7的數(shù)字,背面朝上,如果摸到單數(shù),小麗贏,如果摸到雙數(shù),小明贏.(1)這個游戲公平嗎?為什么?(2)小明一定會輸嗎?為什么?(3)請你設計一個公平的游戲方案.,解析(1)因為1~7這7個數(shù)中,單數(shù)有1,3,5,7,一共有4個,雙數(shù)有2,4,6,一共有3個,4>3,所以雙方的機會不是均等的,這個游戲不公平.(2)因為小明贏的概率是37=,所以小明不一定會輸.(3)增加一張雙數(shù)或減少一張單數(shù),如果摸到單數(shù),小麗贏,如果摸到雙數(shù),小明贏.,知識點三幾何圖形中的概率4.如圖6-3-1所示,正方形花園ABCD中,AE=2米,BE=4米.一只小鳥任意落下,求它落在陰影區(qū)域的概率.圖6-3-1,解析由題意得S正方形ABCD=(2+4)2=36平方米,S陰影=42+24=16平方米,P(小鳥落在陰影區(qū)域)==.,知識點四轉盤問題中的概率5.圖6-3-2是三個可以自由轉動的轉盤,分別計算轉盤停止后指針落在A區(qū)域的概率.圖6-3-2,解析P(指針落在A區(qū)域)=.P(指針落在A區(qū)域)==.P(指針落在A區(qū)域)==.,1.如圖,四條直徑把大圓分成八等份,若往圓面投擲飛鏢,則飛鏢落在白色區(qū)域的概率是.,答案,解析從圖形上觀察可得白色區(qū)域的面積是整個圓的面積的一半,所以飛鏢落在白色區(qū)域的概率是.,2.(2015四川南充中考)從分別標有數(shù)-3,-2,-1,0,1,2,3的七張卡片中,隨機抽取一張,所抽卡片上數(shù)的絕對值小于2的概率是.,答案,解析|-3|=3,|-2|=2,|-1|=1,|0|=0,|1|=1,|2|=2,|3|=3,所抽卡片上數(shù)的絕對值小于2的有3張,所以所抽卡片上數(shù)的絕對值小于2的概率是.,3.小穎和小明做游戲:一個不透明的袋子中裝有6個完全一樣的球,每個球上分別標有1,2,2,3,4,5,從袋中任意摸出一個球,然后放回.規(guī)定:如果摸到的球上所標數(shù)字大于3,則小穎贏,否則小明贏.你認為這個游戲公平嗎?如果不公平,請修改游戲規(guī)則,使游戲公平.,解析游戲不公平.理由如下:∵摸到的球上所標數(shù)字大于3的概率是=,摸到的球上所標數(shù)字不大于3的概率是=,∴小明贏的概率大,故游戲不公平.修改規(guī)則如下:方法一:如果摸到的球上所標數(shù)字小于3,則小穎贏;否則小明贏.方法二:如果摸到的球上所標數(shù)字是偶數(shù),則小穎贏,否則小明贏.,1.小江玩投擲飛鏢的游戲,他設計了一個如圖6-3-3所示的靶子,點E、F分別是長方形ABCD的兩邊AD、BC上的點,且EF∥AB,點M、N是EF上任意兩點,則投擲一次,飛鏢落在陰影部分的概率是()圖6-3-3A.B.C.D.,答案C由題意得S陰影=S長方形ABCD-S△AMB-S△CND=ABAD-ABAE-CDED=ABAD-AB(AE+ED)=ABAD,∴P(飛鏢落在陰影部分)==.,2.如圖6-3-4,共有12個大小相同的小正方形,其中陰影部分的5個小正方形是一個正方體的表面展開圖的一部分,現(xiàn)從其余的小正方形中任取一個涂上陰影,能構成這個正方體的表面展開圖的概率是()圖6-3-4A.B.C.D.,答案A要從7個空白小正方形中選1個涂上陰影,共有7種等可能結果,其中符合要求的有4種結果,所以所求概率是,故選A.,3.小明和小紅做如下游戲:任意擲出兩枚均勻且完全相同的硬幣,若朝上的面相同,則小明獲勝;若朝上的面不同,則小紅獲勝.小紅認為:朝上的面相同有“兩個正面”和“兩個反面”兩種情況;而朝上的面不同只有“一正一反”一種情況,因此游戲對雙方不公平,你認為呢?,解析對兩枚硬幣的正、反兩面朝上的情況,可作如下分析:每枚硬幣都有正與反兩種情況.當?shù)谝幻冻霈F(xiàn)正時,與第二枚的正、反就構成了“正正”或“正反”兩種等可能結果,因此,出現(xiàn)“兩個正面”和“兩個反面”的可能性各為,而“兩面不同”有“一正一反”和“一反一正”兩種可能,可能性也各為,即它們的可能性都為,是等可能事件.所以游戲對雙方公平.,4.某電視臺的娛樂節(jié)目《周末大放送》有這樣的翻獎牌游戲,如下表,數(shù)字的反面寫有祝福語或獎金數(shù),游戲規(guī)則:每翻動正面一個數(shù)字,看看反面對應的內(nèi)容可知是得獎還是得到溫馨祝福.正面,反面,計算:(1)“翻到獎金1000元”的概率;(2)“翻到獎金”的概率;(3)“翻不到獎金”的概率.,解析(1)P(翻到獎金1000元)=.(2)P(翻到獎金)==.(3)P(翻不到獎金)==.,1.某電視欄目中的百寶箱互動環(huán)節(jié)是一種競猜游戲,游戲規(guī)則如下:在20張商標牌中,有5張商標牌的背面注明一定的獎金額,其余商標牌背面是一張哭臉,若翻到哭臉,就不得獎,參與這個游戲的觀眾有三次翻牌機會(翻過的牌不能再翻),某觀眾前兩次翻牌均獲得若干獎金,那么他第三次翻牌獲獎的概率是()A.B.C.D.,答案C20張商標牌中有獎的有5張,某觀眾前兩次均獲獎,而翻過的牌不能再翻,因此剩下的18張商標牌中,有獎商標牌有3張,故他第三次翻牌獲獎的概率P==.,2.(2016天津和平一模)在一個不透明的布袋中有2個白球和n個黃球,它們除顏色不同外,其余均相同,若從中隨機摸出一個球,摸到黃球的概率是,則n=.,答案8,解析由題意得=,解得n=8.,3.小明正在玩飛鏢游戲,如果小明將飛鏢隨意投中如圖所示的正方形木框,那么投中陰影部分的概率為.,答案,解析設小正方形的邊長為1,則S大正方形=36,S陰影=811+23+(4+2)1=10,∴P(投中陰影部分)===.,一、選擇題1.(2018廣東云浮云城期末模擬,3,★☆☆)在一個不透明的袋子里放入8個紅球,2個白球,小明隨意地摸出一球,這個球為白球的概率是()A.0.2B.0.25C.0.4D.0.8,答案A摸出白球的概率為=0.2.,2.(2017山西太原期末,6,★☆☆)一個不透明的袋子中裝有5個紅球、4個白球和3個黃球,每個球除顏色外完全相同,從中任意摸出一個球,下列說法不正確的是()A.摸到紅球、白球、黃球的概率相同B.摸到白球的概率為C.摸到黃球的概率為D.摸到紅球的概率為,答案A由題意知P(摸到紅球)==,P(摸到白球)==,P(摸到黃球)==,故A不正確.,3.(2017廣東學業(yè)考試,5,★☆☆)從分別標有數(shù)-3,-2,-1,1,2,3的六張沒有明顯差別的卡片中,隨機抽取一張,所抽卡片上的數(shù)值大于-2的概率是()A.B.C.D.,答案D大于-2的數(shù)有-1,1,2,3,共4個,故P(所抽卡片上的數(shù)值大于-2)==.,二、填空題4.(2017河南平頂山寶豐期末,15,★☆☆)在一次抽獎活動中,中獎概率是0.12,則不中獎的概率為.,答案0.88,1.(2017江西吉安吉州期末,3,★☆☆)袋子中紅球有5個,白球有6個,則從袋子中摸出白球的概率為()A.B.C.D.,答案B袋子中共有5+6=11個球,摸到白球的概率為.,2.(2016北京懷柔期末,20,★☆☆)如圖,有一個能自由轉動的轉盤,盤面被等分成8個扇形,顏色分為黑、白兩種,將指針的位置固定,讓轉盤自由轉動,當它停止后,指針指向白色扇形的概率是.,答案,解析因為轉盤上白色區(qū)域與黑色區(qū)域的面積相等,所以指針指向白色扇形的概率是.,3.(2016北京豐臺期末,20,★☆☆)一只小狗在如圖所示的地板上走來走去,地板是由大小相等的小正方形方磚鋪成的.求最終停在黑色方磚上的概率.,解析一共有15塊方磚,黑色方磚有5塊,所以最終停在黑色方磚上的概率是=.,一、選擇題1.(2018湖南衡陽中考,5,★☆☆)已知拋一枚均勻硬幣正面朝上的概率為,下列說法錯誤的是()A.連續(xù)拋一枚均勻硬幣2次必有1次正面朝上B.連續(xù)拋一枚均勻硬幣10次都可能正面朝上C.大量反復拋一枚均勻硬幣,平均每100次出現(xiàn)正面朝上50次D.通過拋一次均勻硬幣確定誰先發(fā)球的比賽規(guī)則是公平的,答案AA項,連續(xù)拋一枚均勻硬幣2次必有1次正面朝上,不正確,有可能兩次都正面朝上,也可能都反面朝上,故此選項符合題意;B項,連續(xù)拋一枚均勻硬幣10次都可能正面朝上,是一個隨機事件,有可能發(fā)生,故此選項不符合題意;C項,大量反復拋一枚均勻硬幣,平均100次出現(xiàn)正面朝上50次,有可能發(fā)生,故此選項不符合題意;D項,通過拋一枚均勻硬幣確定誰先發(fā)球的比賽規(guī)則是公平的,概率均為,故此選項不符合題意.,二、填空題2.(2018江蘇鹽城中考,12,★☆☆)一只螞蟻在如圖6-3-5所示的方格地板上隨意爬行,每個小方格形狀大小完全相同,當螞蟻停下時,停在地板中陰影部分的概率為.圖6-3-5,答案,解析∵正方形被等分成9份,其中陰影方格占4份,∴當螞蟻停下時,停在地板中陰影部分的概率為.,3.(2017山東日照中考,11,★☆☆)如圖6-3-6所示的圓形紙板被等分成10個扇形掛在墻上,玩飛鏢游戲(每次飛鏢均落在紙板上),則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率是.圖6-3-6,答案,解析由題意可得:陰影部分有4個小扇形,總共有10個小扇形,故飛鏢落在陰影區(qū)域的概率是=.,三、解答題4.(2015江蘇南京中考,22,★☆☆)某人的錢包內(nèi)有10元、20元和50元的紙幣各1張.從中隨機取出2張紙幣.(1)求取出紙幣的總額是30元的概率;(2)求取出紙幣的總額可購買一件51元的商品的概率.,解析該人從錢包內(nèi)隨機取出2張紙幣,可能出現(xiàn)的結果有3種,即(10,20)、(10,50)、(20,50),并且它們出現(xiàn)的可能性相等.(1)取出紙幣的總額是30元(記為事件A)的結果有1種,即(10,20),所以P(A)=.(2)取出紙幣的總額可購買一件51元的商品(記為事件B)的結果有2種,即(10,50)、(20,50),所以P(B)=.,1.(2016四川達州中考,6,★☆☆)如圖,在55的正方形網(wǎng)格中,從在格點上的點A,B,C,D中任取三點,所構成的三角形恰好是直角三角形的概率為()A.B.C.D.,答案D從點A,B,C,D中任取三點能組成三角形的可能情況一共有4種,其中△ABD,△ADC,△ABC是直角三角形,所以構成的三角形恰好是直角三角形的概率為.故選D.,2.(2018四川巴中中考,15,★☆☆)從下列圖形中任選一個恰好是軸對稱圖形的概率為.,答案,解析共有5種圖形,其中是軸對稱圖形的有等腰梯形,圓,兩相交直線,共3種,故所求概率為.,3.(2017江蘇鹽城中考,13,★☆☆)如圖是由大小完全相同的正六邊形組成的圖形,小軍準備用紅色、黃色、藍色隨機給每個正六邊形分別涂上其中的一種顏色,則上方的正六邊形涂紅色的概率是.,答案,1.張華想加王老師微信給他拜年,可一時記不清王老師微信號碼后三位數(shù)的順序,只記得是1,6,9三個數(shù)字,則張華一次試驗添加王老師微信成功的概率是()A.B.C.D.,答案A根據(jù)題意知:后三位可能為169、196、619、691、961、916,有6種情況,而符合條件的只有1種情況,所以張華一次試驗添加王老師微信成功的概率是.故選A.,2.楊華與季紅用5張同樣規(guī)格的硬紙片做拼圖游戲,正面如圖6-3-7①所示,背面完全一樣,將它們背面朝上攪勻后,同時抽出兩張.規(guī)則如下:當兩張硬紙片上的圖形可拼成電燈或小人時,楊華得1分;當兩張硬紙片上的圖形可拼成房子或小山時,季紅得1分.(如圖6-3-7②),圖6-3-7游戲規(guī)則對雙方公平嗎?請說明理由;若你認為不公平,如何修改游戲規(guī)則才能使游戲對雙方公平?,解析這個游戲對雙方不公平.∵P(拼成電燈)=,P(拼成小人)=,P(拼成房子)=,P(拼成小山)=,∴楊華平均每次得分為1+1=(分),季紅平均每次得分為1+1=(分).∵<,∴游戲對雙方不公平.游戲規(guī)則改為:當拼成的圖形是小人時楊華得3分,其余規(guī)則不變,就能使游戲對雙方公平.(答案不唯一),1.(2014四川雅安中考)我們把十位上的數(shù)字比個位和百位上數(shù)字都小的三位數(shù)稱為“V”數(shù),如756,326,那么從2,3,4這三個數(shù)字組成的無重復數(shù)字的三位數(shù)中任意抽取一個數(shù),則該數(shù)是“V”數(shù)的概率為.,答案,解析2,3,4組成的無重復數(shù)字的所有三位數(shù)有234、243、324、342、423、432,共六個,其中符合“V”數(shù)的有324、423,共兩個,所以該數(shù)是“V”數(shù)的概率為=.,2.若正整數(shù)n使得在計算n+(n+1)+(n+2)的過程中,各數(shù)位上均不產(chǎn)生進位現(xiàn)象,則稱n為“本位數(shù)”.例如2和30是“本位數(shù)”,而5和91不是“本位數(shù)”.現(xiàn)從所有大于0且小于100的“本位數(shù)”中,隨機抽取一個數(shù),則抽到偶數(shù)的概率為.,答案,解析大于0且小于100的“本位數(shù)”有1,2,10,11,12,20,21,22,30,31,32,共11個,其中偶數(shù)有7個,所以抽到偶數(shù)的概率為.,