數(shù)學(xué)第二章 方程（組）與不等式（組）第1節(jié) 一次方程（組）及其應(yīng)用

一次一次方程方程（組）（組）及其及其應(yīng)用應(yīng)用等式的性質(zhì)與解方等式的性質(zhì)與解方程程時(shí)時(shí)的應(yīng)用的應(yīng)用一元一次方程的解法一元一次方程的解法二元一次方程組的解法二元一次方程組的解法三元一次方程組的解法三元一次方程組的解法一元一次方程（組）的實(shí)際應(yīng)用一元一次方程（組）的實(shí)際應(yīng)用一般步驟一般步驟常見類型及關(guān)系式常見類型及關(guān)系式若若a=b,則則ac= 移項(xiàng)移項(xiàng)若若a=b,則則ac= 去分母（方程兩邊同乘各分母去分母（方程兩邊同乘各分母的最小公倍數(shù)）的最小公倍數(shù)）若若a=b,c0，則，則 = 系數(shù)化為系數(shù)化為1返回返回bcac 應(yīng)用 應(yīng)用 應(yīng)用等式的性等式的性質(zhì)與解方質(zhì)與解方程的應(yīng)用程的應(yīng)用bcbc一一元元一一次次方方程程的的解解法法1.去分母：注意（去分母：注意（1）不要漏乘不含分母的項(xiàng)）不要漏乘不含分母的項(xiàng); （2）分子是多項(xiàng)式的應(yīng)添括號）分子是多項(xiàng)式的應(yīng)添括號2.去括號：注意括號前是負(fù)號時(shí)，去括號后括號內(nèi)的各項(xiàng)均去括號：注意括號前是負(fù)號時(shí)，去括號后括號內(nèi)的各項(xiàng)均要變號要變號3.移項(xiàng)：注意移項(xiàng)要變號移項(xiàng)：注意移項(xiàng)要變號4.合并同類項(xiàng)：（合并同類項(xiàng)：（1）把方程化為）把方程化為ax=-b(a0)的形式的形式; （2）系數(shù)相加，字母及其指數(shù)不變）系數(shù)相加，字母及其指數(shù)不變.5.系數(shù)化為系數(shù)化為1：在方程兩邊都除以未知數(shù)的：在方程兩邊都除以未知數(shù)的 ，得到方，得到方程的解為程的解為 .返回返回系數(shù)系數(shù)bxa 二元二元一次一次方程方程組的組的解法解法1.代入消元法：當(dāng)方程組中某一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對值是代入消元法：當(dāng)方程組中某一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對值是1或一個(gè)方程的常數(shù)項(xiàng)為零時(shí)，選擇代入消元法較為簡單或一個(gè)方程的常數(shù)項(xiàng)為零時(shí)，選擇代入消元法較為簡單2.加減消元法：（加減消元法：（1）當(dāng)方程組中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕）當(dāng)方程組中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等或成整數(shù)倍時(shí)，采用加減消元法較為簡單對值相等或成整數(shù)倍時(shí)，采用加減消元法較為簡單. （2）當(dāng)方程組中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對值不相等，且）當(dāng)方程組中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對值不相等，且不成整數(shù)倍時(shí)，可通過找系數(shù)最小公倍數(shù)變成系數(shù)相同或相不成整數(shù)倍時(shí)，可通過找系數(shù)最小公倍數(shù)變成系數(shù)相同或相反，采用加減消元法較為合適反，采用加減消元法較為合適返回返回溫馨提示：解方程組時(shí)要以容易變形為標(biāo)準(zhǔn)確定是否采用代入法，溫馨提示：解方程組時(shí)要以容易變形為標(biāo)準(zhǔn)確定是否采用代入法，注意整體思想的應(yīng)用注意整體思想的應(yīng)用三元三元一次一次方程方程組的組的解法解法定義：方程組中含有三個(gè)未知數(shù)，每個(gè)方程中含未知數(shù)定義：方程組中含有三個(gè)未知數(shù)，每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是的項(xiàng)的次數(shù)都是1，并且一共有三個(gè)方程，并且一共有三個(gè)方程解法：解法：返回返回一一般般步步驟驟1.審：通過審題，把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題審：通過審題，把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題2.設(shè)：分析已知量和未知量，并用字母表示其中的未知量（設(shè)元）設(shè)：分析已知量和未知量，并用字母表示其中的未知量（設(shè)元）3.列：找出能表示題意的相等關(guān)系，列方程（組）列：找出能表示題意的相等關(guān)系，列方程（組）4.解：解這個(gè)方程組，求出未知數(shù)的值解：解這個(gè)方程組，求出未知數(shù)的值5.驗(yàn)：檢驗(yàn)所得答案是否正確驗(yàn)：檢驗(yàn)所得答案是否正確,是否符合題意是否符合題意6.答：規(guī)范作答，注意單位名稱答：規(guī)范作答，注意單位名稱返回返回常常見見類類型型及及關(guān)關(guān)系系式式 甲單價(jià)甲單價(jià)甲數(shù)量甲數(shù)量+乙單價(jià)乙單價(jià)乙數(shù)量乙數(shù)量=總價(jià)總價(jià) =總數(shù)量總數(shù)量和差倍分問題：抓住反映等量關(guān)系的關(guān)鍵詞：和、差、倍、幾分和差倍分問題：抓住反映等量關(guān)系的關(guān)鍵詞：和、差、倍、幾分之幾、大、小、多、少、增加、減少等之幾、大、小、多、少、增加、減少等變化率問題：常根據(jù)變化量原量變化率問題：常根據(jù)變化量原量變化率列方程，如變化率列方程，如a(1+m%)=b,其中其中a為原量，為原量，b為變化后的量，為變化后的量，m%為變化率為變化率 售價(jià)標(biāo)價(jià)售價(jià)標(biāo)價(jià)折扣，銷售額售價(jià)折扣，銷售額售價(jià)銷量銷量 利潤售價(jià)利潤售價(jià)-進(jìn)價(jià)，利潤率進(jìn)價(jià)，利潤率 100%工程問題：工作量工作效率工程問題：工作量工作效率 .未完繼續(xù)未完繼續(xù)購買問題+甲購買費(fèi)用乙購買費(fèi)用甲單價(jià)乙單價(jià)利潤問題利潤進(jìn)價(jià)工作時(shí)間工作時(shí)間行行程程問問題題路程速度路程速度時(shí)間時(shí)間追及問題同地不同時(shí)出發(fā)：同地不同時(shí)出發(fā)： ，若甲出發(fā)，若甲出發(fā)t小小時(shí)后，乙才出發(fā)，而后在時(shí)后，乙才出發(fā)，而后在B處追上甲，則處追上甲，則s甲甲s乙乙，t甲甲t+t乙乙同時(shí)不同地出發(fā)：同時(shí)不同地出發(fā)： ，若甲在，若甲在A處，處，乙在乙在C處，甲、乙同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過一段時(shí)間，甲、乙在處，甲、乙同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過一段時(shí)間，甲、乙在B處處相遇，則相遇，則s甲甲s乙乙+sAC，t甲甲t乙乙相遇問題：相遇問題： ，若甲、乙分別以，若甲、乙分別以A、B為起點(diǎn)，同時(shí)為起點(diǎn)，同時(shí)相向而行，經(jīng)過一段時(shí)間在相向而行，經(jīng)過一段時(shí)間在C處相遇，則處相遇，則s甲甲+s乙乙s AB，t甲甲t乙乙注意：應(yīng)用問題中的相等關(guān)系和未知量可能不止一個(gè)，解題時(shí)一定要選擇合適的一個(gè)注意：應(yīng)用問題中的相等關(guān)系和未知量可能不止一個(gè)，解題時(shí)一定要選擇合適的一個(gè)數(shù)量設(shè)未知數(shù)，然后用該未知數(shù)的代數(shù)式表示出其他的未知數(shù)量，根據(jù)另外的相等關(guān)數(shù)量設(shè)未知數(shù)，然后用該未知數(shù)的代數(shù)式表示出其他的未知數(shù)量，根據(jù)另外的相等關(guān)系列出方程（組）系列出方程（組）返回返回滿滿 分分技技法法 用一次方程（組）求解的應(yīng)用題，一般有兩個(gè)相等關(guān)系，若列用一次方程（組）求解的應(yīng)用題，一般有兩個(gè)相等關(guān)系，若列一元一次方程，則這兩個(gè)相等關(guān)系一個(gè)用來設(shè)出未知數(shù)后表示一元一次方程，則這兩個(gè)相等關(guān)系一個(gè)用來設(shè)出未知數(shù)后表示另一個(gè)未知數(shù)，另一個(gè)相等關(guān)系用來列方程，若列二元一次方另一個(gè)未知數(shù)，另一個(gè)相等關(guān)系用來列方程，若列二元一次方程組，則這兩個(gè)相等關(guān)系均用來列方程程組，則這兩個(gè)相等關(guān)系均用來列方程. 一次方程（組）的實(shí)際應(yīng)用一次方程（組）的實(shí)際應(yīng)用例例 某物流公司承接某物流公司承接A、B兩種貨物運(yùn)輸業(yè)務(wù)兩種貨物運(yùn)輸業(yè)務(wù)（1）已知）已知3月份月份A貨物運(yùn)費(fèi)單價(jià)為貨物運(yùn)費(fèi)單價(jià)為100元元/噸，且噸，且A貨物運(yùn)費(fèi)單價(jià)貨物運(yùn)費(fèi)單價(jià)是是B貨物運(yùn)費(fèi)單價(jià)的貨物運(yùn)費(fèi)單價(jià)的2倍少倍少20元，求元，求3月份月份B貨物的運(yùn)費(fèi)單價(jià)；貨物的運(yùn)費(fèi)單價(jià)；【自主作答自主作答】解：解：(1)設(shè)設(shè)3月份月份B貨物的運(yùn)費(fèi)單價(jià)為貨物的運(yùn)費(fèi)單價(jià)為m元元/噸，根據(jù)題意得：噸，根據(jù)題意得：2m20100，解得解得m60，答：答：3月份月份B貨物的運(yùn)費(fèi)單價(jià)是貨物的運(yùn)費(fèi)單價(jià)是60元元/噸；噸；（2）4月份由于工人工資上漲，月份由于工人工資上漲，A、B貨物運(yùn)費(fèi)單價(jià)共上調(diào)貨物運(yùn)費(fèi)單價(jià)共上調(diào)60元，元，A貨物上調(diào)單價(jià)是貨物上調(diào)單價(jià)是B貨物上調(diào)單價(jià)的貨物上調(diào)單價(jià)的2倍，求倍，求4月份月份A、B貨物的貨物的運(yùn)費(fèi)單價(jià)；運(yùn)費(fèi)單價(jià)；【自主作答自主作答】解：設(shè)解：設(shè)4月份月份A貨物的運(yùn)費(fèi)上調(diào)單價(jià)為貨物的運(yùn)費(fèi)上調(diào)單價(jià)為p元元/噸，噸，B貨物的上調(diào)貨物的上調(diào)單價(jià)為單價(jià)為q元，根據(jù)題意得：元，根據(jù)題意得： ，解得，解得 .p100140，q6080，答：答：4月份月份A貨物的運(yùn)費(fèi)單價(jià)為貨物的運(yùn)費(fèi)單價(jià)為140元元/噸，噸，B貨物的運(yùn)費(fèi)單價(jià)貨物的運(yùn)費(fèi)單價(jià)為為80元元/噸噸260pqpq4020pq260pqpq拓展拓展4月份由于工人工資上漲，月份由于工人工資上漲，A、B貨物運(yùn)費(fèi)單價(jià)上調(diào)的百分率分貨物運(yùn)費(fèi)單價(jià)上調(diào)的百分率分別為別為x和和1.25x，且共上調(diào)了，且共上調(diào)了70元元/噸，求噸，求4月份月份A、B貨物的貨物的運(yùn)費(fèi)單價(jià)；運(yùn)費(fèi)單價(jià)；【自主作答自主作答】解：根據(jù)題意得：解：根據(jù)題意得：100 x%601.25x%70，解得，解得x40，100(140%)140，60(150%)90，答：答：4月份月份A貨物的運(yùn)費(fèi)單價(jià)為貨物的運(yùn)費(fèi)單價(jià)為140元元/噸，噸，B貨物的運(yùn)費(fèi)單價(jià)貨物的運(yùn)費(fèi)單價(jià)為為90元元/噸噸（3）在（）在（2）的基礎(chǔ)上，該物流公司）的基礎(chǔ)上，該物流公司4月承接的月承接的A種貨物和種貨物和B種種貨物的重量與貨物的重量與3月份相同，月份相同，3月份共收取運(yùn)費(fèi)月份共收取運(yùn)費(fèi)19000元，元，4月份共月份共收取運(yùn)費(fèi)收取運(yùn)費(fèi)26000元，求該物流公司元，求該物流公司4月份運(yùn)輸月份運(yùn)輸A、B兩種貨物各多兩種貨物各多少噸？少噸？【自主作答自主作答】解：設(shè)該物流公司解：設(shè)該物流公司4月運(yùn)輸月運(yùn)輸A貨物貨物x噸，運(yùn)輸噸，運(yùn)輸B貨物貨物y噸，噸，根據(jù)題意得：根據(jù)題意得： ，解得，解得 .答：該物流公司答：該物流公司4月運(yùn)輸月運(yùn)輸A貨物貨物100噸，運(yùn)輸噸，運(yùn)輸B貨物貨物150噸噸100150 xy10060190001408026000 xyxy（4）若該物流公司有甲、乙兩種型號的貨車，甲貨車每車能）若該物流公司有甲、乙兩種型號的貨車，甲貨車每車能運(yùn)輸運(yùn)輸A貨物貨物5噸，乙貨車每車能運(yùn)輸噸，乙貨車每車能運(yùn)輸A貨物貨物7噸，一次送完，且恰噸，一次送完，且恰好每輛車都裝滿，請你設(shè)計(jì)出所有的運(yùn)輸方案好每輛車都裝滿，請你設(shè)計(jì)出所有的運(yùn)輸方案.【自主作答自主作答】解：設(shè)需要甲貨車解：設(shè)需要甲貨車a輛，乙貨車輛，乙貨車b輛，則輛，則5a7b100，a ，a，b均為正整數(shù)，均為正整數(shù)，有有 ， .答：共有兩種運(yùn)輸方案，分別為：甲貨車答：共有兩種運(yùn)輸方案，分別為：甲貨車6輛，乙貨車輛，乙貨車10輛；甲貨車輛；甲貨車13輛，乙貨車輛，乙貨車5輛輛10075b610ab135ab