人教版高一數(shù)學(xué)必修一全套教案75808.doc

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無序性：給定一個集合與集合里面元素的順序無關(guān)。 練習(xí)：判定是否是集合？ （1） 方程x*2-2x+1=0的解集（2）魯迅，π，上海 說明：其中前兩個性質(zhì)作為集合的判定定理 3，元素與集合的關(guān)系； （1）如果a是集合A的元素，就說a屬于A，記作：a∈A （2）如果a不是集合A的元素，就說a不屬于A，記作：aA 會不會有第三種關(guān)系，即不確定屬于不屬于？（確定性） 例如，我們A表示“1~20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)”組成的集合，則有3∈A，4A，等等。 4．集合與元素的字母表示： 集合通常用大寫的拉丁字母A，B，C…表示；集合的元素用小寫的拉丁字母a,b,c,…表示。 5．常用的數(shù)集及記法： 非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N；（自然英文首字母） 正整數(shù)集，記作N*或N+； 整數(shù)集，記作Z；（zheng） 有理數(shù)集，記作Q；（QQ交朋友） 實數(shù)集，記作R；（真實的英文首字母） 區(qū)分有理數(shù)，無理數(shù)： 有理數(shù)：整數(shù)，分?jǐn)?shù)，小數(shù)，無限循環(huán)小數(shù) 無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)，典型代表，π，e 6,我們可以用自然語言來描述一個集合，比如說“四大洋”，這個集合有幾個元素？元素個數(shù)比較少，我們可以一一列舉出來，這就是集合的表示方法之一，列舉法，再比如2，4，6，7這四個數(shù)構(gòu)成的集合，用自然語言描述不好描述，用列舉法就很簡單， 下面我們看看列舉法的一般的書寫格式 列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，并用花括號“”括起來表示集合的方法叫 列舉法。 如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…； 例1．（課本例1）用列舉法表示下列集合： （1）小于10的所有自然數(shù)組成的集合； （2）方程x2=x的所有實數(shù)根組成的集合； （3）由1到20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)組成的集合； （4）方程組的解組成的集合 說明：1．集合中的元素具有無序性，所以用列舉法表示集合時不必考慮元素的順序。 　　　2．各個元素之間要用逗號隔開； 　　　3．元素不能重復(fù)； 4．集合中的元素可以數(shù)，點，代數(shù)式等； 　　　5．對于含有較多元素的集合，用列舉法表示時，必須把元素間的規(guī)律顯示清楚后方能用省略號， 象自然數(shù)集Ｎ用列舉法表示為 6，{實數(shù)集}，{R}也是錯誤的，這里的{ 　}已包含“所有”的意思。 思考：你能用列舉法表示不等式x-7<3的解集嗎？無法用列舉法（元素個數(shù)無限多，而且不容易寫出規(guī)律加省略號），但是這些元素共同的性質(zhì)很容易概括，x<10 得出描述法的定義： （2）描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在花括號{　}內(nèi)。 具體方法：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征。 一般格式： 如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{x︳直角三角形}，…； 例2．（課本例2）試分別用列舉法和描述法表示下列集合： （1）方程x2—2=0的所有實數(shù)根組成的集合； （2）由大于10小于20的所有整數(shù)組成的集合； （3）方程組的解。 描述法表示集合應(yīng)注意集合的代表元素，如{(x,y)|y= x2+3x+2}與 {y|y= x2+3x+2}， {x|y= x2+3x+2}, {y/3|y= x2+3x+2}是不同的集合， 探究：課本P5最后一段話；生活的的例子適合用自然語言，比如說我們班的全體同學(xué)，元素個數(shù)有限且較少更適合列舉法，元素個數(shù)多或則無法一一列舉適合但共同屬性很容易概括適用于描述法 歸納小結(jié)：1---6 提升：集合是高中數(shù)學(xué)的一個重要平臺，學(xué)好集合基本知識，為我們在這個平臺上施展抱負(fù)做好準(zhǔn)備。 1.1.2集合間的基本關(guān)系 一、復(fù)習(xí)回顧： 1.提問：集合的兩種表示方法？ 如何用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希? （1）10以內(nèi)3的倍數(shù)； （2）1000以內(nèi)3的倍數(shù) 2.用適當(dāng)?shù)姆柼羁眨?0 N； Q； -1.5 R。 思考1：類比實數(shù)的大小關(guān)系，如5<7，2≤2，試想集合間是否有類似的“大小”關(guān)系呢？ 二、新課教學(xué) 比較下面幾個例子，試發(fā)現(xiàn)兩個集合之間的關(guān)系： （1），； （2），； （3）， 由學(xué)生通過觀察得結(jié)論。 1． 子集的定義： 對于兩個集合A，B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A是集合B的子集。 記作： 讀作：A包含于B，或B包含A 當(dāng)集合A不包含于集合B時，記作 用Venn圖表示兩個集合間的“包含”關(guān)系： B A 如：（1）中 2． 集合相等定義： 如果A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，則集合A與集合B中的元素是一樣的，因此集合A與集合B相等，即若，則。（可以類比兩個實數(shù)相等） 如（3）中的兩集合。（相等，子集兩種寫法都對） 3． 真子集定義： 若集合，但存在元素，則稱集合A是集合B的真子集。 記作：A B（或B A） 讀作：A真包含于B（或B真包含A） 如：（1）和（2）中A B，C D；（子集，真子集兩種寫法都對） 探究A是B的子集可能包含了什么情況？ 4． 空集定義：方程x*2+1=0的解集？你還能舉出不含任何元素的集合嗎？ 不含有任何元素的集合稱為空集，記作：。 5． 幾個重要的結(jié)論： （1） 空集是任何集合的子集； （2） 空集是任何非空集合的真子集； （3） 任何一個集合是它本身的子集； （4） 對于集合A，B，C，如果，且，那么。 （5） 例3，練習(xí)1， 注意：1）分類討論要不重不漏，有邏輯性，可以按照元素的個數(shù)分類， 2) 歸納法有猜想的成分，不嚴(yán)謹(jǐn)，我們學(xué)習(xí)了排列組合可以嚴(yán)謹(jǐn)證明 應(yīng)用：（1，2）真含于A含于（1，2，3，4，5）求滿足條件的集合A的個數(shù) 變式：（1，2）真含于A含于（1，2，3，4，5，6，7） 課本P7練習(xí)2，3 注意：集合與元素是“屬于”“不屬于”的關(guān)系，集合與集合是“包含于”“不包含于”的關(guān)系； 歸納小結(jié)： 本節(jié)課從實例入手，非常自然貼切地引出子集、真子集、空集、相等的概念及符號；并用Venn圖直觀地把這種關(guān)系表示出來；注意包含與屬于符號的運用。 提升：集合已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩節(jié)課，學(xué)習(xí)了不少概念，集合是數(shù)學(xué)的基本語言，同學(xué)們現(xiàn)在好比是牙牙學(xué)語的幼兒，希望同學(xué)們理解并記牢，快速成長！ 1.1.3集合的基本運算 一、復(fù)習(xí)回顧： 1．已知A={1，2，3}，S={1，2，3，4，5}，則A S；{x|x∈S且xA}= 。 2．用適當(dāng)符號填空： 0 {0}； 0 Φ； Φ {x|x＋1＝0,x∈R} {0} {x|x<3且x>5}； {x|x>6} {x|x<－2或x>5} ； {x|x>－3} {x>2} 同學(xué)們兩個實數(shù)之間有四則運算，兩個集合之間是否也有類似運算嗎？ 二、新課教學(xué) 思考：考察下列集合，說出集合C與集合A，B之間的關(guān)系： （1），； （2），；由學(xué)生通過觀察得結(jié)論。 1．并集的定義： 一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，叫做集合A與集合B的并集（union set）。記作：A∪B（讀作：“A并B”），即 用Venn圖表示： 這樣，在問題（1）（2）中，集合A，B的并集是C，即 = C 說明：定義中要注意“所有”和“或”這兩個條件。 課本例4，例5 例5，數(shù)軸求并集1）畫線高低錯落，2）空心實心毫不含糊，3）求并有線就行 討論：A∪B與集合A、B有什么特殊的關(guān)系？ A∪A＝ , A∪Ф＝ , A∪B B∪A A∪B＝A , A∪B＝B . 引入：1，（2，4，6，8，10）（3，5，8，12）（8） 2，女同學(xué)，高一學(xué)生，高一女同學(xué) 2．交集的定義： 一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，叫作集合A、B的交集（intersection set），記作A∩B（讀“A交B”）即： A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 用Venn圖表示：（陰影部分即為A與B的交集） 鞏固練習(xí)（口答）： ①．A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，則A∩B＝ ; ②．A＝{等腰三角形}，B＝{直角三角形}，則A∩B＝ ; ③．A＝{x|x>3}，B＝{x|x<6}，則A∩B＝ 。 （雙線才算） 討論：A∩B與A、B、B∩A的關(guān)系？ A∩A＝ A∩Ф＝ A∩B B∩A A∩B＝A A∩B＝B 3. 全集、補集概念及性質(zhì)的教學(xué)： 研究問題時，我們經(jīng)常要確定研究對象的范圍，例如，從小學(xué)到初中，我么研究數(shù)的范圍逐步由自然數(shù)，整數(shù)，有理數(shù)，實數(shù)過度不同范圍研究同一個問題時，可能有不同結(jié)果，例如方程。(X-2)(X*2-3)=0的解在有理數(shù)范圍只有一個解，在實數(shù)范圍下就有三個解，所以研究問題時，我們常常需要設(shè)定前提范圍，這就是全集。 1）、全集的定義：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集,記作U，是相對于所研究問題而言的一個相對概念。（看書上的例題練習(xí)題，全集是因題而異的，是人為設(shè)定的） 2）、補集的定義：對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合，叫作集合A相對于全集U的補集，記作：，讀作：“A在U中的補集”，即 用Venn圖表示：（陰影部分即為A在全集U中的補集） 鞏固練習(xí)：例8，例9，練習(xí)題1，2，3，4 第四題：1）添加一問介紹反衍律，畫圖證明2）介紹四塊地的集合表示 歸納小結(jié)：交，并，補 提升：到現(xiàn)在為止集合的概念運算已經(jīng)都學(xué)完了，集合是數(shù)學(xué)的基本語言，同學(xué)們現(xiàn)在好比是牙牙學(xué)語的幼兒，已經(jīng)初步掌握了這門語言，希望同學(xué)們認(rèn)真練習(xí)，熟練運用！ 1.2.1函數(shù)的概念 一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備： 初中我們都學(xué)習(xí)了哪些函數(shù)？一次，二次，反比例，其圖像為：---混入一個豎直的直線，一個開口向右的拋物線，引出初中函數(shù)的定義，在一個變化過程中，有兩個變量x和y，對于x的每一個確定的值，y都有唯一的值與之對應(yīng)，此時y是x的函數(shù)，x是自變量，y是因變量。 二、講授新課： （一）函數(shù)的概念： 函數(shù)的定義： 設(shè)A、B是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng)，那么稱為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作： 問題1，初高中定義的相同點和不同點？相同點：關(guān)鍵詞任意唯一每變，不同點：高中定義中提到了集合。 問題2，集合在定義中扮演什么角色？“口袋”作用就是把X,Y的取值裝入兩個集合口袋一個叫集合A一個叫集合B，比如說我們初中學(xué)習(xí)的一次函數(shù)，二次函數(shù)用高中定義來說—— 練習(xí)1，是否是A到B的函數(shù)？ 總結(jié)：任意唯一，是函數(shù)需遍取A中任意一個元素，不是函數(shù)只要在A中找到一個元素在B中沒有對應(yīng)，或?qū)?yīng)多于一個。 完善定義：其中，x叫自變量，x的取值范圍A叫作定義域，與x的值對應(yīng)的y值叫函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫值域。顯然，值域是集合B的子集。 探究：值域是集合B的子集？ 練習(xí)2，下列是A到B的函數(shù)的是A=[0，6] B=[0，2]（ ） Af:y=x/4 B f:y=x/3 Cf:y=x/2 練習(xí)3，下列是A到B的函數(shù)（1）f: y^2=x, A:x≥0，y∈R （2）x^2+y^2=1 A,B=[-1，1] 練習(xí)4，A=[三角形] B=[正實數(shù)] f:求該三角形的面積 這就是我們高中函數(shù)的定義，其中定義域值域是初中定義每涉及的，下面我們就研究初中接觸的函數(shù)的定義域和值域 （1）一次函數(shù)y=ax+b (a≠0)的定義域是R，值域也是R； （2）二次函數(shù) (a≠0)的定義域是R，值域是B；當(dāng)a>0時，值域；當(dāng)a﹤0時，值域。 （3）反比例函數(shù)的定義域是，值域是。 （二）區(qū)間及寫法： 設(shè)a、b是兩個實數(shù)，且a5}、{x|x≤-1}、{x|x<0} （學(xué)生做，教師訂正） （3） 例題講解： 例1：求下列函數(shù)的定義域（用區(qū)間表示） 1 f(x)=； ⑵ f(x)=； ⑶ f(x)=－； 學(xué)生試求→訂正→小結(jié)：定義域求法（分式、根式、組合式） 說明：求定義域步驟：列不等式（組） → 解不等式（組）→寫成集合或區(qū)間 例2，已知函數(shù)，求f(0)、f(a)、f(2a+1)、f(x-1)、f(g(x))的值。 說明：秘訣：整體打包代入 例3．（課本P18例2）下列函數(shù)中哪個與函數(shù)y=x相等？ （1）； （2）； （3）； （4） 。 說明：相同三要素完全相同，不同一個要素不同就不同。 探究：三要素是有關(guān)系的，我們是否可以判定兩要素相同就說是同一個函數(shù)？ 總結(jié)：函數(shù)的定義 提升：從初中函數(shù)的概念到高中函數(shù)的概念，我們在更高的平臺上對函數(shù)有了進一步的了解，好比同學(xué)們的學(xué)習(xí)，一個又一個臺階，不斷進步！ 1.2.2函數(shù)的表示法 一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備： 1．提問：函數(shù)的概念？函數(shù)的三要素？ 2．討論：初中所學(xué)習(xí)的函數(shù)三種表示方法？試舉出日常生活中的例子說明. 二、講授新課： （一）函數(shù)的三種表示方法： 結(jié)合課本P15 給出的三個實例，說明三種表示方法的適用范圍及其優(yōu)點： 解析法：就是用數(shù)學(xué)表達式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，如1.2.1的實例（1）； 優(yōu)點：簡明扼要；給自變量求函數(shù)值。 圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，如1.2.1的實例（2）； 優(yōu)點：直觀形象，反映兩個變量的變化趨勢。 列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，如1.2.1的實例（3）； 優(yōu)點：不需計算就可看出函數(shù)值，如股市走勢圖； 列車時刻表；銀行利率表等。 例1．（課本P19 例3）某種筆記本的單價是2元，買x (x∈{1，2，3，4，5})個筆記本需要y元．試用三種表示法表示函數(shù)y=f(x) ． 例2：（課本P20 例4）下表是某校高一（1）班三位同學(xué)在高一學(xué)年度六次數(shù)學(xué)測試的成績及班級平均分表： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 甲 98 87 91 92 88 95 乙 90 76 88 75 86 80 丙 68 65 73 72 75 82 班平均分 88．2 78．3 85．4 80．3 75．7 82．6 請你對這三們同學(xué)在高一學(xué)年度的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況做一個分析． （二）分段函數(shù)的教學(xué)： 分段函數(shù)的定義： 在函數(shù)的定義域內(nèi)，對于自變量x的不同取值范圍，有著不同的對應(yīng)法則，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)，如以下的例3的函數(shù)就是分段函數(shù)。 說明： （1）．分段函數(shù)是一個函數(shù)而不是幾個函數(shù)，處理分段函數(shù)問題時，首先要確定自變量的數(shù)值屬于哪個區(qū)間段，從而選取相應(yīng)的對應(yīng)法則；畫分段函數(shù)圖象時，應(yīng)根據(jù)不同定義域上的不同解析式分別作出； （2）．分段函數(shù)只是一個函數(shù)，只不過x的取值范圍不同時，對應(yīng)法則不相同。 例3：（課本P21 例6）某市“招手即?！惫财嚨钠眱r按下列規(guī)則制定： （1）5公里以內(nèi)（含5公里），票價2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票價增加1元（不足5公里的俺公里計算）。 如果某條線路的總里程為20公里，請根據(jù)題意，寫出票價與里程之間的函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)的圖象。 例4． 已知f(x)＝，求f(0)、f[f(-1)]的值 導(dǎo)入：對比函數(shù)的定義 函數(shù)是建立在兩個非空數(shù)集間的一種對應(yīng)，若將其中的條件“非空數(shù)集”弱化為“任意兩個非空集合”，按照某種法則可以建立起更為普通的元素之間的對應(yīng)關(guān)系，即映射。 （三） 映射的概念教學(xué)： 定義：一般地，設(shè)A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)為從集合A到集合B的一個映射。記作： 討論：映射有哪些對應(yīng)情況？一對多是映射嗎？ 例1．（課本P22例7）以下給出的對應(yīng)是不是從A到集合B的映射？ （1） 集合A={P | P是數(shù)軸上的點}，集合B=R，對應(yīng)關(guān)系f：數(shù)軸上的點與它所代表的實數(shù)對應(yīng)； （2） 集合A={P | P是平面直角坐標(biāo)系中的點}，B= ，對應(yīng)關(guān)系f： 平面直角坐標(biāo)系中的點與它的坐標(biāo)對應(yīng)； （3） 集合A={x | x是三角形}，集合B={x | x是圓}，對應(yīng)關(guān)系f：每一個三角形都對應(yīng)它的內(nèi)切圓； （4） 集合A={x | x是新華中學(xué)的班級}，集合B={x | x是新華中學(xué)的學(xué)生}，對應(yīng)關(guān)系：每一個班級都對應(yīng)班里的學(xué)生。 例2．設(shè)集合A={a,b,c}，B={0,1} ，試問：從A到B的映射一共有幾個？并將它們分別表示出來。 （四）、歸納小結(jié)： 本節(jié)課歸納了函數(shù)的三種表示方法及優(yōu)點；講述了分段函數(shù)概念；了解了函數(shù)的圖象可以是一些離散的點、線段、曲線或射線。 1.3.1單調(diào)性與最大（小）值 1、 復(fù)習(xí)準(zhǔn)備： 下圖是神州號飛船飛行的高度關(guān)于時間的圖像 問題1，是定義在t∈[0，8]的函數(shù)圖像嗎？ 問題2，觀察函數(shù)圖像，你能了解神州號飛船的飛行規(guī)律嗎？上升下降，最高最低點 這就是我們本節(jié)課要學(xué)習(xí)的兩個方面，單調(diào)性與最值（寫課題） 引導(dǎo)1，在t∈[0，2]上圖像是如何變化的？上升的 引導(dǎo)2，圖像是上升的，很好的感性的認(rèn)識，但一般不會作為嚴(yán)格的官方定義，如何定義呢？ 隨著x的變大y變大 引導(dǎo)3，隨著x的變大y變大，也就是說如果x10時， → ；根式是能表示成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式 ，當(dāng)被開方的指數(shù)不能被根指數(shù)整除時根式是否也能表示成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式？ → .這樣規(guī)定的合理性？使得理論體系得以推廣健全。 定義分?jǐn)?shù)指數(shù)冪： 規(guī)定； 隨堂練習(xí)：A.將下列根式寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪形式：；； B. 求值 ； ； ； . 討論：0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪？ 0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪？ 指出：規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)，那么整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)也同樣可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪． 指數(shù)冪的運算性質(zhì)： ·； ； ． 教學(xué)例題： （1）、（P51，例2） 解：① ，② ③ ，④ 總結(jié)：有兩種思路：1）直接將分?jǐn)?shù)指數(shù)冪轉(zhuǎn)化成根式。但這樣做有時比較麻煩，如④。2）把底數(shù)先寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，這樣新老冪之間可能約分化簡，較好！ （2）、（P51，例3）用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表或下列各式（＞0） 解：， （3）（P52例5）計算下列各式 （1）（2）＞0） 無理指數(shù)冪的教學(xué) 的結(jié)果？→定義：無理指數(shù)冪.（結(jié)合教材P58利用逼近的思想理解無理指數(shù)冪意義） 無理數(shù)指數(shù)冪是一個確定的實數(shù)．實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)？ 歸納小結(jié)： 1．根式的概念：若n＞1且，則 為偶數(shù)時，； 2． 掌握兩個公式： 3． 根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的轉(zhuǎn)化。 提升：指數(shù)冪的推廣完善：整數(shù)（初中）→有理數(shù)→實數(shù)，理論體系就像一顆種子一樣慢慢的生根發(fā)芽開花結(jié)果！ 2.1.2 指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì) 一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備： 1. 提問：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是怎樣定義的？ 2. 提問：有理指數(shù)冪的運算法則可歸納為幾條？ 講新課之前我想提一個一直困擾我的拉面問題，2^1=2,2^2=4,2^3=8,2^4=16,2^5=32-----實際上就是一個函數(shù)關(guān)系，大約拉4，5次就可以了，正是這個函數(shù)把我從人生的困惑中解脫出來，這就是我們今天指數(shù)函數(shù)。 2、 講授新課： 舉例：生活中其它指數(shù)模型？ A．細(xì)胞分裂時，第一次由1個分裂成2個，第2次由2個分裂成4個，第3次由4個分裂成8個，如此下去，如果第x次分裂得到y(tǒng)個細(xì)胞，那么細(xì)胞個數(shù)y與次數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式是什么？ B．一種放射性物質(zhì)不斷變化成其他物質(zhì)，每經(jīng)過一年的殘留量是原來的84％，那么以時間x年為自變量，殘留量y的函數(shù)關(guān)系式是什么？ 討論：上面的兩個函數(shù)有什么共同特征？底數(shù)是什么？指數(shù)是什么？ 定義：一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)（exponential function），其中x是自變量，函數(shù)的定義域為R. 討論：為什么規(guī)定＞0且≠1呢？否則會出現(xiàn)什么情況呢？討論：你能類比前面討論函數(shù)性質(zhì)時的思路，提出研究指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的內(nèi)容和方法嗎？研究方法：畫出函數(shù)的圖象（有圖有真相），結(jié)合圖象研究函數(shù)的性質(zhì)． 研究內(nèi)容：定義域、值域、特殊點、單調(diào)性、最大（小）值、奇偶性． 如何做出一個新函數(shù)的圖像？描點法或者圖像變換 作圖：在同一坐標(biāo)系中畫出下列函數(shù)圖象： （師生共作→小結(jié)作法） 函數(shù)與的圖象有什么關(guān)系？如何由的圖象畫出的圖象？根據(jù)兩 函數(shù)的圖象的特征，歸納出這兩個指數(shù)函數(shù)的性質(zhì). → 變底數(shù)為3或1/3等后？ 根據(jù)圖象歸納：指數(shù)函數(shù)的性質(zhì) (書P56) 01 定義域 值域 單調(diào)性 奇偶性 定點 圖像位置關(guān)系 3、例題講解 例1：（P56 例6）已知指數(shù)函數(shù)（＞0且≠1）的圖象過點（3，π），求 例2：（P56例7）比較下列各題中的個值的大小 （1）1.72.5 與 1.73( 2 )與( 3 ) 1.70.3 與 0.93.1 總結(jié)：比較大小的常見方法：做差，做商，單調(diào)性，中間量-------- 教學(xué)指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用模型： ① 出示例1：我國人口問題非常突出，在耕地面積只占世界7%的國土上，卻養(yǎng)育著22%的世界人口．因此，中國的人口問題是公認(rèn)的社會問題．2000年第五次人口普查，中國人口已達到13億，年增長率約為1%．為了有效地控制人口過快增長，實行計劃生育成為我國一項基本國策． (Ⅰ)按照上述材料中的1%的增長率，從2000年起，x年后我國的人口將達到2000年的多少倍？ (Ⅱ)從2000年起到2020年我國的人口將達到多少？ （師生共同讀題摘要→ 討論方法 → 師生共練→ 小結(jié)：從特殊到一般的歸納法） ② 練習(xí)： 2005年某鎮(zhèn)工業(yè)總產(chǎn)值為100億，計劃今后每年平均增長率為8%, 經(jīng)過x年后的總產(chǎn)值為原來的多少倍？ → 變式：多少年后產(chǎn)值能達到120億？ ③ 小結(jié)指數(shù)函數(shù)增長模型：原有量N，平均最長率p，則經(jīng)過時間x后的總量y=？ →一般形式：涉及到指數(shù)型函數(shù)的應(yīng)用，形如（a＞0且≠1）. 歸納小結(jié) 1、指數(shù)函數(shù)的定義 2、指數(shù)函數(shù)圖像和性質(zhì) 提升：思想方法：分類討論，數(shù)形結(jié)合，這是高中數(shù)學(xué)較比重要的思想希望同學(xué)們能有所體會！而且展示了研究一個新學(xué)函數(shù)方法，這位我們以后的學(xué)習(xí)起到了示范作用。 2.2.1對數(shù)與對數(shù)運算 復(fù)習(xí)準(zhǔn)備： 今天我們學(xué)習(xí)2.2，在2.1中我們學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪。指數(shù)函數(shù)對于這兩節(jié)內(nèi)容我們簡單復(fù)習(xí)一下： 問題1.X^2=4,X=±2？.X^2=5，X=±√5？為什么X=±√5？這個方程的根X真實存在，但在有理數(shù)范圍內(nèi)是無解的，于是我們規(guī)定了n次方根的定義，從而就可以把這兩個解書寫出來，可以說就是為了解方程的需要人為發(fā)明的一個符號標(biāo)記。 問題2。對于指數(shù)函數(shù)，Y=8,X=?, Y=30,X=?, X存在嗎？唯一確定嗎？你能估測其所在區(qū)間嗎？雖然方程的根唯一確定但我們現(xiàn)在是無法說出x等于什么，怎么辦？人為標(biāo)記一個符號，怎么標(biāo)記？同學(xué)們嘗試發(fā)明創(chuàng)造-------，大家的創(chuàng)造能力很強，和合理，但生不逢時，這個已經(jīng)被數(shù)學(xué)前輩發(fā)明了，16世紀(jì)蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾，發(fā)明了對數(shù)，對數(shù)的發(fā)明是數(shù)學(xué)歷史上的重大事件，天文學(xué)家，航海家為之欣喜若狂，恩格斯把對數(shù)的發(fā)明，解析幾何，微積分并稱17世紀(jì)數(shù)學(xué)的3大創(chuàng)造，伽利略說過，給我空間時間和對數(shù)我就能創(chuàng)造一個宇宙！??！ 定義：一般地，如果，那么數(shù) x叫做以a為底 N的對數(shù)（logarithm）. 記作 ，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù) 用定義說明： =30,X=?, 定義：我們通常將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)（common logarithm），并把常用對數(shù)簡記為lgN 在科學(xué)技術(shù)中常使用以無理數(shù)e=2.71828……為底的對數(shù)，以e為底的對數(shù)叫自然對數(shù)，并把自然對數(shù)簡記作lnN → 認(rèn)識：lg5 ; lg3.5； ln10； ln3 練習(xí)課本例1.互化，添加兩題（7）lg（-1）= (8)lg0= (9)lg1= (10)lg10= 結(jié)論：負(fù)數(shù)與零沒有有對數(shù)？（原因：在指數(shù)式中 N > 0 ） ， 例2--------- 指數(shù)有哪些運算律？對數(shù)也應(yīng)當(dāng)有自己的運算律，如果我們發(fā)現(xiàn)將是對對數(shù)體系是重大完善！ ① 引例： 由，如何探討和、之間的關(guān)系？ 設(shè), ，由對數(shù)的定義可得：M=，N= ∴MN== ∴MN=p+q，即得MN=M + N ② 探討：根據(jù)上面的證明，能否得出以下式子？ 如果 a > 0，a 1 1，M > 0， N > 0 ，則 ; ； 性質(zhì)的證明思路？（對數(shù)定義，用定義證明是證明的根本，學(xué)過了哪些？證明單調(diào)性，奇偶性）自然語言如何敘述三條性質(zhì)？ 例1. 判斷下列式子是否正確，（＞0且≠1，＞0且≠1，＞0，＞）， （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 例2（ P65例3例4）：用，，表示出（1）（2）小題，并求出（3）、（4）小題的值. （1） （2） （3） （4） 對數(shù)在生活中的應(yīng)用是很強的，看課本P66，我國人口問題達到18億的年份，如何求，這里是非特殊值需要計算機，但問題來了，計算器上都是以10，e,為底的，所以我們需要把這個結(jié)果轉(zhuǎn)化成以10或e,為底的。 換底公式，查計算機算出本題。從計算器求對數(shù)這個角度可以看出換底公式的重要性。 換底公式的推論：； 接下來繼續(xù)見證對數(shù)的神奇：長沙馬王墓女尸出土?xí)r碳14的余含量約占原始量的76.7%，試推算古墓的年代？ 歸納小結(jié)： 對數(shù)的定義：＞0且≠1） 　 對數(shù)的性質(zhì)公式： 提升：同學(xué)們本節(jié)課大家見證了對數(shù)的發(fā)明與發(fā)展，這個過程神奇但也入情入理，希望同學(xué)們在數(shù)學(xué)上投入興趣多做研究，將來也能成為一名偉大的數(shù)學(xué)家！ 2.2.2對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì) 一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備： 對數(shù)的定義和運算，對數(shù)是17世紀(jì)數(shù)學(xué)史的重大發(fā)明，恩格斯把對數(shù)的發(fā)明，解析幾何，微積分并稱17世紀(jì)數(shù)學(xué)的3大創(chuàng)造，伽利略說過，給我空間時間和對數(shù)我就能創(chuàng)造一個宇宙。比如教材P73例， 對每一個碳14的含量P的取值，通過對應(yīng)關(guān)系，生物死亡年數(shù)t都有唯一的值與 之對應(yīng)，從而t是關(guān)于P的函數(shù)，這個函數(shù)在考古年代斷定上有無以倫比的作用，這個函數(shù)就 是今天要學(xué)習(xí)的對數(shù)函數(shù)。 二、講授新課： 定義：一般地，當(dāng)a＞0且a≠1時，函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)(logarithmic function).自變量是x； 函數(shù)的定義域是（0，+∞） 探究：你能類比前面討論指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的思路，提出研究對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的內(nèi)容和方法嗎？ 研究方法：畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象研究函數(shù)的性質(zhì)． 研究內(nèi)容：定義域、值域、特殊點、單調(diào)性、最大（小）值、奇偶性． 如何做出一個新函數(shù)的圖像？描點法，圖像變換 同一坐標(biāo)系中畫出下列對數(shù)函數(shù)的圖象 ；（可以通過將得到關(guān)于X軸對稱）根據(jù)圖象，你能歸納出對數(shù)函數(shù)的哪些性質(zhì)？ 01 定義域 值域 單調(diào)性 奇偶性 定點 圖像位置關(guān)系 例1：（P71例7）求下列函數(shù)的定義域 （1） （2） （＞0且≠1） 例2. （P72例8）比較下列各組數(shù)中的兩個值大小 （1） （2） （3） （＞0，且≠1） 例3. （P72例9）：溶液酸堿度的測量問題：溶液酸堿度pH的計算公式，其中表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升. （Ⅰ）分析溶液酸堿讀與溶液中氫離子濃度之間的關(guān)系？ （Ⅱ）純凈水摩爾/升，計算純凈水的酸堿度. 總結(jié)：用函數(shù)思想解決實際應(yīng)用問題的步驟： 第一步:抽象出的函數(shù)模型。（建函數(shù)）（本題是直接給出函數(shù)） 第二步：如何應(yīng)用函數(shù)模型解決問題？（用函數(shù)）（單調(diào)性，由X求Y） 第三步：匯報實際結(jié)論。（跳出函數(shù)） 過度：PH值分別是8，9，10求對應(yīng)的氫離子的濃度，分別將函數(shù)值代入8，9，10再指對互化分別求出自變量，但這樣運算有重復(fù)的嫌疑，指對互化了3次，我們可以先指對互化得到一個新函數(shù)，對于這個新函數(shù)的自變量分別代入8，9，10這樣會簡單些。 原函數(shù)：PH值關(guān)于氫離子濃度的函數(shù)，新函數(shù)：氫離子濃度關(guān)于PH值的函數(shù) 這兩個函數(shù)有什么變化？自變量和因變量顛倒。這就是我們下面要學(xué)習(xí)的反函數(shù) 當(dāng)一個函數(shù)是一一映射時, 可以把這個函數(shù)的因變量作為一個新函數(shù)的自變量, 而把這個函數(shù)的自變量新的函數(shù)的因變量. 我們稱這兩個函數(shù)為反函數(shù)（inverse function） 如何由求出它的反函數(shù)？ y=2x-1? 函數(shù)由解出，是把指數(shù)函數(shù)中的自變量與因變量對調(diào)位置而得出的. 習(xí)慣上我們通常用x表示自變量，y表示函數(shù)，即寫為.那么我們就說指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)。 在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出上面兩對互為反函數(shù)的圖象，發(fā)現(xiàn)什么性質(zhì)？關(guān)于y=x對稱。為什么？ 例1、求下列函數(shù)的反函數(shù) （1） （2） （師生共練 → 小結(jié)步驟：解x ；交換x,y；定義域） 類比：原函數(shù)（漢獻帝掌權(quán)）反解x （曹操挾天子以令諸侯）；交換x,y（曹操稱帝，當(dāng)然曹操自己沒有稱帝） 例2、己知函數(shù)的圖象過點（1，3）其反函數(shù)的圖象過（2，0）點，求的表達式. 歸納小結(jié)：對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì); 反函數(shù)的含義 提升：指對函數(shù)是高中最先學(xué)的兩個基本初等函數(shù)，它們關(guān)于Y=X對稱，（畫門形圖），走進這扇門將正式進入高中函數(shù)的學(xué)習(xí)！ 2.3冪函數(shù) 新課引入： （1）邊長為的正方形面積，這里是的函數(shù)； （2）面積為的正方形邊長，這里是的函數(shù)； （3）邊長為的立方體體積，這里是的函數(shù)； （4）某人內(nèi)騎車行進了1，則他騎車的平均速度，這里是的函數(shù)； （5）購買每本1元的練習(xí)本本，則需支付元，這里是的函數(shù). 觀察上述五個函數(shù)，有什么共同特征？（指數(shù)定，底變） 給出定義：一般地，形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中為常數(shù). 冪函數(shù)和我們學(xué)習(xí)過的什么函數(shù)相似度較高？指數(shù)函數(shù)。區(qū)別是什么？指數(shù)：底定指變，冪：指定底變。 練：判斷在函數(shù)y=x^3（是）,y=3^x（不是）,y=3x^2（不是）,y=x^2+x^3（不是），y=1/x（是）,y=x^0（是）,y=1（不是）中，哪幾個函數(shù)是冪函數(shù)？用定義嚴(yán)格判斷。只要形如這種形式的就是冪函數(shù)，參數(shù)a可以取任何值。在這里我們也可以看出冪函數(shù)的多樣性，y=1/x,y=x,y=x^2,圖像差別較大。 如何研究冪函數(shù)？可類比指對函數(shù)研究的方式：函數(shù)定義有了，下一步有圖有真相，通過描點法出圖像，但由于圖像的多樣性，每個冪函數(shù)的類比性不強，借鑒意義不算大，每個冪函數(shù)都要描點，今天我們用“超級描點法”比如：y=x^1/2:定義域【0，正無窮）值域【0，正無窮）圖像就鎖定第一象限且過原點，單調(diào)性【0，正無窮）單增，這樣就把圖像就有了大致輪廓，再描點就不會很盲目?。惐龋鹤鳟嫞炱瓢福? 練習(xí)：分小組做出下列冪函數(shù)的大致圖像a=3，-3，2/3,3/2,-2/3,-3/2 引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象，歸納概括冪函數(shù)的的性質(zhì)及圖象變化規(guī)律： （Ⅰ）所有的冪函數(shù)在（0，+∞）都有定義，并且圖象都過點（1，1）； （Ⅱ）時，冪函數(shù)的圖象通過原點，并且在區(qū)間上是增函數(shù)．特別地，當(dāng)時，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)時，冪函數(shù)的圖象上凸； （Ⅲ）時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù)．在第一象限內(nèi)，當(dāng)從右邊趨向原點時，圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸，當(dāng)趨于時，圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸。 過度：這就是我們今天研究的冪函數(shù)，體會了超級描點法，就是先通過函數(shù)解析式，可以很容易得到函數(shù)的一些性質(zhì)，定義域，值域，單調(diào)性，奇偶性，特殊點---這樣就可以勾勒出圖像大致輪廓，再描點，就可以把圖像快速畫出！比如單調(diào)性不通過嚴(yán)謹(jǐn)證明，很容易判定出來，是增函數(shù)，當(dāng)然如果你要想嚴(yán)謹(jǐn)證明也可以證出來。 例1（P78例1）．證明冪函數(shù)上是增函數(shù) 證：任?。紕t = = 因＜0，＞0 所以，即上是增函數(shù). 例2. 比較大?。号c； 與； 與. 歸納小結(jié)： 1， 定義。2，作圖。3，性質(zhì) 提升：通過作圖可以了解冪函數(shù)性質(zhì)，而通過性質(zhì)我們也可以幫助我們作圖，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，數(shù)形相輔相成。 3.1.1 方程的根與函數(shù)的零點 引入：在第二章我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念，性質(zhì)，指對冪函數(shù)，函數(shù)是高中數(shù)學(xué)最重要的內(nèi)容，而函數(shù)在實際生活中應(yīng)用非常廣泛，比如上一章我們研究的人口的增長問題就是指數(shù)型函數(shù)模型，考古中年代斷定就是對數(shù)型函數(shù)，不舉高大上的就比如一個一直困擾我的拉面問題，2^1=2,2^2=4,2^3=8,2^4=16,2^5=32-----實際上就是一個指數(shù)函數(shù)，大約拉4，5次就可以了，正是這個函數(shù)把我從人生的困惑中解脫出來。第三章我們就重點研究函數(shù)的應(yīng)用。 1、提出問題：一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的根與二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象有什么關(guān)系？ 2．先來觀察幾個具體的一元二次方程的根及其相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象： ①方程與函數(shù)②方程與函數(shù) ③方程與函數(shù) 生：這三個二次方程的根就是二次函數(shù)圖形與X軸交點的橫坐標(biāo) 師：上述結(jié)論推廣到一般二次方程和二次函數(shù)又怎樣？可推廣為更一般的函數(shù)與方程嗎？ 方程的根就是函數(shù)與X軸交點的橫坐標(biāo) 就叫做函數(shù)的零點．問上面三個函數(shù)的零點（糾錯零點不是點是橫坐標(biāo)，名字有很強的迷惑性）方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點． 過度：函數(shù)一定有零點嗎？ 過度：二次函數(shù)的零點存在性可以通過判別式斷定，其它函數(shù)的零點存在性如何判定？ 零點存在性的探索： （Ⅰ）觀察二次函數(shù)的圖象： ① 在區(qū)間上有零點______； _______，_______, ·_____0（＜或＞＝）． ② 在區(qū)間上有零點______； ·____0（＜或＞＝）． （Ⅱ）觀察下面函數(shù)的圖象 ① 在區(qū)間上______(有/無)零點； ·_____0（＜或＞＝）． ② 在區(qū)間上______(有/無)零點； ·_____0（＜或＞＝）． ③ 在區(qū)間上______(有/無)零點； ·_____0（＜或＞＝）． 1，由以上兩步探索，你可以得出什么樣的結(jié)論？區(qū)間端點函數(shù)值異號，那么在該區(qū)間上存在零點。 2，這個結(jié)論對不對？連續(xù)函數(shù)區(qū)間端點函數(shù)值異號，那么在該區(qū)間上存在零點。 3，存在幾個確定不？生：單調(diào)函數(shù)肯定存在一個，不單調(diào)一定存在奇數(shù)個。 4，這個結(jié)論正確嗎？不單調(diào)也可能存在偶數(shù)個零點 5，端點值同號一定不存在零點嗎？不一定 6，存在零點端點值一定異號嗎？不 一定 從上面的問題中我們也可以看出零點存在性定理不能隨意推廣發(fā)散，遇到和定理不一樣的描述一定認(rèn)真判定其正確與否。 例1，求函數(shù)f(x)=的零點個數(shù)。 例2．求函數(shù)，并畫出它的大致圖象． 例3.（課本例1）求函數(shù)f(x)=lnx+2x-6零點的個數(shù)， 解法1，課本給出的有零點存在性定理可知零點位于（2，3）又由于函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增 解法2，函數(shù)有零點．方程有實數(shù)根兩個函數(shù)交點的橫坐標(biāo) 總結(jié)：1，零點的定義；2，零點存在性定理。 提升：涉及到哪些思想方法？等價轉(zhuǎn)化思想。等價轉(zhuǎn)化思想是無比重要的數(shù)學(xué)思想，俄羅斯著名數(shù)學(xué)家雅 潔卡婭在《什么是解題》中說過這樣一句話：解題就是把要解的題轉(zhuǎn)化成已經(jīng)解過的題，這句話體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的重要性！ 3.1.2用二分法求方程的近似解 引入：小學(xué)課本上有這樣的一個問題有一個整數(shù)位于1到80，我現(xiàn)在就把這個數(shù)寫在這張紙的背面，你可以問我形如這樣的問題：這個數(shù)>20嗎？我只會答是或不是，你如何找到這個數(shù)？ 生：這個數(shù)>40嗎？不是。這個數(shù)>20嗎？是，這個數(shù)>30嗎？------可以不斷取中點從而確定這個數(shù)。 下面我們用這個理念解決上節(jié)課的問題，（課本例1）求函數(shù)f(x)=lnx+2x-6零點的個數(shù)，課本給出的有零點存在性定理可知零點位于（2，3），我想把這個零點的范圍繼續(xù)縮小，如何處理呢？我們通過“取中點”的方法逐步縮小零點所在的范圍。 取區(qū)間（2，3）的中點2.5，用計算器算得f(2.5)≈－0.084,因為f(2.5)*f(3)＜0,所以零點在區(qū)間（2.5，3）內(nèi)；再取區(qū)間（2.5，3）的中點2.75，用計算器算得f(2.75)≈0.512,因為f(2.75)*f(2.5)＜0,所以零點在（2.5，2.75）內(nèi)；由于（2，3），（2.5，3），（2.5，2.75）越來越小，所以零點所在范圍確實越來越小了；重復(fù)上述步驟，那么零點所在范圍會越來越小，這樣在有限次重復(fù)相同的步驟后，在一定的精確度下，將所得到的零點所在區(qū)間上任意的一點作為