中考數(shù)學(xué) 第一編 教材知識梳理篇 第二章 方程（組）與不等式（組）第一節(jié) 一次方程與方程組及應(yīng)用試題

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第二章　方程(組)與不等式(組) 第一節(jié)　一次方程與方程組及應(yīng)用 ,河北8年中考命題規(guī)律) 年份 題號 考查點 考查內(nèi)容 分值 總分 2016 22 一元二次方程 用一元一次方程確定多邊形的邊 9 24(1) 二元一次 方程組 用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式 3 12 2015 11 二元一次方 程組的解法 考查二元一次方程組如何消元 2 2 2012 20(2) 一元一次方 程的應(yīng)用 與梯形結(jié)合，以行程問題為背景通過列一元一次方程求公路的長 5 5 2011 19 二元一次方 程的應(yīng)用 二元一次方程解的運用(與整式運算結(jié)合) 4 4 2010 8 一元一次方 程的應(yīng)用 以買書為背景，根據(jù)題意判斷所列一元一次方程正確的是 2 2 2009 18 一次方程 (組)的應(yīng)用 以水桶中鐵棒的長度為背景，通過列一元一次方程組或二元一次方程求水的深度 3 3 命題規(guī)律 縱觀河北八年中考，一次方程(組)及應(yīng)用在中考中最多只考1題，分值2－5分，以填空、解答為主，難度中偏下，注重基礎(chǔ)，其中二元一次方程組的解法考了2次，二元一次方程(組)的應(yīng)用在解答題中考了1次，填空題中考了2次(也可用一元一次方程來解)，一元一次方程在解答、選擇題中各考了1次.2016年還專門考查了一元一次方程解決實際問題中整數(shù)解的問題． 命題預(yù)測 預(yù)計2017年，本考點仍為重點考查內(nèi)容，難度中下等，故平時應(yīng)分類強化訓(xùn)練. ,河北8年中考真題及模擬) 　一次方程(組)的應(yīng)用(7次) 1．(2015河北11題2分)利用加減消元法解方程組，下列做法正確的是(　D　) 　 　　　　　 　　　　　 　　　　 A．要消去y，可以將①5＋②2 B．要消去x，可以將①3＋②(－5) C．要消去y，可以將①5＋②3 D．要消去x，可以將①(－5)＋②2 2．(2010河北8題2分)小悅買書需用48元錢，付款時恰好用了1元和5元的紙幣共12張，設(shè)所用的1元紙幣為x張，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是(　A　) A．x＋5(12－x)＝48 B．x＋5(x－12)＝48 C．x＋12(x－5)＝48 D．5x＋(12－x)＝48 3．(2009河北18題3分)如圖，兩根鐵棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的長度是它的，另一根露出水面的長度是它的，兩根鐵棒長度之和為55 cm，此時木桶中水的深度是__20__cm. 4．(2016河北22題9分)已知n邊形的內(nèi)角和θ＝(n－2)180. (1)甲同學(xué)說，θ能取360；而乙同學(xué)說，θ也能取630.甲、乙的說法對嗎？若對，求出邊數(shù)n.若不對，說明理由； (2)若n邊形變?yōu)?n＋x)邊形，發(fā)現(xiàn)內(nèi)角和增加了360，用列方程的方法確定x. 解：(1)甲對，乙不對． ∵θ＝360，∴(n－2)180＝360.解得n＝4. ∵θ＝630，∴(n－2)180＝630，解得n＝. ∵n為整數(shù)，∴θ不能取630； (2)依題意，得(n－2)180＋360＝(n＋x－2)180.解得x＝2. 5．[2012河北20(2)題5分]如圖，某市A，B兩地之間有兩條公路，一條是市區(qū)公路AB，另一條是外環(huán)公路AD－DC－CB.這兩條公路圍成等腰梯形ABCD，其中DC∥AB，AB∶AD∶DC＝10∶5∶2. (1)求外環(huán)公路總長和市區(qū)公路長的比； (2)某人駕車從A地出發(fā)，沿市區(qū)公路去B地，平均速度是40 km/h.返回時沿外環(huán)公路行駛，平均速度是80 km/h，結(jié)果比去時少用了 h．求市區(qū)公路的長． 解：(1)設(shè)AB＝10x km，則AD＝5x km，CD＝2x km.∵四邊形ABCD是等腰梯形，∴BC＝AD＝5x km.∴AD＋CD＋CB＝12x(km)．∴外環(huán)公路的總長和市區(qū)公路長的比為12x∶10x＝6∶5；(2)由(1)可知，市區(qū)公路的長為10x km，外環(huán)公路的總長為12x km，由題意得＝＋，解得x＝1，∴10x＝10. 答：市區(qū)公路的長為10 km. 6．(2016石家莊新華區(qū)模擬)若是關(guān)于x、y的二元一次方程ax－3y＝1的解，則a的值為(　A　) A．7 B．2 C．－1 D．－5 7．(2016唐山路南區(qū)三模)小明在解關(guān)于x、y的二元一次方程組時，解得則△和?代表的數(shù)分別是(　B　) A．△＝1，?＝5 B．△＝5，?＝1 C．△＝－1，?＝3 D．△＝3，?＝－1 8．(2016石家莊二模)希望中學(xué)九年級1班共有學(xué)生49人，當(dāng)該班少一名男生時，男生的人數(shù)恰好為女生人數(shù)的一半．設(shè)該班有男生x人，則下列方程中，正確的是(　A　) A．2(x－1)＋x＝49 B．2(x＋1)＋x＝49 C．x－1＋2x＝49 D．x＋1＋2x＝49 9．(2016原創(chuàng))已知關(guān)于x，y的二元一次方程ax＋by＝10(ab≠0)的兩個解分別為和求1－a2＋4b2的值． 解：將x＝－1，y＝2代入方程ax＋by＝10中得：－a＋2b＝10，將x＝－2，y＝－4同樣代入方程得：－a－2b＝5，∴(－a＋2b)(－a－2b)＝50，∴－a2＋4b2＝－50，∴1－a2＋4b2＝1－50＝－49. ,中考考點清單) 　方程、方程的解與解方程 1．含有未知數(shù)的__等式__叫方程． 2．使方程左右兩邊相等的__未知數(shù)__的值叫方程的解． 3．求方程__解__的過程叫解方程． 　等式的基本性質(zhì) 4. 性質(zhì)1 等式兩邊同時加上(或減去)同一個數(shù)或同一個式子，所得的結(jié)果仍①__相等__．如果a＝b，那么ac②__＝__bc. 續(xù)表 性質(zhì)2 等式兩邊同時乘以(或除以)同一個數(shù)(除數(shù)不為0)，所得結(jié)果仍③__相等__．如果a＝b，那么ac＝bc(c≠0)，＝(c≠0). 　一次方程(組) 5. 概念 解法 一元一 次方程 含有①__一個__未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)是②__1__，這樣的方程叫做一元一次方程． 解一元一次方程的一般步驟：(1)去分母；(2)去括號；(3)移項；(4)合并同類項；(5)系數(shù)化為1. 續(xù)表 二元一 次方程 含有兩個③__未知數(shù)__，并且含有未知數(shù)的項的④__次數(shù)__都是1的方程叫做二元一次方程． 一般需找出滿足方程的整數(shù)解即可． 二元一 次方 程組 兩個⑤__二元一次方程__所組成的一組方程，叫做二元一次方程組． 解二元一次方程組的基本思路是⑥__消元__． 基本解法有：⑦__代入__ 消元法和⑧__加減__消元法. 【易錯提示】(1)解一元一次方程去分母時常數(shù)項不要漏乘，移項一定要變號；(2)二元一次方程組的解應(yīng)寫成的形式． 　列方程(組)解應(yīng)用題的一般步驟 6. (1)審 審清題意，分清題中的已知量、未知量； (2)設(shè) 設(shè)①__未知數(shù)__，設(shè)其中某個量為未知數(shù)，并注意單位，對含有兩個未知數(shù)的問題，需設(shè)兩個未知數(shù)； 續(xù)表 (3)列 弄清題意，找出②__相等關(guān)系__；根據(jù)③__相等關(guān)系__，列方程(組)； (4)解 解方程(組)； (5)驗 檢驗結(jié)果是否符合題意； (6)答 答題(包括單位). 【方法點撥】一次方程(組)用到的思想方法： (1)消元思想：將二元一次方程組通過消元使其變成一元一次方程． (2)整體思想：在解方程時結(jié)合方程的結(jié)構(gòu)特點，靈活采取整體思想，使整個過程簡捷． (3)轉(zhuǎn)化思想：解一元一次方程最終要轉(zhuǎn)化成ax＝b；解二元一次方程組先轉(zhuǎn)化成一元一次方程． (4)數(shù)形結(jié)合思想：利用圖形的性質(zhì)建立方程模型解決幾何圖形中的問題． (5)方程思想：利用其他知識構(gòu)造方程解決問題．　　　　　 ,中考重難點突破) 　一元一次方程及解法 【例1】(1)(2015婁底中考)已知關(guān)于x的方程2x＋a－5＝0的解是x＝2，則a的值為________； (2)解方程：－x＝－. 【學(xué)生解答】(1)1；(2)原方程可化為：－x＝－，解得x＝－5. 【點撥】(1)把x＝2代入即可；(2)先“化零為整”，再按去分母→去括號→移項→合并同類項→系數(shù)化為1來解． 1．(2016廈門中考)方程x＋5＝(x＋3)的解是__x＝－7__. 2．(2016濱州中考)解方程2－＝. 解：去分母得：12－2(2x＋1)＝3(1＋x)，去括號得：12－4x－2＝3＋3x，解得x＝1. 　二元一次方程組及解法 【例2】(2016無錫中考)解方程組： 【學(xué)生解答】由②得2x－2y＝1③. ①－③，得y＝4. 把y＝4代入①，得x＝. ∴原方程組的解為 【點撥】解二元一次方程組的兩種方法(代入法和加減法)用到的都是“消元”的思想，具體解題時兩種方法可根據(jù)方程組中未知數(shù)系數(shù)的特點靈活運用． 3．(2016杭州中考)設(shè)實數(shù)x，y滿足方程組則x＋y＝__8__． 4．解方程組： 解：由①，得x－2y＝－2. 由②，得3x－4y＝2. ①2－②，得x＝6.把x＝6代入①得y＝4， 所以原方程組的解為 　一次方程(組)的應(yīng)用 【例3】某公園的門票價格如下表： 購票人數(shù) 1～50 51～100 100以上 票價(元/人) 10 8 5 　　某校九年級甲、乙兩個班共有100多人去該公園舉行畢業(yè)聯(lián)歡活動，其中甲班有50多人，乙班不足50人．如果以班為單位分別買門票，兩個班一共應(yīng)付920元；如果兩個班聯(lián)合起來作為一個團體購票，一共只要515元．問：甲、乙兩班分別有多少人？ 【解析】由兩班單獨購票時甲班票價8元/人，乙班票價10元/人，兩個班共付920元及購團體票時票價5元/人，共付款515元，可列方程組求解． 【學(xué)生解答】設(shè)甲、乙兩班分別有x人和y人，得 解得 答：甲班55人，乙班48人． 【方法歸納】綜合表格中的信息與文字敘述，理解題意是解決本題的關(guān)鍵． 5．(2016江西中考)小錦和小麗購買了價格分別相同的中性筆和筆芯．小錦買了20支筆和2盒筆芯，用了56元；小麗買了2支筆和3盒筆芯，僅用了28元．求每支中性筆和每盒筆芯的價格． 解：設(shè)每支中性筆x元，每盒筆芯y元，根據(jù)題意得 解得 答：每支中性筆2元，每盒筆芯8元． 6．(2016資陽改編)學(xué)校需要購買一批籃球和足球，已知一個籃球比一個足球的進價高30元，買兩個籃球和三個足球一共需要510元．求籃球和足球的單價． 解：設(shè)一個籃球x元，則一個足球(x－30)元，由題意得2x＋3(x－30)＝510.解得x＝120. 答：一個籃球120元，一個足球90元． ,中考備考方略) 1．(2015重慶中考)已知關(guān)于x的方程2x＋m－8＝0的解是x＝3，則m的值為(　A　) 　 　　　　　 　　　　　 　　　　 A．2 B．3 C．4 D．5 2．(2016邯鄲十一中模擬)若2a＝3b，則下列各式中不成立的是(　D　) A．4a＝6b B．2a＋5＝3b＋5 C.＝ D．a(chǎn)＝3b 3．(2016株洲中考)在解方程＋x＝時，方程兩邊同時乘以6，去分母后，正確的是(　B　) A．2x－1＋6x＝3(3x＋1) B．2(x－1)＋6x＝3(3x＋1) C．2(x－1)＋x＝3(3x＋1) D．(x－1)＋x＝3(x＋1) 4．(2016廣州中考)已知a，b滿足方程組則a＋b的值為(　B　) A．－4 B．4 C．－2 D．2 5．(2016廊坊二模)已知是二元一次方程組的解，則m－n的值是(　D　) A．1 B．2 C．3 D．4 6．(2016杭州中考)已知甲煤場有煤518噸，乙煤場有煤106噸，為了使甲煤場存煤是乙煤場的2倍，需要從甲煤場運煤到乙煤場，設(shè)從甲煤場運煤x噸到乙煤場，則可列方程為(　C　) A．518＝2(106＋x) B．518－x＝2106 C．518－x＝2(106＋x) D．518＋x＝2(106－x) 7．(2016聊城中考)在如圖的2016年6月份的月歷表中，任意框出表中豎列上三個相鄰的數(shù)，這三個數(shù)的和不可能是(　D　) 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 A.27 B．51 C．69 D．72 8．(2016臺灣中考)若二元一次聯(lián)立方程式的解為x＝a，y＝b，則a＋b的值為(　D　) A. B. C．7 D．13 9．(2016溫州中考)已知甲、乙兩數(shù)的和是7，甲數(shù)是乙數(shù)的2倍．設(shè)甲數(shù)為x，乙數(shù)為y，根據(jù)題意，列方程組正確的是(　A　) A. B. C. D. 10．(2016臨沂中考)為了綠化校園，30名學(xué)生共種78棵樹苗．其中男生每人種3棵，女生每人種2棵，該班男生有x人，女生有y人．根據(jù)題意，所列方程組正確的是(　D　) A. B. C. D. 11．(2016深圳中考)某商品的標(biāo)價為200元，8折銷售仍賺40元，則商品進價為________元(　B　) A．140 B．120 C．160 D．100 12．(1)(2016永州中考)方程組的解是____　,；) (2)(2016溫州中考)方程組的解是____　,.) 13．(2016揚州中考)以方程組的解為坐標(biāo)的點(x，y)在第__二__象限． 14．(2016原創(chuàng))已知是方程組的解，則代數(shù)式(a＋b)(a－b)的值為__－8__． 15．(2016石家莊四十二中一模改編)若關(guān)于x，y的二元一次方程組的解也是二元一次方程2x＋3y＝6的解，求k的值． 解：解方程組得 代入2x＋3y＝6中得k＝. 16．(2016福州中考)某班去看演出，甲種票每張24元，乙種票每張18元．如果35名學(xué)生購票恰好用去750元，那么甲、乙兩種票各買了多少張？ 解：設(shè)甲種票買了x張，則乙種票買了(35－x)張，由題意得24x＋18(35－x)＝750，解得x＝20，∴35－x＝15. 答：甲種票買了20張，乙種票買了15張． 17．(2016原創(chuàng))按如圖的運算程序，能使輸出結(jié)果為3的x，y的值是(　D　) A．x＝5，y＝－2 B．x＝3，y＝－3 C．x＝－4，y＝2 D．x＝－3，y＝－9 18．(2016原創(chuàng))小亮解二元一次方程組 的解為由于不小心滴上了兩滴墨水，剛好遮住了兩個數(shù)●和★，則●＋★＝__6__． 19．(2016鹽城中考)李師傅加工1個甲種零件和1個乙種零件的時間分別是固定的，現(xiàn)知道李師傅加工3個甲種零件和5個乙種零件共需55 min；加工4個甲種零件和9個乙種零件共需85 min，則李師傅加工2個甲種零件和4個乙種零件共需__40__min. 20．(2016石家莊41中一模)定義一種新運算“⊕”：a⊕b＝a－2b，比如：2⊕(－3)＝2－2(－3)＝2＋6＝8. (1)求(－3)⊕2的值； (2)若(x－3)⊕(x＋1)＝1，求x的值． 解：(1)(－3)⊕2＝(－3)－22＝－3－4＝－7； (2)∵(x－3)⊕(x＋1)＝1，∴(x－3)－2(x＋1)＝1.∴x＝－6. 21．(2016石家莊四十一中模擬)用正方形硬紙板做三棱柱盒子，每個盒子由3個矩形側(cè)面和2個正三角形底面組成，硬紙板以如圖兩種方法裁剪(裁剪后邊角不再利用)． A方法：剪6個側(cè)面； B方法：剪4個側(cè)面和5個底面． 現(xiàn)有19張硬紙板，裁剪時x張用A方法，其余用B方法． (1)用x的代數(shù)式分別表示裁剪出的側(cè)面和底面?zhèn)€數(shù)； (2)若裁剪出的側(cè)面和底面恰好全部用完，問能做多少個盒子？ 解：(1)裁剪出的側(cè)面?zhèn)€數(shù)為6x＋4(19－x)＝(2x＋76)個，裁剪出的底面?zhèn)€數(shù)為5(19－x)＝(－5x＋95)個； (2)由題意得＝，解得x＝7. 當(dāng)x＝7時，＝30. 答：能做30個盒子． 22．(2016滄州八中模擬)P表示n邊形的對角線的交點個數(shù)(指落在其內(nèi)部的交點)，如果這些交點都不重合，那么P與n的關(guān)系式是：P＝(n2－an＋b)(其中a，b是常數(shù)，n≥4)． (1)填空：通過畫圖可得： 四邊形時，P＝__1__(填數(shù)字)，五邊形時，P＝__5__(填數(shù)字)； (2)請根據(jù)四邊形和五邊形對角線交點的個數(shù)，結(jié)合關(guān)系式，求a，b的值．(注：本題的多邊形均指凸多邊形) 解：將上述值代入公式可得 化簡得 解得 23．(2016連云港中考)某數(shù)學(xué)興趣小組研究我國古代《算法統(tǒng)宗》里這樣一首詩：我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．詩中后兩句的意思是：如果每一間客房住7人，那么有7人無房可??；如果每一間客房住9人，那么就空出一間房． (1)求該店有客房多少間？房客多少人？ (2)假設(shè)店主李三公將客房進行改造后，房間數(shù)大大增加．每間客房收費20錢，且每間客房最多入住4人，一次性訂客房18間以上(含18間)，房費按8折優(yōu)惠．若詩中“眾客”再次一起入住，他們?nèi)绾斡喎扛纤悖? 解：(1)設(shè)該店有客房x間，有房客y人， 根據(jù)題意得： 解得 答：該店有客房8間，房客63人； (2)若每間客房住4人，則63名客人至少需客房16間，需付費2016＝320錢；若一次性訂客房18間，則需付費20180.8＝288錢<320錢； 答：詩中“眾客”再次一起入住，他們應(yīng)選擇一次性訂房18間更合算．