北師大版高中數(shù)學(xué)選修一《推理與證明》全部教案.doc

《北師大版高中數(shù)學(xué)選修一《推理與證明》全部教案.doc》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《北師大版高中數(shù)學(xué)選修一《推理與證明》全部教案.doc（18頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

. —－可編輯修改，可打印—— 別找了你想要的都有！ 精品教育資料 ——全冊(cè)教案，，試卷，教學(xué)課件，教學(xué)設(shè)計(jì)等一站式服務(wù)—— 全力滿足教學(xué)需求，真實(shí)規(guī)劃教學(xué)環(huán)節(jié) 最新全面教學(xué)資源，打造完美教學(xué)模式 教案 北師大版高中數(shù)學(xué)選修2-2第一章 《推理與證明》全部教案 張 云 剛 北師大版高中數(shù)學(xué)選修2-2第一章《推理與證明》全部教案 宜君縣高級(jí)中學(xué) 張?jiān)苿? 第一課時(shí) 歸納推理 教學(xué)目標(biāo)： 1、通過對(duì)已學(xué)知識(shí)的回顧，進(jìn)一步體會(huì)合情推理這種基本的分析問題法，認(rèn)識(shí)歸納推理的基本方法與步驟，并把它們用于對(duì)問題的發(fā)現(xiàn)與解決中去。 2.歸納推理是從特殊到一般的推理方法，通常歸納的個(gè)體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會(huì)越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法。 教學(xué)重點(diǎn)：了解合情推理的含義，能利用歸納進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理。 教學(xué)難點(diǎn)：用歸納進(jìn)行推理，做出猜想。 教學(xué)過程： 一、課堂引入： 從一個(gè)或幾個(gè)已知命題得出另一個(gè)新命題的思維過程稱為推理。見書上的三個(gè)推理案例，回答幾個(gè)推理各有什么特點(diǎn)？都是由“前提”和“結(jié)論”兩部分組成，但是推理的結(jié)構(gòu)形式上表現(xiàn)出不同的特點(diǎn)，據(jù)此可分為合情推理與演繹推理 二、新課講解： 1、蛇是用肺呼吸的，鱷魚是用肺呼吸的，海龜是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。 蛇，鱷魚，海龜，蜥蜴都是爬行動(dòng)物，所有的爬行動(dòng)物都是用肺呼吸的。 2、三角形的內(nèi)角和是，凸四邊形的內(nèi)角和是，凸五邊形的內(nèi)角和是 由此我們猜想：凸邊形的內(nèi)角和是 3、，由此我們猜想：（均為正實(shí)數(shù)） 這種由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征,推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理,或者由個(gè)別事實(shí)概栝出一般結(jié)論的推理,稱為歸納推理.(簡(jiǎn)稱：歸納) 歸納推理的一般步驟： ⑴ 對(duì)有限的資料進(jìn)行觀察、分析、歸納 整理； ⑵ 提出帶有規(guī)律性的結(jié)論，即猜想； ⑶ 檢驗(yàn)猜想。 實(shí)驗(yàn)，觀察 概括，推廣 猜測(cè)一般性結(jié)論 三、例題講解： 例1已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，，試通過計(jì)算的值，推測(cè)出的值。 【學(xué)生討論：】（學(xué)生討論結(jié)果預(yù)測(cè)如下） （1） 由此猜想， 學(xué)生討論：1）哥德巴赫猜想：任何大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的之和。 2）三根針上有若干個(gè)金屬片的問題。 四、鞏固練習(xí)： 1、已知，經(jīng)計(jì)算: ，推測(cè)當(dāng)時(shí)，有__________________________. 2、已知：，。 觀察上述兩等式的規(guī)律，請(qǐng)你寫出一般性的命題，并證明之。 3、觀察（1） （2）。 由以上兩式成立，推廣到一般結(jié)論，寫出你的推論。 注：歸納推理的幾個(gè)特點(diǎn)： 1.歸納是依據(jù)特殊現(xiàn)象推斷一般現(xiàn)象,因而,由歸納所得的結(jié)論超越了前提所包容的范圍. 2.歸納是依據(jù)若干已知的、沒有窮盡的現(xiàn)象推斷尚屬未知的現(xiàn)象,因而結(jié)論具有猜測(cè)性. 3.歸納的前提是特殊的情況,因而歸納是立足于觀察、經(jīng)驗(yàn)和實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)之上. 歸納是立足于觀察、經(jīng)驗(yàn)、實(shí)驗(yàn)和對(duì)有限資料分析的基礎(chǔ)上.提出帶有規(guī)律性的結(jié)論. 五、教學(xué)小結(jié)： 1.歸納推理是由部分到整體，從特殊到一般的推理。通常歸納的個(gè)體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會(huì)越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法。 2.歸納推理的一般步驟：1)通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)。 2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般命題（猜想）。 第二課時(shí) 類比推理 ●教學(xué)目標(biāo)： （一）知識(shí)與能力： 通過對(duì)已學(xué)知識(shí)的回顧，認(rèn)識(shí)類比推理這一種合情推理的基本方法，并把它用于對(duì)問 題的發(fā)現(xiàn)中去。 （二）過程與方法： 類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)，類比的性質(zhì)相似性越多，相似的性質(zhì)與推測(cè)的性質(zhì)之間的關(guān)系就越相關(guān)，從而類比得出的結(jié)論就越可靠。 （三）情感態(tài)度與價(jià)值觀： 1．正確認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)中的重要作用，養(yǎng)成從小開始認(rèn)真觀察事物、分析問題、發(fā)現(xiàn)事物之間的質(zhì)的聯(lián)系的良好個(gè)性品質(zhì)，善于發(fā)現(xiàn)問題，探求新知識(shí)。 2．認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)在日常生產(chǎn)生活中的重要作用，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)，完善數(shù)學(xué)的正確數(shù)學(xué)意識(shí)。 ●教學(xué)重點(diǎn)：了解合情推理的含義，能利用類比進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理。 ●教學(xué)難點(diǎn)：用類比進(jìn)行推理，做出猜想。 ●教具準(zhǔn)備：與教材內(nèi)容相關(guān)的資料。 ●教學(xué)過程： 一．問題情境 從一個(gè)傳說說起：春秋時(shí)代魯國(guó)的公輸班（后人稱魯班，被認(rèn)為是木匠業(yè)的祖師）一次去林中砍樹時(shí)被一株齒形的茅草割破了手，這樁倒霉事卻使他發(fā)明了鋸子. 他的思路是這樣的： 茅草是齒形的；茅草能割破手. 我需要一種能割斷木頭的工具；它也可以是齒形的. 這個(gè)推理過程是歸納推理嗎？ 二．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng) 我們?cè)倏磶讉€(gè)類似的推理實(shí)例。 例1、試根據(jù)等式的性質(zhì)猜想不等式的性質(zhì)。 等式的性質(zhì)： 猜想不等式的性質(zhì)： (1) a=bTa+c=b+c; (1) a＞bTa+c＞b+c; (2) a=bT ac=bc; (2) a＞bT ac＞bc; (3) a=bTa2=b2;等等。 (3) a＞bTa2＞b2;等等。 問：這樣猜想出的結(jié)論是否一定正確？ 例2、試將平面上的圓與空間的球進(jìn)行類比. 圓的定義：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合. 球的定義：到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合. 圓 球 弦←→截面圓 直徑←→大圓 周長(zhǎng)←→表面積 面積←→體積 圓的性質(zhì) 球的性質(zhì) 圓心與弦(不是直徑)的中點(diǎn)的連線垂直于弦 球心與截面圓(不是大圓)的圓點(diǎn)的連線垂直于截面圓 與圓心距離相等的兩弦相等；與圓心距離不等的兩弦不等，距圓心較近的弦較長(zhǎng) 與球心距離相等的兩截面圓相等；與球心距離不等的兩截面圓不等，距球心較近的截面圓較大 圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn) 球的切面垂直于過切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過球心且垂直于切面的直線必經(jīng)過切點(diǎn) 經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心 經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切面的直線必經(jīng)過球心 ☆上述兩個(gè)例子均是這種由兩個(gè)（兩類）對(duì)象之間在某些方面的相似或相同，推演出他們?cè)谄渌矫嬉蚕嗨苹蛳嗤换蚱渲幸活悓?duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡(jiǎn)稱類比）． 簡(jiǎn)言之，類比推理是由特殊到特殊的推理． 類比推理的一般步驟： ⑴ 找出兩類對(duì)象之間可以確切表述的相似特征； ⑵ 用一類對(duì)象的已知特征去推測(cè)另一類對(duì)象的特征，從而得出一個(gè)猜想； ⑶ 檢驗(yàn)猜想。即 觀察、比較 聯(lián)想、類推 猜想新結(jié)論 例3.在平面上,設(shè)ha,hb,hc是三角形ABC三條邊上的高.P為三角形內(nèi)任一點(diǎn),P到相應(yīng)三邊的距離分別為pa,pb,pc,我們可以得到結(jié)論: 試通過類比,寫出在空間中的類似結(jié)論. 鞏固提高 1．(2001年上海)已知兩個(gè)圓①x2+y2=1:與②x2+(y-3)2=1,則由①式減去②式可得上述兩圓的對(duì)稱軸方程.將上述命題在曲線仍然為圓的情況下加以推廣,即要求得到一個(gè)更一般的命題,而已知命題應(yīng)成為所推廣命題的一個(gè)特例,推廣的命題為----------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2．類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理,試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想． 直角三角形 ?3個(gè)面兩兩垂直的四面體 ∠C＝90° 3個(gè)邊的長(zhǎng)度a，b，c 2條直角邊a，b和1條斜邊c ?∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90° 4個(gè)面的面積S1，S2，S3和S 3個(gè)“直角面” S1，S2，S3和1個(gè)“斜面” S 1．類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)。類比的性質(zhì)相似性越多，相似的性質(zhì)與推測(cè)的性質(zhì)之間的關(guān)系就越相關(guān)，從而類比得出的結(jié)論就越可靠。 2． 類比推理的一般步驟： 第三課時(shí) 綜合法 【教學(xué)目標(biāo)】 1．理解綜合法的思維過程及其特點(diǎn)； 2．掌握運(yùn)用綜合法證明數(shù)學(xué)問題的一般步驟，能運(yùn)用綜合法證明簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題。 【教學(xué)重點(diǎn)難】理解綜合法的思維過程和特點(diǎn)； 運(yùn)用綜合法證（解）題時(shí)，找出有效的推理“路線”； 綜合法：從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、某些已經(jīng)證明過的不等式及不等式的性質(zhì)經(jīng)過一系列的推理、論證等而推導(dǎo)出所要證明的不等式，這個(gè)證明方法叫綜合法。（也叫順推證法或由因?qū)Чǎ? 例1、已知a, b, c是不全相等的正數(shù)， 求證：a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc 分析：不等式左邊含有“a2+b2”的形式，我們可以運(yùn)用基本不等式：a2+b2≥2ab;還可以這樣思考：不等式左邊出現(xiàn)有三次因式：a2b,b2c,c2a,ab2,bc2,ca2的“和”，右邊有三正數(shù)a,b,c的“積”，我們可以運(yùn)用重要不等式：a3+b3+c3≥3abc. 證：∵b2 + c2 ≥ 2bc , a > 0 , ∴a(b2 + c2) ≥ 2abc 同理：b(c2 + a2) ≥ 2abc , c(a2 + b2) ≥ 2abc ∴a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) ≥ 6abc 當(dāng)且僅當(dāng)b=c,c=a,a=b時(shí)取等號(hào)，而a, b, c是不全相等的正數(shù) ∴三式不同時(shí)取等號(hào)，三式相加得 a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc本例證法可稱為三合一法，當(dāng)要證的不等式關(guān)于字母具有對(duì)稱形式時(shí)，我們?？砂哑淇闯墒怯扇舾蓚€(gè)結(jié)構(gòu)相同但所含字母較少的不等式相加或相乘而得，我們只要先把減了元的較簡(jiǎn)單的不等式證出，即可完成原不等式的證明。 例2、a , b, c?R, 求證：1° 2° 3° 證：1°、法一：, , 兩式相乘即得。 法二：左邊 ≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9 2°、∵ 兩式相乘即得 3°、由上題： ∴，即： 例3、已知a，b，c都是正數(shù)，且a，b，c成等比數(shù)列，求證： 證明：左－右=2（ab+bc－ac），∵a，b，c成等比數(shù)列，∴ 又∵a，b，c都是正數(shù)，所以≤，∴ ∴∴ 說明：此題在證明過程中運(yùn)用了比較法、基本不等式、等比中項(xiàng)性質(zhì)，體現(xiàn)了綜合法證明不等式的特點(diǎn) 例4、制造一個(gè)容積為V（定值）的圓柱形容器，試分別就容器有蓋及無蓋兩種情況，求：怎樣選取底半徑與高的比，使用料最?。? 分析：根據(jù)1題中不等式左右的結(jié)構(gòu)特征，考慮運(yùn)用“基本不等式”來證明.對(duì)于2題，抓住容積為定值，建立面積目標(biāo)函數(shù)，求解最值，是本題的思路. 解：設(shè)容器底半徑為r,高為h,則V=πr2h,h=. (1)當(dāng)容器有蓋時(shí)，所需用料的面積： S=2πr2+2πrh=2πr2+=2πr2++≥3 當(dāng)且僅當(dāng)2πr2=,即r=,h==2r,取“=”號(hào).故時(shí)用料最省. （2）當(dāng)容器無蓋時(shí)，所需用料面積：S=πr2+2πrh=πr2+=πr2++≥3 當(dāng)且僅當(dāng)πr2=,r=,h==r.即r=h時(shí)用料最省. 作業(yè)補(bǔ)充題： 1、設(shè)a>0,b>0,c>0且a+b+c=1,求證：8abc≤(1-a)(1-b)(1-c). 2、設(shè)a,b,c為一個(gè)不等邊三角形的三邊，求證：abc>(b+c-a)(a+b-c)(c+a-b). 3、已知a, b?R+，求證： 第四課時(shí) 分析法 【教學(xué)目標(biāo)】 結(jié)合已學(xué)過的實(shí)例，了解直接證明的方法——分析法，了解分析法的思考過程與特點(diǎn)。 【教學(xué)重點(diǎn)難】理解分析法的思維過程和特點(diǎn)； 運(yùn)用分析法證（解）題時(shí)，規(guī)范書寫證明過程. 分析法：當(dāng)用綜合法不易發(fā)現(xiàn)解題途徑時(shí)，我們可以從求證的不等式出發(fā)，逐步分析尋求使這個(gè)不等式成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)，從而得出要證的不等式成立，這種執(zhí)果所因的思考和證明方法叫做分析法。使用分析法證明時(shí)，要注意表述的規(guī)范性，當(dāng)問題比較復(fù)雜時(shí)，通常把分析法和綜合法結(jié)合使用，以分析法尋求證明的思路，而用綜合法進(jìn)行表述，完成證明過程。 例1、求證： 證：分析法： 綜合表述： ∵ ∵21 < 25 只需證明： ∴ 展開得： ∴ 即： ∴ ∴ ∴ 即： 21 < 25（顯然成立） ∴ ∴ 例2、設(shè)x > 0，y > 0，證明不等式： 證一：（分析法）所證不等式即： 即： 即： 只需證： ∵成立 ∴ 證二：（綜合法）∵ ∵x > 0，y > 0， ∴ 例3、已知：a + b + c = 0，求證：ab + bc + ca ≤ 0 證一：（綜合法）∵a + b + c = 0 ∴(a + b + c)2 = 0 展開得： ∴ab + bc + ca ≤ 0 證二：（分析法）要證ab + bc + ca ≤ 0 ∵a + b + c = 0 故只需證 ab + bc + ca ≤ (a + b + c)2 即證： 即： （顯然）∴原式成立 證三：∵a + b + c = 0 ∴- c = a + b ∴ab + bc + ca = ab + (a + b)c = ab - (a + b)2 = -a2 -b2 -ab = 例4、已知，求證：，并求等號(hào)成立的條件。 分析：不等式右邊是常數(shù)，能否用平均值定理？應(yīng)當(dāng)可以。（找條件一正、二定、三相等） 如何把左邊變形為和的形式？多項(xiàng)式的除法或配湊！ 左==（看到了希望?。? = （已知） 當(dāng)時(shí)，由解出當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。 例5、a>0,b>0,且a +b =1,求證:≤2. 證明: ≤2 (a +)+(b +)+2·≤4 ≤1 ab +≤1 ab +≤1ab≤ ∵a>0,b>0,且a +b =1,∴ab≤()2=成立，故 ≤2. 作業(yè)補(bǔ)充題 1.求證:. 2、若a,b>0,2c>a+b,求證: (1)c2>ab ；（2）c - 0，且x + y >2，則和中至少有一個(gè)小于2。 反設(shè)≥2，≥2 ∵x, y > 0，可得x + y ≤2 與x + y >2矛盾，∴原式成立 例2、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求證：a, b, c > 0 證：（1）設(shè)a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0 又由a + b + c > 0, 則b + c = -a > 0 ∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 與題設(shè)矛盾 （2）若a = 0，則與abc > 0矛盾， ∴必有a > 0 同理可證：b > 0, c > 0 例3、設(shè)0 < a, b, c < 1，求證：(1 - a)b, (1 - b)c, (1 - c)a,不可能同時(shí)大于 證：設(shè)(1 - a)b >, (1 - b)c >, (1 - c)a >, 則三式相乘： (1 - a)b?(1 - b)c?(1 - c)a > ① 又∵0 < a, b, c < 1 ∴同理：, 以上三式相乘： (1 - a)a?(1 - b)b?(1 - c)c≤ 與①矛盾. ∴(1 - a)b, (1 - b)c, (1 - c)a,不可能同時(shí)大于 二、放縮法： 在證明不等式的時(shí)候，在直接證明遇到困難的時(shí)候,可以利用不等式的傳遞性，把要證明的不等式加強(qiáng)為一個(gè)易證的不等式，即欲證A>B，我們可以適當(dāng)?shù)恼乙粋€(gè)中間量C作為媒介，證明A>C且C>B,從而得到A>B.我們把這種把B放大到C(或把A縮小到C)的方法稱為放縮法.放縮是一種重要的變形手段,但是放縮的對(duì)象以及放縮的尺度不易掌握,技巧性較強(qiáng),這關(guān)系到證明的成敗,往往需要根據(jù)具體的題目經(jīng)過多次的探索和試驗(yàn)才能成功,因此必須多練. 比較常用的方法時(shí)把分母或分子適當(dāng)放大或縮小（減去或加上一個(gè)正數(shù)）使不等式簡(jiǎn)化易證。 例4、若a, b, c, d?R+，求證： 證：記m = ∵a, b, c, d?R+ ∴ ∴1 < m < 2 即原式成立 例5、當(dāng) n > 2 時(shí)，求證： 證：∵n > 2 ∴ ，∴ n > 2時(shí), 例6、求證： 證：∵ ∴ 思考：若把不等式的右邊改成或，你可以證明嗎？ 例7、 求證： 證：∵|a+b|≤|a|+|b||a|+|b|-|a+b|≥0, 作業(yè)補(bǔ)充題 1、設(shè)0 < a, b, c < 2，求證：(2 - a)c, (2 - b)a, (2 - c)b,不可能同時(shí)大于1 2、設(shè)試證明: 3、設(shè)求證：中至少有一個(gè)不小于 4、設(shè)x > 0, y > 0,, ，求證：a < b 5、證明： 6、 證明：lg9?lg11 < 1 7、 證明：若a > b > c, 則 W 第五課時(shí) 數(shù)學(xué)歸納法 【教學(xué)目標(biāo)】 1． 使學(xué)生了解歸納法, 理解數(shù)學(xué)歸納的原理與實(shí)質(zhì)． 2． 掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個(gè)步驟；會(huì)用“數(shù)學(xué)歸納法”證明簡(jiǎn)單的與自然數(shù)有關(guān)的命題． 3． 培養(yǎng)學(xué)生觀察, 分析, 論證的能力, 進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力和創(chuàng)新能力，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的構(gòu)建過程, 體會(huì)類比的數(shù)學(xué)思想． 4． 努力創(chuàng)設(shè)課堂愉悅情境，使學(xué)生處于積極思考、大膽質(zhì)疑氛圍，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和課堂效率． 5． 通過對(duì)例題的探究，體會(huì)研究數(shù)學(xué)問題的一種方法(先猜想后證明), 激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使學(xué)生初步形成做數(shù)學(xué)的意識(shí)和科學(xué)精神． 【教學(xué)重點(diǎn)】歸納法意義的認(rèn)識(shí)和數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過程的分析 【教學(xué)難點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法中遞推思想的理解 【教學(xué)方法】類比啟發(fā)探究式教學(xué)方法 【教學(xué)手段】多媒體輔助課堂教學(xué) 【教學(xué)程序】第一階段：輸入階段——?jiǎng)?chuàng)造學(xué)習(xí)情境，提供學(xué)習(xí)內(nèi)容 1． 創(chuàng)設(shè)問題情境，啟動(dòng)學(xué)生思維 (1) 不完全歸納法引例： 明朝劉元卿編的《應(yīng)諧錄》中有一個(gè)笑話：財(cái)主的兒子學(xué)寫字．這則笑話中財(cái)主的兒子得出“四就是四橫、五就是五橫……”的結(jié)論，用的就是“歸納法”，不過，這個(gè)歸納推出的結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的． (2) 完全歸納法對(duì)比引例： 有一位師傅想考考他的兩個(gè)徒弟，看誰更聰明一些．他給每人一筐花生去剝皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包著，看誰先給出答案．大徒弟費(fèi)了很大勁將花生全部剝完了；二徒弟只揀了幾個(gè)飽滿的，幾個(gè)干癟的，幾個(gè)熟好的，幾個(gè)沒熟的，幾個(gè)三仁的，幾個(gè)一仁、兩仁的，總共不過一把花生．顯然，二徒弟先給出答案，他比大徒弟聰明． 在生活和生產(chǎn)實(shí)際中，歸納法也有廣泛應(yīng)用．例如氣象工作者、水文工作者依據(jù)積累的歷史資料作氣象預(yù)測(cè)，水文預(yù)報(bào)，用的就是歸納法．這些歸納法卻不能用完全歸納法． 2． 回顧數(shù)學(xué)舊知，追溯歸納意識(shí) （從生活走向數(shù)學(xué)，與學(xué)生一起回顧以前學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)一步體會(huì)歸納意識(shí)，同時(shí)讓學(xué)生感受到我們以前的學(xué)習(xí)中其實(shí)早已接觸過歸納．） (1) 不完全歸納法實(shí)例： 給出等差數(shù)列前四項(xiàng), 寫出該數(shù)列的通項(xiàng)公式． (2) 完全歸納法實(shí)例： 證明圓周角定理分圓心在圓周角內(nèi)部、外部及一邊上三種情況． 3． 借助數(shù)學(xué)史料, 促使學(xué)生思辨 （在生活引例與學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上，再引導(dǎo)學(xué)生看數(shù)學(xué)史料，能夠讓學(xué)生多方位多角度體會(huì)歸納法，感受使用歸納法的普遍性．同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思辨：在數(shù)學(xué)中運(yùn)用不完全歸納法常常會(huì)得到錯(cuò)誤的結(jié)論，不管是我們還是數(shù)學(xué)大家都可能如此．那么，有沒有更好的歸納法呢？） 問題1 已知＝（n∈N）， (1)分別求；；；． (2)由此你能得到一個(gè)什么結(jié)論？這個(gè)結(jié)論正確嗎？ （培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想的意識(shí)和數(shù)學(xué)概括能力．概括能力是思維能力的核心．魯賓斯坦指出：思維都是在概括中完成的．心理學(xué)認(rèn)為“遷移就是概括”，這里知識(shí)、技能、思維方法、數(shù)學(xué)原理的遷移，我找的突破口就是學(xué)生的概括過程．） 問題2 費(fèi)馬（Fermat）是17世紀(jì)法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，他曾認(rèn)為，當(dāng)n∈N時(shí)，一定都是質(zhì)數(shù)，這是他對(duì)n＝0，1，2，3，4作了驗(yàn)證后得到的．后來，18世紀(jì)偉大的瑞士科學(xué)家歐拉（Euler）卻證明了＝4 294 967 297＝6 700 417×641，從而否定了費(fèi)馬的推測(cè)．沒想到當(dāng)n＝5這一結(jié)論便不成立． 問題3 , 當(dāng)n∈N時(shí)，是否都為質(zhì)數(shù)？ 驗(yàn)證： f（0）＝41，f（1）＝43，f（2）＝47，f（3）＝53，f（4）＝61，f（5）＝71，f（6）＝83，f（7）＝97，f（8）＝113，f（9）＝131，f（10）＝151，…，f（39）＝1 601．但是f（40）＝1 681＝，是合數(shù)． 第二階段：新舊知識(shí)相互作用階段——新舊知識(shí)作用，搭建新知結(jié)構(gòu) 4． 搜索生活實(shí)例，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣 （在第一階段的基礎(chǔ)上，由生活實(shí)例出發(fā)，與學(xué)生一起解析歸納原理, 揭示遞推過程．孔子說：“知之者不如好之者，好之者不如樂之者．”興趣這種個(gè)性心理傾向一般總是伴隨著良好的情感體驗(yàn)．） 實(shí)例：播放多米諾骨牌錄像 關(guān)鍵：(1) 第一張牌被推倒； (2) 假如某一張牌倒下, 則它的后一張牌必定倒下． 于是, 我們可以下結(jié)論： 多米諾骨牌會(huì)全部倒下． 搜索：再舉幾則生活事例：推倒自行車, 早操排隊(duì)對(duì)齊等． 5． 類比數(shù)學(xué)問題, 激起思維浪花 類比多米諾骨牌過程, 證明等差數(shù)列通項(xiàng)公式： (1) 當(dāng)n＝1時(shí)等式成立； (2) 假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)等式成立, 即, 則=, 即n＝k＋1時(shí)等式也成立． 于是, 我們可以下結(jié)論： 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式對(duì)任何n∈都成立． （布魯納的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，“有指導(dǎo)的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)”強(qiáng)調(diào)知識(shí)發(fā)生發(fā)展過程．這里通過類比多米諾骨牌過程，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)歸納法的雛形，是一種再創(chuàng)造的發(fā)現(xiàn)性學(xué)習(xí)．） 6． 引導(dǎo)學(xué)生概括, 形成科學(xué)方法 證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題關(guān)鍵步驟如下： (1) 證明當(dāng)n取第一個(gè)值時(shí)結(jié)論正確； (2) 假設(shè)當(dāng)n＝k (k∈，k≥) 時(shí)結(jié)論正確, 證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)結(jié)論也正確． 完成這兩個(gè)步驟后, 就可以斷定命題對(duì)從開始的所有正整數(shù)n都正確． 這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法． 第三階段：操作階段——鞏固認(rèn)知結(jié)構(gòu)，充實(shí)認(rèn)知過程 7． 蘊(yùn)含猜想證明, 培養(yǎng)研究意識(shí) （本例要求學(xué)生先猜想后證明，既能鞏固歸納法和數(shù)學(xué)歸納法，也能教給學(xué)生做數(shù)學(xué)的方法，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立研究數(shù)學(xué)問題的意識(shí)和能力．） 例題 在數(shù)列{}中, ＝1, (n∈), 先計(jì)算，，的值，再推測(cè)通項(xiàng)的公式, 最后證明你的結(jié)論． 8． 基礎(chǔ)反饋練習(xí), 鞏固方法應(yīng)用 （課本例題與等差數(shù)列通項(xiàng)公式的證明差不多，套用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟不難解答，因此我把它作為練習(xí)，這樣既考慮到學(xué)生的能力水平，也不沖淡本節(jié)課的重點(diǎn)．練習(xí)第3題恰好是等比數(shù)列通項(xiàng)公式的證明，與前者是一個(gè)對(duì)比與補(bǔ)充．通過這兩個(gè)練習(xí)能看到學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)歸納法證題步驟的掌握情況．） (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝． (2)首項(xiàng)是，公比是q的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是． 9． 師生共同小結(jié), 完成概括提升 (1) 本節(jié)課的中心內(nèi)容是歸納法和數(shù)學(xué)歸納法； (2) 歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，它可以分為完全歸納法和不完全歸納法兩種，完全歸納法只局限于有限個(gè)元素，而不完全歸納法得出的結(jié)論不一定具有可靠性，數(shù)學(xué)歸納法屬于完全歸納法； (3) 數(shù)學(xué)歸納法作為一種證明方法，其基本思想是遞推(遞歸)思想，使用要點(diǎn)可概括為：兩個(gè)步驟一結(jié)論，遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉； (4) 本節(jié)課所涉及到的數(shù)學(xué)思想方法有：遞推思想、類比思想、分類思想、歸納思想、辯證唯物主義思想． 10． 布置課后作業(yè), 鞏固延伸鋪墊 在數(shù)學(xué)歸納法證明的第二步中，證明n＝k＋1時(shí)命題成立, 必須要用到n＝k時(shí)命題成立這個(gè)假設(shè)．這里留一個(gè)辨析題給學(xué)生課后討論思考： 用數(shù)學(xué)歸納法證明： (n∈)時(shí), 其中第二步采用下面的證法： 設(shè)n＝k時(shí)等式成立, 即, 則當(dāng)n＝k＋1時(shí), ． 你認(rèn)為上面的證明正確嗎？為什么？ 教后反思： 1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法是一種用于證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題的正確性的證明方法．它的操作步驟簡(jiǎn)單、明確，教學(xué)重點(diǎn)不應(yīng)該是方法的應(yīng)用．我認(rèn)為不能把教學(xué)過程當(dāng)作方法的灌輸，技能的操練．為此，我設(shè)想強(qiáng)化數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過程的教學(xué)，把數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生寓于對(duì)歸納法的分析、認(rèn)識(shí)當(dāng)中，把數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生與不完全歸納法的完善結(jié)合起來．這樣不僅使學(xué)生可以看到數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生的背景，從一開始就注意它的功能，為使用它打下良好的基礎(chǔ)，而且可以強(qiáng)化歸納思想的教學(xué)，這不僅是對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)中以演繹思想為主的教學(xué)的重要補(bǔ)充，也是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展創(chuàng)新能力的良機(jī)． 2．在教學(xué)方法上，這里運(yùn)用了在教師指導(dǎo)下的師生共同討論、探索的方法．目的是加強(qiáng)學(xué)生對(duì)教學(xué)過程的參與．為了使這種參與有一定的智能度，教師應(yīng)做好發(fā)動(dòng)、組織、引導(dǎo)和點(diǎn)撥．學(xué)生的思維參與往往是從問題開始的，本節(jié)課按照思維次序編排了一系列問題，讓學(xué)生投入到思維活動(dòng)中來，把本節(jié)課的研究?jī)?nèi)容置于問題之中，在逐漸展開中，引導(dǎo)學(xué)生用已學(xué)的知識(shí)、方法予以解決，并獲得知識(shí)體系的更新與拓展． 3．運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，兩個(gè)步驟缺一不可．理解數(shù)學(xué)歸納法中的遞推思想，尤其要注意其中第二步，證明n＝k＋1命題成立時(shí)必須要用到n＝k時(shí)命題成立這個(gè)條件．這些內(nèi)容都將放在下一課時(shí)完成，這種理解不僅使我們能夠正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)歸納法的原理與本質(zhì)，也為證明過程中第二步的設(shè)計(jì)指明了思維方向． 17 .