《高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 專題一 集合與常用邏輯用語、不等式 第1講 集合與常用邏輯用語練習(xí) 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 專題一 集合與常用邏輯用語、不等式 第1講 集合與常用邏輯用語練習(xí) 理（13頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
第1講 集合與常用邏輯用語
1．(2016課標(biāo)全國乙)設(shè)集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，則A∩B等于( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 由A＝{x|x2－4x＋3<0}＝{x|1
0}＝，
得A∩B＝＝，故選D.
2．(2016北京)設(shè)a，b是向量，則“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的( )
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
答案 D
解析 若|a|＝|b|成立，則以a，b為鄰邊構(gòu)成的四邊形為菱形，a＋b，a－b表示該菱形的對角線，而菱形的對角線不一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立；反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，則以a，b為鄰邊構(gòu)成的四邊形為矩形，而矩形的鄰邊不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，所以“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要條件．
3．(2016浙江)命題“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )
A．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2
B．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2
C．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2
D．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2
答案 D
解析 原命題是全稱命題，條件為?x∈R，結(jié)論為?n∈N*，使得n≥x2，其否定形式為特稱命題，條件中改量詞，并否定結(jié)論，只有D選項符合．
1.集合是高考必考知識點，經(jīng)常以不等式解集、函數(shù)的定義域、值域為背景考查集合的運算，近幾年有時也會出現(xiàn)一些集合的新定義問題.2.高考中考查命題的真假判斷或命題的否定，考查充要條件的判斷.
熱點一 集合的關(guān)系及運算
1．集合的運算性質(zhì)及重要結(jié)論
(1)A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A.
(2)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A.
(3)A∩(?UA)＝?，A∪(?UA)＝U.
(4)A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A.
2．集合運算中的常用方法
(1)若已知的集合是不等式的解集，用數(shù)軸求解；
(2)若已知的集合是點集，用數(shù)形結(jié)合法求解；
(3)若已知的集合是抽象集合，用Venn圖求解．
例1 (1)已知集合A＝{x|<0}，B＝{y|y＝sin ，n∈Z}，則A∩B等于( )
A．{x|－1a)＝0.5”是“關(guān)于x的二項式3的展開式的常數(shù)項為3”的( )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．既不充分又不必要條件
D．充要條件
答案 (1)① (2)A
解析 (1)①當(dāng)α⊥β時，n?β可以是平面內(nèi)任意一直線，所以得不到m∥n，當(dāng)m∥n時，m⊥α，所以n⊥α，從而α⊥β，故“α⊥β”是“m∥n”的必要不充分條件．所以①正確．②log2x＝，log3x＝，因為lg 2，當(dāng)x∈(0,1)時，<，即log2xa)＝0.5，知a＝1.
∵二項式3展開式的通項公式為Tk＋1＝C(ax)3－kk＝a3－kCx3－3k，令3－3k＝0，得k＝1，∴其常數(shù)項為a2C＝3a2＝3，解得a＝1，∴“P(ξ>a)＝0.5”是“關(guān)于x的二項式3的展開式的常數(shù)項為3”的充分不必要條件，故選A.
思維升華 充分條件與必要條件的三種判定方法
(1)定義法：正、反方向推理，若p?q，則p是q的充分條件(或q是p的必要條件)；若p?q，且q?p，則p是q的充分不必要條件(或q是p的必要不充分條件)．
(2)集合法：利用集合間的包含關(guān)系．例如，若A?B，則A是B的充分條件(B是A的必要條件)；若A＝B，則A是B的充要條件．
(3)等價法：將命題等價轉(zhuǎn)化為另一個便于判斷真假的命題．
跟蹤演練2 (1)下列四個結(jié)論中正確的個數(shù)是( )
①“x2＋x－2>0”是“x>1”的充分不必要條件；
②命題：“?x∈R，sin x≤1”的否定是“?x0∈R，sin x0>1”；
③“若x＝，則tan x＝1”的逆命題為真命題；
④若f(x)是R上的奇函數(shù)，則f(log32)＋f(log23)＝0.
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)已知“x>k”是“<1”的充分不必要條件，則k的取值范圍是( )
A．[2，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－∞，－1]
答案 (1)A (2)A
解析 (1)對于①，x2＋x－2>0?x>1或x<－2，故“x2＋x－2>0”是“x>1”的必要不充分條件，所以①錯誤；對于③，“若x＝，則tan x＝1”的逆命題為“若tan x＝1，則x＝”，∵tan x＝1推出的是x＝＋kπ，k∈Z.所以③錯誤．對于④，log32≠－log23，所以④錯誤．②正確．故選A.
(2)由<1，可得－1＝<0，
所以x<－1或x>2，因為“x>k”是“<1”的充分不必要條件，所以k≥2.
熱點三 邏輯聯(lián)結(jié)詞、量詞
1．命題p∨q，只要p，q有一真，即為真；命題p∧q，只有p，q均為真，才為真；綈p和p為真假對立的命題．
2．命題p∨q的否定是(綈p)∧(綈q)；命題p∧q的否定是(綈p)∨(綈q)．
3．“?x∈M，p(x)”的否定為“?x0∈M，綈p(x0)”；“?x0∈M，p(x0)”的否定為“?x∈M，綈p(x)”．
例3 (1)已知命題p：在△ABC中，“C>B”是“sin C>sin B”的充分不必要條件；命題q：“a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要條件，則下列選項中正確的是( )
A．p真q假 B．p假q真
C．“p∧q”為假 D．“p∧q”為真
(2)已知命題p：“?x∈[1,2]，x2－a≥0”，命題q：“?x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0”．若命題“(綈p)∧q”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A．a(chǎn)≤－2或a＝1 B．a(chǎn)≤－2或1≤a≤2
C．a(chǎn)>1 D．－2≤a≤1
答案 (1)C (2)C
解析 (1)△ABC中，C>B?c>b?2Rsin C>2Rsin B(R為△ABC外接圓半徑)，所以C>B?sin C>sin B.
故“C>B”是“sin C>sin B”的充要條件，命題p是假命題．
若c＝0，當(dāng)a>b時，則ac2＝0＝bc2，故a>b?ac2>bc2，若ac2>bc2，則必有c≠0，則c2>0，則有a>b，所以ac2>bc2?a>b，故“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分條件，故命題q也是假命題，故選C.
(2)命題p為真時a≤1；“?x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0”為真，即方程x2＋2ax＋2－a＝0有實根，故Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≥1或a≤－2.(綈p)∧q為真命題，即(綈p)真且q真，即a>1.
思維升華 (1)命題的否定和否命題是兩個不同的概念：命題的否定只否定命題的結(jié)論，真假與原命題相對立；(2)判斷命題的真假要先明確命題的構(gòu)成．由命題的真假求某個參數(shù)的取值范圍，還可以考慮從集合的角度來思考，將問題轉(zhuǎn)化為集合間的運算．
跟蹤演練3 (1)已知命題p：?x0∈R，使sin x0＝；命題q：?x∈，x>sin x，則下列判斷正確的是( )
A．p為真 B．綈q為假
C．p∧q為真 D．p∨q為假
(2)若“?x∈，m≤tan x＋1”為真命題，則實數(shù)m的最大值為________．
答案 (1)B (2)0
解析 (1)由于三角函數(shù)y＝sin x的有界性：－1≤sin x0≤1，所以p假；對于q，構(gòu)造函數(shù)y＝x－sin x，求導(dǎo)得y′＝1－cos x，又x∈，所以y′>0，y為單調(diào)遞增函數(shù)，有y>0恒成立，即?x∈，x>sin x，
所以q真．判斷可知，B正確．
(2)令f(x)＝tan x＋1，則函數(shù)f(x)在上為增函數(shù)，故f(x)的最小值為f＝0，
∵?x∈，m≤tan x＋1，故m≤(tan x＋1)min，∴m≤0，故實數(shù)m的最大值為0.
1．已知函數(shù)f(x)＝的定義域為M，g(x)＝ln(1＋x)的定義域為N，則M∪(?RN)等于( )
A．{x|－1≤x<1} B．{x|x>－1}
C．{x|x<1} D．{x|x≥1}
押題依據(jù) 集合的運算在歷年高考中的地位都很重要，已成為送分必考試題．集合的運算常與不等式(特別是一元一次不等式、一元二次不等式)的求解、函數(shù)的定義域、函數(shù)的值域等知識相交匯．
答案 C
解析 M＝{x|1－x2>0}＝{x|－10}＝{x|x>－1}，∴?RN＝{x|x≤－1}，
∴M∪(?RN)＝{x|－10，可知④錯誤．同理，可證得②和③都是正確的．故選A.
3．設(shè)φ∈R，則“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)為偶函數(shù)”的( )
A．充分而不必要條件
B．必要而不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件
押題依據(jù) 充分、必要條件的判定一直是高考考查的重點，該類問題必須以其他知識為載體，綜合考查數(shù)學(xué)概念．
答案 A
解析 當(dāng)φ＝0時，f(x)＝cos(x＋φ)＝cos x為偶函數(shù)成立；但當(dāng)f(x)＝cos(x＋φ)為偶函數(shù)時，φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝0時，必要條件不成立．故選A.
4．給出下列四個命題，其中正確的命題有( )
①函數(shù)y＝sin 2x＋cos 2x在x∈上的單調(diào)遞增區(qū)間是；
②a1，a2，b1，b2均為非零實數(shù)，集合A＝{x|a1x＋b1>0}，B＝{x|a2x＋b2>0}，則“＝”是“A＝B”的必要不充分條件；
③若p∨q為真命題，則p∧q也為真命題；
④命題?x0∈R，x＋x0＋1<0的否定為?x∈R，x2＋x＋1<0.
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
押題依據(jù) 常用邏輯用語中命題真假的判斷、充要條件、全稱量詞、存在量詞及邏輯聯(lián)結(jié)詞是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要工具，也是高考考查的熱點問題．
答案 C
解析?、賧＝sin 2x＋cos 2x＝sin，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
又x∈，因此遞增區(qū)間是；
②充分性不成立，如a1＝1，b1＝1，a2＝－1＝b2，滿足＝，但A＝{x|x＋1>0}＝(－1，＋∞)，B＝{x|－x－1>0}＝(－∞，－1)，A≠B；
必要性成立：A＝B?a1a2>0?－＝－?＝；
③p∨q為真命題時，p，q不一定全真，因此p∧q不一定為真命題；
④命題?x0∈R，x＋x0＋1<0的否定應(yīng)為?x∈R，x2＋x＋1≥0.
所以①②為真，選C.
A組 專題通關(guān)
1．已知集合A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1,0,1}，則(?RA)∩B等于( )
A．{－2，－1} B．{－2}
C．{－1,0,1} D．{0,1}
答案 A
解析 A＝{x|x>－1}，所以?RA＝{x|x≤－1}，
所以有(?RA)∩B＝{－2，－1}，故選A.
2．已知集合M＝{x|log2x<3}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N}，則M∩N等于( )
A．(0,8) B．{3,5,7}
C．{0,1,3,5,7} D．{1,3,5,7}
答案 D
解析 由M中不等式變形得：log2x<3＝log28，
即01}
C．{x|x≥2} D．{x|10得00的解集是實數(shù)集R；命題乙：00的解集是實數(shù)集R，可知a＝0時，原式＝1>0恒成立，
當(dāng)a≠0時，
解得00，若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A．(－3，－1] B．[－3，－1]
C．(－∞，－1] D．(－∞，－3]
答案 C
解析 由p：<1，得<0，－10.
上面四個命題中正確的是( )
A．①② B．②③
C．①④ D．③④
答案 C
解析 對于命題：若p，則q，其逆否命題是若綈q，則綈p，故①對；答案從A，C中選；②x＝1時x2－4x＋3＝0成立，所以“x＝1”是“x2－4x＋3＝0”的充分條件，當(dāng)x2－4x＋3＝0時x＝1或x＝3，所以“x＝1”不是“x2－4x＋3＝0”的必要條件；所以“x＝1”是“x2－4x＋3＝0”的充分不必要條件．故②錯，故選C.
9．已知集合M＝{x|x2<4}，N＝{x|x2－2x－3<0}，則集合M∩N＝________.
答案 (－1,2)
解析 由不等式的解法，可得M＝{x|x2<4}＝{x|－21”是“函數(shù)f(x)＝ax＋cos x在R上單調(diào)遞增”的______________．(空格處請?zhí)顚憽俺浞植槐匾獥l件”、“必要不充分條件”、“充要條件”或“既不充分也不必要條件”)
答案 充分不必要條件
解析 f(x)＝ax＋cos x在R上單調(diào)遞增?f′(x)＝a－sin x≥0在R上恒成立?a≥(sin x)max＝1，所以“a>1”是“函數(shù)f(x)＝ax＋cos x在R上單調(diào)遞增”的充分不必要條件．
12．給出下列四個命題：
①命題“若α＝β，則cos α＝cos β”的逆否命題；
②“?x0∈R，使得x－x0>0”的否定是：“?x∈R，均有x2－x<0”；
③命題“x2＝4”是“x＝－2”的充分不必要條件；
④p：a∈{a，b，c}，q：{a}?{a，b，c}，p且q為真命題．
其中真命題的序號是________．
答案?、佗?
解析 對①，因命題“若α＝β，則cos α＝cos β”為真命題，
所以其逆否命題亦為真命題，①正確；
對②，命題“?x0∈R，使得x－x0>0”的否定應(yīng)是：
“?x∈R，均有x2－x≤0”，故②錯；
對③，因為由“x2＝4”得x＝2，
所以“x2＝4”是“x＝－2”的必要不充分條件，故③錯；
對④，p，q均為真命題，由真值表判定p且q為真命題，故④正確．
B組 能力提高
13．下列說法中，不正確的是( )
A．已知a，b，m∈R，命題“若am20”的否定是：“?x∈R，x2＋x－2≤0”
C．命題“p或q”為真命題，則命題p和命題q均為真命題
D．“x>3”是“x>2”的充分不必要條件
答案 C
解析 A正確，因為此時m2>0；B正確，特稱命題的否定就是全稱命題；C不正確，因為命題“p或q”為真命題，那么p，q有一個真，p或q就是真命題；D項，小集合是大集合的充分不必要條件．故選C.
14．已知p：?x0∈R，mx＋2≤0，q：?x∈R，x2－2mx＋1>0，若p∨q為假命題，則實數(shù)m的取值范圍是( )
A．[1，＋∞) B．(－∞，－1]
C．(－∞，－2] D．[－1,1]
答案 A
解析 ∵p∨q為假命題，∴p和q都是假命題．
由p：?x0∈R，mx＋2≤0為假命題，
得綈p：?x∈R，mx2＋2>0為真命題，
∴m≥0.①
由q：?x∈R，x2－2mx＋1>0為假命題，
得綈q：?x0∈R，x－2mx0＋1≤0為真命題，
∴Δ＝(－2m)2－4≥0?m2≥1?m≤－1或m≥1.②
由①和②得m≥1.故選A.
15．下列選項錯誤的是( )
A．命題“若x≠1，則x2－3x＋2≠0”的逆否命題是“若x2－3x＋2＝0，則x＝1”
B．“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要條件
C．若“命題p：?x∈R，x2＋x＋1≠0”，則“綈p：?x0∈R，x＋x0＋1＝0”
D．若“p∨q”為真命題，則p，q均為真命題
答案 D
解析 對于若“p∨q”為真命題，則p、q中至少有一個為真命題，∴D選項錯誤．故選D.
16．已知集合M＝，若3∈M,5?M，則實數(shù)a的取值范圍是____________．
答案 ∪(9,25]
解析 ∵集合M＝，
得(ax－5)(x2－a)<0，
當(dāng)a＝0時，顯然不成立，
當(dāng)a>0時，原不等式可化為(x＋)<0，
若<，只需滿足
解得1≤a<；
若>，只需滿足
解得9
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專題一
集合與常用邏輯用語、不等式
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