高考數學大二輪總復習與增分策略 第二篇 填空題的解法技巧 文

【新步步高】（全國甲卷）2017版高考數學大二輪總復習與增分策略 第二篇 填空題的解法技巧 文題型概述填空題是一種只要求寫出結論，不要求解答過程的客觀性試題，有小巧靈活、覆蓋面廣、跨度大等特點，突出考查準確、嚴謹、靈活運用知識的能力由于填空題不像選擇題那樣有備選提示，不像解答題那樣有步驟得分，所填結果必須準確、規(guī)范，因此得分率較低解答填空題的第一要求是“準”，然后才是“快”、“巧”，要合理靈活地運用恰當的方法，不可“小題大做”方法一直接法直接法就是直接從題設出發(fā)，利用有關性質或結論，通過巧妙地變形，直接得到結果的方法要善于透過現象抓本質，有意識地采取靈活、簡捷的方法解決問題直接法是求解填空題的基本方法例1(1)已知函數f(x)若f(a)3，則a_.(2)(2015北京)在ABC中，a4，b5，c6，則_.解析(1)a1時，f(a)1，不適合f(a)log2(1a)13，a3.(2)由余弦定理：cos A，sin A，cos C，sin C，1.答案(1)3(2)1思維升華利用直接法求解填空題要根據題目的要求靈活處理，多角度思考問題，注意一些解題規(guī)律和解題技巧的靈活應用，將計算過程簡化，從而得到結果，這是快速準確地求解填空題的關鍵跟蹤演練1(1)已知F為雙曲線C：1的左焦點，P，Q為C上的點若PQ的長等于虛軸長的2倍，點A(5,0)在線段PQ上，則PQF的周長為_(2)(2015安徽)已知數列an是遞增的等比數列，a1a49，a2a38，則數列an的前n項和等于_答案(1)44(2)2n1解析(1)由題意，得PQ16，線段PQ過雙曲線的右焦點，則P，Q都在雙曲線的右支上由雙曲線的定義，可知PFPA2a，QFQA2a，兩式相加，得，PFQF(PAQA)4a，則PFQF4aPQ431628，故PQF的周長為PFQFPQ281644.(2)由等比數列性質知a2a3a1a4，又a2a38，a1a49，聯立方程解得或又數列an為遞增數列，a11，a48，從而a1q38，q2.數列an的前n項和為Sn2n1.方法二特例法當填空題的已知條件中含有某些不確定的量，但填空題的結論唯一或題設條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，可以將題中變化的不定量選取一些符合條件的恰當特殊值(特殊函數，特殊角，特殊數列，圖形特殊位置，特殊點，特殊方程，特殊模型等)進行處理，從而得出待求的結論這樣可大大地簡化推理、論證的過程例2(1)cos2cos2(120)cos2(240)的值為_(2)如圖，在三棱錐OABC中，三條棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA>OB>OC，分別經過三條棱OA，OB，OC作一個截面平分三棱錐的體積，截面面積依次為S1，S2，S3，則S1，S2，S3的大小關系為_解析(1)令0，則原式cos20cos2120cos2240.(2)要滿足各個截面使分得的兩個三棱錐體積相等，則需滿足與截面對應的交點E，F，G分別為中點即可故可以將三條棱長分別取為OA6，OB4，OC2，如圖，則可計算S13，S22，S3，故S3<S2<S1.答案(1)(2)S3<S2<S1思維升華求值或比較大小等問題的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此種方法僅限于求解結論只有一種的填空題，對于開放性的問題或者有多種答案的填空題，則不能使用該種方法求解跟蹤演練2(1)在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且6cos C，則_.(2)已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x4)f(x)，且在區(qū)間0,2上是增函數，若方程f(x)m(m>0)在區(qū)間8,8上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，則x1x2x3x4_.答案(1)4(2)8解析(1)用特例法令銳角三角形ABC為等腰三角形，此時cos C.不妨設ab3(如圖)，作ADBC垂足為D，所以CD1，AD2，所以tan C2，tan Atan B，所以4.(2)根據函數特點取f(x)sinx，再由圖象可得(x1x2)(x3x4)(62)(22)8.方法三數形結合法對于一些含有幾何背景的填空題，若能根據題目中的條件，作出符合題意的圖形，并通過對圖形的直觀分析、判斷，即可快速得出正確結果這類問題的幾何意義一般較為明顯，如一次函數的斜率和截距、向量的夾角、解析幾何中兩點間距離等，求解的關鍵是明確幾何含義，準確規(guī)范地作出相應的圖形例3(1)函數f(x)的定義域為D，若滿足：f(x)在D內是單調函數；存在a，bD，使得f(x)在a，b上的值域為2a,2b，則稱函數f(x)為“成功函數”若函數f(x)logc(c4x3t)(c>0，c1)是“成功函數”，則t的取值范圍為_(2)已知函數f(x)log2x，g(x)若關于x的方程g(x)k有兩個不相等的實數根，則實數k的取值范圍是_解析(1)不妨設c>1，因為c4x3t在其定義域內是單調遞增函數，所以f(x)logc(c4x3t)也是單調遞增函數，所以故a，b是方程c4xc2x3t0的兩個實數根，即方程3tc4xc2x有兩個不同的實數根，也即函數yc4xc2x與直線y3t有兩個不同的交點令c2xu，則c4xu2，所以問題轉化為函數yu2u(u>0)與y3t有兩個不同的交點，結合函數的圖象可知當0<3t<，即0<t<時，兩圖象恰有兩個交點，應填答案(0，)(2)畫出函數yg(x)的圖象(如圖)由圖知，當函數yg(x)和yk的圖象有兩個交點時，k>1.答案(1)(0，)(2)(1，)思維升華數形結合法可直觀快捷地得到問題的結論，充分應用了圖形的直觀性，數中思形，以形助數數形結合法是高考的熱點，應用時要準確把握各種數式和幾何圖形中變量之間的關系跟蹤演練3(1)(2015湖南)若函數f(x)|2x2|b有兩個零點，則實數b的取值范圍是_(2)若函數yf(x)圖象上不同兩點M、N關于原點對稱，則稱點對M，N是函數yf(x)的一對“和諧點對”(點對M，N與N，M看作同一對“和諧點對”)已知函數f(x)則此函數的“和諧點對”有_對答案(1)(0,2)(2)2解析(1)由f(x)|2x2|b0，得|2x2|b.在同一平面直角坐標系中畫出y|2x2|與yb的圖象，如圖所示則當0<b<2時，兩函數圖象有兩個交點，從而函數f(x)|2x2|b有兩個零點(2)作出f(x)的圖象，f(x)的“和諧點對”數可轉化為yex (x<0)和yx24x(x<0)的圖象的交點個數(如圖)由圖象知，函數f(x)有兩對“和諧點對”方法四構造法用構造法解填空題的關鍵是由條件和結論的特殊性構造出數學模型，從而簡化推導與運算過程構造法是建立在觀察聯想、分析綜合的基礎之上的，首先應觀察題目，觀察已知(例如代數式)形式上的特點，然后積極調動思維，聯想、類比已學過的知識及各種數學結構、數學模型，深刻地了解問題及問題的背景(幾何背景、代數背景)，從而構造幾何、函數、向量等具體的數學模型，達到快速解題的目的例4如圖，已知球O的球面上有四點A，B，C，D，DA平面ABC，ABBC，DAABBC，則球O的體積等于_解析如圖，以DA，AB，BC為棱長構造正方體，設正方體的外接球球O的半徑為R，則正方體的體對角線長即為球O的直徑，所以CD2R，所以R，故球O的體積V.答案思維升華構造法實質上是轉化與化歸思想在解題中的應用，需要根據已知條件和所要解決的問題確定構造的方向，一般通過構造新的函數、不等式或數列等新的模型將問題轉化為自己熟悉的問題在立體幾何中，補形構造是最為常用的解題技巧通過補形能將一般幾何體的有關問題在特殊的幾何體中求解，如將三棱錐補成特殊的長方體等跟蹤演練4(1)，(其中e為自然對數的底數)的大小關系是_(2)已知三個互不重合的平面，m，n，且直線m、n不重合，由下列三個條件：m，n；m，n；m，n.能推得mn的條件是_答案(1)<<(2)解析(1)由于，故可構造函數f(x)，于是f(4)，f(5)，f(6).而f(x)()，令f(x)>0，得x<0或x>2，即函數f(x)在(2，)上單調遞增，因此有f(4)<f(5)<f(6)，即<<.(2)構建長方體模型，如圖，觀察選項特點，可優(yōu)先判斷條件：取平面為平面ADDA，平面為平面ABCD，則直線m為直線AD.因為m，故可取平面為平面ABCD，因為n且n，故可取直線n為直線AB.則直線AD與直線AB為異面直線，故m與n不平行對于：、取中平面，取平面為平面BCCB，可取直線n為直線BC，故可推得mn.對于：，取中平面，取為平面ABCD，取直線n為直線BC，故可推得mn.綜上，能推得mn的條件是.方法五正反互推法多選型問題給出多個命題或結論，要求從中選出所有滿足條件的命題或結論這類問題要求較高，涉及圖形、符號和文字語言，要準確閱讀題目，讀懂題意，通過推理證明，命題或結論之間互反互推，相互印證，也可舉反例判斷錯誤的命題或結論例5已知f(x)為定義在R上的偶函數，當x0時，有f(x1)f(x)，且當x0,1)時，f(x)log2(x1)，給出下列命題：f(2 016)f(2 017)的值為0；函數f(x)在定義域上為周期是2的周期函數；直線yx與函數f(x)的圖象有1個交點；函數f(x)的值域為(1,1)其中正確命題的序號為_解析根據題意，可在同一坐標系中畫出直線yx和函數f(x)的圖象如下：根據圖象可知：f(2 016)f(2 017)0正確；函數f(x)在定義域上不是周期函數，所以不正確；根據圖象確實只有一個交點，所以正確；根據圖象，函數f(x)的值域是(1,1)，正確綜上，正確命題的序號為.答案思維升華正反互推法適用于多選型問題，這類問題一般有兩種形式：一是給出總的已知條件，判斷多種結論的真假；二是多種知識點的匯總考查，主要覆蓋考點功能兩種多選題在處理上不同，前者需要扣住已知條件進行分析，后者需要獨立利用知識逐項進行判斷利用正反互推法可以快速解決多選型問題跟蹤演練5過拋物線y22px (p>0)焦點F的直線與拋物線交于A、B兩點，作AC，BD垂直拋物線的準線l于C、D，O為坐標原點，則下列結論正確的是_(填寫序號)；存在R，使得成立；0；準線l上任意點M，都使得>0.答案解析設AB：xty代入y22px (p>0)可得y22tpyp20.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則C(，y1)，D(，y2)，F(，0)，且y1y22tp，y1y2p2.所以x1x22t2pp，則ABAFBFx1x2p2t2p2p.而AB的中點到準線的距離dt2ppAB，所以以AB為直徑的圓與準線相切，所以不正確又因為kAO，kOD，kFC，kDF，所以kOAkOD，kCFkDF1，即A，O，D共線且CFDF，所以都是正確的顯然正確，故應填.填空題突破練A組專題通關1設f(x)是定義在R上的周期為2的函數，當x1,1)時，f(x)則f()_.答案1解析f(x)是定義在R上的周期為2的函數，f()f()421.2某校采用簡單隨機抽樣的方法，從180名教師中抽取20名教師調查家訪的次數，結果用莖葉圖表示(如圖)，則據此可估計這180名教師中家訪次數在1525(含15和25)的人數為_答案63解析因為這20名教師家訪次數在1525的人數為7，頻率為，所以可估計這180名教師中家訪次數在1525的人數為18063.3已知函數f(x)若關于x的函數g(x)f(x)m有兩個零點，則實數m的取值范圍是_答案(1,2解析g(x)f(x)m有兩個零點等價于函數f(x)的圖象與函數ym的圖象有兩個交點，作出函數f(x)的圖象如圖，由圖可知m的取值范圍是(1,24函數f(x)sin(x)sin 2x (xR)的最大值是_答案解析根據題意可知，f(x)(sin xcos x)2sin xcos x.令sin xcos xt，則有sin 2x2sin xcos xt21，所以f(t)1t2t(t)2，t，則f(t)的圖象開口向下，對稱軸為t，的拋物線，所以當t時，ymax，即f(x)有最大值.5(2016河北衡水中學調研改編)執(zhí)行如圖的流程圖，那么輸出的S值是_答案解析由流程圖知，記第k次計算結果為Sk，則有S11，S2，S32，S41S1，因此Sk是周期數列，周期為3，輸出結果為S2 015S36712S2.6若曲線f(x)e1x2與曲線g(x)aln x在它們的公共點T(m，n)處有公共切線，則實數a_.答案1解析根據題意可知，f(x)x，g(x)，x>0，兩曲線在點T(m，n)處有公切線，所以，即m，代入aln m，解得a1.7已知數列an滿足a10，an1an21，則a13_.答案144解析由an1an21，可知an1(1)2，即1，所以數列是公差為1的等差數列，12，則a13144.8已知F1，F2分別是橢圓C：1的左，右焦點，P是橢圓上的一點，且PF16，則經過F1，F2，P三點的圓的方程為_答案x2y225解析由橢圓定義知PF1PF22a14，且PF16，故PF28，又F1F22c10，由勾股定理得PF1PF2，所以圓的方程為x2y225.9設x，y滿足約束條件則目標函數zxy的取值范圍為_答案，1解析可行域為一個三角形OBC及其內部，其中O(0,0)，B(0,1)，C(1，1)，因此當z>0時，y過點C時，z取最大值1；當z<0時，y與直線2xy10相切時z取最小值；當x0時，z0.綜上，目標函數zxy的取值范圍為，110在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，E為棱CC1的中點，點P，Q分別為平面A1B1C1D1和線段B1C上的動點，則PEQ周長的最小值為_答案解析設點P在棱B1C1上，先固定點Q，由此可得PEPE，PQPQ，由此可得當點P在棱B1C1上時，PEQ的周長最小如圖所示，點E1與點E關于直線B1C對稱，點E2與點E關于直線B1C1對稱根據對稱性可得，PEQ的周長PEPQQEPE2PQQE1E1E2.B組能力提高11已知AB3，C是線段AB上異于A，B的一點，ADC，BCE均為等邊三角形，則CDE的外接圓的半徑的最小值是_答案解析設ACm，CBn，則mn3，在CDE中，由余弦定理知DE2CD2CE22CDCEcosDCEm2n2mn(mn)23mn93mn，又因為mn()2，當且僅當mn時，取“”，所以DE.又因為CDE的外接圓的半徑R，所以CDE的外接圓的半徑的最小值是.12已知函數f(x)若存在x1，x2R，當0x1<4x212時，f(x1)f(x2)，則x1f(x2)的最大值是_答案解析當0x1<4x212時，f(x1)f(x2)，則x1f(x2)x1f(x1)，所求轉化為求yx(x24x)(0x<4)的最大值y3x28x，由y0得x0或x.易知當x時，yx(x24x)(0x<4)取得最大值.13在半徑為1的扇形AOB中，AOB60，C為弧上的動點，AB與OC交于點P，則的最小值是_答案解析設弦AB中點為M，則()，若，同向，則>0；若，反向，則<0，故的最小值在，反向時取得，此時|，|()2，當且僅當|時取等號，即的最小值是.14設函數在R上存在導數f(x)，xR，有f(x)f(x)x2，在(0，)上f(x)<x，若f(4m)f(m)84m，則實數m的取值范圍是_答案2，)解析令g(x)f(x)x2，因為xR，有f(x)f(x)x2，所以g(x)g(x)f(x)x2f(x)x20，即函數g(x)為奇函數因為在(0，)上f(x)<x，所以g(x)f(x)x<0，即函數g(x)在(0，)上單調遞減，在(，0)上單調遞減，又因為g(0)0，所以g(x)在R上單調遞減由f(4m)f(m)84m，得f(4m)f(m)(84m)g(4m)(4m)2g(m)m2(84m)g(4m)g(m)0，即g(4m)g(m)，所以4mm，解得m2.