高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 第二篇 填空題的解法技巧 文
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【新步步高】(全國甲卷)2017版高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 第二篇 填空題的解法技巧 文題型概述填空題是一種只要求寫出結(jié)論,不要求解答過程的客觀性試題,有小巧靈活、覆蓋面廣、跨度大等特點(diǎn),突出考查準(zhǔn)確、嚴(yán)謹(jǐn)、靈活運(yùn)用知識的能力由于填空題不像選擇題那樣有備選提示,不像解答題那樣有步驟得分,所填結(jié)果必須準(zhǔn)確、規(guī)范,因此得分率較低解答填空題的第一要求是“準(zhǔn)”,然后才是“快”、“巧”,要合理靈活地運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ豢伞靶☆}大做”方法一直接法直接法就是直接從題設(shè)出發(fā),利用有關(guān)性質(zhì)或結(jié)論,通過巧妙地變形,直接得到結(jié)果的方法要善于透過現(xiàn)象抓本質(zhì),有意識地采取靈活、簡捷的方法解決問題直接法是求解填空題的基本方法例1(1)已知函數(shù)f(x)若f(a)3,則a_.(2)(2015北京)在ABC中,a4,b5,c6,則_.解析(1)a1時(shí),f(a)1,不適合f(a)log2(1a)13,a3.(2)由余弦定理:cos A,sin A,cos C,sin C,1.答案(1)3(2)1思維升華利用直接法求解填空題要根據(jù)題目的要求靈活處理,多角度思考問題,注意一些解題規(guī)律和解題技巧的靈活應(yīng)用,將計(jì)算過程簡化,從而得到結(jié)果,這是快速準(zhǔn)確地求解填空題的關(guān)鍵跟蹤演練1(1)已知F為雙曲線C:1的左焦點(diǎn),P,Q為C上的點(diǎn)若PQ的長等于虛軸長的2倍,點(diǎn)A(5,0)在線段PQ上,則PQF的周長為_(2)(2015安徽)已知數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列,a1a49,a2a38,則數(shù)列an的前n項(xiàng)和等于_答案(1)44(2)2n1解析(1)由題意,得PQ16,線段PQ過雙曲線的右焦點(diǎn),則P,Q都在雙曲線的右支上由雙曲線的定義,可知PFPA2a,QFQA2a,兩式相加,得,PFQF(PAQA)4a,則PFQF4aPQ431628,故PQF的周長為PFQFPQ281644.(2)由等比數(shù)列性質(zhì)知a2a3a1a4,又a2a38,a1a49,聯(lián)立方程解得或又?jǐn)?shù)列an為遞增數(shù)列,a11,a48,從而a1q38,q2.數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn2n1.方法二特例法當(dāng)填空題的已知條件中含有某些不確定的量,但填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個定值時(shí),可以將題中變化的不定量選取一些符合條件的恰當(dāng)特殊值(特殊函數(shù),特殊角,特殊數(shù)列,圖形特殊位置,特殊點(diǎn),特殊方程,特殊模型等)進(jìn)行處理,從而得出待求的結(jié)論這樣可大大地簡化推理、論證的過程例2(1)cos2cos2(120)cos2(240)的值為_(2)如圖,在三棱錐OABC中,三條棱OA,OB,OC兩兩垂直,且OAOBOC,分別經(jīng)過三條棱OA,OB,OC作一個截面平分三棱錐的體積,截面面積依次為S1,S2,S3,則S1,S2,S3的大小關(guān)系為_解析(1)令0,則原式cos20cos2120cos2240.(2)要滿足各個截面使分得的兩個三棱錐體積相等,則需滿足與截面對應(yīng)的交點(diǎn)E,F(xiàn),G分別為中點(diǎn)即可故可以將三條棱長分別取為OA6,OB4,OC2,如圖,則可計(jì)算S13,S22,S3,故S3S2S1.答案(1)(2)S3S20)在區(qū)間8,8上有四個不同的根x1,x2,x3,x4,則x1x2x3x4_.答案(1)4(2)8解析(1)用特例法令銳角三角形ABC為等腰三角形,此時(shí)cos C.不妨設(shè)ab3(如圖),作ADBC垂足為D,所以CD1,AD2,所以tan C2,tan Atan B,所以4.(2)根據(jù)函數(shù)特點(diǎn)取f(x)sinx,再由圖象可得(x1x2)(x3x4)(62)(22)8.方法三數(shù)形結(jié)合法對于一些含有幾何背景的填空題,若能根據(jù)題目中的條件,作出符合題意的圖形,并通過對圖形的直觀分析、判斷,即可快速得出正確結(jié)果這類問題的幾何意義一般較為明顯,如一次函數(shù)的斜率和截距、向量的夾角、解析幾何中兩點(diǎn)間距離等,求解的關(guān)鍵是明確幾何含義,準(zhǔn)確規(guī)范地作出相應(yīng)的圖形例3(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,若滿足:f(x)在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù);存在a,bD,使得f(x)在a,b上的值域?yàn)?a,2b,則稱函數(shù)f(x)為“成功函數(shù)”若函數(shù)f(x)logc(c4x3t)(c0,c1)是“成功函數(shù)”,則t的取值范圍為_(2)已知函數(shù)f(x)log2x,g(x)若關(guān)于x的方程g(x)k有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_解析(1)不妨設(shè)c1,因?yàn)閏4x3t在其定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù),所以f(x)logc(c4x3t)也是單調(diào)遞增函數(shù),所以故a,b是方程c4xc2x3t0的兩個實(shí)數(shù)根,即方程3tc4xc2x有兩個不同的實(shí)數(shù)根,也即函數(shù)yc4xc2x與直線y3t有兩個不同的交點(diǎn)令c2xu,則c4xu2,所以問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)yu2u(u0)與y3t有兩個不同的交點(diǎn),結(jié)合函數(shù)的圖象可知當(dāng)03t,即0t1.答案(1)(0,)(2)(1,)思維升華數(shù)形結(jié)合法可直觀快捷地得到問題的結(jié)論,充分應(yīng)用了圖形的直觀性,數(shù)中思形,以形助數(shù)數(shù)形結(jié)合法是高考的熱點(diǎn),應(yīng)用時(shí)要準(zhǔn)確把握各種數(shù)式和幾何圖形中變量之間的關(guān)系跟蹤演練3(1)(2015湖南)若函數(shù)f(x)|2x2|b有兩個零點(diǎn),則實(shí)數(shù)b的取值范圍是_(2)若函數(shù)yf(x)圖象上不同兩點(diǎn)M、N關(guān)于原點(diǎn)對稱,則稱點(diǎn)對M,N是函數(shù)yf(x)的一對“和諧點(diǎn)對”(點(diǎn)對M,N與N,M看作同一對“和諧點(diǎn)對”)已知函數(shù)f(x)則此函數(shù)的“和諧點(diǎn)對”有_對答案(1)(0,2)(2)2解析(1)由f(x)|2x2|b0,得|2x2|b.在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出y|2x2|與yb的圖象,如圖所示則當(dāng)0b2時(shí),兩函數(shù)圖象有兩個交點(diǎn),從而函數(shù)f(x)|2x2|b有兩個零點(diǎn)(2)作出f(x)的圖象,f(x)的“和諧點(diǎn)對”數(shù)可轉(zhuǎn)化為yex (x0)和yx24x(x0)的圖象的交點(diǎn)個數(shù)(如圖)由圖象知,函數(shù)f(x)有兩對“和諧點(diǎn)對”方法四構(gòu)造法用構(gòu)造法解填空題的關(guān)鍵是由條件和結(jié)論的特殊性構(gòu)造出數(shù)學(xué)模型,從而簡化推導(dǎo)與運(yùn)算過程構(gòu)造法是建立在觀察聯(lián)想、分析綜合的基礎(chǔ)之上的,首先應(yīng)觀察題目,觀察已知(例如代數(shù)式)形式上的特點(diǎn),然后積極調(diào)動思維,聯(lián)想、類比已學(xué)過的知識及各種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)模型,深刻地了解問題及問題的背景(幾何背景、代數(shù)背景),從而構(gòu)造幾何、函數(shù)、向量等具體的數(shù)學(xué)模型,達(dá)到快速解題的目的例4如圖,已知球O的球面上有四點(diǎn)A,B,C,D,DA平面ABC,ABBC,DAABBC,則球O的體積等于_解析如圖,以DA,AB,BC為棱長構(gòu)造正方體,設(shè)正方體的外接球球O的半徑為R,則正方體的體對角線長即為球O的直徑,所以CD2R,所以R,故球O的體積V.答案思維升華構(gòu)造法實(shí)質(zhì)上是轉(zhuǎn)化與化歸思想在解題中的應(yīng)用,需要根據(jù)已知條件和所要解決的問題確定構(gòu)造的方向,一般通過構(gòu)造新的函數(shù)、不等式或數(shù)列等新的模型將問題轉(zhuǎn)化為自己熟悉的問題在立體幾何中,補(bǔ)形構(gòu)造是最為常用的解題技巧通過補(bǔ)形能將一般幾何體的有關(guān)問題在特殊的幾何體中求解,如將三棱錐補(bǔ)成特殊的長方體等跟蹤演練4(1),(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))的大小關(guān)系是_(2)已知三個互不重合的平面,m,n,且直線m、n不重合,由下列三個條件:m,n;m,n;m,n.能推得mn的條件是_答案(1)0,得x2,即函數(shù)f(x)在(2,)上單調(diào)遞增,因此有f(4)f(5)f(6),即0)焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn),作AC,BD垂直拋物線的準(zhǔn)線l于C、D,O為坐標(biāo)原點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是_(填寫序號);存在R,使得成立;0;準(zhǔn)線l上任意點(diǎn)M,都使得0.答案解析設(shè)AB:xty代入y22px (p0)可得y22tpyp20.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則C(,y1),D(,y2),F(xiàn)(,0),且y1y22tp,y1y2p2.所以x1x22t2pp,則ABAFBFx1x2p2t2p2p.而AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離dt2ppAB,所以以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切,所以不正確又因?yàn)閗AO,kOD,kFC,kDF,所以kOAkOD,kCFkDF1,即A,O,D共線且CFDF,所以都是正確的顯然正確,故應(yīng)填.填空題突破練A組專題通關(guān)1設(shè)f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù),當(dāng)x1,1)時(shí),f(x)則f()_.答案1解析f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù),f()f()421.2某校采用簡單隨機(jī)抽樣的方法,從180名教師中抽取20名教師調(diào)查家訪的次數(shù),結(jié)果用莖葉圖表示(如圖),則據(jù)此可估計(jì)這180名教師中家訪次數(shù)在1525(含15和25)的人數(shù)為_答案63解析因?yàn)檫@20名教師家訪次數(shù)在1525的人數(shù)為7,頻率為,所以可估計(jì)這180名教師中家訪次數(shù)在1525的人數(shù)為18063.3已知函數(shù)f(x)若關(guān)于x的函數(shù)g(x)f(x)m有兩個零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案(1,2解析g(x)f(x)m有兩個零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)ym的圖象有兩個交點(diǎn),作出函數(shù)f(x)的圖象如圖,由圖可知m的取值范圍是(1,24函數(shù)f(x)sin(x)sin 2x (xR)的最大值是_答案解析根據(jù)題意可知,f(x)(sin xcos x)2sin xcos x.令sin xcos xt,則有sin 2x2sin xcos xt21,所以f(t)1t2t(t)2,t,則f(t)的圖象開口向下,對稱軸為t,的拋物線,所以當(dāng)t時(shí),ymax,即f(x)有最大值.5(2016河北衡水中學(xué)調(diào)研改編)執(zhí)行如圖的流程圖,那么輸出的S值是_答案解析由流程圖知,記第k次計(jì)算結(jié)果為Sk,則有S11,S2,S32,S41S1,因此Sk是周期數(shù)列,周期為3,輸出結(jié)果為S2 015S36712S2.6若曲線f(x)e1x2與曲線g(x)aln x在它們的公共點(diǎn)T(m,n)處有公共切線,則實(shí)數(shù)a_.答案1解析根據(jù)題意可知,f(x)x,g(x),x0,兩曲線在點(diǎn)T(m,n)處有公切線,所以,即m,代入aln m,解得a1.7已知數(shù)列an滿足a10,an1an21,則a13_.答案144解析由an1an21,可知an1(1)2,即1,所以數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列,12,則a13144.8已知F1,F(xiàn)2分別是橢圓C:1的左,右焦點(diǎn),P是橢圓上的一點(diǎn),且PF16,則經(jīng)過F1,F(xiàn)2,P三點(diǎn)的圓的方程為_答案x2y225解析由橢圓定義知PF1PF22a14,且PF16,故PF28,又F1F22c10,由勾股定理得PF1PF2,所以圓的方程為x2y225.9設(shè)x,y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)zxy的取值范圍為_答案,1解析可行域?yàn)橐粋€三角形OBC及其內(nèi)部,其中O(0,0),B(0,1),C(1,1),因此當(dāng)z0時(shí),y過點(diǎn)C時(shí),z取最大值1;當(dāng)z0時(shí),y與直線2xy10相切時(shí)z取最小值;當(dāng)x0時(shí),z0.綜上,目標(biāo)函數(shù)zxy的取值范圍為,110在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中,E為棱CC1的中點(diǎn),點(diǎn)P,Q分別為平面A1B1C1D1和線段B1C上的動點(diǎn),則PEQ周長的最小值為_答案解析設(shè)點(diǎn)P在棱B1C1上,先固定點(diǎn)Q,由此可得PEPE,PQPQ,由此可得當(dāng)點(diǎn)P在棱B1C1上時(shí),PEQ的周長最小如圖所示,點(diǎn)E1與點(diǎn)E關(guān)于直線B1C對稱,點(diǎn)E2與點(diǎn)E關(guān)于直線B1C1對稱根據(jù)對稱性可得,PEQ的周長PEPQQEPE2PQQE1E1E2.B組能力提高11已知AB3,C是線段AB上異于A,B的一點(diǎn),ADC,BCE均為等邊三角形,則CDE的外接圓的半徑的最小值是_答案解析設(shè)ACm,CBn,則mn3,在CDE中,由余弦定理知DE2CD2CE22CDCEcosDCEm2n2mn(mn)23mn93mn,又因?yàn)閙n()2,當(dāng)且僅當(dāng)mn時(shí),取“”,所以DE.又因?yàn)镃DE的外接圓的半徑R,所以CDE的外接圓的半徑的最小值是.12已知函數(shù)f(x)若存在x1,x2R,當(dāng)0x14x212時(shí),f(x1)f(x2),則x1f(x2)的最大值是_答案解析當(dāng)0x14x212時(shí),f(x1)f(x2),則x1f(x2)x1f(x1),所求轉(zhuǎn)化為求yx(x24x)(0x4)的最大值y3x28x,由y0得x0或x.易知當(dāng)x時(shí),yx(x24x)(0x0;若,反向,則0,故的最小值在,反向時(shí)取得,此時(shí)|,|()2,當(dāng)且僅當(dāng)|時(shí)取等號,即的最小值是.14設(shè)函數(shù)在R上存在導(dǎo)數(shù)f(x),xR,有f(x)f(x)x2,在(0,)上f(x)x,若f(4m)f(m)84m,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案2,)解析令g(x)f(x)x2,因?yàn)閤R,有f(x)f(x)x2,所以g(x)g(x)f(x)x2f(x)x20,即函數(shù)g(x)為奇函數(shù)因?yàn)樵?0,)上f(x)x,所以g(x)f(x)x0,即函數(shù)g(x)在(0,)上單調(diào)遞減,在(,0)上單調(diào)遞減,又因?yàn)間(0)0,所以g(x)在R上單調(diào)遞減由f(4m)f(m)84m,得f(4m)f(m)(84m)g(4m)(4m)2g(m)m2(84m)g(4m)g(m)0,即g(4m)g(m),所以4mm,解得m2.- 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