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【新步步高】（全國甲卷）2017版高考數(shù)學大二輪總復習與增分策略 第二篇 填空題的解法技巧 文
題型概述
填空題是一種只要求寫出結論，不要求解答過程的客觀性試題，有小巧靈活、覆蓋面廣、跨度大等特點，突出考查準確、嚴謹、靈活運用知識的能力．
由于填空題不像選擇題那樣有備選提示，不像解答題那樣有步驟得分，所填結果必須準確、規(guī)范，因此得分率較低．解答填空題的第一要求是“準”，然后才是“快”、“巧”，要合理靈活地運用恰當?shù)姆椒?，不可“小題大做”．
方法一 直接法
直接法就是直接從題設出發(fā)，利用有關性質(zhì)或結論，通過巧妙地變形，直接得到結果的方法．要善于透過現(xiàn)象抓本質(zhì)，有意識地采取靈活、簡捷的方法解決問題．直接法是求解填空題的基本方法．
例1 (1)已知函數(shù)f(x)＝若f(a)＝3，則a＝________.
(2)(2015北京)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，則＝________.
解析 (1)∵a≥1時，f(a)≤1，不適合．
∴f(a)＝log2(1－a)＋1＝3，∴a＝－3.
(2)由余弦定理：
cos A＝＝＝，∴sin A＝，
cos C＝＝＝，∴sin C＝，
∴＝＝1.
答案 (1)－3 (2)1
思維升華 利用直接法求解填空題要根據(jù)題目的要求靈活處理，多角度思考問題，注意一些解題規(guī)律和解題技巧的靈活應用，將計算過程簡化，從而得到結果，這是快速準確地求解填空題的關鍵．
跟蹤演練1 (1)已知F為雙曲線C：－＝1的左焦點，P，Q為C上的點．若PQ的長等于虛軸長的2倍，點A(5,0)在線段PQ上，則△PQF的周長為________．
(2)(2015安徽)已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，則數(shù)列{an}的前n項和等于________．
答案 (1)44 (2)2n－1
解析 (1)由題意，得PQ＝16，線段PQ過雙曲線的右焦點，則P，Q都在雙曲線的右支上．由雙曲線的定義，可知PF－PA＝2a，QF－QA＝2a，兩式相加，得，
PF＋QF－(PA＋QA)＝4a，
則PF＋QF＝4a＋PQ＝43＋16＝28，
故△PQF的周長為PF＋QF＋PQ＝28＋16＝44.
(2)由等比數(shù)列性質(zhì)知a2a3＝a1a4，又a2a3＝8，a1＋a4＝9，∴聯(lián)立方程解得或
又數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，∴a1＝1，a4＝8，
從而a1q3＝8，∴q＝2.
∴數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝＝2n－1.
方法二 特例法
當填空題的已知條件中含有某些不確定的量，但填空題的結論唯一或題設條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，可以將題中變化的不定量選取一些符合條件的恰當特殊值(特殊函數(shù)，特殊角，特殊數(shù)列，圖形特殊位置，特殊點，特殊方程，特殊模型等)進行處理，從而得出待求的結論．這樣可大大地簡化推理、論證的過程．
例2 (1)cos2α＋cos2(α＋120)＋cos2(α＋240)的值為________．
(2)如圖，在三棱錐O—ABC中，三條棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA>OB>OC，分別經(jīng)過三條棱OA，OB，OC作一個截面平分三棱錐的體積，截面面積依次為S1，S2，S3，則S1，S2，S3的大小關系為________．
解析 (1)令α＝0，
則原式＝cos20＋cos2120＋cos2240＝.
(2)要滿足各個截面使分得的兩個三棱錐體積相等，則需滿足與截面對應的交點E，F(xiàn)，G分別為中點即可．故可以將三條棱長分別取為OA＝6，OB＝4，OC＝2，如圖，則可計算S1＝3，
S2＝2，S3＝，故S3
0)在區(qū)間[－8,8]上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，則x1＋x2＋x3＋x4＝________.
答案 (1)4 (2)－8
解析 (1)用特例法．令銳角三角形ABC為等腰三角形，此時cos C＝.不妨設a＝b＝3(如圖)，作AD⊥BC垂足為D，所以CD＝1，AD＝2，所以tan C＝2，tan A＝tan B＝，
所以＋＝4.
(2)根據(jù)函數(shù)特點取f(x)＝sinx，
再由圖象可得(x1＋x2)＋(x3＋x4)＝(－62)＋(22)＝－8.
方法三 數(shù)形結合法
對于一些含有幾何背景的填空題，若能根據(jù)題目中的條件，作出符合題意的圖形，并通過對圖形的直觀分析、判斷，即可快速得出正確結果．這類問題的幾何意義一般較為明顯，如一次函數(shù)的斜率和截距、向量的夾角、解析幾何中兩點間距離等，求解的關鍵是明確幾何含義，準確規(guī)范地作出相應的圖形．
例3 (1)函數(shù)f(x)的定義域為D，若滿足：①f(x)在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②存在[a，b]?D，使得f(x)在[a，b]上的值域為[2a,2b]，則稱函數(shù)f(x)為“成功函數(shù)”．若函數(shù)f(x)＝logc(c4x＋3t)(c>0，c≠1)是“成功函數(shù)”，則t的取值范圍為__________．
(2)已知函數(shù)f(x)＝log2x，g(x)＝若關于x的方程g(x)＝k有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是________．
解析 (1)不妨設c>1，因為c4x＋3t在其定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)，所以f(x)＝logc(c4x＋3t)也是單調(diào)遞增函數(shù)，所以故a，b是方程c4x－c2x＋3t＝0的兩個實數(shù)根，即方程3t＝－c4x＋c2x有兩個不同的實數(shù)根，也即函數(shù)y＝－c4x＋c2x與直線y＝3t有兩個不同的交點．令c2x＝u，則c4x＝u2，所以問題轉化為函數(shù)y＝－u2＋u(u>0)與y＝3t有兩個不同的交點，結合函數(shù)的圖象可知當0<3t<，即01.
答案 (1)(0，) (2)(1，＋∞)
思維升華 數(shù)形結合法可直觀快捷地得到問題的結論，充分應用了圖形的直觀性，數(shù)中思形，以形助數(shù)．數(shù)形結合法是高考的熱點，應用時要準確把握各種數(shù)式和幾何圖形中變量之間的關系．
跟蹤演練3 (1)(2015湖南)若函數(shù)f(x)＝|2x－2|－b有兩個零點，則實數(shù)b的取值范圍是________．
(2)若函數(shù)y＝f(x)圖象上不同兩點M、N關于原點對稱，則稱點對[M，N]是函數(shù)y＝f(x)的一對“和諧點對”(點對[M，N]與[N，M]看作同一對“和諧點對”)．已知函數(shù)f(x)＝則此函數(shù)的“和諧點對”有________對．
答案 (1)(0,2) (2)2
解析 (1)由f(x)＝|2x－2|－b＝0，
得|2x－2|＝b.
在同一平面直角坐標系中畫出y＝|2x－2|與y＝b的圖象，如圖所示．
則當00，得x<0或x>2，即函數(shù)f(x)在(2，＋∞)上單調(diào)遞增，因此有f(4)0)焦點F的直線與拋物線交于A、B兩點，作AC，BD垂直拋物線的準線l于C、D，O為坐標原點，則下列結論正確的是________(填寫序號)．
①＋＝－；
②存在λ∈R，使得＝λ成立；
③＝0；
④準線l上任意點M，都使得>0.
答案?、佗冖?
解析 設AB：x＝ty＋代入y2＝2px (p>0)可得y2－2tpy－p2＝0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則C(－，y1)，D(－，y2)，F(xiàn)(，0)，且y1＋y2＝2tp，y1y2＝－p2.所以x1＋x2＝2t2p＋p，則AB＝AF＋BF＝x1＋x2＋p＝2t2p＋2p.而AB的中點到準線的距離d＝＝t2p＋p＝AB，所以以AB為直徑的圓與準線相切，所以④不正確．又因為kAO＝＝，kOD＝＝－＝＝，kFC＝－，kDF＝－，所以kOA＝kOD，kCFkDF＝＝－1，即A，O，D共線且CF⊥DF，所以②③都是正確的．①顯然正確，故應填①②③.
填空題突破練
A組 專題通關
1．設f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當x∈[－1,1)時，f(x)＝則f()＝________.
答案 1
解析 ∵f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，
∴f()＝f(－)＝－4＋2＝1.
2．某校采用簡單隨機抽樣的方法，從180名教師中抽取20名教師調(diào)查家訪的次數(shù)，結果用莖葉圖表示(如圖)，則據(jù)此可估計這180名教師中家訪次數(shù)在15～25(含15和25)的人數(shù)為________．
答案 63
解析 因為這20名教師家訪次數(shù)在15～25的人數(shù)為7，頻率為，所以可估計這180名教師中家訪次數(shù)在15～25的人數(shù)為180＝63.
3．已知函數(shù)f(x)＝若關于x的函數(shù)g(x)＝f(x)－m有兩個零點，則實數(shù)m的取值范圍是________．
答案 (1,2]
解析 g(x)＝f(x)－m有兩個零點等價于函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)y＝m的圖象有兩個交點，作出函數(shù)f(x)的圖象如圖，由圖可知m的取值范圍是(1,2]．
4．函數(shù)f(x)＝sin(x＋)－sin 2x (x∈R)的最大值是______．
答案
解析 根據(jù)題意可知，
f(x)＝(sin x＋cos x)－2sin xcos x.
令sin x＋cos x＝t∈[－，]，
則有sin 2x＝2sin xcos x＝t2－1，
所以f(t)＝1－t2＋t＝－(t－)2＋，t∈[－，]．
則f(t)的圖象開口向下，對稱軸為t＝∈[－，]的拋物線，所以當t＝時，ymax＝，
即f(x)有最大值.
5．(2016河北衡水中學調(diào)研改編)執(zhí)行如圖的流程圖，那么輸出的S值是________．
答案
解析 由流程圖知，記第k次計算結果為Sk，則有S1＝＝－1，S2＝＝，S3＝＝2，S4＝＝－1＝S1，因此{Sk}是周期數(shù)列，周期為3，輸出結果為S2 015＝S3671＋2＝S2＝.
6．若曲線f(x)＝e－1x2與曲線g(x)＝aln x在它們的公共點T(m，n)處有公共切線，則實數(shù)a＝________.
答案 1
解析 根據(jù)題意可知，f′(x)＝x，g′(x)＝，x>0，
兩曲線在點T(m，n)處有公切線，
所以＝，即m＝，
代入＝aln m，解得a＝1.
7．已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，an＋1＝an＋2＋1，則a13＝________.
答案 144
解析 由an＋1＝an＋2＋1，
可知an＋1＝(＋1)2，
即＝＋1，
所以數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，
＝＋12，則a13＝144.
8．已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：＋＝1的左，右焦點，P是橢圓上的一點，且PF1＝6，則經(jīng)過F1，F(xiàn)2，P三點的圓的方程為__________．
答案 x2＋y2＝25
解析 由橢圓定義知PF1＋PF2＝2a＝14，
且PF1＝6，故PF2＝8，
又F1F2＝2c＝10，由勾股定理得PF1⊥PF2，
所以圓的方程為x2＋y2＝25.
9．設x，y滿足約束條件則目標函數(shù)z＝xy的取值范圍為__________．
答案 [－，1]
解析 可行域為一個三角形OBC及其內(nèi)部，其中O(0,0)，B(0,1)，C(－1，－1)，因此當z>0時，y＝過點C時，z取最大值1；當z<0時，y＝與直線2x－y＋1＝0相切時z取最小值－；當x＝0時，z＝0.
綜上，目標函數(shù)z＝xy的取值范圍為[－，1]．
10．在棱長為2的正方體ABCD—A1B1C1D1中，E為棱CC1的中點，點P，Q分別為平面A1B1C1D1和線段B1C上的動點，則△PEQ周長的最小值為________．
答案
解析 設點P′在棱B1C1上，先固定點Q，由此可得P′E≤PE，P′Q≤PQ，由此可得當點P在棱B1C1上時，△PEQ的周長最?。鐖D所示，點E1與點E關于直線B1C對稱，點E2與點E關于直線B1C1對稱．根據(jù)對稱性可得，△PEQ的周長PE＋PQ＋QE＝PE2＋PQ＋QE1≤E1E2＝.
B組 能力提高
11．已知AB＝3，C是線段AB上異于A，B的一點，△ADC，△BCE均為等邊三角形，則△CDE的外接圓的半徑的最小值是________．
答案
解析 設AC＝m，CB＝n，則m＋n＝3，
在△CDE中，由余弦定理知DE2＝CD2＋CE2－2CDCEcos∠DCE＝m2＋n2－mn＝(m＋n)2－3mn＝9－3mn，
又因為mn≤()2＝，當且僅當m＝n＝時，取“＝”，所以DE≥.
又因為△CDE的外接圓的半徑R＝＝≥，所以△CDE的外接圓的半徑的最小值是.
12．已知函數(shù)f(x)＝若存在x1，x2∈R，當0≤x1<4≤x2≤12時，f(x1)＝f(x2)，則x1f(x2)的最大值是________．
答案
解析 當0≤x1<4≤x2≤12時，f(x1)＝f(x2)，
則x1f(x2)＝x1f(x1)，所求轉化為求y＝x(－x2＋4x)(0≤x<4)的最大值．
∵y′＝－3x2＋8x，∴由y′＝0得x＝0或x＝.
易知當x＝時，y＝x(－x2＋4x)(0≤x<4)取得最大值.
13．在半徑為1的扇形AOB中，∠AOB＝60，C為弧上的動點，AB與OC交于點P，則的最小值是________．
答案?。?
解析 設弦AB中點為M，則＝(＋)＝，若，同向，則>0；若，反向，則<0，故的最小值在，反向時取得，此時||＋||＝，＝－||||≥－()2＝－，
當且僅當||＝||＝時取等號，即的最小值是－.
14．設函數(shù)在R上存在導數(shù)f′(x)，?x∈R，有f(－x)＋f(x)＝x2，在(0，＋∞)上f′(x)
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高考數(shù)學大二輪總復習與增分策略
第二篇
填空題的解法技巧
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