高考大題專攻練 9 解析幾何(A組) 理 新人教版

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高考大題專攻練 9.解析幾何(A組) 大題集訓(xùn)練,練就慧眼和規(guī)范,占領(lǐng)高考制勝點(diǎn)! 1.橢圓+=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2,且離心率為,點(diǎn)P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn),△F1PF2面積的最大值為. (1)求橢圓的方程. (2)設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為A1,過右焦點(diǎn)F2的直線l與橢圓相交于A,B兩點(diǎn),連結(jié)A1A,A1B并延長(zhǎng)分別交直線x=4于P,Q兩點(diǎn),問是否為定值?若是,求出此定值;若不是,請(qǐng)說明理由. 【解析】(1)已知橢圓的離心率為,不妨設(shè)c=t,a=2t,即b=t,其中t>0,又△F1PF2面積取最大值時(shí),即點(diǎn)P為短軸端點(diǎn),因此2tt=,解得t=1,則橢圓的方程為+=1. (2)設(shè)直線AB的方程為x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2)聯(lián)立 可得(3t2+4)y2+6ty-9=0,則y1+y2=,y1y2=, 直線AA1的方程為y=[x-(-2)], 直線BA1的方程為y=[x-(-2)], 則P,Q, 則=,=, 則=9+ =+9=0, 即為定值0. 2.已知點(diǎn)P在橢圓C:+=1(a>b>0)上,以P為圓心的圓與x軸相切于橢圓的右焦點(diǎn)F2,且=2,tan∠OPF2=,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn). (1)求橢圓C的方程. (2)已知點(diǎn)M(-1,0),設(shè)Q是橢圓C上的一點(diǎn),過Q,M兩點(diǎn)的直線l交y軸于點(diǎn)N,若=2,求直線l的方程. (3)作直線l1與橢圓D:+=1交于不同的兩點(diǎn)S,T,其中S點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,0),若點(diǎn)G(0,t)是線段ST垂直平分線上一點(diǎn),且滿足=4,求實(shí)數(shù)t的值. 【解析】(1)由題意知,在△OPF2中,PF2⊥OF2, 又因?yàn)閠an∠OPF2=, 所以c=,r=1,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,1).因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓+=1上,所以有+=1,又因?yàn)閍2-b2=c2=2.所以a2=4,b2=2,即橢圓C的方程為:+=1. (2)由題意知橢圓C的方程為:+=1.依題意知直線l的斜率存在,設(shè)為m,故直線方程為y=m(x+1),N(0,m),設(shè)Q(x1,y1),因?yàn)?2,所以(x1,y1-m)=2(-1-x1,-y1),解得x1=-,y1=,又Q是橢圓C上的一點(diǎn), 則+=1.解得m=4,所以直線l的方程為4x-y+4=0或4x+y+4=0. (3)依題意知D:+y2=1.由S(-2,0),設(shè)T(x2,y2),根據(jù)題意可知直線l1的斜率存在,可設(shè)直線斜率為k,則直線l1的方程為y=k(x+2),把它代入橢圓D的方程,消去y,整理得(1+4k2)x2+16k2x+(16k2-4)=0,1+4k2≠0,Δ=(16k2)2-4(1+4k2)(16k2-4)=16>0.由根與系數(shù)的關(guān)系得-2+x2=-,則x2=,y2=k(x2+2)=,所以線段ST的中點(diǎn)坐標(biāo)為. ①當(dāng)k=0時(shí),則有T(2,0),線段ST垂直平分線為y軸,于是=(-2,-t),=(2,-t),由=-4+t2=4, 解得:t=2. ②當(dāng)k≠0時(shí),則線段ST垂直平分線為:y-=-,因?yàn)辄c(diǎn)G(0,t)是線段ST垂直平分線上的一點(diǎn),令x=0得:t=-,于是=(-2,-t),=(x2,y2-t),由=-2x2-t(y2-t)==4, 解得:k=,代入t=-,解得:t=, 綜上可知,滿足條件的實(shí)數(shù)t的值為2或.