高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量章末分層突破學(xué)案 北師大版必修

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【課堂新坐標(biāo)】2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量章末分層突破學(xué)案 北師大版必修4 [自我校對(duì)] ①單位向量 ②坐標(biāo)表示 ③數(shù)乘向量 ④坐標(biāo) ⑤夾角公式 ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 平面向量的線性運(yùn)算 1.向量的加法、減法和數(shù)乘向量的綜合運(yùn)算通常叫作向量的線性運(yùn)算． 2．向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是一個(gè)向量．因此對(duì)它們的運(yùn)算法則、運(yùn)算律的理解和運(yùn)用要注意大小、方向兩個(gè)方面． 3．向量共線定理和平面向量基本定理是進(jìn)行向量合成與分解的核心，是向量線性運(yùn)算的關(guān)鍵所在，常應(yīng)用它們解決平面幾何中的共線問題、共點(diǎn)問題． 4．題型主要有證明三點(diǎn)共線、兩直線平行、線段相等、求點(diǎn)或向量的坐標(biāo)等． 　已知△OAB中，延長(zhǎng)BA到C，使AB＝AC，D是將OB分成2∶1的一個(gè)分點(diǎn)，DC和OA交于E，設(shè)＝a，＝b(如圖2－1)， 圖2－1 (1)用a，b表示向量，； (1)若＝λ，求實(shí)數(shù)λ的值． 【精彩點(diǎn)撥】　(1)根據(jù)平行四邊形法則求解． (2)結(jié)合三角形法則與平行四邊形法則及向量共線定理求解． 【規(guī)范解答】　(1)∵A為BC的中點(diǎn)， ∴＝(＋)， ∴＝2－＝2a－b， ＝－＝－＝2a－b－b＝2a－b. (2)若＝λ，則＝－＝λ－ ＝λa－(2a－b) ＝(λ－2)a＋b. ∵與共線，∴存在實(shí)數(shù)m，使得＝m， 即(λ－2)a＋b＝m， ∴(λ＋2m－2)a＋b＝0. ∵a，b不共線， ∴解得λ＝. [再練一題] 1．(1)若a，b是不共線的兩個(gè)向量，且a與b的起點(diǎn)相同，則實(shí)數(shù)t為何值時(shí)，a，tb，(a＋b)三個(gè)向量的終點(diǎn)在一條直線上？ (2)已知A(－1,1)，B(1,5)，C(x，－5)，D(4,7)，與共線，求x的值． 【解】　(1)由題易知，存在唯一實(shí)數(shù)λ.使得 a－tb＝λ＝λa－λb， ∴ ∴t＝，即當(dāng)t＝時(shí)，三向量共線． (2)＝(2,4)，＝(4－x,12)． ∵∥，∴212＝4(4－x)， ∴x＝－2. 向量的夾角、垂直及長(zhǎng)度問題 1.求夾角問題 求向量a，b夾角θ的步驟：(1)求|a|，|b|，ab；(2)求cos θ＝(夾角公式)；(3)結(jié)合θ的范圍[0，π]確定θ的大?。虼饲笙蛄康膴A角先轉(zhuǎn)化為求向量夾角的余弦值，再結(jié)合夾角的范圍確定夾角的大?。? 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 則cos θ＝＝. 2．垂直問題 這類問題主要考查向量垂直的條件：若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b?ab＝0?x1x2＋y1y2＝0. 3．向量的模 (1)|a|2＝a2，|a|＝. (2)若a＝(x，y)，則a2＝x2＋y2， |a|＝. 　(1)已知向量a與b的夾角為120，|a|＝3，|a＋b|＝，則|b|＝________. (2)已知向量a，b滿足(a＋2b)(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，則a與b的夾角為________． (3)若|a|＝1，|b|＝，(2a－b)⊥b，求a與b的夾角． 【精彩點(diǎn)撥】　(1)利用模與數(shù)量積進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解． (2)結(jié)合已知條件利用向量的夾角公式計(jì)算． (3)利用垂直關(guān)系結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算求解． 【規(guī)范解答】　(1)因?yàn)閨a＋b|＝，所以|a＋b|2＝13， 即(a＋b)2＝13，|a|2＋2ab＋|b|2＝13.又因?yàn)閍與b的夾角為120，|a|＝3，所以9＋23|b|cos 120＋|b|2＝13，|b|2－3|b|－4＝0，解得|b|＝4或|b|＝－1(舍)． (2)設(shè)a與b的夾角為θ，依題意有(a＋2b)(a－b)＝a2＋ab－2b2＝－7＋2cos θ＝－6，所以cos θ＝，因?yàn)?≤θ≤π，所以θ＝. 【答案】　(1)4　(2) (3)由(2a－b)⊥b，則(2a－b)b＝0， 即2ab－b2＝0，所以2|a||b|cos θ－|b|2＝0， 即2cos θ－2＝0，所以cos θ＝. 又∵0≤θ≤π，∴θ＝. [再練一題] 2．已知c＝ma＋nb，c＝(－2，2)，a⊥c，b與c的夾角為π，bc＝－4，|a|＝2，求實(shí)數(shù)m，n的值及a與b的夾角θ. 【解】　∵c＝(－2，2)，∴|c|＝4. ∵a⊥c，∴ac＝0. ∵bc＝|b||c|cos π＝|b|4＝－4. ∴|b|＝2. ∵c＝ma＋nb，∴c2＝mac＋nbc， ∴16＝n(－4)，因此n＝－4. 在c＝ma＋nb兩邊同乘以a， 得0＝8m－4ab.① 在c＝ma＋nb兩邊同乘以b，得mab＝12.② 由①②，得m＝， ∴ab＝2， ∴cos θ＝＝. ∵θ∈[0，π]， ∴θ＝或π. 向量的實(shí)際應(yīng)用 1.向量在平面幾何中的應(yīng)用，向量的加減運(yùn)算遵循平行四邊形法則或三角形法則，數(shù)乘運(yùn)算和線段平行之間、數(shù)量積運(yùn)算和垂直、夾角、距離問題之間聯(lián)系密切，因此用向量方法可以解決平面幾何中的相關(guān)問題． 2．向量在解析幾何中的應(yīng)用，主要利用向量平行與垂直的坐標(biāo)條件求直線的方程． 3．在物理中的應(yīng)用，主要解決力向量、速度向量等問題． 　已知e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，今有動(dòng)點(diǎn)P從P0(－1,2)開始，沿著與向量e1＋e2相同的方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度為|e1＋e2|；另一動(dòng)點(diǎn)Q從Q0(－2，－1)開始，沿著與向量3e1＋e2相同的方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度為|3e1＋2e2|，設(shè)P，Q在t＝0 s時(shí)分別在P0，Q0處，問當(dāng)⊥時(shí)，所需的時(shí)間為多少？ 【精彩點(diǎn)撥】　求出t s后，P，Q兩點(diǎn)坐標(biāo)由數(shù)量積為0建立方程求解． 【規(guī)范解答】　e1＋e2＝(1,1)，|e1＋e2|＝，其單位向量為；3e1＋2e2＝(3,2)，|3e1＋2e2|＝，其單位向量為，如圖． 依題意，||＝t，||＝t， ∴＝||＝(t，t)， ＝||＝(3t,2t)． 由P0(－1,2)，Q0(－2，－1)， 得P(t－1，t＋2)，Q(3t－2,2t－1)， ∴＝(－1，－3)，＝(2t－1，t－3)． 由于⊥，∴＝0， 即2t－1＋3t－9＝0， 解得t＝2， 即當(dāng)⊥時(shí)，所需時(shí)間為2 s. [再練一題] 3.已知△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90，D是BC邊的中點(diǎn)，BE⊥AD，垂足為E，延長(zhǎng)BE交AC于F，連接DF，求證：∠ADB＝∠FDC. 圖2－2 【證明】　如圖，以B為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A(0,2)，C(2,0)，則 D(1,0)，＝(2，－2)． 設(shè)＝λ， 則＝＋＝(0,2)＋(2λ，－2λ)＝(2λ，2－2λ)． 又因?yàn)椋?－1,2)， 由題設(shè)⊥，所以＝0， 所以－2λ＋2(2－2λ)＝0，所以λ＝， 所以＝， 所以＝－＝. 又因?yàn)椋?1,0)， 所以cos∠ADB＝＝， cos∠FDC＝＝. 又因?yàn)椤螦DB，∠FDC∈(0，π)， 所以∠ADB＝∠FDC. 待定系數(shù)法在向量中的應(yīng)用 1.待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中一種非常重要的方法，對(duì)于一些數(shù)學(xué)問題，若已知所求結(jié)果具有的某種形式，則可引入一些尚待確定的系數(shù)(參數(shù))來表示該結(jié)果，通過變形比較，建立含有參數(shù)(待定字母)的方程(組)進(jìn)行求解． 2．待定系數(shù)法在向量中有著廣泛的應(yīng)用，如兩向量平行，垂直或平面向量基本定理等就是這種形式的體現(xiàn)． 　如圖2－3，在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，N在AC上且AN＝2NC，AM與BN交于點(diǎn)P，求AP∶PM的值． 圖2－3 【精彩點(diǎn)撥】　本題主要考查三角形法則、平面向量共線基本定理，適當(dāng)選取基底表示出，，因?yàn)辄c(diǎn)A，P，M共線，若有＝λ，則λ為AP∶PM的值． 【規(guī)范解答】　設(shè)＝e1，＝e2， ∴＝＋＝－3e2－e1，＝2e1＋e2. ∵A，P，M與B，P，N共線， ∴＝λ＝－λ(e1＋3e2)，＝μ＝μ(2e1＋e2)． ∵＝＋＝＋， ∴μ(2e1＋e2)＋λ(e1＋3e2)＝2e1＋3e2， ∴? ∴＝， ∴AP∶PM＝4∶1. [再練一題] 4．設(shè)平面內(nèi)給定的三個(gè)向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，求滿足a＝mb＋nc的實(shí)數(shù)m，n的值． 【解】　∵a＝mb＋nc， ∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(4n－m,2m＋n)， ∴解得 1．(2015陜西高考)對(duì)任意向量a，b，下列關(guān)系式中不恒成立的是(　　) A．|ab|≤|a||b| B．|a－b|≤||a|－|b|| C．(a＋b)2＝|a＋b|2 D．(a＋b)(a－b)＝a2－b2 【解析】　根據(jù)ab＝|a||b|cos θ，又cos θ≤1，知|ab|≤|a||b|，A恒成立．當(dāng)向量a和b方向不相同時(shí)，|a－b|>||a|－|b||，B不恒成立．根據(jù)|a＋b|2＝a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，C恒成立．根據(jù)向量的運(yùn)算性質(zhì)得(a＋b)(a－b)＝a2－b2，D恒成立． 【答案】　B 2．(2015安徽高考)△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，已知向量a，b滿足＝2a，＝2a＋b，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．|b|＝1　　　　　 B．a(chǎn)⊥b C．a(chǎn)b＝1 D．(4a＋b)⊥ 【解析】　在△ABC中，由＝－＝2a＋b－2a＝b，得|b|＝2.又|a|＝1，所以ab＝|a||b|cos 120＝－1，所以(4a＋b)＝(4a＋b)b＝4ab＋|b|2＝4(－1)＋4＝0，所以(4a＋b)⊥，故選D. 【答案】　D 3．(2015福建高考)已知⊥，||＝，||＝t.若點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且＝＋，則的最大值等于(　　) A．13 B．15 C．19 D．21 【解析】　∵⊥，故可以A為原點(diǎn)，AB，AC所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)B，C(t,0)， 則＝＋＝(4,1)，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,1).＝(t－4，－1)＝－4t－＋17＝－＋17≤－2＋17＝13. 當(dāng)且僅當(dāng)4t＝，即t＝時(shí)(負(fù)值舍去)取得最大值13. 【答案】　A 4．(2015天津高考)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60.動(dòng)點(diǎn)E和F分別在線段BC和DC上，且＝λ，＝，則的最小值為________． 【解析】　在等腰梯形ABCD中，由AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60 可得AD＝DC＝1. 建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，則A(0,0)，B(2,0)，C，D， ＝－(2,0)＝， ＝－＝(1,0)． ∵＝λ＝，∴E. ∵＝＝，∴F. ∴＝ ＝＋λ＝＋＋λ ≥＋2＝. 當(dāng)且僅當(dāng)＝λ，即λ＝時(shí)取等號(hào)，符合題意． ∴的最小值為. 【答案】