高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 2 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課后練習(xí) 新人教A版選修4-5

2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 2 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課后練習(xí) 新人教A版選修4-5一、選擇題1用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n>n21對于n>n0的正整數(shù)n都成立”時(shí)，第一步證明中的起始值n0應(yīng)取()A2B3C5 D6解析：使2n>n21，經(jīng)過計(jì)算知應(yīng)選C.答案：C2設(shè)p(k)：1k(kN)，則p(k1)為()A1k1B1k1C1k1D上述均不正確解析：分母是底數(shù)為2的冪，且冪指數(shù)是連續(xù)自然增加，故選A.答案：A3用數(shù)學(xué)歸納法證明：1aa2an1(a1)，在驗(yàn)證n1時(shí)，左端計(jì)算所得的項(xiàng)為()A1 B1aC1aa2 D1aa2a3答案：C4用數(shù)學(xué)歸納法證明“1<n(nN*，n>1)”時(shí)，由nk(k>1)不等式成立，推證nk1時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是()A2k1 B2k1C2k D2k1解析：由k到k1，則左邊增加了共2k項(xiàng)答案：C二、填空題5用數(shù)學(xué)歸納法證明：1<n(nN，n>1)，第二步證明從“k到k1”，左端增加的項(xiàng)數(shù)是_答案：2k6設(shè)a，b均為正實(shí)數(shù)(nN)，已知M(ab)n，Nannan1b，則M，N的大小關(guān)系為_(提示：利用貝努利不等式，令x)解析：由貝努利不等式(1x)n>1nx，令x，n>1n，n>1n，即(ab)n>annan1b.故M>N.答案：M>N三、解答題7求證：(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN)證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，等式左邊2，等式右邊212，等式成立(2)假設(shè)nk(kN)等式成立，即(k1)(k2)(kk)2k135(2k1)成立那么nk1時(shí)，(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)2(k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)2k1135(2k1)2(k1)1即nk1時(shí)等式成立由(1)(2)可知，對任何nN等式均成立8設(shè)f(n)1，由f(1)1>，f(3)>1，f(7)>，f(15)>2，.你能得到怎樣的結(jié)論？并證明解析：數(shù)列1,3,7,15，通項(xiàng)公式為an2n1，數(shù)列，1，2，通項(xiàng)公式an，猜測：f(2n1)>.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時(shí)，f(211)f(1)1>，不等式成立假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時(shí)不等式成立，即f(2k1)>，則f(2k11)f(2k1)>f(2k1)f(2k1)>.當(dāng)nk1時(shí)不等式也成立據(jù)對任何nN原不等式均成立9是否存在常數(shù)a，b，c使得122232342n(n1)2(an2bnc)對一切nN都成立？證明你的結(jié)論解析：此題可用歸納猜想證明來思考假設(shè)存在a，b，c使題設(shè)的等式成立令n1，得4(abc)；當(dāng)n2時(shí)，22(4a2bc)；當(dāng)n3時(shí)，709a3bc，聯(lián)立得a3，b11，c10.當(dāng)n1,2,3時(shí)，等式122232342n(n1)2成立猜想等式對nN都成立，下面用數(shù)學(xué)歸納法來證明記Sn122232n(n1)2，設(shè)當(dāng)nk時(shí)，上面等式成立，即有Sk.則當(dāng)nk1時(shí)，Sk1Sk(k1)(k2)2(3k211k10)(k1)(k2)2(k2)(3k5)(k1)(k2)2(3k25k12k24)3(k1)211(k1)10當(dāng)nk1時(shí)，等式成立綜上所述，當(dāng)a3，b11，c10時(shí)，題設(shè)的等式對nN均成立