高中數(shù)學 第四講 數(shù)學歸納法證明不等式 2 用數(shù)學歸納法證明不等式課后練習 新人教A版選修4-5
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2016-2017學年高中數(shù)學 第四講 數(shù)學歸納法證明不等式 2 用數(shù)學歸納法證明不等式課后練習 新人教A版選修4-5一、選擇題1用數(shù)學歸納法證明“2nn21對于nn0的正整數(shù)n都成立”時,第一步證明中的起始值n0應取()A2B3C5 D6解析:使2nn21,經(jīng)過計算知應選C.答案:C2設p(k):1k(kN),則p(k1)為()A1k1B1k1C1k1D上述均不正確解析:分母是底數(shù)為2的冪,且冪指數(shù)是連續(xù)自然增加,故選A.答案:A3用數(shù)學歸納法證明:1aa2an1(a1),在驗證n1時,左端計算所得的項為()A1 B1aC1aa2 D1aa2a3答案:C4用數(shù)學歸納法證明“11)”時,由nk(k1)不等式成立,推證nk1時,左邊應增加的項數(shù)是()A2k1 B2k1C2k D2k1解析:由k到k1,則左邊增加了共2k項答案:C二、填空題5用數(shù)學歸納法證明:11),第二步證明從“k到k1”,左端增加的項數(shù)是_答案:2k6設a,b均為正實數(shù)(nN),已知M(ab)n,Nannan1b,則M,N的大小關系為_(提示:利用貝努利不等式,令x)解析:由貝努利不等式(1x)n1nx,令x,n1n,n1n,即(ab)nannan1b.故MN.答案:MN三、解答題7求證:(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN)證明:(1)當n1時,等式左邊2,等式右邊212,等式成立(2)假設nk(kN)等式成立,即(k1)(k2)(kk)2k135(2k1)成立那么nk1時,(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)2(k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)2k1135(2k1)2(k1)1即nk1時等式成立由(1)(2)可知,對任何nN等式均成立8設f(n)1,由f(1)1,f(3)1,f(7),f(15)2,.你能得到怎樣的結(jié)論?并證明解析:數(shù)列1,3,7,15,通項公式為an2n1,數(shù)列,1,2,通項公式an,猜測:f(2n1).下面用數(shù)學歸納法證明:當n1時,f(211)f(1)1,不等式成立假設當nk(k1,kN)時不等式成立,即f(2k1),則f(2k11)f(2k1)f(2k1)f(2k1).當nk1時不等式也成立據(jù)對任何nN原不等式均成立9是否存在常數(shù)a,b,c使得122232342n(n1)2(an2bnc)對一切nN都成立?證明你的結(jié)論解析:此題可用歸納猜想證明來思考假設存在a,b,c使題設的等式成立令n1,得4(abc);當n2時,22(4a2bc);當n3時,709a3bc,聯(lián)立得a3,b11,c10.當n1,2,3時,等式122232342n(n1)2成立猜想等式對nN都成立,下面用數(shù)學歸納法來證明記Sn122232n(n1)2,設當nk時,上面等式成立,即有Sk.則當nk1時,Sk1Sk(k1)(k2)2(3k211k10)(k1)(k2)2(k2)(3k5)(k1)(k2)2(3k25k12k24)3(k1)211(k1)10當nk1時,等式成立綜上所述,當a3,b11,c10時,題設的等式對nN均成立- 配套講稿:
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