《彎曲應力下》PPT課件.ppt

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1、純彎曲,一般情況下，梁的橫截面上既有剪力，又有彎矩。剪力是相切于橫截面的內(nèi)力系的合力；彎矩是垂直于橫截面的內(nèi)力系的合力。因此，剪力只與橫截面上的切應力τ有關；彎矩只與橫截面上的正應力σ有關。,若梁的某段上各橫截面上的剪力為零，彎矩為常量，則該段梁的彎曲稱為純彎曲。而既有剪力，又有彎矩的梁的彎曲，稱為橫力彎曲。,AC、DB段既有剪力又有彎矩，橫截面上同時存在正應力和切應力——橫力彎曲,CD段只有彎矩，橫截面上就只有正應力而無切應力——純彎曲。,4－4梁橫截面上的正應力梁的正應力強度條件,2純彎曲時橫截面上的正應力,矩形截面梁實驗觀察,考慮一段純彎曲梁，若只用靜力平衡條件，不能找出應力分布規(guī)律，因此先來做一個實驗。,2純彎曲時橫截面上的正應力,實驗觀察結果,變形前,變形后,（1）變形后mm’nn’仍為直線，但相互傾斜了一個角度，并仍然垂直于彎曲后的縱向線aa,bb,（2）所有縱向線都彎曲成曲線，靠近底面的縱向線伸長，靠近頂面的縱向線縮短，而位于其間某一位置的一條縱向線長度不變。,2純彎曲時橫截面上的正應力,（3）原來的矩形截面，變形后上部變寬，下部變窄。,假設,根據(jù)實驗觀察到的純彎曲梁外表的變化，可以推斷梁的內(nèi)部變形，從而啟發(fā)人們提出如下假設：,（1）梁在受力彎曲后，其原來的橫截面仍為平面，并繞垂直于縱對稱面的某一軸旋轉，但仍垂直于梁變形后的軸線——平面假設。,2純彎曲時橫截面上的正應力,（2）所有與軸線平行的縱向纖維都是軸向拉伸或壓縮的（即縱向纖維之間無擠壓）。,變形前,變形后,根據(jù)平面假設，把梁看成是由無數(shù)根纖維所組成的。因為梁的上部纖維縮短，下部纖維伸長，所以其中必有一層縱向纖維既不伸長也不縮短，把它叫做中性層。,中性層和橫截面的交線，叫做中性軸。這樣一來，彎曲變形的特點可以歸結為：各橫截面繞中性軸轉動，中性層以下的纖維伸長，中性層以上的纖維縮短。,3、純彎曲時正應力公式的推導,變形?應變?應力應變關系?應力,變形幾何關系物理關系靜力學關系,3、純彎曲時正應力公式的推導—變形幾何關系,從純彎曲梁中沿軸線取dx的微段:,中性層位于CC,mm’變形前長度:,mm’變形后長度:,mm’位置的線應變:,表明:距離中性層為y的任一縱向纖維的線應變與y成正比，與r成反比,3、純彎曲時正應力公式的推導—物理關系,縱向纖維之間無正應力，每一纖維都是單向拉伸或者壓縮，當應力小于某一限值(比例極限)時，滿足胡克定律:,代入幾何關系,得到,3、純彎曲時正應力公式的推導—靜力學關系,前面推導了橫截面上的正應力分布規(guī)律，但還不能計算正應力，主要是因為曲率半徑和中性軸的位置均還未知。還需要從靜力學關系求出。,取對稱軸為y軸，中性軸為z軸，過y，z軸的交點并與梁的縱向線平行的軸為x軸。,純彎曲梁上只有正應力。把橫截面分成無數(shù)微面元，在坐標（y，z）處的微面元dA上作用著微內(nèi)力σdA。橫截面上這些微內(nèi)力構成空間平面力系，并且可以組成三個內(nèi)力分量：,3、純彎曲時正應力公式的推導—靜力學關系,由截面法可知：純彎曲情況下,即橫截面對z軸的靜矩等于零,表明Z軸（中性軸）通過截面形心,由此確定了中性軸的位置。,該式自動滿足。,3、純彎曲時正應力公式的推導—靜力學關系,橫截面對z軸（中性軸）的慣性矩,1/r為梁軸線變形后的曲率,EIz越大1/r越小,EIz?梁的抗彎剛度,3、純彎曲時正應力公式的推導,?,M?該點的彎矩,Iz?截面對z軸（中性軸）的慣性矩,,3、純彎曲時正應力分布關系,對某一截面而言，M和Iz若都是確定的，當橫截面的彎矩為正時，則s(y)沿截面高度的分布規(guī)律:,受壓一側正應力為負，受拉一側正應力為正,3、純彎曲時正應力分布關系,由公式可知，某一截面的最大正應力發(fā)生在距離中性軸最遠處。,取,Wz?抗彎截面系數(shù)（抗彎截面模量）,3、純彎曲時正應力分布關系,實心矩形截面的抗彎截面系數(shù),實心圓截面（直徑為d）的抗彎截面系數(shù),,,,,,,,,4、梁橫力彎曲時橫截面上的正應力,梁在橫力彎曲時，橫截面上既有正應力又有切應力。,在橫力彎曲下，橫截面不再保持平面，而且往往也不能保證縱向纖維之間沒有擠壓。雖然橫力彎曲和純彎曲之間存在這些差異，但進一步的分析表明，用純彎曲梁的正應力公式計算細長梁橫力彎曲時的正應力，并不會引起很大的誤差，其計算結果仍能夠滿足工程問題的精度要求，因此下面的式子仍然適用:,1、梁橫力彎曲時橫截面上的正應力,對于變截面梁，最大彎曲正應力并不一定出現(xiàn)在彎矩最大的橫截面上，其大小應為:,彎矩最大的截面并不一定是危險截面。,梁的最大正應力不僅和彎矩M有關，而且和截面的形狀尺寸有關。,例1受均布載荷作用的簡支梁如圖所示，試求：（1）1-1截面上1、2兩點的正應力；（2）此截面上的最大正應力；（3）全梁的最大正應力；（4）已知E=200GPa，求1-1截面的曲率半徑。,解：?畫M圖求截面彎矩,?求應力,(壓應力),?求曲率半徑,5、梁的正應力強度條件,等直梁的最大正應力發(fā)生在最大彎矩的橫截面上距中性軸最遠的各點處，而該點的切應力等于零或與該點的正應力相比很小。此外，縱截面上由橫向力所引起的擠壓應力可略去不計。因此，可將橫截面上最大正應力所在各點處的應力狀態(tài)看作是單軸應力狀態(tài)。于是，可以按照單軸應力狀態(tài)下的強度條件的形式來建立梁的正應力強度條件：梁的橫截面上的最大工作正應力不超過材料的許用彎曲正應力。即,按上式可對彎曲梁進行強度校核，選擇梁的截面，或確定梁的許可荷載。,5、梁的正應力強度條件,關于材料的許用彎曲正應力的確定，一般就以材料的許用拉應力作為其許用彎曲正應力。事實上，由于彎曲和軸向拉伸時桿的橫截面上正應力的變化規(guī)律不同，材料的彎曲與軸向拉伸時的強度并不相同，因而在某些設計規(guī)范中所規(guī)定的許用彎曲正應力就比其許用拉應力略高。,對于用鑄鐵等脆性材料制成的梁，由于材料的許用拉應力和許用壓應力不同，而梁橫截面的中性軸往往也不是對稱軸，因此，梁的最大工作拉應力和工作壓應力要求分別不超過材料的許用拉應力和許用壓應力。,設有一受任意橫向荷載作用的梁，在距左端x處取梁中長為dx的微段進行受力分析,在一般情況下，左右兩橫截面上的彎矩并不相同，因而在同一y坐標處的正應力也不相同。,1、橫力彎曲矩形截面梁的切應力,1.1切應力公式推導*,4－5梁橫截面上的切應力梁的切應力強度條件,1.1切應力公式推導*,為推導橫截面上的切應力的表達式，還需要知道切應力沿截面寬度的變化規(guī)律以及切應力的方向。對狹長矩形截面，切應力沿截面寬度的變化不可能很大，于是，可有下面的假設：,1）橫截面上各點處的切應力必與側邊平行。,2）橫截面上距中性層等遠處各點處的切應力大小相等。,1.1切應力公式推導*,為了研究橫截面上距離中性層y處的切應力τ的數(shù)值，可在該處用一個平行于中性層，并與中性層距離為y的縱截面pp1，將微段的下半部分截出。,根據(jù)上面的假設，可得分離體各面上的應力如圖所示：,1.1切應力公式推導*,研究x方向的平衡,距中性軸為y處的橫線以外部分橫截面積A1對中性軸的靜矩。,同理可得,1.1切應力公式推導*,研究x方向的平衡,頂邊分布的切應力的合力dF的大小,由,1.2矩形截面梁的切應力公式,橫截面上的剪力,整個截面對中性軸的慣性矩,梁橫截面上距中性軸為y的橫線以外部分的面積對中性軸的靜矩,所求切應力點的位置的梁截面的寬度。,上述公式對組合矩形截面梁亦可使用。,1.2矩形截面梁的切應力公式,對于矩形截面梁，公式可以進行轉換,這樣，公式可以改寫為,在截面的兩端，y=h/2,在中性層，y=0,如圖切應力分布規(guī)律,1.3橫力彎曲時其他形狀截面梁的切應力-工字形截面梁,工字形截面由翼緣和腹板組成,上翼緣,下翼緣,腹板,由于腹板截面是狹長矩形，因此前面的假設仍然適用，若要計算腹板上距中性軸y處的切應力，Sz*是圖中黃色部分面積對中性軸的靜矩。,經(jīng)計算可得公式為,沿高度的分布規(guī)律如圖,結果表明，腹板幾乎全部承擔了橫截面上的剪力，且最大切應力和最小切應力相差不大，因此接近均勻分布。,1.4橫力彎曲時其他形狀截面梁的切應力-圓形、圓環(huán)形截面梁,根據(jù)分析結果，圓形和圓環(huán)形截面梁的最大彎曲切應力發(fā)生在中性軸上，并且沿中性軸均勻分布，其值分別為:,圓形截面,圓環(huán)形（薄壁）截面,1.5橫力彎曲時其他形狀截面梁的切應力-T形截面梁,T形截面梁上的切應力分布規(guī)律如圖所示：,最大切應力位于中性軸，大小為:,橫截面中性軸z一側面積（上部或下部對z軸的靜矩）,腹板寬度,1.6組合矩形截面,如圖所示，倒T形截面，若求圖示A點的切應力，則在應用公式時b和Sz*應該如何計算？,b指的是A點截面寬度,Sz*指的是某塊面積對中性軸的靜矩，圖示應為哪個面積?,例1,如圖所示矩形截面梁，已知,求危險截面上a、c、d、e、f五點的正應力和切應力,1）確定危險截面，首先畫出剪力彎矩圖,危險截面位于B截面右側,2）計算截面慣性矩,FS(kN),3）計算正應力,拉,拉,位于中性軸,壓,壓,FS(kN),3）計算切應力,FS(kN),對于橫力彎曲下的等直梁，其橫截面上一般既有剪力，又有彎矩。梁除滿足正應力強度條件外，還要滿足切應力強度條件。,2切應力強度條件,等直梁的最大切應力一般發(fā)生在最大剪力所在的截面的中性軸上各點處，這些點處的正應力為0，在略去縱截面間的擠壓應力后，最大切應力所在點處于純剪切應力狀態(tài)。于是，可按照純剪切應力狀態(tài)下的強度條件來建立梁的切應力強度條件：,?鉚接或焊接的組合截面，其腹板的厚度與高度比小于型鋼的相應比值時，要校核切應力。,?梁的跨度較短，M較小，而Fs較大時，要校核切應力。,?各向異性材料（如木材）的抗剪能力較差，要校核切應力。,,,,,在選擇梁的截面時，必須同時滿足正應力和切應力強度條件。在選擇危險截面時，通常先按正應力強度選擇截面，再按切應力進行強度校核。梁的強度大多由正應力控制，按正應力強度條件選好截面后，一般并不需要再進行切應力校核。除非碰到以下特殊情況：,解：?畫內(nèi)力圖求危面內(nèi)力,例2矩形(b?h=0.12m?0.18m）截面木梁如圖，[?]=7MPa，[?]=0.9MPa，試求最大正應力和最大切應力之比,并校核梁的強度。,A,B,L=3m,?求最大應力并校核強度,?應力之比,,,,,解：?畫彎矩圖并求危面內(nèi)力,例3T字形截面的鑄鐵梁受力如圖，鑄鐵的[?L]=30MPa，[?y]=60MPa，其截面形心位于C點，y1=52mm，y2=88mm，Iz=763cm4，試校核此梁的強度。并說明T字梁怎樣放置更合理？,?畫危面應力分布圖，找危險點,?校核強度,?T字頭在上面合理，反之失效。,,,,,4–6梁的合理設計,一、合理配置梁的荷載和支座二、合理選擇截面形狀三、合理設計梁的外形,,按強度條件設計梁時，主要是依據(jù)正應力強度條件。,可見，降低最大彎矩，提高彎曲截面系數(shù)，或局部加強彎矩較大的梁段，都能有效降低梁的最大正應力，從而提高梁的承載能力，使梁的設計更加合理，工程中經(jīng)常采用的措施有：,一、合理配置梁的荷載和支座①合理布置載荷,,,降低,,,,,,,,,,Ｐ,,,,,,（＋）,,,Ｐ,,,,,,,,,,,（＋）,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Ｐ,,,,（＋）,,,,,,,,,,,（＋）,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,（＋）,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,②合理布置支座位置,,,,,,,,,,,（＋）,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,（+）,（-）,（-）,,,,,二、合理選擇截面形狀,,,,合理截面：,,★矩形截面,,,z,,,,,,,,,z,★空心圓截面比實心圓截面合理,,z,,,,,,,,,,,,,,★工字形截面是由矩形演變而成,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,★,,的材料（例鑄鐵），宜采用截面不對稱于中性軸。,,,,,,,,,,,,,,,,z,,,,,,,,,,z,,,,,,,,,,,,,,,,,北宋李誡于1100年著營造法式一書中指出:矩形木梁的合理高寬比h/b=1.5。,英(T.Young)于1807年著自然哲學與機械技術講義一書中指出:矩形木梁的合理高寬比為時，強度最大。,,,例4試用彎曲正應力強度證明：從圓木（設d已知）鋸出的矩形截面梁合理高寬比為時，強度最大。解：要求鋸出的矩形截面梁的彎曲強度最大，則截面的W應最大。,,,,,,,,,,,,,,,,將式（2）代入式（1）得：,,★等強度梁,等截面梁：W=常數(shù)，,,等強度梁是變截面梁，且各截面上的最大正應力都等于許用應力：,,,,,,,,,,,,,,,三、合理設計梁的外形,例5圖示懸臂梁為等強度梁，截面為矩形，寬度b=常數(shù)，求高度。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,解：,（絕對值）,彎曲應力小結習題討論,本章主要討論了直梁彎曲時橫截面上的正應力和切應力，以及相應的強度條件。（1）彎曲正應力及其強度條件：,（2）彎曲切應力及其強度條件,題1、已知圖示簡支梁，,,,試為梁選擇四種截面，并比較它們的用料。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,題2、一簡支梁由材料及尺寸相同的兩根矩形截面桿疊合而成，兩桿間無聯(lián)系，為光滑接觸，試求當兩桿豎疊時和橫疊時的最大正應力。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,對軸向拉壓桿，一定要畫出軸力圖（注意正負號）對扭轉軸，一定要先算出扭矩或畫出扭矩圖（注意正負號）對彎曲梁，一定要先算出彎矩（如有必要，還要算出剪力）或畫出彎矩圖（剪力圖）,幾點忠告,2.在計算軸力、扭矩，剪力和彎矩時，一定要預設出正的軸力、扭矩、剪力和彎矩方向。,3.在計算拉壓桿的總伸長，扭轉軸的總扭轉角，彎曲梁的撓度和轉角時，一定要注意軸力、扭矩和彎矩的正負號。,4.一些公式要四記住。,5.代入數(shù)值進行計算時，一定要統(tǒng)一轉換成國際單位制單位。計算完成后，在轉換為工程單位。,