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應用高等數(shù)學公式總匯（含答案）
應用高等數(shù)學公式總匯（含答案）
一、函數(shù)的極限：
1、數(shù)列的極限：
2、四則混合運算
若，，C為常數(shù)
（1） AB
（2） AB
（3）=
3、兩個重要極限：
（1）
（2）
變形：
4、無窮小量：
設
（1）若，f（x）是g（x）的 高階 無窮小
（2）若，f（x）是g（x）的 低階 無窮小
（3）若，f（x）是g（x）的 同階 無窮小
（4）若，f（x）是g（x）的 等價 無窮小
（5）若，f（x）是g（x）的 k階 無窮小
5、等價替換：
若x→x0，f（x）~ f1（x），g（x）~ g1（x）
則
6、常用等價形式：
當f（x）→0時
（1）sinf（x）~ f（x）
（2）arc sinf（x）~ f（x）
（3）tanf（x）~ f（x）
（4）arc tanf（x）~ f（x）
（5）In（1+f（x））~ f（x）
（6）ef（x）-1~ f（x）
（7）1-cosf（x）~
（8）（1+f（x））α-1~ αf（x）
二、函數(shù)的連續(xù)：
1、間斷點：
（1）第一類間斷點：f-（x0）、f+（x0）均 存在的 間斷點
⑴跳躍間斷點： f-（x0）≠f+（x0）
⑵可去間斷點： f-（x0）=f+（x0）
（2）第二類間斷點：f-（x0）、f+（x0）至少有一個 不存在的 間斷點
⑴無窮間斷點： f-（x0）、f+（x0）中至少有一個為 ∞
⑵振蕩間斷點： f-（x0）、f+（x0）中至少有一個 振蕩不存在
三、導數(shù)：
1、定義：=
2、導數(shù)的常見形式：
（1）
（2）
（3）
3、切線方程：
若曲線y=f（x）在點P（x0，f（x0）），
則 y-y0=（x-x0）
注：
（1）如果=∞，則 x=x0
（2）如果=0，則 y=y0
4、法線方程：
若直線過點P（x0，f（x0）），
則 y-y0=（x-x0）
5、基本公式：
（1） 0
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
（14）
（15）
（16）
6、四則運算：
都有導數(shù)
（1）
（2）
（3）
（4）
推論：
（1）
（2）
（3）
7、反函數(shù)求導法則：
設y=f（x）與x=（y）（（y）≠0）
則 或=
8、n次導的常見公式：
（1）=
（2）
（3）=
9、參數(shù)方程求導：
設函數(shù)都可導，其中x=≠0，則函數(shù)的導數(shù)
10、復合函數(shù)求導：
若y=f（u），u=（x），且f（u）及（x）都可導，則復合函數(shù)y=f[（x）]的導數(shù)
11、隱函數(shù)求導：
（1）方程F（x，y）=0兩邊求導，解出
（2）公式法：由F（x，y）=0，則
（3）利用微分形式的不變性，方程兩邊求微分，然后解出
注：y是x的函數(shù)
12、對數(shù)求導：
將函數(shù)關系式兩邊取自然對數(shù)（成為隱函數(shù)形式），化簡，然后兩邊兩邊求導，最后兩邊乘以y（x）
注：適用于多個因式的乘、除、乘冪構成或冪指函數(shù)（y=u（x）v（x））
13、高階導數(shù)：
（1）二階導數(shù)：
（2）三階導數(shù)：
（4）n階導數(shù)：
14、中值定理：
（1）拉格朗日定理：若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內可導，則在（a，b）內至少存在一點ξ，使得
推論1：如果函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內任意一點的導數(shù)都等于零，你們函數(shù)f（x）在（a，b）內是一個常數(shù)
推論2：如果函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間（a，b）內每一點的導數(shù)與都相等，則這兩個函數(shù)在區(qū)間（a，b）內至多相差一個常數(shù)，即：f（x）= g（x）+C，x（a，b）
（2）羅爾定理：若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內可導，且f（a）=f（b），則在（a，b）內至少存在一點ξ，使得 0
（3）柯西定理：若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內可導，且，則在（a，b）內至少存在一點ξ，使得=
15、洛必達法則：
（1）型：
設函數(shù)f（x）、g（x）滿足：
⑴ 0
⑵在點x0的某去心鄰域內 都存在 ，且 0
⑶ 存在或為無窮
有：=
（2）型：
設函數(shù)f（x）、g（x）滿足：
⑴
⑵在點x0=的某去心鄰域內 都存在 ，且 0
⑶ 存在或為無窮
有：=
（3）其他未定型：
⑴0∞型：f（x）g（x）轉化成 ，一般將In、arc留在分子上
⑵∞-∞型：通過通分、分子有理化、倒數(shù)代換或代數(shù)、三角恒等變形化為型或型
⑶型：f（x）g（x）= eg（x）Inf（x） =
16、函數(shù)單調性判定：
設函數(shù)y=f（x）在開區(qū)間（a，b）內可導
（1）如果函數(shù)y=f（x）在（a，b）內，，則函數(shù)y=f（x）在（a，b）內單調遞 增 ；
（2）如果函數(shù)y=f（x）在（a，b）內，，則函數(shù)y=f（x）在（a，b）內單調遞 減 ；
17、函數(shù)的極值：
（1）如果函數(shù)y=f（x）在點x0及其左右近旁有定義，且對于x0近旁的任何一點x（x≠x0）的函數(shù)值f（x）均有：
⑴f（x）
f（x0）,則f（x0）稱為函數(shù)y=f（x）的 極小值 ，點x0稱為函數(shù)y=f（x）的 極小值點
（2）駐點： 0 的點
（3）極值第一充分條件：
設點x0是f（x）可能的極值點（或不存在）
⑴當；,則x0為極大值點
⑵當；,則x0為極小值點
⑶當， 同號 ，則x0不是極值點
（4）極值的第二充分條件：
設y=f（x）在點x0處有一、二階導數(shù)，且= 0
⑴如果 > 0，則函數(shù)y=f（x）在點x0處取得最小值f（x0）
⑵如果 < 0，則函數(shù)y=f（x）在點x0處取得最大值f（x0）
18、曲線凹凸性：
（1）若對于x（a，b）時，，則曲線在（a，b）上為 凹 ，用符號“ ” 表示
（2）若對于x（a，b）時，，則曲線在（a，b）上為 凸 ，用符號“ ” 表示
6、曲線拐點：
設f（x）在x0的某個鄰域內二階可導，且 0 ，若x0兩側 改變 符號，則 （x0，f（x0）） 為曲線的拐點
19、曲線的漸近線：
（1）水平漸近線：如果函數(shù)y=f（x）的定義域是無窮區(qū)間，且，則y= b
（2）垂直漸近線：如果函數(shù)y=f（x）在x=x0處間斷，且，則x=
x0
（3）斜漸近線：如果函數(shù)y=f（x）定義在無窮區(qū)間，且，，則y= ax+b
20、經濟學與導數(shù)：
（1）利潤：L（Q）= R（Q）-C(Q)
（2）邊際利潤：
（3）函數(shù)彈性：
（4）需求彈性（供給函數(shù)）：
注：
⑴當|η| < 1時，為低彈性，此時需求變動幅度 小于 價格變動幅度。且 > 0，收益R（p）單調 遞增 ，即價格隨總收益的增加而增加
⑵當|η| > 1時，為高彈性，此時需求變動幅度 大于 價格變動幅度。且 < 0，收益R（p）單調 遞減 ，即價格隨總收益的增加而減少
①當|η| = 1時，為單位彈性，此時需求變動幅度 等于 價格變動幅度。且 = 0，收益R（p）取得 最大值
四、微分：
1、定義：dy=
2、基本公式：
（1）d（c）= 0
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
（14）
（15）
（16）
3、四則混合
都有微分
（1）
（2）
（3）
（4）
5、應用：
（1）計算函數(shù)改變量的近似值：△y≈dy=
（2）計算函數(shù)值的近似值：f（x0+△x）≈ f（x0）+
（3）當x0=0時，|x|很小時，有f（x）≈ f（0）+
注：|△x|相對于x0很?。ㄔ叫≡胶茫?
推論：
⑴
⑵ex≈ 1+x
⑶In（1+x）≈ x
⑷sinx≈ x （x用弧度制表示）
⑸tanx≈ x （x用弧度制表示）
五、不定積分：
1、定義：
2、基本公式：
（1）
（2） （k為常數(shù)）
（3）
（4）
（5） （a>0且a≠1）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
（14）
（15）
（16）
（17）
（18）
（19） （a>0）
（20） （a≠0）
（21） （a≠0）
（22） （a>0）
3、性質：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5） （k≠0）
（6）
4、換元積分法：
（1）第一類換元積分法（湊微分法）：= F[（x）]+C
（2）常見形式：
⑴ （a≠0）
⑵ （a≠0）
⑶ （a≠0）
⑷
⑸
⑹
⑺
⑻
⑼
⑽
⑾
⑿
（3）第二類換元積分法：
（4）無理代換（根式代換）：
⑴當被積函數(shù)中含時，令x= tn （t>0）
⑵當被積函數(shù)中含和時，令x=tp（t>0），p是m和n的 最小公倍數(shù)
⑶當被積函數(shù)中含（a、b為常數(shù)且a≠0）時，令ax+b= tn （t>0）
（5）三角代換：
⑴若被不定積分f（x）含時，令x= |a|sint
⑵若被不定積分f（x）含時，令x= |a|sect
⑶若被不定積分f（x）含時，令x= |a|tant
注：并且需要回代
⑴ ⑵ ⑶
（6）分部積分法： 或
六、基本積分表：
1、含有a+bx的積分：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
2、含有的積分：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
3、含有的積分：
（1）
（2）
（3） （|x|a）
4、含有abx2的積分：
（1）
（2） （a>0，b>0）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
5、含有的積分：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
6、含有的積分：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
（14）
7、含有的積分：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
（14）
（15）
8、含有的積分：
（1）
（2）
9、含有的積分：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
10、含有的積分：
（1）
（2）
（3）
（4）
11、含有三角函數(shù)的積分：一部分見上
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
=
（10）
（11）
（12）
（13）
（14）
（15）
（16）
（17）
（18）
12、含有反三角函數(shù)的積分：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
13、含有指數(shù)函數(shù)的積分：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
14、含有對數(shù)函數(shù)的積分：
（1）
（2）
（3）
（4）
七、定積分：
1、定義：
2、上下限交換：
3、上下限相等（即a=b）：= 0
4、性質：
設f（x）、g（x）在[a，b]上可積，
（1） k （k為常數(shù)）
注：
① b-a
② k（b-a）
（2）
（3）積分區(qū)間的可加性： +
（4）傳遞性： （在[a，b]上f（x）≤g（x））
注：
①當f（x）≥0時，則≥ 0
②當|f（x）|可積時，≤
（5）估值性：n（b-a） ≤≤ m（b-a） （m和n分別是f（x）在[a，b]上的最大值和最小值）
（6）中值性：= f（ξ）（b-a） （a≤ξ≤b）
（7）均值性：=
5、計算方法：
1、微積分基本定理（牛頓-萊布尼茲公式）：= = F（b）-F（a） （F（x）是f（x）的原函數(shù)）
2、換元積分法：= （，）
3、分部積分法： = - 或= -
4、函數(shù)的奇偶性簡化：
（1）奇：= 0
（2）偶：= 2
6、應用：
（1）面積：
⑴上下曲，左右直： （a
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