同濟(jì)第六版高數(shù)答案(高等數(shù)學(xué)課后習(xí)題解答).

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. 習(xí)題3-3 1. 按(x-4)的冪展開多項(xiàng)式x4-5x3+x2-3x+4. 解 設(shè)f(x)=x4-5x3+x2-3x+4. 因?yàn)? f(4)=-56, f (4)=(4x3-15x2+2x-3)|x=4=21, f (4)=(12x2-30x+2)|x=4=74, f (4)=(24x-30)|x=4=66, f (4)(4)=24, 所以 =-56+21(x-4)+37(x-4)2+11(x-4)3+(x-4)4. 2. 應(yīng)用麥克勞林公式, 按x冪展開函數(shù)f(x)=(x2-3x+1)3. 解 因?yàn)? f (x)=3(x2-3x+1)2(2x-3), f (x)=6(x2-3x+1)(2x-3)2+6(x2-3x+1)2=30(x2-3x+1)(x2-3x+2), f (x)=30(2x-3)(x2-3x+2)+30(x2-3x+1)(2x-3)=30(2x-3)(2x2-6x+3), f (4)(x)=60(2x2-6x+3)+30(2x-3)(4x-6)=360(x2-3x+2), f (5)(x)=360(2x-3), f (6)(x)=720; f(0)=1, f (0)=-9, f (0)=60, f (0)=-270, f (4)(0)=720, f (5)(0)=-1080, f (6)(0)=720, 所以 =1-9x+30x3-45x3+30x4-9x5+x6. 3. 求函數(shù)按(x-4)的冪展開的帶有拉格朗日型余項(xiàng)的3階泰勒公式. 解 因?yàn)? , , , , , 所以 (00); (3); (4); (5) y=(x-1)(x+1)3; (6); (7) y=xne-x (n>0, x0); (8)y=x+|sin 2x|. 解 (1) y=6x2-12x-18=6(x-3)(x+1)=0, 令y=0得駐點(diǎn)x1=-1, x2=3. 列表得 x (-, -1) -1 (-1, 3) 3 (3, +) y + 0 - 0 + y ↗ ↘ ↗ 可見函數(shù)在(-, -1]和[3, +)內(nèi)單調(diào)增加, 在[-1, 3]內(nèi)單調(diào)減少. (2) ,令y=0得駐點(diǎn)x1=2, x2=-2(舍去). 因?yàn)楫?dāng)x>2時(shí), y>0; 當(dāng)00, 所以函數(shù)在內(nèi)單調(diào)減少, 在內(nèi)單調(diào)增加. (6), 駐點(diǎn)為, 不可導(dǎo)點(diǎn)為, x3=a . 列表得 x a (a, +) y + 不存在 + 0 - 不存在 + y ↗ ↗ ↘ ↗ 可見函數(shù)在, , (a, +)內(nèi)單調(diào)增加, 在內(nèi)單調(diào)減少. (7)y=e-xxn-1(n-x), 駐點(diǎn)為x=n. 因?yàn)楫?dāng)00; 當(dāng)x>n時(shí), y<0, 所以函數(shù)在[0, n]上單調(diào)增加, 在[n, +)內(nèi)單調(diào)減少. (8)(k=0, 1, 2, ), (k=0, 1, 2, ). y是以p為周期的函數(shù), 在[0, p]內(nèi)令y=0, 得駐點(diǎn), , 不可導(dǎo)點(diǎn)為. 列表得 x y + 0 - 不存在 + 0 - y ↗ ↘ ↗ ↘ 根據(jù)函數(shù)在[0, p]上的單調(diào)性及y在(-, +)的周期性可知函數(shù)在上單調(diào)增加, 在上單調(diào)減少(k=0, 1, 2, ). 4. 證明下列不等式: (1)當(dāng)x>0時(shí), ; (2)當(dāng)x>0時(shí), ; (3)當(dāng)時(shí), sin x+tan x>2x; (4)當(dāng)時(shí), ; (5)當(dāng)x>4時(shí), 2x>x2; 證明 (1)設(shè), 則f (x)在[0, +)內(nèi)是連續(xù)的. 因?yàn)? , 所以f (x)在(0, +)內(nèi)是單調(diào)增加的, 從而當(dāng)x>0時(shí)f (x)>f (0)=0, 即 , 也就是 . (2)設(shè), 則f (x)在[0, +)內(nèi)是連續(xù)的. 因?yàn)? , 所以f (x)在(0, +)內(nèi)是單調(diào)增加的, 從而當(dāng)x>0時(shí)f(x)>f(0)=0, 即 , 也就是 . (3)設(shè)f(x)=sin x+tan x-2x, 則f(x)在內(nèi)連續(xù), f (x)=cos x+sec2x-2. 因?yàn)樵趦?nèi)cos x-1<0, cos2x-1<0, -cos x<0, 所以f (x)>0, 從而f(x)在內(nèi)單調(diào)增加, 因此當(dāng)時(shí), f(x)>f(0)=0, 即 sin x+tan x-2x>0, 也就是 sin x+tan x>2x. (4)設(shè), 則f(x)在內(nèi)連續(xù), . 因?yàn)楫?dāng)時(shí), tan x>x, tan x+x>0, 所以f (x)在內(nèi)單調(diào)增加, 因此當(dāng)時(shí), f(x)>f(0)=0, 即 , 也就是 . (5)設(shè)f(x)=x ln2-2ln x, 則f (x)在[4, +)內(nèi)連續(xù), 因?yàn)? , 所以當(dāng)x>4時(shí), f (x)>0, 即f(x)內(nèi)單調(diào)增加. 因此當(dāng)x>4時(shí), f(x)>f(4)=0, 即x ln2-2ln x>0, 也就是2x>x2. 5. 討論方程ln x=ax (其中a>0)有幾個(gè)實(shí)根？ 解 設(shè)f(x)=ln x-ax. 則f(x)在(0, +)內(nèi)連續(xù), , 駐點(diǎn)為. 因?yàn)楫?dāng)時(shí), f (x)>0, 所以f(x)在內(nèi)單調(diào)增加; 當(dāng)時(shí), f (x)<0, 所以f(x)在內(nèi)單調(diào)減少. 又因?yàn)楫?dāng)x0及x+時(shí), f(x)-, 所以如果, 即, 則方程有且僅有兩個(gè)實(shí)根; 如果, 即, 則方程沒有實(shí)根. 如果, 即, 則方程僅有一個(gè)實(shí)根. 6. 單調(diào)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是否必為單調(diào)函數(shù)？研究下面這個(gè)例子: f(x)=x+sin x . 解 單調(diào)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)不一定為單調(diào)函數(shù). 例如f(x)=x+sin x在(-,+)內(nèi)是單調(diào)增加的, 但其導(dǎo)數(shù)不是單調(diào)函數(shù). 事實(shí)上, f (x)=1+cos x0, 這就明f(x)在(-, +)內(nèi)是單調(diào)增加的. f (x)=-sin x在(-, +)內(nèi)不保持確定的符號(hào), 故f (x)在(-, +)內(nèi)不是單調(diào)的. 7. 判定下列曲線的凹凸性: (1) y=4x-x2 ; (2) y=sh x; (3)(x>0); (4) y=x arctan x ; 解 (1)y=4-2x, y=-2, 因?yàn)閥<0, 所以曲線在(-, +)內(nèi)是凸的. (2)y=ch x, y=sh x. 令y=0, 得x=0. 因?yàn)楫?dāng)x<0時(shí), y=sh x<0; 當(dāng)x>0時(shí), y=sh x>0, 所以曲線在(-, 0]內(nèi)是凸的, 在[0, +)內(nèi)是凹的. (3), . 因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí), y>0, 所以曲線在(0, +)內(nèi)是凹的. (4),. 因?yàn)樵?-, +)內(nèi), y>0, 所以曲線y=xarctg x在(-, +)內(nèi)是凹的. 8. 求下列函數(shù)圖形的拐點(diǎn)及凹或凸的區(qū)間: (1).y=x3-5x2+3x+5 ; (2) y=xe-x ; (3) y=(x+1)4+ex ; (4) y=ln(x2+1); (5) y=earctan x ; (6) y=x4(12ln x-7), 解 (1)y=3x2-10x+3, y=6x-10. 令y=0, 得. 因?yàn)楫?dāng)時(shí), y<0; 當(dāng)時(shí), y>0, 所以曲線在內(nèi)是凸的, 在內(nèi)是凹的, 拐點(diǎn)為. (2)y=e-x-xe-x, y=-e-x-e-x+xe-x=e-x(x-2). 令y=0, 得x=2. 因?yàn)楫?dāng)x<2時(shí), y<0; 當(dāng)x>2時(shí), y>0, 所以曲線在(-, 2]內(nèi)是凸的, 在[2, +)內(nèi)是凹的, 拐點(diǎn)為(2, 2e-2). (3)y=4(x+1)3+ex, y=12(x+1)2+ex . 因?yàn)樵?-, +)內(nèi), y>0, 所以曲線y=(x+1)4+ex的在(-, +)內(nèi)是凹的, 無拐點(diǎn). (4), . 令y=0, 得x1=-1, x2=1. 列表得 x (-, -1) -1 (-1, 1) 1 (1, +) y - 0 + 0 - y ln2 拐點(diǎn) ln2 拐點(diǎn) 可見曲線在(-, -1]和[1, +)內(nèi)是凸的, 在[-1, 1]內(nèi)是凹的, 拐點(diǎn)為(-1, ln2)和(1, ln2). (5),. 令y=0得, . 因?yàn)楫?dāng)時(shí), y>0; 當(dāng)時(shí), y<0, 所以曲線y=earctg x在內(nèi)是凹的, 在內(nèi)是凸的, 拐點(diǎn)是. (6) y=4x3(12ln x-7)+12x3, y=144x2ln x. 令y=0, 得x=1. 因?yàn)楫?dāng)01時(shí), y>0, 所以曲線在(0, 1]內(nèi)是凸的, 在[1, +)內(nèi)是凹的, 拐點(diǎn)為(1, -7). 9. 利用函數(shù)圖形的凹凸性, 證明下列不等式: (1) (x>0, y>0, xy, n>1); (2); (3) (x>0, y>0, xy). 證明 (1)設(shè)f(t)=tn, 則f (t)=ntn-1, f (t)=n(n-1)t n-2. 因?yàn)楫?dāng)t>0時(shí), f (t)>0, 所以曲線f(t)=t n在區(qū)間(0, +)內(nèi)是凹的. 由定義, 對(duì)任意的x>0, y>0, xy有 , 即 . (2)設(shè)f(t)=et, 則f (t)=et, f (t)=et . 因?yàn)閒 (t)>0, 所以曲線f(t)=et在(-, +)內(nèi)是凹的. 由定義, 對(duì)任意的x, y(-, +), xy有 , 即 . (3)設(shè)f(t)=t ln t , 則 f (t)=ln t+1, . 因?yàn)楫?dāng)t>0時(shí), f (t)>0, 所以函數(shù)f(t)=t ln t 的圖形在(0, +)內(nèi)是凹的. 由定義, 對(duì)任意的x>0, y>0, xy 有 , 即 . 10. 試證明曲線有三個(gè)拐點(diǎn)位于同一直線上. 證明 , . 令y=0, 得x1=-1, , . 例表得 x (-. -1) -1 y - 0 + 0 - 0 + y -1 可見拐點(diǎn)為(-1, -1), , . 因?yàn)? , , 所以這三個(gè)拐點(diǎn)在一條直線上. 11. 問a、b為何值時(shí), 點(diǎn)(1, 3)為曲線y=ax3+bx2的拐點(diǎn)？ 解 y=3ax2+2bx, y=6ax+2b. 要使(1, 3)成為曲線y=ax3+bx2的拐點(diǎn), 必須y(1)=3且y(1)=0, 即a+b=3且6a +2b=0, 解此方程組得, . 12. 試決定曲線y=ax3+bx2+cx+d 中的a、b、c、d, 使得x=-2處曲線有水平切線, (1, -10)為拐點(diǎn), 且點(diǎn)(-2, 44)在曲線上. 解 y=3ax2+2bx+c, y=6ax+2b . 依條件有 , 即. 解之得a=1, b=-3, c=-24, d=16. 13. 試決定y=k(x2-3)2中k的值, 使曲線的拐點(diǎn)處的法線通過原點(diǎn). 解y=4kx3-12kx, y=12k(x-1)(x+1). 令y=0, 得x1=-1, x2=1. 因?yàn)樵趚1=-1的兩側(cè)y是異號(hào)的, 又當(dāng)x=-1時(shí)y=4k, 所以點(diǎn)(-1, 4k)是拐點(diǎn). 因?yàn)閥(-1)=8k, 所以過拐點(diǎn)(-1, 4k)的法線方程為. 要使法線過原點(diǎn), 則(0, 0)應(yīng)滿足法線方程, 即, . 同理, 因?yàn)樵趚1=1的兩側(cè)y是異號(hào)的, 又當(dāng)x=1時(shí)y=4k, 所以點(diǎn)(1, 4k)也是拐點(diǎn). 因?yàn)閥(1)=-8k, 所以過拐點(diǎn)(-1, 4k)的法線方程為. 要使法線過原點(diǎn), 則(0, 0)應(yīng)滿足法線方程, 即, . 因此當(dāng)時(shí), 該曲線的拐點(diǎn)處的法線通過原點(diǎn). 14. 設(shè)y=f(x)在x=x0的某鄰域內(nèi)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù), 如果f (x 0)=0, 而f (x0)0, 試問 (x0, f(x0))是否為拐點(diǎn)？為什么？ 解 不妨設(shè)f (x0)>0. 由f (x)的連續(xù)性, 存在x0的某一鄰域(x0-d, x0+d), 在此鄰域內(nèi)有f (x)>0. 由拉格朗日中值定理, 有 f (x)-f (x0)=f (x)(x-x0) (x介于x0與x之間), 即 f (x)=f (x)(x-x0). 因?yàn)楫?dāng)x0-d0, 所以(x0, f(x0))是拐點(diǎn). 習(xí)題3-5 1. 求函數(shù)的極值: (1) y=2x3-6x2-18x+7; (2) y=x-ln(1+x) ; (3) y=-x4+2x2 ; (4); (5); (6); (7) y=ex cos x ; (8); (9); (10) y=x+tan x . 解 (1)函數(shù)的定義為(-, +), y=6x2-12x-18=6(x2-2x-3)=6(x-3)(x+1), 駐點(diǎn)為x1=-1, x2=3. 列表 x (-, -1) -1 (-1, 3) 3 (3, +) y + 0 - 0 + y ↗ 17極大值 ↘ -47極小值 ↗ 可見函數(shù)在x=-1處取得極大值17, 在x=3處取得極小值-47. (2)函數(shù)的定義為(-1, +), , 駐點(diǎn)為x=0. 因?yàn)楫?dāng)-10時(shí), y>0, 所以函數(shù)在x=0處取得極小值, 極小值為y(0)=0. (3)函數(shù)的定義為(-, +), y=-4x3+4x=-4x(x2-1), y=-12x2+4, 令y=0, 得x1=0, x2=-1, x3=1. 因?yàn)閥(0)=4>0, y(-1)=-8<0, y(1)=-8<0, 所以y(0)=0是函數(shù)的極小值, y(-1)=1和y(1)=1是函數(shù)的極大值. (4)函數(shù)的定義域?yàn)?-, 1], , 令y=0, 得駐點(diǎn). 因?yàn)楫?dāng)時(shí), y>0; 當(dāng)時(shí), y<0, 所以為函數(shù)的極大值. (5)函數(shù)的定義為(-, +), , 駐點(diǎn)為. 因?yàn)楫?dāng)時(shí), y>0; 當(dāng)時(shí), y<0, 所以函數(shù)在處取得極大值, 極大值為. (6)函數(shù)的定義為(-, +), , 駐點(diǎn)為x1=0, x2=-2. 列表 x (-, -2) -2 (-2, 0) 0 (0, +) y - 0 + 0 - y ↘ 極小值 ↗ 4極大值 ↘ 可見函數(shù)在x=-2處取得極小值, 在x=0處取得極大值4. (7)函數(shù)的定義域?yàn)?-, +). y=e x(cos x-sin x ), y=-e xsin x. 令y=0, 得駐點(diǎn), , (k=0, 1, 2, ). 因?yàn)? 所以是函數(shù)的極大值. 因?yàn)閥, 所以是函數(shù)的極小值. (8)函數(shù)的定義域?yàn)?0, +), . 令y=0, 得駐點(diǎn)x=e . 因?yàn)楫?dāng)x0; 當(dāng)x>e時(shí), y<0, 所以為函數(shù)f(x)的極大值. (9)函數(shù)的定義域?yàn)?-, +), , 因?yàn)閥<0, 所以函數(shù)在(-, +)是單調(diào) 減少的, 無極值. (10)函數(shù)y=x+tg x 的定義域?yàn)?k=0, 1, 2, ). 因?yàn)閥=1+sec 2x >0, 所以函數(shù)f(x)無極值. 2. 試證明: 如果函數(shù)y=ax3+bx2+cx +d 滿足條件b2 -3ac<0, 那么這函數(shù)沒有極值 . 證明y=3a x2+2b x+c. 由b2 -3ac<0, 知a0. 于是配方得到 y=3a x2+2b x+c, 因3ac-b2>0, 所以當(dāng)a>0時(shí), y>0; 當(dāng)a<0時(shí), y<0. 因此y=ax3+bx2+cx +d是單調(diào)函數(shù), 沒有極值. 3. 試問a為何值時(shí), 函數(shù)在處取得極值？它是極大值還是極小值？并求此極值. 解 f (x)=acos x+cos 3x, f (x)=-asin x-3 sin x. 要使函數(shù)f(x)在處取得極值, 必有, 即, a=2 . 當(dāng)a=2時(shí), . 因此, 當(dāng)a=2時(shí), 函數(shù)f (x)在處取得極值, 而且取得極大值, 極大值為. 4. 求下列函數(shù)的最大值、最小值: (1) y=2x3-3x2 , -1x4; (2) y=x4-8x2+2, -1x3 ; (3), -5x1. 解 (1)y=6x2-6x=6x(x-1), 令y=0, 得x1=0, x2=1. 計(jì)算函數(shù)值得 y(-1)=-5, y(0)=0, y(1)=-1, y(4)=80, 經(jīng)比較得出函數(shù)的最小值為y(-1)=-5, 最大值為y(4)=80. (2)y=4x3-16x=4x(x2-4), 令y=0, 得x1=0, x2=-2(舍去), x 3=2. 計(jì)算函數(shù)值得 y(-1)=-5, y(0)=2, y(2)=-14, y(3)=11, 經(jīng)比較得出函數(shù)的最小值為y(2)=-14, 最大值為y(3)=11. (3), 令y=0, 得. 計(jì)算函數(shù)值得 , , y(1)=1, 經(jīng)比較得出函數(shù)的最小值為, 最大值為. 5. 問函數(shù)y=2x3-6x2-18x-7(1x4)在何處取得最大值？并求出它的最大值. 解 y=6x2-12x-18=6(x-3)(x+1), 函數(shù)f(x)在1x4內(nèi)的駐點(diǎn)為x=3. 比較函數(shù)值: f(1)=-29, f(3)=-61, f(4)=-47, 函數(shù)f(x)在x=1處取得最大值, 最大值為f (1)=-29. 6. 問函數(shù)(x<0)在何處取得最小值？ 解 , 在(-, 0)的駐點(diǎn)為x=-3. 因?yàn)? , , 所以函數(shù)在x=-3處取得極小值. 又因?yàn)轳v點(diǎn)只有一個(gè), 所以這個(gè)極小值也就是最小值, 即函數(shù)在x=-3處取得最小值, 最小值為. 7. 問函數(shù)(x0)在何處取得最大值？ 解 . 函數(shù)在(0, +)內(nèi)的駐點(diǎn)為x=1. 因?yàn)楫?dāng)00; 當(dāng)x>1時(shí)y<0, 所以函數(shù)在x=1處取得極大值. 又因?yàn)楹瘮?shù)在 (0, +)內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn), 所以此極大值也是函數(shù)的最大值, 即函數(shù)在x=1處取得最大值, 最大值為f (1)=. 8. 某車間靠墻壁要蓋一間長(zhǎng)方形小屋, 現(xiàn)有存磚只夠砌20cm長(zhǎng)的墻壁, 問應(yīng)圍成怎樣的長(zhǎng)方形才能使這間小屋的面積最大？ 解 設(shè)寬為x長(zhǎng)為y, 則2x+y=20, y=20-2x, 于是面積為 S= xy=x(20-2x)=20x-2x2. S =20-4x=4(10-x), S =-4. 令S =0, 得唯一駐點(diǎn)x=10. 因?yàn)镾 (10)-4<0, 所以x=10為極大值點(diǎn), 從而也是最大值點(diǎn). 當(dāng)寬為5米, 長(zhǎng)為10米時(shí)這間小屋面積最大. 9. 要造一圓柱形油罐, 體積為V, 問底半徑r和高h(yuǎn)等于多少時(shí), 才能使表面積最??？這時(shí)底直徑與高的比是多少？ 解 由V=p r2h, 得h=Vp-1r-2. 于是油罐表面積為 S=2p r2+2p rh(01000時(shí), , . 令R=0得(1000, +)內(nèi)唯一駐點(diǎn)x=1800. 因?yàn)? 所以1800為極大值點(diǎn), 同時(shí)也是最大值點(diǎn). 最大值為R=57800. 因此, 房租定為1800元可獲最大收入. 習(xí)題3-6 描繪下列函數(shù)的圖形: 1. ; 解 (1)定義域?yàn)?-, +); (2), , 令y=0, 得x=-2, x=1; 令y=0, 得x=-1, x=1. (3)列表 x (-, -2) -2 (-2, -1) -1 (-1, 1) 1 (1, +) y - 0 + + + 0 + y + + + 0 - 0 + y=f(x) ↘ 極小值 ↗ 拐點(diǎn) ↗ 2 拐點(diǎn) ↗ (4)作圖: 2. ; 解 (1)定義域?yàn)?-, +); (2)奇函數(shù), 圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱, 故可選討論x0時(shí)函數(shù)的圖形. (3), , 當(dāng)x0時(shí), 令y=0, 得x=1; 令y=0, 得x=0, . (4)列表 x 0 (0, 1) 1 (1, ) (, +) y + + 0 - - - y 0 - - - 0 + y=f(x) 0 拐點(diǎn) ↗ 極大值 ↘ 拐點(diǎn) ↘ (5)有水平漸近線y=0; (6)作圖: 3. ; 解 (1)定義域?yàn)?-, +); (2), 令y=0, 得x=1; 令y=0, 得, . (3)列表 x 1 y + + + 0 - - - y + 0 - - - 0 + y=f(x) ↗ 拐點(diǎn) ↗ 1 極大值 ↘ 拐點(diǎn) ↘ (4)有水平漸近線y=0; (5)作圖: 4. ; 解 (1)定義域?yàn)?-, 0)(0, +); (2), , 令y=0, 得; 令y=0, 得x=-1. (3)列表 x (-, -1) -1 (-1, 0) 0 y - - - 無 - 0 + y + 0 - 無 + + + y=f(x) ↘ 0 拐點(diǎn) ↘ 無 ↘ 極小值 ↗ (4)有鉛直漸近線x=0; (5)作圖: 5. . 解 (1)定義域?yàn)?n=0, 1, 2, ) (2)是偶函數(shù), 周期為2 p . 可先作[0, p]上的圖形, 再根據(jù)對(duì)稱性作出[-p, 0)內(nèi)的圖形, 最后根據(jù)周期性作出[-p, p]以外的圖形; (3), , 在[0, p]上, 令y=0, 得x=0, x=p ; 令y=0, 得. (4)列表 x 0 p y 0 + 無 + + + 無 + 0 y + + 無 - 0 + 無 - - y=f(x) 1 極小值 ↗ 無 ↗ 0 拐點(diǎn) ↗ 無 ↗ -1 極大值 (5)有鉛直漸近線及; (6)作圖: 習(xí)題3-7 1. 求橢圓4x2+y2=4在點(diǎn)(0, 2)處的曲率. 解 兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)得 8x+2yy=0, , . y|(0, 2)=0, y|(0, 2)=-2. 所求曲率為 . 2. 求曲線y=lnsec x在點(diǎn)(x, y)處的曲率及曲率半徑. 解 , . 所求曲率為 , 曲率半徑為 . 3. 求拋物線y=x2-4x+3在其頂點(diǎn)處的曲率及曲率半徑. 解 y=2x-4, y=2. 令y=0, 得頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=2. y|x=2=0, y|x=2=2. 所求曲率為 , 曲率半徑為 . 4. 求曲線x=a cos3t, y=a sin 3t在t=t0處的曲率. 解 , . 所求曲率為 , . 5. 對(duì)數(shù)曲線y=ln x上哪一點(diǎn)處的曲率半徑最??？求出該點(diǎn)處的曲率半徑. 解 , . , , . 令r=0, 得. 因?yàn)楫?dāng)時(shí), r<0; 當(dāng)時(shí), r>0, 所以是r的極小值點(diǎn), 同時(shí)也最小值點(diǎn). 當(dāng)時(shí), . 因此在曲線上點(diǎn)處曲率半徑最小, 最小曲率半徑為. 6. 證明曲線在點(diǎn)(x, y)處的曲率半徑為. 解 , . 在點(diǎn)(x, y)處的曲率半徑為 . 7. 一飛機(jī)沿拋物線路徑(y軸鉛直向上, 單位為m)作俯沖飛行, 在坐標(biāo)原點(diǎn)O處飛機(jī)的速度為v=200m/s飛行員體重G=70Kg. 求飛機(jī)俯沖至最低點(diǎn)即原點(diǎn)O處時(shí)座椅對(duì)飛行員的反力. 解 , ; y|x=0=0, . . 向心力(牛頓). 飛行員離心力及它本身的重量對(duì)座椅的壓力為 799.8+560=1246(牛頓). 8. 汽車連同載重共5t, 在拋物線拱橋上行駛, 速度為21.6km/h, 橋的跨度為10m, 拱的矢高為0.25m . 求汽車越過橋頂時(shí)對(duì)橋的壓力. 解 如圖取直角坐標(biāo)系, 設(shè)拋物線拱橋方程為y=ax2, 由于拋物線過點(diǎn)(5, 0.25), 代入方程得 , 于是拋物線方程為y=0. 01x2. y=0.02x, y=0.02. . 向心力為(牛頓). 因?yàn)槠囍貫?噸, 所以汽車越過橋頂時(shí)對(duì)橋的壓力為 51039.8-3600=45400(牛頓). *9. 求曲線y=ln x在與x軸交點(diǎn)處的曲率圓方程. *10. 求曲線y=tan x在點(diǎn)處的曲率圓方程. *11. 求拋物線y2=2px的漸屈線方程. 總習(xí)題三 1. 填空: 設(shè)常數(shù)k>0, 函數(shù)在(0, +)內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為________. 解 應(yīng)填寫2. 提示: , . 在(0, +)內(nèi), 令f (x)=0, 得唯一駐點(diǎn)x=e . 因?yàn)閒 (x)<0, 所以曲線在(0, +)內(nèi)是凸的, 且駐點(diǎn)x=e一定是最大值點(diǎn), 最大值為f(e)=k>0. 又因?yàn)? , 所以曲線經(jīng)過x軸兩次, 即零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2. 2. 選擇以下題中給出的四個(gè)結(jié)論中一個(gè)正確的結(jié)論: 設(shè)在[0, 1]上f (x)>0, 則f (0), f (1), f(1)-f(0)或f(0)-f(1)幾個(gè)數(shù)的大小順序?yàn)? ). (A)f (1)>f (0)>f(1)-f(0); (B)f (1)>f(1)-f(0)>f (0); (C)f(1)-f(0)>f (1)>f (0); (D)f (1)>f(0)-f(1)>f (0). 解 選擇B . 提示: 因?yàn)閒 (x)>0, 所以f (x)在[0, 1]上單調(diào)增加, 從而f (1)>f (x)>f (0). 又由拉格朗日中值定理, 有f(1)-f(0)=f (x), x[0, 1], 所以 f (1)> f(1)-f(0)>f (0). 3. 列舉一個(gè)函數(shù)f(x)滿足: f(x)在[a, b]上連續(xù), 在(a,b)內(nèi)除某一點(diǎn)外處處可導(dǎo), 但在(a, b)內(nèi)不存在點(diǎn)x , 使f(b)-f(a)=f (x)(b-a). 解 取f(x)=|x|, x[-1, 1]. 易知f(x)在[-1, 1]上連續(xù), 且當(dāng)x>0時(shí)f (x)=1; 當(dāng)x>0時(shí), f (x)=-1; f (0)不存在, 即f(x)在[-1, 1]上除x=0外處處可導(dǎo). 注意f(1)-f(-1)=0, 所以要使f(1)-f(-1)=f (x)(1-(-1))成立, 即f (x)=0, 是不可能的. 因此在(-1, 1)內(nèi)不存在點(diǎn)x , 使f(1)-f(-1)=f (x)(1-(-1)). 4. 設(shè), 求. 解 根據(jù)拉格朗日中值公式, f(x+a)-f (x)=f (x )a, x 介于x+a 與x之間. 當(dāng)x 時(shí), x , 于是 . 5. 證明多項(xiàng)式f (x)=x3-3x+a在[0, 1]上不可能有兩個(gè)零點(diǎn). 證明 f (x)=3x2-3=3(x2-1), 因?yàn)楫?dāng)x(0, 1)時(shí), f (x)<0, 所以f (x)在[0, 1]上單調(diào)減少. 因此, f(x) 在[0, 1]上至多有一個(gè)零點(diǎn). 6. 設(shè)=0, 證明多項(xiàng)式f(x)=a0+a1x+ +anxn在(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn). 證明 設(shè), 則F(x)在[0, 1]上連續(xù), 在(0, 1)內(nèi)可導(dǎo), 且 F(0)=F(1)=0. 由羅爾定理, 在(0, 1)內(nèi)至少有一個(gè)點(diǎn)x , 使F(x )=0. 而F (x)=f(x), 所以f(x)在(0, 1)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn). 7. 設(shè)f(x)在[0, a]上連續(xù), 在(0, a)內(nèi)可導(dǎo), 且f(a)=0, 證明存在一點(diǎn)x(0, a), 使 f(x)+xf (x)=0. 證明 設(shè)F(x)=xf(x), 則F(x)在[0, a ]上連續(xù), 在(0, a )內(nèi)可導(dǎo), 且F(0)=F(a)=0. 由羅爾定理, 在(0, a )內(nèi)至少有一個(gè)點(diǎn)x , 使F(x )=0. 而F(x)=f(x)+x f (x), 所以f(x)+xf (x)=0. 8. 設(shè)0a時(shí), |f(x)-f(a)|0, g(x)是單調(diào)增加的, 當(dāng)x>a時(shí), g(x)>g(a). 因?yàn)閒 (x)、g (x)都是可導(dǎo)函數(shù), 所以f (x)、g (x) 在[a, x]上連續(xù), 在(a, x)內(nèi)可導(dǎo), 根據(jù)柯西中值定理, 至少存在一點(diǎn)x(a, x), 使. 因此, , |f (x)-f (a)|0). 解 (1) (xx)=(ex l n x )=e x l n x (ln x+1)=xx (ln x+1). . (2) (3), 因?yàn)? , 所以 . (4)令. 則, 因?yàn)? =ln a1+ln a2+ +ln an=ln(a1a2 an). 即=ln(a1a2 an), 從而. 11. 證明下列不等式: (1)當(dāng)時(shí), ; (2):當(dāng)x>0時(shí), . 證明 (1)令, . 因?yàn)? 所以在內(nèi)f(x)為單調(diào)增加的. 因此當(dāng)時(shí)有] , 即. (2)要證(1+x)ln(1+x)>arctan x , 即證(1+x)ln(1+x)- arctan x >0. 設(shè)f(x)=(1+x)ln(1+x)- arctan x , 則f(x)在[0, +)上連續(xù),. 因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí), ln(1+x)>0, , 所以f (x)>0, f(x)在[0, +)上單調(diào)增加. 因此, 當(dāng)x>0時(shí), f(x)>f(0), 而f(0)=0, 從而f(x)>0, 即(1+x)ln(1+x)-arctan x>0 . 12. 設(shè), 求f(x)的極值. 解 x=0是函數(shù)的間斷點(diǎn). 當(dāng)x<0時(shí), f (x)=1; 當(dāng)x>0時(shí), f (x)=2x 2x (ln x +1). 令f (x)=0, 得函數(shù)的駐點(diǎn). 列表: x (-, 0) 0 f (x) + 不存在 - 0 + f(x) ↗ 2極大值 ↘ 極小值 ↗ 函數(shù)的極大值為f (0)=2, 極小值為. 13. 求橢圓x2-xy +y2=3上縱坐標(biāo)最大和最小的點(diǎn). 解 2x-y-xy+2yy=0, . 當(dāng)時(shí), y=0. 將代入橢圓方程, 得, y =2 . 于是得駐點(diǎn)x=-1, x=1. 因?yàn)闄E圓上縱坐標(biāo)最大和最小的點(diǎn)一定存在, 且在駐點(diǎn)處取得, 又當(dāng)x=-1時(shí), y =-2, 當(dāng)x=1時(shí), y=2, 所以縱坐標(biāo)最大和最小的點(diǎn)分別為(1, 2)和(-1, -2). 14. 求數(shù)列的最大項(xiàng). 解 令(x>0), 則 , , . 令f (x)=0, 得唯一駐點(diǎn)x=e . 因?yàn)楫?dāng)00; 當(dāng)x>e時(shí), f (x)<0, 所以唯一駐點(diǎn)x=e為最大值點(diǎn). 因此所求最大項(xiàng)為. 15. 曲線弧y=sin x (00, 所以是r的極小值點(diǎn), 同時(shí)也是r的最小值點(diǎn), 最小值為. 16. 證明方程x3-5x-2=0只有一個(gè)正根. 并求此正根的近似值, 使精確到本世紀(jì)末10-3. 解 設(shè)f (x)=x3-5x-2, 則 f (x)=3x2-5, f (x)=6x . 當(dāng)x>0時(shí), f (x)>0, 所以在(0, +)內(nèi)曲線是凹的, 又f(0)=-2, , 所以在(0, +)內(nèi)方程x3-5x-2=0只能有一個(gè)根. (求根的近似值略) 17. 設(shè)f (x0)存在, 證明. 證明