高一數(shù)學（人教A版）必修2能力強化提升：4-2-2 圓與圓的位置關(guān)系

一、選擇題1圓C1：x2y24x8y50與圓C2：x2y24x4y10的位置關(guān)系為()A相交 B外切C內(nèi)切 D外離答案C解析由已知，得C1(2，4)，r15，C2(2，2)，r23，則d|C1C2|2，d|r1r2|.兩圓內(nèi)切2圓x2y22x50和圓x2y22x4y40的交點為A、B，則線段AB的垂直平分線方程為()Axy10 B2xy10Cx2y10 Dxy10答案A解析直線AB的方程為：4x4y10，因此線段AB的垂直平分線斜率為1，過圓心(1,0)，方程為y(x1)，故選A.規(guī)律總結(jié)：兩圓相交時，公共弦的垂直平分線過兩圓的圓心，故連心線所在直線就是弦AB的垂直平分線3已知圓C1：(x1)2(y3)225，圓C2與圓C1關(guān)于點(2,1)對稱，則圓C2的方程是()A(x3)2(y5)225B(x5)2(y1)225C(x1)2(y4)225D(x3)2(y2)225答案B解析設C2上任一點P(x，y)，它關(guān)于(2,1)的對稱點(4x,2y)在C1上，(x5)2(y1)225.4兩圓x2y24x2y10與x2y24x4y10的公切線有()A1條 B2條C3條 D4條答案C解析r12，r23，d5，由于dr1r2所以兩圓外切，故公切線有3條，選C.5若圓(xa)2(yb)2b21始終平分圓(x1)2(y1)24的周長，則a、b應滿足的關(guān)系式是()Aa22a2b30Ba22a2b50Ca22b22a2b10D3a22b22a2b10答案B解析利用公共弦始終經(jīng)過圓(x1)2(y1)24的圓心即可求得兩圓的公共弦所在直線方程為：(2a2)x(2b2)ya210，它過圓心(1，1)，代入得a22a2b50.6兩圓x2y216與(x4)2(y3)2r2(r>0)在交點處的切線互相垂直，則R()A5 B4C3 D2答案C解析設一個交點P(x0，y0)，則xy16，(x04)2(y03)2r2，r2418x06y0，兩切線互相垂直，·1，3y04x016.r2412(3y04x0)9，r3.7(20122013·湖南長沙模擬)若圓(xa)2(ya)24上，總存在不同的兩點到原點的距離等于1，則實數(shù)a的取值范圍是()A.B.C.D.答案C解析圓(xa)2(ya)24的圓心C(a，a)，半徑r2，到原點的距離等于1的點的集合構(gòu)成一個圓，這個圓的圓心是原點O，半徑R1，則這兩個圓相交，圓心距d|a|，則|rR|<d<rR，則1<|a|<3，所以<|a|<，所以<a<或<a<.8已知A(x，y)|x2y21，B(x，y)|(x5)2(y5)24，則AB等于()A B(0,0)C(5,5) D(0,0)，(5,5)答案A解析集合A是圓O：x2y21上所有點組成的，集合B是圓C：(x5)2(y5)24上所有點組成的又O(0,0)，r11，C(5,5)，r22，|OC|5，|OC|>r1r23，圓O和圓C外離，無公共點，AB.二、填空題9圓C1：x2y212x2y130和圓C2：x2y212x16y250的公共弦所在的直線方程是_答案4x3y20解析兩圓的方程相減得公共弦所在的直線方程為4x3y20.10若點A(a，b)在圓x2y24上，則圓(xa)2y21與圓x2(yb)21的位置關(guān)系是_答案外切解析點A(a，b)在圓x2y24上，a2b24.又圓x2(yb)21的圓心C1(0，b)，半徑r11，圓(xa)2y21的圓心C2(a,0)，半徑r21，則d|C1C2|2，dr1r2.兩圓外切11與直線xy20和圓x2y212x12y540都相切的半徑最小的圓的標準方程是_答案(x2)2(y2)22解析已知圓的標準方程為(x6)2(y6)218，則過圓心(6,6)且與直線xy20垂直的方程為xy0.方程xy0分別與直線xy20和已知圓聯(lián)立得交點坐標分別為(1,1)和(3,3)或(3，3)由題意知所求圓在已知直線和已知圓之間，故所求圓的圓心為(2,2)，半徑為，即圓的標準方程為(x2)2(y2)22.12已知點P在圓x2y28x4y110上，點Q在圓x2y24x2y10上，則|PQ|的最小值是_答案35解析兩圓的圓心和半徑分別為C1(4,2)，r13，C2(2，1)，r22，d|C1C2|>r1r25.兩圓外離|PQ|min|C1C2|r1r233235.三、解答題13已知圓O：x2y225和圓C：x2y24x2y200相交于A，B兩點，求公共弦AB的長解析兩圓方程相減得弦AB所在的直線方程為4x2y50.圓x2y225的圓心到直線AB的距離d，公共弦AB的長為|AB|22.14求經(jīng)過兩圓x2y26x40和x2y26y280的交點且圓心在直線xy40上的圓的方程分析解析設所求圓的方程為x2y26x4(x2y26y28)0(1)，即(1)x2(1)y26x6y2840，故圓心為(，)，將橫縱坐標代入xy40得40，解之，得7，于是所求圓的方程為(17)x2(17)y26x42y1920，即x2y2x7y320.規(guī)律總結(jié)：本題也可利用以下方法求解：(1)求出公共弦所在直線方程，進而求出其垂直平方線方程，與直線xy40聯(lián)立，求出圓心坐標，然后求出半徑，可得圓的方程；(2)求出兩圓的交點坐標，因為交點在所求圓上，故可利用待定系數(shù)法求解15求以圓C1：x2y212x2y130和圓C2：x2y212x16y250的公共弦為直徑的圓C的方程解析方法一：聯(lián)立兩圓方程相減得公共弦所在直線方程為4x3y20.再由聯(lián)立得兩圓交點坐標(1,2)，(5，6)所求圓以公共弦為直徑，圓心C是公共弦的中點(2，2)，半徑為5.圓C的方程為(x2)2(y2)225.方法二：由方法一可知公共弦所在直線方程為4x3y20.設所求圓的方程為x2y212x2y13(x2y212x16y25)0(為參數(shù))可求得圓心C(，)圓心C在公共弦所在直線上，4·3·20，解得.圓C的方程為x2y24x4y170.16(09·江蘇文)在平面直角坐標系xOy中，已知圓C1：(x3)2(y1)24和圓C2：(x4)2(y5)24(1)若直線l過點A(4,0)，且被圓C1截得的弦長為2，求直線l的方程；(2)設P為平面上的點，滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l1和l2，它們分別與圓C1和圓C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點P的坐標解析(1)由于直線x4與圓C1不相交，所以直線l的斜率存在，設直線l的方程為yk(x4)，圓C1的圓心C1(3,1)到直線l的距離為d，因為直線l被圓C1截得的弦長為2，4()2d2，k(24k7)0，即k0或k，所以直線l的方程為y0或7x24y280(2)設點P(a，b)滿足條件，不妨設直線l1的方程為ybk(xa)，k0，則直線l2的方程為yb(xa)，因為C1和C2的半徑相等，及直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，所以圓C1的圓心到直線l1的距離和圓C2的圓心到直線l2的距離相等，即整理得：|13kakb|5k4abk|，13kakb5k4abk或13kakb5k4abk，即(ab2)kba3或(ab8)kab5.因為k的取值有無窮多個，所以，或，解得或這樣點P只可能是點P1或點P2.經(jīng)檢驗點P1和P2滿足題目條件