選修2-3 離散型隨機變量的概率分布列講義
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1、2.1離散型隨機變量及其分布列 知識梳理 知識點1:隨著試驗結果變化而變化的變量稱為隨機變量.隨機變量常用字母 X , Y,,,… 表示. 例如,在含有10件次品的100 件產品中,任意抽取4件,可能含有的次品件數(shù)X 將隨著抽取結果的變化而變化,是一個隨機變量,其值域是{0, 1, 2 , 3, 4 } . 利用隨機變量可以表達一些事件.例如{X=0}表示“抽出0件次品” , {X =4}表示“抽出4件次品”等.你能說出{X< 3 }在這里表示什么事件嗎?“抽出 3 件以上次品”又如何用 X 表示呢? 知識點2:所有取值可以一一列出的隨機變量,稱為離散型隨機變量. 離散型隨機變量的
2、例子很多.例如某人射擊一次可能命中的環(huán)數(shù) X 是一個離散型隨機變量,它的所有可能取值為0,1,…,10;某網頁在24小時內被瀏覽的次數(shù)Y也是一個離散型隨機變量,它的所有可能取值為0, 1,2,…. 注意:離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量的區(qū)別與聯(lián)系: 離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量都是用變量表示隨機試驗的結果;但是離散型隨機變量的結果可以按一定次序一一列出,而連續(xù)性隨機變量的結果不可以一一列出 注意:(1)有些隨機試驗的結果雖然不具有數(shù)量性質,但可以用數(shù)量來表達如投擲一枚硬幣,=0,表示正面向上,=1,表示反面向上 (2)若是隨機變量,是常數(shù),則也是隨機變量 知識點3: 分布
3、列 設離散型隨機變量ξ可能取得值為x1,x2,…,x3,…,ξ取每一個值xi(i=1,2,…)的概率為,則稱表 ξ x1 x2 … xi … P P1 P2 … Pi … 為隨機變量ξ的概率分布,簡稱ξ的分布列 . 知識點4: 分布列的兩個性質 任何隨機事件發(fā)生的概率都滿足:,并且不可能事件的概率為0,必然事件的概率為1.由此你可以得出離散型隨機變量的分布列都具有下面兩個性質: ⑴Pi≥0,i=1,2,…; ⑵P1+P2+…=1. 對于離散型隨機變量在某一范圍內取值的概率等于它取這個范圍內各個值的概率的和 即 . 知識點5:兩點分布列 在擲一
4、枚圖釘?shù)碾S機試驗中,令如果針尖向上的概率為,試寫出隨機變量 X 的分布列.根據分布列的性質,針尖向下的概率是() .于是,隨機變量 X 的分布列是 ξ 0 1 P 像上面這樣的分布列稱為兩點分布列. 兩點分布列的應用非常廣泛.如抽取的彩券是否中獎;買回的一件產品是否為正品;新生嬰兒的性別;投籃是否命中等,都可以用兩點分布列來研究.如果隨機變量X的分布列為兩點分布列,就稱X服從兩點分布,而稱=P (X = 1)為成功概率. 兩點分布又稱0一1分布.由于只有兩個可能結果的隨機試驗叫伯努利試驗,所以還稱這種分布為伯努利分布. , , ,. 知識點6:超
5、幾何分布列 一般地,在含有M 件次品的 N 件產品中,任取 n 件,其中恰有X件次品數(shù),則事件 {X=k}發(fā)生的概率為,其中,且. 稱分布列 X 0 1 … P … 為超幾何分布列.如果隨機變量 X 的分布列為超幾何分布列,則稱隨機變量 X 服從超幾何分布. 2.2條件概率與二項分布 知識梳理: 知識點1:設A和B為兩個事件,P(A)>0,那么,在已知事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率叫做條件概率. 用符號“”來表示,讀作A發(fā)生的條件下B的概率. 知識點2:我們把事件A和B同時發(fā)生所構成的事件D,稱為事件A與B的交(或積),記做. 一般的我們有條件
6、概率公式定義為 .() 條件概率的性質: (1)條件概率具有概率的性質,任何事件的條件概率都在0和1之間,即. (2)如果是B和C兩個互斥事件,則. 知識點3:相互獨立事件及其發(fā)生的概率 (1)定義:設A, B為兩個事件,如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 則稱事件A與事件B相互獨立.事件(或)是否發(fā)生對事件(或)發(fā)生的概率沒有影響,這樣的兩個事件叫做相互獨立事件若與是相互獨立事件,則與,與,與也相互獨立 (2)相互獨立事件同時發(fā)生的概率: 兩個相互獨立事件同時
7、發(fā)生的概率,等于每個事件發(fā)生的概率的積一般地,如果事件相互獨立,那么這個事件同時發(fā)生的概率,等于每個事件發(fā)生的概率的積,即 . (3)對于事件A與B及它們的和事件與積事件有下面的關系: 知識點4:獨立重復試驗 (1)定義:指在同樣條件下進行的,各次之間相互獨立的一種試驗 (2)獨立重復試驗的概率公式: 一般地,如果在1次試驗中某事件發(fā)生的概率是,那么在次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生次的概率.它是展開式的第項 知識點5:離散型隨機變量的二項分布 在一次隨機試驗中,某事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生,在n次獨立重復試驗中這個事件發(fā)生的次數(shù)ξ是一個隨機變量.如果在一次試驗中某事件發(fā)
8、生的概率是P,那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率是 ,(k=0,1,2,…,n,). 于是得到隨機變量ξ的概率分布如下: ξ 0 1 … k … n P … … 由于恰好是二項展開式 中的各項的值,所以稱這樣的隨機變量ξ服從二項分布, 記作ξ~B(n,p),其中n,p為參數(shù),并記=b(k;n,p). 二、典型例題分析: 題型一隨機變量、離散型隨機變量的概念 例1. (1)①某尋呼臺一小時內收到的尋呼次數(shù);②長江上某水文站觀察到一天中的水位;③某超市一天中的顧客量 其中的是連續(xù)型隨機變量的是( ) A.①; B.②
9、; C.③; D.①②③ (2)隨機變量的所有等可能取值為,若,則( ) A.; B.; C.; D.不能確定 (3)拋擲兩次骰子,兩個點的和不等于8的概率為( ) A.; B.; C.; D. 練習:1. 拋擲兩枚骰子各一次,記第一枚骰子擲出的點數(shù)與第二枚骰子擲出的點數(shù)的差為ξ,試問:“ξ> 4”表示的試驗結果是什么? 2:如果是一個離散型隨機變量,則假命題是( ) A. 取每一個可能值的概率都是非負數(shù);B. 取所有可能值的概率之和為1; C. 取某幾個值的概率等于分別取其中每個值的概率之和; D. 在某一范圍內取值的概率大于
10、它取這個范圍內各個值的概率之和 3. 隨機變量X的分布列為 X -1 0 1 2 3 p 0.16 a/10 a2 a/5 0.3 則a=_______。 4.某一射手射擊所得的環(huán)數(shù)ξ的分布列如下: ξ 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 求此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)≥7”的概率. 題型二。解決超幾何分布問題 例1.在含有 5 件次品的 100 件產品中,任取 3 件,試求: (1)取到的次品數(shù)X 的分布列;(2)至少取到1件次品的概
11、率. 變式1:袋中有大小相同的個白球和個黑球,從中任意摸出個,求下列事件發(fā)生的概率 (1)摸出個或個白球 (2)至少摸出一個黑球 2.盒中有10只螺絲釘,其中有3只是壞的,現(xiàn)從盒中隨機地抽取4只,那么為( ?。? A.恰有1只壞的概率 B.恰有2只好的概率 C.4只全是好的概率 D.至多2只壞的概率 3.袋子里裝有大小相同的黑白兩色的手套,黑色手套15支,白色手套10只,現(xiàn)從中隨機地取出2只手套,如果2只是同色手套則甲獲勝,2只手套顏色不同則乙獲勝.試問:甲、乙獲勝的機會是( ?。? A.甲多 B.乙多 C.一樣多 D.不確定 題
12、型三:求離散型隨機變量的分布列 例1.(1)一盒中放有大小相同的紅色、綠色、黃色三種小球,已知紅球個數(shù)是綠球個數(shù)的兩倍,黃球個數(shù)是綠球個數(shù)的一半.現(xiàn)從該盒中隨機取出一個球,若取出紅球得1分,取出黃球得0分,取出綠球得-1分,試寫出從該盒中取出一球所得分數(shù)ξ的分布列. (2).擲3枚均勻硬幣一次,求正面?zhèn)€數(shù)與反面?zhèn)€數(shù)之差X的分布列. 變式1. 袋子中有1個白球和2個紅球. ⑴ 每次取1個球,不放回,直到取到白球為止.求取球次數(shù)的分布列. ⑵ 每次取1個球,放回,直到取到白球為止.求取球次數(shù)的分布列. 例2. 一袋
13、中裝有6個同樣大小的黑球,編號為1,2,3,4,5,6,現(xiàn)從中隨機取出3個球,以表示取出球的最大號碼,求的分布列. 變式訓練2:現(xiàn)有一大批種子,其中優(yōu)質良種占30%,從中任取2粒,記為2粒中優(yōu)質良種粒數(shù),則的分布列是 . 題型四:求條件概率 計算事件發(fā)生的條件下的條件概率,有2種方法: (1)利用定義: (2)利用古典概型公式: 例1:拋擲一顆質地均勻的骰子所得的樣本空間為S={1,2,3,4,5,6},令事件A={2,3,5},B={1,2,4,5,6},求P(A),P(B),P(AB),P(A︱B)。 變式1:
14、在一個盒子中有大小一樣的20個球,其中10和紅球,10個白球。求第1個人摸出1個紅球,緊接著第2個人摸出1個白球的概率。 2、從一副不含大小王的張撲克牌中不放回地抽取張,每次抽張,已知第一次抽到,第二次也抽到的概率為 . 3、擲骰子次,每個結果以記之,其中,分別表示第一顆,第二顆骰子的點數(shù),設,,則 . 題型五:相互獨立事件的概率計算 例1:甲、乙二射擊運動員分別對一目標射擊次,甲射中的概率為,乙射中的概率為,求: (1)人都射中目標的概率; (2)人中恰有人射中目標的概率; (3)人至少有人射中
15、目標的概率; (4)人至多有人射中目標的概率? 變式1.甲、乙兩名籃球運動員分別進行一次投籃,如果兩人投中的概率都是,計算: (1)兩人都投中的概率;(2)其中恰有一人投中的概率;(3)至少有一人投中的概 變式2:重復拋擲一枚篩子5次得到點數(shù)為6的次數(shù)記為ξ,求P(ξ>3). 例 2.在一段線路中并聯(lián)著3個自動控制的常開開關,只要其中有1個開關能夠閉合,線路就能正常工作假定在某段時間內每個開關能夠閉合的概率都是0.7,計算在這段時間內線路正常工作的概率 變式1:如圖添加第四個開關與其它三個開關
16、串聯(lián),在某段時間內此開關能夠閉合的概率也是0.7,計算在這段時間內線路正常工作的概率 變式2:如圖兩個開關串聯(lián)再與第三個開關并聯(lián),在某段時間內每個開關能夠閉合的概率都是0.7,計算在這段時間內線路正常工作的概率 例 3.已知某種高炮在它控制的區(qū)域內擊中敵機的概率為0.2. (1)假定有5門這種高炮控制某個區(qū)域,求敵機進入這個區(qū)域后未被擊中的概率; (2)要使敵機一旦進入這個區(qū)域后有0.9以上的概率被擊中,需至少布置幾門高炮? 分析:因為敵機被擊中的就是至少有1門高炮擊中敵機,故敵機被擊中的概率即為至少有1門高炮擊中敵機的概率 變式1:某人對一目標
17、進行射擊,每次命中率都是0.25,若使至少命中1次的概率不小于0.75,至少應射擊幾次? 變式2:一批玉米種子,其發(fā)芽率是0.8.(1)問每穴至少種幾粒,才能保證每穴至少有一粒發(fā)芽的概率大于?(2)若每穴種3粒,求恰好兩粒發(fā)芽的概率.() 題型五獨立重復試驗問題的計算 例1.實力相等的甲、乙兩隊參加乒乓球團體比賽,規(guī)定5局3勝制(即5局內誰先贏3局就算勝出并停止比賽). (1)試分別求甲打完3局、4局、5局才能取勝的概率. (2)按比賽規(guī)則甲獲勝的概率. 變式:某車間的5臺機床在1小時內需要工人照管的概率都是,求1小時內5臺機床中至少2臺需要工人照管的概率是
18、多少?(結果保留兩個有效數(shù)字) 三、課堂總結 : 1.隨機變量離散型、隨機變量連續(xù)型隨機變量的概念.隨機變量ξ是關于試驗結果的函數(shù),即每一個試驗結果對應著一個實數(shù);隨機變量ξ的線性組合η=aξ+b(其中a、b是常數(shù))也是隨機變量. 2.⑴根據隨機變量的概率分步(分步列),可以求隨機事件的概率;⑵兩點分布是一種常見的離散型隨機變量的分布,它是概率論中最重要的幾種分布之一.(3) 離散型隨機變量的超幾何分布. 3.兩個事件相互獨立,是指它們其中一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響一般地,兩個事件不可能即互斥又相互獨立,因為互斥事件是不可能同時發(fā)生
19、的,而相互獨立事件是以它們能夠同時發(fā)生為前提的相互獨立事件同時發(fā)生的概率等于每個事件發(fā)生的概率的積,這一點與互斥事件的概率和也是不同的 4.獨立重復試驗要從三方面考慮:第一,每次試驗是在同樣條件下進行;第二,各次試驗中的事件是相互獨立的第三,每次試驗都只有兩種結果,即事件要么發(fā)生,要么不發(fā)生 5.如果1次試驗中某事件發(fā)生的概率是,那么次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生次的概率為對于此式可以這么理解:由于1次試驗中事件要么發(fā)生,要么不發(fā)生,所以在次獨立重復試驗中恰好發(fā)生次,則在另外的次中沒有發(fā)生,即發(fā)生,由,所以上面的公式恰為展開式中的第項,可見排列組合、二項式定理及概率間存在著密切的聯(lián)系
20、 關于求概率方法小結: 1.運用 P(A·B)=P(A)·P(B)等概率公式時,應特別注意各自成立的前提條件,切勿混淆不清.如當為相互獨立事件時運用便錯. 2.獨立重復試驗是指在同樣條件下可重復進行的,各次之間相互獨立的一種試驗,每次試驗都只有兩重結果(即某事件要么發(fā)生,要么不發(fā)生),并且在任何一次試驗中,事件發(fā)生的概率均相等. 獨立重復試驗是相互獨立事件的特例(概率公式也是如此),就像對立事件是互斥事件的特例一樣,只是有“恰好”字樣的用獨立重復試驗的概率公式計算更簡單,就像有“至少”或“至多”字樣的題用對立事件的概率公式計算更簡單一樣. 3.解決概率問題要注意“三個步
21、驟,一個結合”: (1)求概率的步驟是: 和事件 積事件 第一步,確定事件性質,即所給的問題歸結為四類事件中的某一種. 第二步,判斷事件的運算,即是至少有一個發(fā)生,還是同時發(fā)生,分別運用相加或相乘事件. 第三步,運用公式求得.等可能事件: 互斥事件:P(A+B)=P(A)+P(B),P(A·B)=0 獨立事件:P(A·B)=P(A)·P(B)等 n 次獨立重復試驗: 課后練習: 一、選擇題 1.已知非空集合A、B滿足AB,給出以下四個命題: ①若任取x∈A,則x∈B是必然事件 ②若xA,則x∈B是不可能事件 ③若任取x∈B,則x∈A是隨機事件
22、④若xB,則xA是必然事件 其中正確的個數(shù)是( ) A、1 B、2 C、3 D、4 2.一射手對同一目標獨立地射擊四次,已知至少命中一次的概率為,則此射手每次射擊命中的概率為( ) A. B. C. D. 3.設是離散型隨機變量,,,且,現(xiàn)已知:,,則的值為( ) (A) (B) (C) 3 (D) 4.福娃是北京2008年第29屆奧運會吉祥物,每組福娃都由“貝貝”、“晶晶”、“歡歡”、“迎迎”和“妮妮”這五個福娃組成.甲、乙
23、兩位好友分別從同一組福娃中各隨機選擇一個福娃留作紀念,按先甲選再乙選的順序不放回地選擇,則在這兩位好友所選擇的福娃中,“貝貝”和“晶晶”恰好只有一個被選中的概率為( ) A. B. C. D. 5.(漢沽一中2008~2009屆月考文9).面積為S的△ABC,D是BC的中點,向△ABC內部投一點,那么點落在△ABD內的概率為 ( ) A. B. C. D. 7.在圓周上有10個等分,以這些點為頂點,每3個點可以構成一個三角形,如果隨機選擇了3個點,剛好構成直角三角形的概率是( ) A. B. C.
24、 D. 8.已知某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽車的準時到站率為60%,則他在3天乘車中,此班次公共汽車至少有2天準時到站的概率為 ( ) A. B. C. D. 9.甲、乙、丙三位同學上課后獨立完成5道自我檢測題,甲及格概率為,乙及格概率為,丙及格概率為,則三人中至少有一人及格的概率為( ) A. B. C. D. 10.從集合中隨機取出6個不同的數(shù),在這些選法中,第二小的數(shù)為的概率是 A. B. C. D. 二、填空題 11.已知離散型隨機變量的分布列如右表.若,,則
25、 , . 12.點A為周長等于3的圓周上的一個定點,若在該圓周上隨機取一點B,則劣弧AB的長度小于1的概率為 。 13.6位身高不同的同學拍照,要求分成兩排,每排3人,則后排每人均比其前排的同學身材要高的概率是_________. 14.從分別寫有的五張卡片中第一次取出一張卡片,記下數(shù)字后放回,再從中取出一張卡片.兩次取出的卡片上的數(shù)字和恰好等于4的概率是 . 三、解答題 15.將、兩枚骰子各拋擲一次,觀察向上的點數(shù),問: (1)共有多少種不同的結果? (2)兩數(shù)之和是3的倍數(shù)的結果有多少種? (3)兩數(shù)之和是3的倍數(shù)的概率是多少? 16.甲、乙兩人進行摸球游戲,一袋中裝有2個黑球和1個紅球。規(guī)則如下:若一方摸中紅球,將此球放入袋中,此人繼續(xù)摸球;若一方沒有摸到紅球,將摸到的球放入袋中,則由對方摸彩球?,F(xiàn)甲進行第一次摸球。 (1)在前三次摸球中,甲恰好摸中一次紅球的所有情況; (2)在前四次摸球中,甲恰好摸中兩次紅球的概率; (3)設是前三次摸球中,甲摸到的紅球的次數(shù),求隨機變量的概率分布。
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