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1、29.1 投影
第1課時(shí) 平行投影與中心投影
1.理解平行投影和中心投影的特征;(重點(diǎn))
2.在投影面上畫出平面圖形的平行投影或中心投影.(難點(diǎn))
一、情境導(dǎo)入
北京故宮中的日晷聞名世界,是我國光輝燦爛文化的瑰寶.它是我國古代利用日影測定時(shí)刻的儀器,它由“晷面”與“晷針”組成,當(dāng)太陽光照在日晷中軸上產(chǎn)生投影,晷針的影子就會投向晷面,隨著時(shí)間的推移,晷針的影的長度發(fā)生變化,晷針的影子在晷面上慢慢移動(dòng),聰明的古人以此來顯示時(shí)刻.
本節(jié)課學(xué)習(xí)有關(guān)投影的知識.
二、合作探究
探究點(diǎn)一:平行投影
【類型一】 判斷影子的形狀
2、
下列圖形中,表示兩棵小樹在同一時(shí)刻陽光下的影子的圖形可能是( )
解析:選項(xiàng)A.影子平行,且較高的樹的影子長度大于較低的樹的影子,正確;選項(xiàng)B.影子的方向不相同,錯(cuò)誤;選項(xiàng)C.影子的方向不相同,錯(cuò)誤;選項(xiàng)D.不同樹高與影子是成正比的,較高的樹的影子長度小于較低的樹的影子,錯(cuò)誤.故選A.
方法總結(jié):平行投影特點(diǎn):在同一時(shí)刻,不同物體的影子同向,且不同物體的物高和影長成比例.
變式訓(xùn)練:見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練” 第2題
【類型二】 平行投影作圖
在某一時(shí)刻,操場上有三根測桿,如圖所示,其中測桿AB的影子為BC,你能畫出測桿MN的影子NP嗎?若測桿XY的影子的頂端
3、恰好落在點(diǎn)B處,且XY=MN,你能找出XY所在的位置嗎?請將上述問題畫在下面的示意圖中,并簡述畫法.
解析:過物體頂點(diǎn)作光線的平行線得到物體的平行投影,再根據(jù)平行投影中物體與投影面平行時(shí)的投影是全等的可找到XY的位置.
解:連接AC,過點(diǎn)M作MP∥AC交NC于點(diǎn)P,則NP為MN的影子.過點(diǎn)B作BX∥AC,且BX=MP,過X作XY⊥NC交NC于點(diǎn)Y,則XY即為所求.
方法總結(jié):先根據(jù)物體投影確定光線,然后利用兩個(gè)物體的頂端和各自影子的對應(yīng)點(diǎn)的連線是一組平行線,過物體頂端作平行線與地面相交,從而確定影子.
變式訓(xùn)練:見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第4題
【類型三】 平行投
4、影的相關(guān)計(jì)算
李航想利用太陽光測量樓高.他帶著皮尺來到一棟樓下,發(fā)現(xiàn)對面墻上有這棟樓的影子,針對這種情況,他設(shè)計(jì)了一種測量方案,具體測量方法如下:如示意圖,李航邊移動(dòng)邊觀察,發(fā)現(xiàn)站到點(diǎn)E處時(shí),可以使自己落在墻上的影子與這棟樓落在墻上的影子重疊,且高度恰好相同.此時(shí),測得李航落在墻上的影子高度CD=1.2m,CE=0.6m,CA=30m(點(diǎn)A、E、C在同一直線上).已知李航的身高EF是1.6m,請你幫李航求出樓高AB.
解析:過點(diǎn)D作DN⊥AB,可得四邊形CDME、ACDN是矩形,即可證明△DFM∽△DBN,從而得出BN,進(jìn)而求得AB的長.
解:過點(diǎn)D作DN⊥AB,垂足為N,交E
5、F于M點(diǎn),∴四邊形CDME、ACDN是矩形,∴AN=ME=CD=1.2m,DN=AC=30m,DM=CE=0.6m,∴MF=EF-ME=1.6-1.2=0.4m.∵EF∥AB,∴△DFM∽△DBN,=,即=,∴BN=20m,∴AB=BN+AN=20+1.2=21.2m.
答:樓高為21.2m.
方法總結(jié):在同一時(shí)刻的物體高度與影長的關(guān)系:=.
變式訓(xùn)練:見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第6題
探究點(diǎn)二:中心投影
【類型一】 判斷是否是中心投影
下面屬于中心投影的是( )
A.太陽光下的樹影 B.皮影戲
C.月光下房屋的影子 D.海上日出
解析:中心投影的光源為燈
6、光,平行投影的光源為陽光與月光.在各選項(xiàng)中只有B選項(xiàng)得到的投影為中心投影.故選B.
方法總結(jié):判斷投影是中心投影的方法是看光線是否相交于一點(diǎn),如果光線是相交于一點(diǎn),那么所得到的投影就是中心投影.
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【類型二】 判斷影長的情況
晚上小亮在路燈下散步,在小亮從遠(yuǎn)處走到燈下,再遠(yuǎn)離路燈這一過程中,他在地上的影子( )
A.逐漸變短 B.先變短后變長
C.先變長后變短 D.逐漸變長
解析:晚上小亮在路燈下散步,當(dāng)小亮從遠(yuǎn)處走到燈下的時(shí)候,他在地上的影子由長變短,當(dāng)他再遠(yuǎn)離路燈的時(shí)候,他在地上的影子由短變長.故選B.
方
7、法總結(jié):中心投影的光線特點(diǎn)是從一點(diǎn)出發(fā)的投射線.物體與投影面平行時(shí)的投影是放大(即位似變換)的關(guān)系.
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【類型三】 中心投影作圖
如圖是小明與爸爸(線段AB)、爺爺(線段CD)在同一路燈下的情景,粗線分別表示三人的影子.請根據(jù)要求,進(jìn)行作圖(不寫畫法,但要保留作圖痕跡).
(1)畫出圖中燈泡所在的位置;
(2)在圖中畫出小明的身高.
解析:(1)利用中心投影的圖形的性質(zhì)連接對應(yīng)點(diǎn)得出燈泡位置即可;(2)根據(jù)燈泡位置即可得出小明的身高.
解:(1)如圖所示:O即為燈泡的位置;
(2)如圖所示:EF即為小明的身高.
8、方法總結(jié):連接物體和它影子的頂端所形成的直線必定經(jīng)過點(diǎn)光源.
變式訓(xùn)練:見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第8題
【類型四】 中心投影的相關(guān)計(jì)算
如圖,王華晚上由路燈A下的B處走到C處時(shí),測得影子CD的長為1m,繼續(xù)往前走3米到達(dá)E處時(shí),測得影子EF的長為2m,已知王華的身高是1.5m,求路燈A的高度AB.
解析:根據(jù)在同一時(shí)刻物高和影長成正比,即在同一時(shí)刻的兩個(gè)物體,影子,經(jīng)過物體頂部的光線三者構(gòu)成的兩個(gè)直角三角形相似解答.
解:當(dāng)王華在CG處時(shí),Rt△DCG∽Rt△DBA,即=;當(dāng)王華在EH處時(shí),Rt△FEH∽Rt△FBA,即==,∴=.∵CG=EH=1.5m,CD=1
9、m,CE=3m,EF=2m,設(shè)AB=x,BC=y(tǒng),∴=,解得y=3,經(jīng)檢驗(yàn)y=3是原方程的根.∵=,即=,解得x=6m.即路燈A的高度AB=6m.
方法總結(jié):解題的關(guān)鍵是利用中心投影的特點(diǎn)可知在這兩組相似三角形中有一組公共邊,利用其作為相等關(guān)系求出所需要的線段,再求公共邊的長度.
變式訓(xùn)練:見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第7題
三、板書設(shè)計(jì)
1.平行投影的定義及應(yīng)用;
2.中心投影的定義及應(yīng)用.
本節(jié)以自主探索、合作交流為設(shè)計(jì)主線,從皮影戲、手影、日晷等學(xué)生熟悉的生活實(shí)際出發(fā),引入物體投影的相關(guān)概念,通過觀察圖片等活動(dòng),使學(xué)生認(rèn)識中心投影和平行投影的區(qū)別與聯(lián)系,加強(qiáng)主動(dòng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.