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1、工程力學(xué),彭雅軒,2020年7月13日,第十一章 彎曲應(yīng)力,對(duì)稱彎曲正應(yīng)力 梁的強(qiáng)度條件 梁的合理強(qiáng)度設(shè)計(jì),第一節(jié) 引言,彎曲切應(yīng)力：梁彎曲時(shí)橫截面上的切應(yīng)力。 彎曲正應(yīng)力：梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力。,組合變形:兩種或兩種以上的基本變形形式的組合。 常見的組合變形: 彎曲與軸向拉壓組合， 彎曲與扭轉(zhuǎn)組合， 以及彎曲、軸向拉壓與扭轉(zhuǎn)的組合。,第一節(jié) 引言,對(duì)稱彎曲：常見的梁往往至少具有一個(gè)對(duì)稱面，而外力則作用在該對(duì)稱面內(nèi)。梁的變形對(duì)稱于對(duì)稱面的變形形式稱為對(duì)稱彎曲。,第二節(jié) 對(duì)稱彎曲正應(yīng)力,問題的提出：,如何簡化出火車車輪軸的計(jì)算模型? 如何計(jì)算火車車輪軸內(nèi)的應(yīng)力? 如何設(shè)計(jì)車輪軸的橫截面?,,
2、,第二節(jié) 對(duì)稱彎曲正應(yīng)力,平面彎曲( Plane Bending),,,,,,,,,純彎曲( Pure Bending) ： 彎矩為常量，剪力為零 （如圖中AB 段 ）,第二節(jié) 對(duì)稱彎曲正應(yīng)力,實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象純彎曲時(shí)的變形特征,（2）各橫向線相對(duì)轉(zhuǎn)過了一個(gè)角度,,（1）各縱向線段彎成弧線，,且部分縱向線段伸長，,部分縱向線段縮短。,仍保持為直線。,（3）變形后的橫向線仍與縱向弧線垂直。,,,第二節(jié) 對(duì)稱彎曲正應(yīng)力,純彎曲時(shí)的基本假設(shè),變形后仍為平面,單向受力假設(shè)：梁內(nèi)各縱向“纖維”僅承受軸向拉應(yīng)力或壓應(yīng)力。縱向纖維間無正應(yīng)力即縱向纖維無擠壓,平截面假設(shè)( Plane Assumption ),(a)
3、 變形前為平面的橫截面,(b) 仍垂直于變形后梁的軸線,第二節(jié) 對(duì)稱彎曲正應(yīng)力,中性層：根據(jù)平面假設(shè)，當(dāng)梁彎曲時(shí)，部分“纖維”伸長，部分“纖維”縮短，由伸長到縮短區(qū)，其間必存在一長度不變的過渡層稱為中性層。,中性軸：中性層與橫截面的交線。,綜上所述，純彎曲時(shí)梁的所有橫截面仍保持為平面，并繞中性軸作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，而所有縱向“纖維”則均處于單向受力狀態(tài)。,第二節(jié) 對(duì)稱彎曲正應(yīng)力,彎曲正應(yīng)力一般公式,通過考慮幾何、物理與靜力學(xué)三方面來建立直梁純彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力公式。,研究思路：,變形,應(yīng)變分布,應(yīng)力分布,應(yīng)力 表達(dá)式,第二節(jié) 對(duì)稱彎曲正應(yīng)力,變形的幾何關(guān)系,,,,第二節(jié) 對(duì)稱彎曲正應(yīng)力,變形的幾何
4、關(guān)系,第二節(jié) 對(duì)稱彎曲正應(yīng)力,,,,,,,直梁純彎曲時(shí)縱向線段的線應(yīng)變與它到中性層的距離成正比。,第二節(jié) 對(duì)稱彎曲正應(yīng)力,物理方面 （ Hooke 定律）,由上推導(dǎo),故,結(jié)論：直梁純彎曲時(shí)橫截面上任意一點(diǎn)的彎曲正應(yīng)力， 與它到中性層的距離成正比。,,中性軸,,即沿截面高度，彎曲正應(yīng)力與正應(yīng)變均沿截面高度線性變化，在中性軸各點(diǎn)處為零，在梁截面最外邊緣各點(diǎn)處取得最大值。,第二節(jié) 對(duì)稱彎曲正應(yīng)力,靜力學(xué)平衡方面,,橫截面上內(nèi)力系為垂直于 橫截面的空間平行力系。,這一力系向坐標(biāo)原點(diǎn)O簡化， 得到三個(gè)內(nèi)力分量。,,第二節(jié) 對(duì)稱彎曲正應(yīng)力,靜力學(xué)平衡方面,（2）,（3）,（1）,將應(yīng)力表達(dá)式代入式（1）
5、，得,則,該式表明中性軸通過橫截面形心,,第二節(jié) 對(duì)稱彎曲正應(yīng)力,靜力學(xué)平衡方面,將代入式（3）得,而,故,純彎曲時(shí)橫截面上彎曲正應(yīng)力的計(jì)算公式為,公式應(yīng)用條件：,第二節(jié) 對(duì)稱彎曲正應(yīng)力,慣性矩,矩形截面,實(shí)心圓截面,空心圓截面,型鋼,可查型鋼表或用組合法求,最大彎曲正應(yīng)力,第二節(jié) 對(duì)稱彎曲正應(yīng)力,抗彎截面模量( Section Modulus),矩形截面,實(shí)心圓截面,空心圓截面,型鋼,可查型鋼表或用組合法求,最大彎曲正應(yīng)力,第二節(jié) 對(duì)稱彎曲正應(yīng)力,例1 如圖所示的懸臂梁，其橫截面為直徑等于200mm的實(shí)心圓，試計(jì)算軸內(nèi)橫截面上最大正應(yīng)力。,分析：,純彎曲,解：,（1）計(jì)算Wz,（2）計(jì)算 m
6、ax,第二節(jié) 對(duì)稱彎曲正應(yīng)力,（2）比較兩種情況下的重量比(面積比)：,由此可見，載荷相同、 max相等的條件下，采用空心軸節(jié)省材料。,例2 在相同載荷下，將例1中實(shí)心軸改成max 相等的空心軸，空心軸內(nèi)外徑比為0.6。求空心軸和實(shí)心軸的重量比。,解：（1）確定空心軸尺寸,由,,再見！,重點(diǎn)要求：,失效的分類及相關(guān)概念,強(qiáng)度條件及其工程應(yīng)用,第三節(jié) 梁的強(qiáng)度條件,第十一章 彎曲應(yīng)力,一、失效與許用 應(yīng)力相關(guān)概念,一、失效與許用應(yīng)力相關(guān)概念,失效 由于材料的力學(xué)行為而使構(gòu)件 喪失正常功能的現(xiàn)象.,房屋毀壞,一、失效與許用應(yīng)力相關(guān)概念,橋梁損壞,一、失效與許用應(yīng)力相關(guān)概念,建筑物損壞,機(jī)
7、械構(gòu)件損壞,強(qiáng)度失效形式： 脆性斷裂對(duì)脆性材料，當(dāng)其正應(yīng)力達(dá)到強(qiáng)度極限 b時(shí)，會(huì)引起斷裂而失效； 塑性屈服對(duì)塑性材料，當(dāng)其正應(yīng)力達(dá)到屈服極限 s時(shí)，會(huì)產(chǎn)生顯著的塑性變形而失效。,一、失效與許用應(yīng)力相關(guān)概念,極限應(yīng)力：通常將強(qiáng)度極限與屈服極限統(tǒng)稱為極限 應(yīng)力，并用u表示； 工作應(yīng)力：根據(jù)分析計(jì)算所得構(gòu)件之應(yīng)力； 許用應(yīng)力：對(duì)于由一定材料制成的具體構(gòu)件，工作 應(yīng)力的最大容許值，并用表示； 許用應(yīng)力值與極限應(yīng)力的關(guān)系： 式中，n為大于1的因數(shù)，稱為安全系數(shù)。塑性材料的安全系數(shù)通常為1.52.2；脆
8、性材料的安全系數(shù)通常為3.05.0，甚至更大。,一、失效與許用應(yīng)力相關(guān)概念,二、強(qiáng)度條件及 其工程應(yīng)用,二、強(qiáng)度條件及其工程應(yīng)用,在一般情況下，梁內(nèi)同時(shí)存在彎曲正應(yīng)力與彎曲切應(yīng)力，并沿截面高度非均勻分布； 對(duì)于一般細(xì)長的非薄壁截面梁， 故通常只需按彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件進(jìn)行分析即可。 （請同學(xué)課下參照書上例題加以證明）,說 明,彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件,式中： 梁內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力 材料在單向受力時(shí)的許用應(yīng)力 M 梁某截面彎矩最大值 Wz 抗彎截面系數(shù),二、強(qiáng)度條件及其工程應(yīng)用,塑性材料梁強(qiáng)度條件一般公式：,（1120）,二、強(qiáng)度條件及其工程應(yīng)用,塑性材料等截面直梁強(qiáng)
9、度條件公式：,（1121）,脆性材料梁強(qiáng)度條件公式：,（1122）,已知梁（桿）截面尺寸、許用應(yīng)力及所受外力時(shí)，判斷梁（桿）是否能安全工作。 即 （塑性材料） 或 （脆性材料）,二、強(qiáng)度條件及其工程應(yīng)用,工程應(yīng)用方法（解決三類問題）,校核強(qiáng)度,工程允許誤差為小于或等于5。,已知梁（桿）所受外力及許用應(yīng)力時(shí)，根據(jù)強(qiáng)度條件確定梁（桿）所需截面形狀及尺寸。 即,二、強(qiáng)度條件及其工程應(yīng)用,選擇截面形狀及尺寸,已知梁（桿）截面尺寸和許用應(yīng)力時(shí)，確定梁（桿）所能承受的許可載荷：,二、強(qiáng)度條件及其工程應(yīng)用,確定承載能力,二、強(qiáng)度條件及其工程應(yīng)
10、用,解題一般步驟,用靜力學(xué)平衡條件求出外力； 畫出剪力圖和彎矩圖并確定 作用面以及它們的數(shù)值，以便確定可能危險(xiǎn)面。 根據(jù)危險(xiǎn)面上內(nèi)力的實(shí)際方向，確定應(yīng)力分布以及 的作用點(diǎn)，綜合考慮材料的力學(xué)性能，確定可能的危險(xiǎn)點(diǎn)。 根據(jù)危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，區(qū)分脆性材料與塑性材料，選擇合適的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，解決不同類型的強(qiáng)度問題即強(qiáng)度校核、截面形狀與尺寸設(shè)計(jì)、確定許用荷載。,二、強(qiáng)度條件及其工程應(yīng)用,應(yīng)用實(shí)例1,解： 求最大彎矩,,,,一承受均布載荷的梁，其跨度為L200mm，梁截面的直徑為d=25mm，許用彎曲應(yīng)力150MPa。試決定沿梁每米長度上可能承受的最大載荷q為多少？,確定梁的抗彎截面模量,由強(qiáng)度條件知：,
11、即,解得,圓形截面簡支梁，受力如圖所示，已知許用應(yīng)力=12Mpa，直徑為d，若直徑增加一倍，則載荷q最大可增加到多大？,應(yīng)用實(shí)例2,解： 求最大彎矩,若直徑增加一倍，則：,由強(qiáng)度條件知：,載荷q變?yōu)?解得,即,應(yīng)用實(shí)例3,解：畫出軸的計(jì)算簡圖及彎矩圖,計(jì)算可知 FA=FD=700kN Mmax=455kN.m MB=MC=210kN.m,二、強(qiáng)度條件及其工程應(yīng)用,圖 a 所示圓截面軸AD，中段BC承受均布載荷作用。已知載荷集度q=1000kN/m，許用應(yīng)力 ，試確定軸徑。,根據(jù)式 及 可知，
12、圓軸的 彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件為,由此得,于是有,取,二、強(qiáng)度條件及其工程應(yīng)用,已知載荷集度q=25 N/mm，截面形心離底邊與頂邊的距離分別為 y1=45mm與y2=95mm，慣性矩 ,許用拉應(yīng)力 ，許用壓應(yīng)力 。,下圖a所示外伸梁，用鑄鐵制成，橫截面為倒T字形，并承受集度為q的均布載荷作用。試校核梁的強(qiáng)度。,二、強(qiáng)度條件及其工程應(yīng)用,應(yīng)用實(shí)例4,解（1）危險(xiǎn)截面與危險(xiǎn)點(diǎn)判斷 梁的彎矩圖如下所示，由圖知截面D（最大正彎矩）、截面B（最大負(fù)彎矩）兩截面均為危險(xiǎn)截面。,二、強(qiáng)度條件及其工程應(yīng)用,由彎矩圖及截面D、截面B的彎曲正應(yīng)力分布圖知截面D的a點(diǎn)及截面B的
13、d點(diǎn)處均受壓；而截面D的b點(diǎn)及截面B的c點(diǎn)均受拉。,由于,概言之，a，b與c三點(diǎn)處為可能最先發(fā)生破壞的部位，即危險(xiǎn)點(diǎn)。,因此,即,二、強(qiáng)度條件及其工程應(yīng)用,（2）強(qiáng)度校核,由式 得，a，b，c三點(diǎn)處的彎曲正應(yīng)力分別為：,由此得,可見，梁的彎曲強(qiáng)度符合要求。,二、強(qiáng)度條件及其工程應(yīng)用,二、強(qiáng)度條件及其工程應(yīng)用,小 結(jié),了解強(qiáng)度失效的類型及失效的原因，使學(xué)生對(duì)變形 與材料的物性關(guān)系有更進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)。,為充分發(fā)揮材料的力學(xué)性能，在彎曲變形中，對(duì)由 塑性材料構(gòu)成的構(gòu)件采用對(duì)稱截面，對(duì)由脆性材料 構(gòu)成的構(gòu)件，采用非對(duì)稱截面，以使最大拉應(yīng)力與 最大壓應(yīng)力 同時(shí)達(dá)到許用 拉應(yīng)力與許用壓應(yīng)力
14、。,重點(diǎn)掌握強(qiáng)度條件，并利用其為工程技術(shù)解決以下 三個(gè)實(shí)際問題：強(qiáng)度校核、截面形狀與尺寸設(shè)計(jì)、 確定許用荷載。通過例題使學(xué)生掌握強(qiáng)度設(shè)計(jì)應(yīng)遵 循的計(jì)算程序。,第四節(jié) 梁的合理強(qiáng)度設(shè)計(jì),重點(diǎn)掌握的問題如何提高梁的強(qiáng)度？,梁的合理強(qiáng)度設(shè)計(jì)應(yīng)從強(qiáng)度條件的基本公式中所包含的幾個(gè)基本量分析入手。,梁的合理截面形狀,梁的合理強(qiáng)度設(shè)計(jì),從彎曲強(qiáng)度考慮，盡量使用較小的截面面積，而相應(yīng)提高抗彎截面系數(shù)。對(duì)于塑性材料，選擇對(duì)稱截面，而對(duì)于脆性材料選擇非對(duì)稱截面，且使中性軸偏向受拉一側(cè)。,由此得,(1124),梁的合理強(qiáng)度設(shè)計(jì),變截面梁與等強(qiáng)度梁,變截面梁：從彎矩方面考慮， 梁內(nèi)不同截面彎矩不同，為使材料強(qiáng)度得到充
15、分利用，梁截面亦應(yīng)沿軸線變化。這種橫截面沿軸線變化的梁稱為變截面梁。 從彎曲強(qiáng)度考慮，理想的變截面梁是使所有橫截面上的最大彎曲正應(yīng)力均相同，并等于許用應(yīng)力。即要求,梁的合理強(qiáng)度設(shè)計(jì),等強(qiáng)度梁：各個(gè)橫截面具有同樣強(qiáng)度的梁，稱為等強(qiáng)度梁。 等強(qiáng)度梁是一種理想的變截面梁?？紤]到加工制造以及構(gòu)造上的要求等，實(shí)際構(gòu)件往往設(shè)計(jì)成近似等強(qiáng)的,1.合理安排梁的約束 下圖中，后者的最大彎矩僅為前者的15。,梁的合理強(qiáng)度設(shè)計(jì),梁的合理受力,2.合理加載 下圖中，后者的最大彎矩僅為前者的一半。,梁的合理強(qiáng)度設(shè)計(jì),梁的合理受力,3.增加中間約束使靜定梁變?yōu)殪o不定梁也可提高梁的強(qiáng)度。,梁的合理強(qiáng)度設(shè)計(jì),小 結(jié),本小節(jié)應(yīng)使學(xué)生學(xué)會(huì)從最基本的強(qiáng)度條件出發(fā)，學(xué)會(huì)分析問題和解決問題的能力，即能進(jìn)行合理的強(qiáng)度設(shè)計(jì)。,
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