人教版九年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué) 27.2.1 第4課時(shí) 兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似 教案

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1、27.2.1 相似三角形的判定 第4課時(shí) 兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似 1．理解“兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似”的含義，能分清條件和結(jié)論，并能用文字、圖形和符號(hào)語(yǔ)言表示；(重點(diǎn)) 2．會(huì)運(yùn)用“兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似”判定兩個(gè)三角形相似，并解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題．(難點(diǎn)) 一、情境導(dǎo)入 與同伴合作，一人畫△ABC，另一人畫△A′B′C′，使得∠A和∠A ′都等于給定的∠α，∠B和∠B′都等于給定的∠β，比較你們畫的兩個(gè)三角形，∠C與∠C′相等嗎？對(duì)應(yīng)邊的比，，相等嗎？這樣的兩個(gè)三角形相似嗎？和同學(xué)們交流． 二、合作探究 探究點(diǎn)：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似 【

2、類型一】 利用判定定理證明兩個(gè)三角形相似 如圖，在等邊△ABC中，D為BC邊上一點(diǎn)，E為AB邊上一點(diǎn)，且∠ADE＝60°. (1)求證：△ABD∽△DCE； (2)若BD＝3，CE＝2，求△ABC的邊長(zhǎng)． 解析：(1)由題有∠B＝∠C＝60°，利用三角形外角的知識(shí)得出∠BAD＝∠CDE，即可證明△ABD∽△DCE；(2)根據(jù)△ABD∽△DCE，列出比例式，即可求出△ABC的邊長(zhǎng)． (1)證明：在△ABD中，∠ADC＝∠B＋∠BAD，又∠ADC＝∠ADE＋∠EDC，而∠B＝∠ADE＝60°，∴∠BAD＝∠CDE.在△ABD和△DCE中，∠BAD＝∠CDE，∠B＝∠C＝60°，∴△

3、ABD∽△DCE； (2)解：設(shè)AB＝x，則DC＝x－3，由△ABD∽△DCE，∴＝，∴＝，∴x＝9.即等邊△ABC的邊長(zhǎng)為9. 方法總結(jié)：本題主要是利用“兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似”，解答此題的關(guān)鍵是利用三角形的外角的知識(shí)得出角相等． 變式訓(xùn)練：見(jiàn)《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練” 第5題 【類型二】 添加條件證明三角形相似 如圖，在△ABC中，D為AB邊上的一點(diǎn)，要使△ABC∽△AED成立，還需要添加一個(gè)條件為_(kāi)___________． 解析：∵∠ABC＝∠AED，∠A＝∠A，∴△ABC∽△AED，故添加條件∠ABC＝∠AED即可求得△ABC∽△AED.同理可得∠AD

4、E＝∠C或∠AED＝∠B或＝可以得出△ABC∽△AED.故答案為∠ADE＝∠C 或∠AED＝∠B或＝. 方法總結(jié)：熟練掌握相似三角形的各種判定方法是解題關(guān)鍵． 變式訓(xùn)練：見(jiàn)《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練” 第3題 【類型三】 相似三角形與圓的綜合應(yīng)用 如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，CD⊥AB于點(diǎn)D，交AE于點(diǎn)G，弦CE交AB于點(diǎn)F，求證：AC2＝AG·AE. 解析：延長(zhǎng)CG，交⊙O于點(diǎn)M，連接AM，根據(jù)圓周角定理，可證明∠ACG＝∠E，根據(jù)相似三角形的判定定理，可證明△CAG∽△EAC，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，可得出結(jié)論． 證明：延長(zhǎng)CG，交⊙O于點(diǎn)M，

5、連接AM，∵AB⊥CM，∴＝，∴∠ACG＝∠E，又∵∠CAG＝∠EAC，∴△CAG∽△EAC，∴＝，∴AC2＝AG·AE. 方法總結(jié)：相似三角形與圓的知識(shí)綜合時(shí)，往往要用到圓的一些性質(zhì)尋找角的等量關(guān)系證明三角形相似． 變式訓(xùn)練：見(jiàn)《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第3題 【類型四】 相似三角形與四邊形知識(shí)的綜合 如圖，在?ABCD中，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CD，垂足為E，連接AE，F(xiàn)為AE上一點(diǎn)，且∠BFE＝∠C.若AB＝8，BE＝6，AD＝7，求BF的長(zhǎng)． 解析：可通過(guò)證明∠BAF＝∠AED，∠AFB＝∠D，證得△ABF∽△EAD，可得出關(guān)于AB，AE，AD，BF的比例關(guān)系．已知A

6、D，AB的長(zhǎng)，只需求出AE的長(zhǎng)即可．可在直角三角形ABE中用勾股定理求出AE的長(zhǎng)，進(jìn)而求出BF的長(zhǎng)． 解：在平行四邊形ABCD中，∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠AED.∵∠AFB＋∠BFE＝180°，∠D＋∠C＝180°，∠BFE＝∠C，∴∠AFB＝∠D，∴△ABF∽△EAD.∵BE⊥CD，AB∥CD，∴BE⊥AB，∴∠ABE＝90°，∴AE＝＝＝10.∵△ABF∽△EAD，∴＝，∴＝，∴BF＝5.6. 方法總結(jié)：相似三角形與四邊形知識(shí)綜合時(shí)，往往要用到平行四邊形的一些性質(zhì)尋找角的等量關(guān)系證明三角形相似． 變式訓(xùn)練：見(jiàn)《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第7題 【類型五】 相似三角形與二

7、次函數(shù)的綜合 如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝5m，AB＝10m.M點(diǎn)在線段CA上，從C向A運(yùn)動(dòng)，速度為1m/s；同時(shí)N點(diǎn)在線段AB上，從A向B運(yùn)動(dòng)，速度為2m/s.運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts. (1)當(dāng)t為何值時(shí)，△AMN的面積為6m2? (2)當(dāng)t為何值時(shí)，△AMN的面積最大？并求出這個(gè)最大值． 解析：(1)作NH⊥AC于H，證得△ANH∽△ABC，從而得到比例式，然后用t表示出NH，根據(jù)△AMN的面積為6m2，得到關(guān)于t的方程求得t值即可；(2)根據(jù)三角形的面積計(jì)算得到有關(guān)t的二次函數(shù)求最值即可． 解：(1)在Rt△ABC中，∵AB2＝BC2＋AC2，∴AC＝5m.如圖，作N

8、H⊥AC于H，∴∠NHA＝∠C＝90°，∵∠A是公共角，∴△NHA∽△BCA，∴＝，即＝，∴NH＝t，∴S△AMN＝ t(5－t)＝6，解得t1＝，t2＝4(舍去)，故當(dāng)t為秒時(shí)，△AMN的面積為6m2. (2)S△AMN＝t(5－t)＝－(t2－5t＋)＋＝－(t－)2＋，∴當(dāng)t＝時(shí)，S最大值＝m2. 方法總結(jié)：解題的關(guān)鍵是根據(jù)證得的相似三角形得到比例式，從而解決問(wèn)題． 三、板書設(shè)計(jì) 1．三角形相似的判定定理： 兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似； 2．應(yīng)用判定定理解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題． 在探究式教學(xué)中教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者、合作者、共同研究者，教學(xué)過(guò)程中鼓勵(lì)學(xué)生大膽探索，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注過(guò)程，及時(shí)肯定學(xué)生的表現(xiàn)，鼓勵(lì)創(chuàng)新．備課時(shí)應(yīng)多考慮學(xué)生學(xué)法的突破，教學(xué)時(shí)只在關(guān)鍵處點(diǎn)撥，在不足時(shí)補(bǔ)充．與學(xué)生平等地交流，創(chuàng)設(shè)民主、和諧的學(xué)習(xí)氛圍.