材料力學07彎曲應力.ppt

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1、第七章 彎曲應力,,材 料 力 學,鄭州大學 工程力學系,Bending Stresses,2,1 彎曲正應力 2 正應力強度條件 3 彎曲剪應力 4 剪應力強度條件 梁的合理截面 5 非對稱截面梁彎曲彎曲中心 6 考慮塑性的極限彎矩,第七章 彎曲應力,,,,,,,3,概述,CD段:只有彎矩沒有剪力,AC和BD段:既有彎矩又有剪力,,,,Q,,,純彎曲,剪切彎曲,4,,正應力s,,先分析純彎梁橫截面的正應力s , 再將結果推廣用于剪切彎曲情況,,,,目錄,切應力,彎矩M,,5,1. 實驗觀察, 橫向線仍為直線, 但有轉動;,一、 表面變形與平面假設,,, 縱向線彎為曲線,且部分伸(下)部分縮(

2、上), 橫向線與縱向線變形 后仍正交,,,1 彎曲正應力,( Normal Stresses on Cross Section of Beam ),6,2. 推論與假設,橫截面變形后仍為平面,只是繞中性軸發(fā)生 轉動,,,(凹入一側縮短),(凸出一側伸長),中性層與橫截面的交線中性軸,橫截面上只有正應力,無切應力,平面假設:,(由表及里,由線到面),(不受拉壓應力),內必有一層既無伸長也無縮短,,一層長度不變,此層稱中性層.,中性層,,,,,7,二. 彎曲正應力公式,應力分布不知, 須考慮,變形幾何關系,應變應力關系,靜力關系,(變形分布規(guī)律),(應力分布規(guī)律),(應力彎矩關系),,,,,,8,

3、,(幾何方程),橫截面各點線應變與該點到中性軸的距離成正比.,,,1.變形幾何:,應變分布規(guī)律:,,(中性層無伸縮),微段dx,(1),中性軸處 為零. 距中性軸愈遠應變愈大;,以中性軸為界,兩側分為伸縮應變.,,曲率中心,,dq,,,,,9,2.物理關系:,應力分布規(guī)律:,( 中性軸兩側 平行而反向形成合力偶彎矩M ),代入Hooke定律:,(2),中性軸處為零.距中性軸愈遠應力愈大;,(大小),(方向),(物理方程),橫截面各點正應力 與該點到中性軸的距離成正比.,(1),以中性軸為界,兩側分為拉壓應力.,,10,3. 靜力關系:,中性軸 z 過形心,,,,,,,,,,,空間平行力系,,

4、,,,11,,Note: (1) y 原點在中性軸(過形心),,(2) 號可直觀判斷,,,代回,或 根據(jù)M圖(較難判時),,,,,,12,適用于:,三. 公式適用說明,1. 材料線彈性,,但更進一步精細分析(彈性力學、光彈實驗)表明,當跨度與截面高度之比 L/ h 5 (細長梁)時,此影響可略去不計. 純彎曲 公式 對于剪切彎曲近似成立。,3. 可推廣用于剪切彎曲.,2. 外力沿主軸 ( 如:對稱軸 )對稱彎曲,平面假設不再成立剪力翹曲對正應力有影響。,(否則條件 無法滿足),13,正應力公式推導:,變形幾何關系,應力應變關系,靜力關系,14,按伽利略彎曲假設(截面分為拉壓兩區(qū)域,

5、均勻分布) 計算彎曲正應力, 誤差為多少?,解:,,y,,,z,1. 按伽利略均勻分布假設,2. 按沿梁高線性分布:,(相差三分之一),例1:,,*,15,,,,,,,15KN,,6KN,,,,,,,,,,,,,,,90,90,,,,60,120,B,6kNm,解:,,,,,,1m,1m,K,求B截面K點應力,,,( 拉? 壓應力? ),例2:,,(拉應力),16,(5),截面上下邊緣:,,抗彎截面模量,2 彎曲正應力強度條件,一. 最大正應力,( Strength Condition for Normal Stress ),17,常見截面的 I z 和 W,,,,各種型鋼的 Iz 、

6、Wz 可從型鋼表中查出,環(huán)形,18,,,,目錄,為使受彎構件安全工作:,強度條件,(許用應力),,二. 強度條件,(抗拉許用應力),(抗壓許用應力),抗拉壓不等的材料:,,19,,輕型起重機, 吊臂兩種設計, 比較兩者強度. 截面積相同:A1= A2,W越大,強度越高.,W比 即為強度之比.,,,,例1:,,,,,20,分析思考: 1. 強度差異巨大的緣由?,應力分布不同,2. 實際工程意義 提高抗彎強度, 減輕自重,舉例,W愈大,抗彎強度愈高,,(麥桿抗倒伏,電線桿, 橋梁箱形截面,宜家公司,鳥巢),材料分布離中性軸愈遠,抗彎強度愈高,,,,,,,,21,風電塔筒,,,,,彎曲內力,目錄

7、,22,三一重工泵車,23,虎門大橋,24,,,截面上下不對稱:,(上下斜率同),,,拉壓應力各有其最大值(不相同).,中性軸z過形心,截面上下對稱: 發(fā)生在 所在截面.,兩最大值也不一定都發(fā)生在 所在截面. (情況較復雜),25,,解: 彎矩圖, 危險面、點,8 kN,,6kN/m,A,B,D,,,,,,試校核強度.并說明合理放置?,T 形截面鑄鐵梁 Iz=291cm4 t = 40MPac = 100 MPa ,,z,,形心,,,,,,,,35,65,,,,,例2:,,,,,,,26,校核強度,不安全,,,,,危險截面可能兩個,Mtmax,材料抗壓能力遠高于抗拉時,使危險(

8、最大彎矩)截面受壓區(qū)高 合理,Mcmax,,,27,3 彎曲切應力,一. 矩形截面梁,1、兩點假設:,切應力 沿截面寬度,大小,方向,注: 中間點對稱性;,取微段dx,兩截面內力,分離部分,2、公式推導:,平衡分析,均勻分布,與側邊平行,周邊 互等定理,,( Sheariog Stresses on Cross Section of Beam ),28,兩截面M 不等,左側面,右側面,頂平面,,(切應力互等 ),,,,頂面有 存在.,,,不等,,FS,29,,( 隨 而變 ),, 分布規(guī)律: (沿截面高度),,中性處最大. 上下邊緣為零.,30,,二. 其它形式截面梁,分析方法,,(二次

9、 拋物線),2. 圓截面:,豎向切應力分量仍可由上式算出.,b 腹板厚 t,面積應包括翼緣.,,,,目錄,,即使水平分量最大值也小于腹板部分, 通常不考慮.,1. 工字形截面:,豎向切應力計算公式:,,與矩形截面相同;,31,2. 校核切應力的幾種情況:,4 彎曲切應力強度條件,1. 切應力強度條件:,為防止橫彎曲構件出現(xiàn)剪切破壞:,(許用切應力),( Strength Condition for Shearing Stress ),32,,懸臂梁三塊木板粘接而成. 膠合面許可切應力 0.34 MPa, 木材:= 10 MPa, =1 MPa, 求許可載荷,1. 正應力強度條件,剪力

10、/彎矩圖,解:,2. 切應力強度條件,,,,,,,,,,,,,例1:,33,3. 膠合面強度條件,許可載荷:,( 0.34 MPa ),,34,選構件工字鋼型號,解:,查型鋼表, 選22b,2. 再校核 :,1.先由 選:,,例2,,不可,,35,,,,3. 重選,查型鋼表,選用25b,,,,目錄,25b,36,5 抗彎強度的影響因素,一、受力合理,靠近支座,減小跨度,梁抗彎強度主要取決于彎曲正應力:,,,,受力合理,處處相同 變截面,截面合理,(Rational Design of Beam),37,二、截面合理,截面積已定W 盡可能大,,同樣面積:50b工字鋼與矩形截面( )相比

11、 之比為 6.7 ,,如:木梁合理高寬比,分布規(guī)律表明:,舉例:,對大型工程構件應考慮采用:,抗彎強度6.7倍,材料分布離中性軸較遠更能提高抗彎強度,,38,,三、變截面梁,在橫力彎曲下,等截面梁大多數(shù)截面未能充分發(fā)揮其強度.,舉例:,單臂刨伸臂、 鉆床的搖臂、 建筑中挑梁、,工程機械起重 吊臂,,從強度角度看,可使橫截面大小隨彎矩而變,,39,,,,,(一個單元),每單元在立面上呈T型雙懸臂,40,成昆線 舊莊河 一號橋,中國鐵路上首次采用懸臂拼裝法施工的預應力混凝土橋, 主跨為24+48+24(m) 鉸接懸臂梁。,,,(一個單元),41,,廠房大梁、,車輛疊板簧、

12、 閘門主梁,魚腹式吊車梁、橋 階梯軸,,龍門刨橫梁,42,若使受彎構件每一橫截面的最大正應力均相等,或:,,等強度條件:,等強度梁,43,,,本章結束,Thanks!,44,,,,解:畫彎矩圖,T 形截面鑄鐵梁 Iz=291cm4 L=40MPay=100 MPa ,,4,危險面、點,,,,,,,,1m,1m,1m,C,形心,8kN,,6kN/m,A,B,D,,,,,,例3,,,,,z,試校核強度.并說明更合理放置?,,,,,,35,65,,,,,A3,A4,45,對于鑄鐵類抗拉、壓能力不同的材料,最好使用T字形類截面,并使中性軸偏于受拉一方,2、根據(jù)材料特性選擇截面形狀,A3,A1,A2

13、,A4,G,A4,46,(二)采用變截面梁 ,如下圖:,,最好是等強度梁,即,,若為等強度矩形截面,則高為,同時,,47,7-5 非對稱截面梁平面彎曲 開口薄壁截面的彎曲中心,幾何方程與物理方程不變,48,依此確定正應力計算公式。,剪應力研究方法與公式形式不變。,彎曲中心(剪力中心):使桿不發(fā)生扭轉的橫向力作用點 (如前述坐標原點 O),49,槽鋼:,非對稱截面梁發(fā)生平面彎曲的條件:外力必須作用在主慣性面內,中性軸為形心主軸,若是橫向力,還必須過彎曲中心,,50,彎曲中心的確定:,(1) 雙對稱軸截面,彎心與形心重合,(2) 反對稱截面,彎心與反對稱中心重合,(3) 若截面由兩個狹長

14、矩形組成,彎心與兩矩形長中線交點重合,(4) 求彎心的普遍方法:,51,7-6 考慮材料塑性的極限彎矩,(一)物理關系:,全面屈服后,平面假設不再成立;仍做縱向纖維互不擠壓假設,理想彈塑性材料s-e圖,彈性極限分布圖,塑性極限分布圖,52,(二)靜力學關系:,(一)物理關系:,53,54,例4 試求矩形截面梁的彈性極限彎矩M max與 塑性極限彎矩 Mjx 之比,解:,55,求曲率半徑,,56,,,,,Q(x)+d Q(x),,,M(x),,y,M(x)+d M(x),Q(x),,,,dx,,圖a,圖b,圖c,由剪應力互等,57,2、幾種常見截面的最大彎曲剪應力,,,,,Iz為整個截面對z軸之慣性矩;b 為y點處截面寬度,58,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,槽鋼:,,59,4 梁的正應力和剪應力強度條件,1、危險面與危險點分析:,一般截面,最大正應力發(fā)生在彎矩絕對值最大的截面的上下邊緣上;最大剪應力發(fā)生在剪力絕對值最大的截面的中性軸處,一、梁的正應力和剪應力強度條件,2、正應力和剪應力強度條件:,3、強度條件應用:依此強度準則可進行三種強度計算:,60,求最大應力并校核強度,應力之比,q=3.6kN/m,A,B,,,,3m,

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