1.1第2課時 驗證勾股定理

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1.1探索勾股定理 第2課時 驗證勾股定理 教學(xué)目標 【知識與能力】 1.掌握勾股定理,理解和利用拼圖驗證勾股定理的方法. 2.能運用勾股定理解決一些簡單的實際問題. 【過程與方法】 通過拼圖法驗證勾股定理,使學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、驗證的過程,進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想. 【情感態(tài)度價值觀】 培養(yǎng)學(xué)生大膽探索,不怕失敗的精神. 教學(xué)重難點 【教學(xué)重點】 經(jīng)歷勾股定理的驗證過程,能利用勾股定理解決實際問題. 【教學(xué)難點】 用拼圖法驗證勾股定理. 課前準備 【教師準備】教材圖1 - 4,1 - 5,1 - 6,1 - 7的圖片. 【學(xué)生準備】4個全等的直角三角形紙片. 教學(xué)過程 第一環(huán)節(jié)：引入新課 導(dǎo)入一: 【提問】　直角三角形的三邊有怎樣的關(guān)系?在研究直角三角形三邊關(guān)系時,我們是通過測量、數(shù)格子的方法發(fā)現(xiàn)了勾股定理,那么,我們怎樣用科學(xué)的方法去證明勾股定理的正確性呢?請跟我一起去探索吧! 導(dǎo)入二: 上節(jié)課我們用什么方法探索發(fā)現(xiàn)了勾股定理? 學(xué)生思考(測量、數(shù)格子). 第二環(huán)節(jié)：新知構(gòu)建 　　[過渡語]　一樣的科學(xué)結(jié)論,可能會有很多的證明方式,人們對勾股定理的驗證,就給出了多種的證明方式,我們也一起來嘗試下吧. 1.勾股定理的驗證 思路一 【師生活動】 師:投影教材P4圖1 - 4,分別以直角三角形的三條邊的長度為邊長向外作正方形,你能利用這個圖說明勾股定理的正確性嗎?你是如何做的?與同伴進行交流. 生:割補法進行驗證. 師:出示教材P5圖1 - 5和圖1 - 6,想一想:小明是怎樣對大正方形進行割補的? 生:討論交流. 師總結(jié):圖1 - 5是在大正方形的四周補上四個邊長為a,b,c的直角三角形;圖1 - 6是把大正方形分割成四個邊長為a,b,c的直角三角形和一個小正方形.圖1 - 5采用的是“補”的方法,而圖1 - 6采用的是“割”的方法,請同學(xué)們將所有三角形和正方形的面積用a,b,c的關(guān)系式表示出來. (1)動筆操作,獨立完成. 師:圖1 - 5中正方形ABCD的面積是多少?你們有哪些方法求?與同伴進行交流. (2)分組討論面積的不同表示方法. 生:得出(a+b)2,4×12ab+c2兩種方法. (3)板書學(xué)生討論的結(jié)果. 【提問】　你能利用圖1 - 5驗證勾股定理嗎? 生:根據(jù)剛才討論的情況列出等式進行化簡. 師:化簡之后能得到勾股定理嗎? 生:得到a2+b2=c2,即兩直角邊的平方和等于斜邊的平方,驗證了勾股定理. 師:你能用圖1 - 6也證明一下勾股定理嗎? 獨立完成. 師:(強調(diào))割補法是幾何證明中常用的方法,要注意這種方法的運用. 思路二 教師出示教材圖1 - 4及“做一做”,讓學(xué)生觀察圖1 - 5和圖1 - 6. 【提問】　小明是怎樣拼的?你來試一試. (學(xué)生以小組為單位展開拼圖嘗試,同伴之間討論、爭辯、互相啟發(fā),將拼好的圖形畫下來) 【思考】　“做一做”的三個問題. 教師講評驗證勾股定理的方法. 2.勾股定理的簡單應(yīng)用 思路一：出示教材P5例題,教師分析并抽象出幾何圖形. 【問題】　(1)圖中三角形的三邊長是否滿足AB2=AC2+BC2? (2)要想求敵方汽車的速度,應(yīng)先求什么?你能利用勾股定理完成這道題嗎? (學(xué)生獨立完成,教師指名板演) 出示教材P8圖1 - 8. 【提問】　判斷圖中三角形的三邊長是否滿足a2+b2=c2. (學(xué)生以組為單位合作完成,分別計算出每個正方形的面積.獨立完成,有困難的可以合作完成) 思路二 　我方偵察員小王在距離東西向公路400 m處偵察,發(fā)現(xiàn)一輛敵方汽車在公路上疾駛.他趕緊拿出紅外測距儀,測得汽車與他相距400 m,10 s后,汽車與他相距500 m,你能幫小王計算敵方汽車的速度嗎? 〔解析〕　根據(jù)題意,可以畫出右圖,其中點A表示小王所在位置,點C,點B表示兩個時刻敵方汽車的位置.由于小王距離公路400 m,因此∠C是直角,這樣就可以由勾股定理來解決這個問題了. 解:由勾股定理,可以得到AB2=BC2+AC2,也就是5002=BC2+4002,所以BC=300. 敵方汽車10 s行駛了300 m,那么它1 h行駛的距離為300×6×60=108000(m),即它行駛的速度為108 km/h. [知識拓展]　利用面積相等來驗證勾股定理,關(guān)鍵是利用不同的方法表示圖形的面積,一要注意部分面積和等于整體面積的思想,二要注意拼接時要做到不重不漏. 曾任美國總統(tǒng)的伽菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他提出的一個勾股定理證明,如圖所示,這就是他拼出的圖形.它的面積有兩種表示方法,既可以表示為12(a+b)(a+b),又可以表示為12(2ab+c2),所以可得12(a+b)(a+b)=12(2ab+c2),化簡可得a2+b2=c2. 第三環(huán)節(jié)：課堂小結(jié) 1.勾股定理的驗證方法測量法數(shù)格子法面積法 2.在實際問題中,首先要找到直角三角形,然后再應(yīng)用勾股定理解題. 第四環(huán)節(jié)：檢測反饋 1.下列選項中,不能用來證明勾股定理的是 (　　) 解析:A,B,C都可以利用圖形面積得出a,b,c的關(guān)系,即可證明勾股定理,故A,B,C選項不符合題意;D,不能利用圖形面積證明勾股定理,故此選項正確.故選D. 2.用四個邊長均為a,b,c的直角三角板,拼成如圖所示的圖形,則下列結(jié)論中正確的是 (　　) A.c2=a2+b2　　　　B.c2=a2+2ab+b2 C.c2=a2-2ab+b2 D.c2=(a+b)2 解析:由題意得到四個完全一樣的直角三角板圍成的四邊形為正方形,其邊長為c,里面的小四邊形也為正方形,邊長為b-a,則有c2=12ab×4+(b-a)2,整理得c2=a2+b2.故選A. 3.如圖所示,大正方形的面積是　　　　,另一種方法計算大正方形的面積是　　　　,兩種結(jié)果相等,推得勾股定理是　　　　.? 解析:如圖所示,大正方形的面積是(a+b)2,另一種計算方法是4×12ab+c2,即(a+b)2=4×12ab+c2,化簡得a2+b2=c2. 答案:(a+b)2　4×12ab+c2　a2+b2=c2 4.操作:剪若干個大小形狀完全相同的直角三角形,三邊長分別記為a,b,c(如圖(1)所示),分別用4張這樣的直角三角形紙片拼成如圖(2)(3)所示的形狀,圖(2)中的兩個小正方形的面積S2,S3與圖(3)中小正方形的面積S1有什么關(guān)系?你能得到a,b,c之間有什么關(guān)系? 解析:根據(jù)已知圖形的形狀得出面積關(guān)系,進一步證明勾股定理即可求解. 解:分別用4張直角三角形紙片,拼成如圖(2)(3)所示的形狀,觀察圖(2)(3)可發(fā)現(xiàn),圖(2)中的兩個小正方形的面積之和等于圖(3)中的小正方形的面積,即S2+S3=S1,這個結(jié)論用關(guān)系式可表示為a2+b2=c2. 第五環(huán)節(jié)：布置作業(yè) 1.教材作業(yè) 【必做題】 教材第6頁隨堂練習(xí). 【選做題】 教材第7頁習(xí)題1.2第3題. 2.課后作業(yè) 【基礎(chǔ)鞏固】 1.我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股圓方圖》是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形(如圖所示).如果大正方形的面積是13,小正方形的面積是1,直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,那么(a-b)2的值是 (　　) A.1　　　　B.2　　　　C.12　　　　D.13 2.歷史上對勾股定理的一種證法采用了如圖所示的圖形,其中兩個全等的直角三角形邊AE,EB在一條直線上.證明中用到的面積相等的關(guān)系是 (　　) A.SΔEDA=SΔCEB B.SΔEDA+SΔCEB=SΔCDE C.S四邊形CDAE=S四邊形CDEB D.SΔEDA+SΔCDE+SΔCEB=S四邊形ABCD 3.北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會會標的圖案如圖所示. (1)它可以看做是由四個邊長分別為a,b,c的直角三角形拼成的,請從面積關(guān)系出發(fā),寫出一個 關(guān)于a,b,c的等式.(要有過程) (2)請用四個這樣的直角三角形再拼出另一個幾何圖形,也能驗證(1)中所寫的等式.(不用寫出驗證過程) (3)如果a2+b2=100,a+b=14,求此直角三角形的面積. 【能力提升】 4.勾股定理是幾何中的一個重要定理.在我國古算書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三,股四,則弦五”的記載.如圖(1)所示的是由邊長相等的小正方形和直角三角形構(gòu)成的,可以用其面積關(guān)系驗證勾股定理.圖(2)是由圖(1)放入矩形內(nèi)得到的,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,點D,E,F,G,H,I都在矩形KLMJ的邊上,則矩形KLMJ的面積為　　　　.? 5.在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會的會標如圖所示,它是由四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形,若大正方形的面積是13,小正方形的面積是1,直角三角形的較長直角邊為a,較短直角邊為b,則a4+b4的值為 (　　) A.35 B.43 C.89 D.97 6.據(jù)傳當(dāng)年畢達哥拉斯借助如圖所示的兩個圖驗證了勾股定理,你能說說其中的道理嗎? 7.如圖所示,在平面內(nèi),把矩形ABCD繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到矩形A'BC'D'.設(shè)AB=a,BC=b,BD=c.請利用該圖驗證勾股定理. 【拓展探究】 8.我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理,創(chuàng)制了一幅“弦圖”,后人稱其為“趙爽弦圖”(如圖(1)所示).圖(2)是由弦圖變化得到的,它是用八個全等的直角三角形拼接而成的.記圖中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面積分別為S1,S2,S3.若S1+S2+S3=16,則S2的值是. 9.勾股定理神秘而美妙,它的證法多樣,其巧妙各有不同,其中的“面積法”給了小聰以靈感,他驚喜地發(fā)現(xiàn),當(dāng)兩個全等的直角三角形如圖(1)或圖(2)擺放時,都可以用“面積法”來證明,下面是小聰利用圖(1)證明勾股定理的過程. 將兩個全等的直角三角形按圖(1)所示擺放,連接DC,其中∠DAB=90°,求證a2+b2=c2. 證明:連接DB,過點D作BC邊上的高DF,則DF=EC=b-a. ∵S四邊形ADCB=SΔACD+SΔABC=12b2+12ab, 又∵S四邊形ADCB=SΔADB+SΔDCB=12c2+12a(b-a), ∴12b2+12ab=12c2+12a(b-a), ∴a2+b2=c2. 請參照上述證法,利用圖(2)完成下面的驗證過程. 將兩個全等的直角三角形按圖(2)所示擺放,其中∠DAB=90°,連接BE. 驗證a2+b2=c2. 證明:連接　　　　　　　　　　,? ∵S五邊形ACBED=　　　　　　　　　　,? 又∵S五邊形ACBED=　　　　,? ∴　　　　,? ∴a2+b2=c2. 【答案與解析】 1.A(解析:根據(jù)勾股定理可得a2+b2=13,四個直角三角形的面積和是12ab×4=13-1=12,即2ab=12,則(a-b)2=a2-2ab+b2=13-12=1.故選A.) 2.D(解析:由SΔEDA+SΔCDE+SΔCEB=S四邊形ABCD,可知12ab+12c2+12ab=12(a+b)2,∴c2+2ab=a2+2ab+b2,整理得a2+b2=c2,∴證明中用到的面積相等的關(guān)系是SΔEDA+SΔCDE+SΔCEB=S四邊形ABCD.故選D.) 3.解:(1)大正方形的面積=4個三角形的面積+小正方形的面積,即c2=4×12ab+(a-b)2=a2+b2.　(2)如圖所示.　(3)∵2ab=(a+b)2-(a2+b2)=196-100=96,∴ab=48,∴S=12ab=12×48=24. 4.440(解析:如圖所示,延長AB交KL于P,延長AC交LM于Q,則ΔABC≌ΔPFB≌ΔQCG,∴PB=AC=8,CQ=AB=6,∵圖(2)是由圖(1)放入矩形內(nèi)得到的,∴IP=8+6+8=22,DQ=6+8+6=20,∴矩形KLMJ的面積=22×20=440.故答案為440.) 5.D(解析:依題意有:a2+b2=大正方形的面積=13,2ab=四個直角三角形的面積和=13-1=12,ab=6,則a4+b4=(a2+b2)2-2a2b2=(a2+b2)2-2(ab)2=132-2×62=169-72=97.故選D.) 6.解:根據(jù)題意,第一個圖形中間空白小正方形的面積是c2;第二個圖形中空白的兩個小正方形的面積的和是a2+b2,∵它們的面積都等于邊長為a+b的正方形的面積-4個直角邊分別為a,b的直角三角形的面積和,∴a2+b2=c2,即在直角三角形中斜邊的平方等于兩直角邊的平方和. 7.解:連接D'D,依題意,圖中的四邊形DAC'D'為直角梯形,ΔDBD'為等腰直角三角形,RtΔDAB和RtΔBC'D'的形狀和大小完全一樣,設(shè)梯形DAC'D'的面積為S,則S=12(a+b)(a+b)=12(a2+b2)+ab,又S=SRtΔDBD'+2SRtΔABD=12c2+2×12ab=12c2+ab,∴12(a2+b2)+ab=12c2+ab,因此a2+b2=c2. 8.163(解析:∵八個直角三角形全等,四邊形ABCD,EFGH,MNKT是正方形,∴CG=NG,CF=DG=NF=GK,∴S1=(CG+DG)2=CG2+DG2+2CG·DG=GF2+2CG·DG,S2=GF2,S3=(NG-NF)2=NG2+NF2-2NG·NF,∴S1+S2+S3=GF2+2CG·DG+GF2+NG2+NF2-2NG·NF=3GF2=16,∴GF2=163,∴S2=163.故答案為163.) 9.證明:連接BD,過點B作DE邊上的高BF,則BF=b-a,∵S五邊形ACBED=SΔACB+SΔABE+SΔADE=12ab+12b2+12ab,又∵S五邊形ACBED=SΔACB+SΔABD+SΔBDE=12ab+12c2+12a(b-a),∴12ab+12b2+12ab=12ab+12c2+12a(b-a),∴a2+b2=c2. 板書設(shè)計 1.1.2 1.勾股定理的驗證. 2.勾股定理的簡單應(yīng)用. 教學(xué)反思 成功之處 在課堂教學(xué)中,始終注意了調(diào)動學(xué)生的積極性.興趣是最好的老師,所以無論是引入、拼圖,還是歷史回顧,都注意去調(diào)動學(xué)生,讓學(xué)生滿懷激情地投入到活動中.勾股定理作為“千古第一定理”,其魅力在于其歷史價值和應(yīng)用價值,因此充分挖掘了其內(nèi)涵.特別是讓學(xué)生事先進行調(diào)查,再在課堂上進行展示,這極大地調(diào)動了學(xué)生的積極性,既加深了對勾股定理文化的理解,又培養(yǎng)了學(xué)生收集、整理資料的能力. 不足之處 在教學(xué)過程中,過于讓學(xué)生發(fā)散思維,而導(dǎo)致課堂秩序略有松散. 再教設(shè)計 勾股定理的驗證既是本節(jié)課的重點,也是本節(jié)課的難點,為了突破這一難點,可以設(shè)計拼圖活動,先讓學(xué)生從形上感知,再層層設(shè)問,從面積(數(shù))入手,師生共同探究,最后由學(xué)生獨立探究,這樣學(xué)生較容易突破本節(jié)課的難點. 備課資源 古詩中的數(shù)學(xué)題 請你先欣賞下面一首詩: 平平湖水清可鑒,面上半尺生紅蓮; 出泥不染亭亭立,忽被強風(fēng)吹一邊; 漁人觀看忙向前,花離原位兩尺遠; 能算諸君請解題,湖水如何知深淺? 你能用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決上述詩中的問題嗎? 〔解析〕　要解決詩中提出的問題,關(guān)鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,畫出符合題意的圖形,如圖所示.在RtΔBCD中,由勾股定理建立方程求線段的長. 解:如圖所示,AD表示蓮花的高度,CD是水的深度,CB是蓮花吹倒后離原位的距離. 設(shè)CD=x尺,則AD=BD=x+12尺. 在RtΔBCD中,∠BCD=90°,由勾股定理得BD2=CD2+BC2,即x+122=22+x2. 解得x=3.75. 所以所求的湖水深度為3.75尺. [方法總結(jié)]　建立數(shù)學(xué)模型是解決實際問題的常用方法.本例是利用蓮花無風(fēng)時與水面垂直構(gòu)造直角三角形這一幾何模型.在直角三角形中常用勾股定理建立方程求線段的長. - 11 -