2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式、推理與證明 7.4 綜合法、分析法、反證法課件 文 北師大版.ppt

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1、7.4綜合法、分析法、反證法,知識梳理,考點(diǎn)自診,1.綜合法與分析法,條件,定義、公理、定理及運(yùn)算法則,結(jié)論,求證的結(jié)論,充分條件,知識梳理,考點(diǎn)自診,2.反證法 (1)反證法的定義:在假定命題結(jié)論的前提下,經(jīng)過推理,若推出的結(jié)果與定義、公理、定理矛盾,或與命題中的已知條件相矛盾,或與假定相矛盾,從而說明命題結(jié)論的反面不可能成立,由此斷定命題結(jié)論成立的方法叫反證法. (2)用反證法證明的一般步驟:反設(shè)假設(shè)命題的結(jié)論不成立;歸謬根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理,直到推出矛盾為止;結(jié)論斷言假設(shè)不成立,從而肯定原命題的結(jié)論成立.,反面成立,知識梳理,考點(diǎn)自診,1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”) (1

2、)綜合法是直接證明,分析法是間接證明. () (2)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件. () (3)用反證法證明結(jié)論“ab”時,應(yīng)假設(shè)“a

3、,b,c不全相等, 所以以上三式至少有一個等號不成立, 所以將以上三式相加得2(a2+b2+c2)2(ab+bc+ac),所以a2+b2+c2 ab+bc+ca.此證法是() A.分析法B.綜合法 C.分析法與綜合法并用D.反證法,B,解析:從已知條件出發(fā),推出要證的結(jié)論,由因?qū)Ч蔷C合法.故選B.,知識梳理,考點(diǎn)自診,3.(2018山東菏澤模擬,5)設(shè)m,n,t都是正數(shù),則 三個數(shù)() A.都大于4B.都小于4 C.至少有一個大于4D.至少有一個不小于4,D,解析:依題意,令m=n=t=2,則三個數(shù)為4,4,4,排除A,B,C選項,故選D.,4.用反證法證明命題“三角形三個內(nèi)角至

4、少有一個不大于60”時,應(yīng)假設(shè) .,三個內(nèi)角都大于60,解析: “三角形三個內(nèi)角至少有一個不大于60”的對立面為“三個內(nèi)角都大于60”.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,綜合法的應(yīng)用 考向1數(shù)列中的證明 例1(1)(2018天津,理18)設(shè)an是等比數(shù)列,公比大于0,其前n項和為Sn(nN+),bn是等差數(shù)列.已知a1=1,a3=a2+2,a4=b3+b5,a5=b4+2b6. 求an和bn的通項公式; 設(shè)數(shù)列Sn的前n項和為Tn(nN+),,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,(1)解 設(shè)等比數(shù)列an的公比為q.由a1=1,a3=a2+2, 可得q2-q-2=0.因?yàn)閝0,可得q=2,故an=2n-1. 設(shè)等差

5、數(shù)列bn的公差為d.由a4=b3+b5,可得b1+3d=4. 由a5=b4+2b6,可得3b1+13d=16,從而b1=1,d=1,故bn=n. 所以,數(shù)列an的通項公式為an=2n-1,數(shù)列bn的通項公式為bn=n.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,思考綜合法的適用題型是哪些?綜合法證明問題是怎樣實(shí)現(xiàn)的? 解題心得1.綜合法的適用范圍是:(1)定義明確的問題,如證明函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等,求證沒有限制條件的等式或不等式.(2)已知條件明確,并且容易通過分析和應(yīng)用條件逐步逼近結(jié)論的題型. 2.綜合法是一種由因索果的證明方法,其邏輯依據(jù)也是三段論式的演繹推理方法,因此要保證前提條

6、件正確,推理合乎規(guī)律,這樣才能保證結(jié)論的正確性.其過程一般是從命題的條件出發(fā),利用定義、公理、定理及運(yùn)算法則,通過演繹推理,一步一步地接近要證明的結(jié)論,直到完成命題的證明.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,分析法的應(yīng)用,(1)解 定義域?yàn)?0,1)(1,+),因?yàn)?當(dāng)m0時,由f(x)0,得xe;由f(x)e; 由f(x)0,得0

7、求導(dǎo),由f(x)0得函數(shù)的增區(qū)間;,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,解題心得1.逆向思考是用分析法證題的主要思想,通過反推,逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件.正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問題順利獲解的關(guān)鍵. 2.證明較復(fù)雜的問題時,可以采用兩頭湊的辦法,即通過分析法找出某個結(jié)論等價(或充分)的中間結(jié)論,然后通過綜合法由條件證明這個中間結(jié)論,從而使原命題得證. 3.當(dāng)已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接,或證明過程中所需知識不太明確、具體時,往往采用分析法,特別是含有根號、絕對值的等式或不等式,從正面不易推導(dǎo)時,常考慮用分析法.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,反證法的應(yīng)用

8、(多考向) 考向1證明否定性命題 例3(2018湖南株洲月考,17)設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列. (1)推導(dǎo)an的前n項和公式; (2)設(shè)q1,證明:數(shù)列an+1不是等比數(shù)列. 思考證明否定性問題的思路是什么?,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,(1)解 設(shè)an的前n項和為Sn,則當(dāng)q=1時,Sn=a1+a1++a1=na1; 當(dāng)q1時,Sn=a1+a1q+a1q2++a1qn-1, qSn=a1q+a1q2++a1qn, -得,(1-q)Sn=a1-a1qn,,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,思路分析(1)利用乘公比錯位相減法求解問題,分q=1與q1討論;(2)利用反證法,假設(shè)數(shù)列an+1是等比數(shù)列,推出與已

9、知矛盾即可. 解題心得對于含有否定概念的命題,直接證明不好證,但問題的反面比較具體易證,一般利用補(bǔ)集法或反證法解答證明.先假設(shè)肯定結(jié)論成立,然后根據(jù)有關(guān)的概念、定理、定義、推出與已知、公理、定理等有矛盾,從而說明原命題成立.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,對點(diǎn)訓(xùn)練3(2018北京海淀二模,19)已知函數(shù)f(x)=eax-ax-3(a0), (1)求f(x)的極值; (2)當(dāng)a0時,設(shè) ,求證:曲線y=g(x)存在兩條斜率為-1且不重合的切線.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,解 (1)f(x)=aeax-a=a(eax-1)(a0,xR), 令f(x)=0,得x=0. 當(dāng)a0時,f(x)與ea

10、x-1符號相同, 當(dāng)x變化時,f(x),f(x)的變化情況如下表:,當(dāng)a<0時,f(x)與eax-1符號相反, 當(dāng)x變化時,f(x),f(x)的變化情況如下表:,綜上,f(x)在x=0處取得極小值f(0)=-2.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,(2)g(x)=eax-ax-3=f(x)(a0,xR), 故g(x)=-1f(x)=-1.,因此,曲線y=g(x)在點(diǎn)P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2))處的切線斜率均為-1. 下面,只需證明曲線y=g(x)在點(diǎn)P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2))處的切線不重合. 曲線y=g(x)在點(diǎn)Pi(xi,f(xi))(i=1,2)處的切線

11、方程為y-g(xi)=-(x-xi),即y=-x+g(xi)+xi.假設(shè)曲線y=g(x)在點(diǎn)Pi(xi,f(xi))(i=1,2)處的切線重合,則g(x2)+x2=g(x1)+x1.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,令G(x)=g(x)+x,則G(x1)=G(x2),且G(x)=g(x)+1=f(x)+1. 由(1)知,當(dāng)x(x1,x2)時,f(x)G(x2),這顯然矛盾. 因此,曲線y=g(x)在點(diǎn)Pi(xi,f(xi))(i=1,2)處的切線不重合.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考向2證明存在、唯一性命題 例4已知四棱錐S-ABCD中,底面是邊長為1的正方形,又SB=SD = ,SA=1. (1)求

12、證:SA平面ABCD; (2)在棱SC上是否存在異于S,C的點(diǎn)F,使得BF平面SAD?若存在,確定F點(diǎn)的位置;若不存在,請說明理由.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,(1)證明 由已知得SA2+AD2=SD2,SAAD. 同理SAAB. 又ABAD=A,AB平面ABCD,AD平面ABCD, SA平面ABCD. (2)解 假設(shè)在棱SC上存在異于S,C的點(diǎn)F,使得BF平面SAD. BCAD,BC平面SAD. BC平面SAD.而BCBF=B, 平面FBC平面SAD. 這與平面SBC和平面SAD有公共點(diǎn)S矛盾, 假設(shè)不成立. 不存在這樣的點(diǎn)F,使得BF平面SAD.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,思考反證法證明問題的

13、關(guān)鍵是什么? 解題心得反證法證明問題的關(guān)鍵:在正確的推理下得出矛盾,矛盾可以是與已知條件矛盾,所說的矛盾結(jié)果,通常是指推出的結(jié)果與已知公理、已知定義、已知定理或已知事實(shí)矛盾,與臨時假設(shè)矛盾以及自相矛盾等都是矛盾結(jié)果.推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,對點(diǎn)訓(xùn)練4(2018湖北宜昌一模,21)已知M是由滿足下列條件的函數(shù)構(gòu)成的集合:對任意f(x)M,方程f(x)-x=0有實(shí)數(shù)根;函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)滿足0

14、在x0(m,n),使得等式f(n)-f(m)=(n-m)f(x0)成立.試用這一性質(zhì)證明:方程f(x)-x=0有且只有一個實(shí)數(shù)根.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,(1)解 當(dāng)x=0時,f(0)=0,所以方程f(x)-x=0有實(shí)數(shù)根0;,(2)證明 假設(shè)方程f(x)-x=0存在兩個實(shí)數(shù)根,(), 則f()-=0,f()-=0. 不妨設(shè)<,根據(jù)題意存在c(,), 滿足f()-f()=(-)f(c). 因?yàn)閒()=,f()=,且,所以f(c)=1. 與已知0

15、考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,思考反證法的解題步驟是什么? 思路分析利用反證法證明,先假設(shè)a,b,c都不大于0,即a0,b0, c0,再經(jīng)過推理找到矛盾,原命題即得證. 解題心得反證法證明數(shù)學(xué)命題,一般有以下幾個步驟: 第一步:分清命題“pq”的條件和結(jié)論; 第二步:作出與命題結(jié)論q相反的假設(shè)非q; 第三步:由p和非q出發(fā),應(yīng)用正確的推理方法,推出矛盾結(jié)果; 第四步:斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因在于開始所作的假設(shè)非q不真,于是原結(jié)論q成立,從而間接地證明了命題pq為真.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,對點(diǎn)訓(xùn)練5(2018福建龍巖模擬,18)已知xR,a=x2+ ,b=2-x,c=x2-x+1,試證明a,b,c至

16、少有一個不小于1.,證明 假設(shè)a,b,c均小于1, 即a<1,b<1,c<1,則有a+b+c<3,,兩者矛盾,所以假設(shè)不成立, 故a,b,c至少有一個不小于1.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,1.分析法是從結(jié)論出發(fā),逆向思維,尋找使結(jié)論成立的充分條件.應(yīng)用分析法要嚴(yán)格按分析法的語言表達(dá),下一步是上一步的充分條件. 2.證明問題的常用思路:在解題時,常常把分析法和綜合法結(jié)合起來運(yùn)用,先以分析法尋求解題思路,再用綜合法表述解答或證明過程. 3.用反證法證明問題要把握三點(diǎn):(1)必須先否定結(jié)論,即肯定結(jié)論的反面;(2)必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理,即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件,且必須依據(jù)這一條件進(jìn)行推證;(3)推導(dǎo)

17、出的矛盾可能多種多樣,有的與已知矛盾,有的與假設(shè)矛盾,有的與已知事實(shí)矛盾等,且推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,1.應(yīng)用分析法要書寫規(guī)范,常用“要證”“只需證”等分析到一個明顯成立的結(jié)論. 2.注意推理的嚴(yán)謹(jǐn)性,在證明過程中每一步推理都要有充分的依據(jù),這些依據(jù)就是命題的已知條件和已經(jīng)掌握了的數(shù)學(xué)結(jié)論,不可盲目使用正確性未知的自造結(jié)論.,易錯警示反證法中三種常見錯因 1.沒有應(yīng)用假設(shè)進(jìn)行推理而致錯 典例1已知實(shí)數(shù)p滿足不等式(2p+1)(p+2)<0,用反證法證明關(guān)于x的方程x2-2x+5-p2=0無實(shí)根. 錯解假設(shè)方程x2-2x+5-p2=0有實(shí)根, 已知實(shí)數(shù)p滿足不等式(2

18、p+1)(p+2)<0,,<0,方程x2-2x+5-p2=0無實(shí)根. 錯因利用反證法證明首先要對所證題目進(jìn)行否定性的假設(shè),并以此為條件進(jìn)行推理,得出矛盾,上述證明沒有用到假設(shè)而造成推理錯誤.,正解假設(shè)方程x2-2x+5-p2=0有實(shí)根, 則該方程的判別式=4-4(5-p2)0,解得p2或p-2, 而實(shí)數(shù)p滿足不等式(2p+1)(p+2)<0, 解得-2

19、了等號,少了取等號的條件,所以證明不嚴(yán)密.,3.考慮不全面而致錯 典例3已知直線ab,若直線a與平面相交,求證:直線b與平面相交. 錯解假設(shè)直線b不與平面相交,則直線b平行于平面.則平面內(nèi)存在直線b,使得直線bb, ab,ab,a,a, 這與已知相矛盾,所以假設(shè)不成立,所以直線b與平面相交. 錯因直線與平面不相交,包含直線與平面平行和直線在平面內(nèi),上述證明少了直線在平面內(nèi)這種情況.,正解假設(shè)直線b不與平面相交,則直線b或b. (1)若直線b,則平面內(nèi)存在直線b,使得直線bb, ab,ab,a,a, 這與已知相矛盾,所以假設(shè)不成立,所以直線b與平面相交. (2)若b,則由ab,a,a,這與已知矛盾,所以假設(shè)不成立,所以直線b與平面相交. 綜上所述,直線b與平面相交.,