2020版高考數(shù)學大一輪復習 第七章 立體幾何與空間向量 第1節(jié) 空間幾何體的結構及其表面積、體積課件 理 新人教A版.ppt

第1節(jié)空間幾何體的結構及其表面積、體積,考試要求1.利用實物、計算機軟件等觀察空間圖形，認識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結構特征，能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結構；2.知道球、棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積的計算公式，能用公式解決簡單的實際問題；3.能用斜二測法畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡單組合)的直觀圖.,知 識 梳 理,1.空間幾何體的結構特征,(1)多面體的結構特征,平行,全等,平行,相似,平行且相等,一點,一點,平行四邊形,三角形,梯形,(2)旋轉體的結構特征,垂直,一點,一點,矩形,等腰三角形,等腰梯形,圓,矩形,扇形,扇環(huán),2.直觀圖,空間幾何體的直觀圖常用_畫法來畫，其規(guī)則是：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x軸、y軸的夾角為_，z軸與x軸、y軸所在平面_. (2)原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍分別_坐標軸.平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度_，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼腳.,斜二測,45(或135),垂直,平行于,不變,一半,3.圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式,2rl,rl,(r1r2)l,4.空間幾何體的表面積與體積公式,S底h,4R2,微點提醒,1.臺體可以看成是由錐體截得的，易忽視截面與底面平行且側棱延長后必交于一點. 2.正方體的棱長為a，球的半徑為R，則與其有關的切、接球常用結論如下 ：,基 礎 自 測,1.判斷下列結論正誤(在括號內(nèi)打“”或“”),(1)有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.() (2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.() (3)用斜二測畫法畫水平放置的A時，若A的兩邊分別平行于x軸和y軸，且A90，則在直觀圖中，A45.() (4)錐體的體積等于底面面積與高之積.(),解析(1)反例：由兩個平行六面體上下組合在一起的圖形滿足條件，但不是棱柱.,(2)反例：如圖所示的圖形滿足條件但不是棱錐. (3)用斜二測畫法畫水平放置的A時，把x，y軸畫成相交成45或135，平行于x軸的線段還平行于x軸，平行于y軸的線段還平行于y軸，所以A也可能為135. (4)錐體的體積等于底面面積與高之積的三分之一，故不正確. 答案(1)(2)(3)(4),2.(必修2P10B1改編)如圖，長方體ABCDABCD被截去一部分，其中EHAD.剩下的幾何體是(),A.棱臺 B.四棱柱 C.五棱柱 D.六棱柱 解析由幾何體的結構特征，剩下的幾何體為五棱柱. 答案C,3.(必修2P27練習1改編)已知圓錐的表面積等于12 cm2，其側面展開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為(),解析由題意，得S表r2rlr2r2r3r212，解得r24，所以r2(cm). 答案B,4.(2016全國卷)體積為8的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為(),答案A,5.(2017全國卷)已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為(),答案B,6.(2019菏澤一中月考)用斜二測畫法畫水平放置的矩形的直觀圖，則直觀圖的面積與原矩形的面積之比為_.,考點一空間幾何體的結構特征,【例1】 (1)給出下列命題： 在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線； 直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉一周所形成的幾何體都是圓錐； 棱臺的上、下底面可以不相似，但側棱長一定相等. 其中正確命題的個數(shù)是() A.0 B.1 C.2 D.3,(2)給出下列命題： 棱柱的側棱都相等，側面都是全等的平行四邊形； 在四棱柱中，若兩個過相對側棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱； 存在每個面都是直角三角形的四面體； 棱臺的側棱延長后交于一點. 其中正確命題的序號是_.,解析(1)不一定，只有當這兩點的連線平行于軸時才是母線；不一定，當以斜邊所在直線為旋轉軸時，其余兩邊旋轉形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，如圖所示，它是由兩個同底圓錐組成的幾何體；錯誤，棱臺的上、下底面相似且是對應邊平行的多邊形，各側棱延長線交于一點，但是側棱長不一定相等.,(2)不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個側面都是平行四邊形，但不一定全等；正確，因為兩個過相對側棱的截面的交線平行于側棱，又垂直于底面；正確，如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中的三棱錐C1ABC，四個面都是直角三角形；正確，由棱臺的概念可知.,答案(1)A(2),規(guī)律方法1.關于空間幾何體的結構特征辨析關鍵是緊扣各種空間幾何體的概念，要善于通過舉反例對概念進行辨析，即要說明一個命題是錯誤的，只需舉一個反例. 2.圓柱、圓錐、圓臺的有關元素都集中在軸截面上，解題時要注意用好軸截面中各元素的關系. 3.既然棱(圓)臺是由棱(圓)錐定義的，所以在解決棱(圓)臺問題時，要注意“還臺為錐”的解題策略.,【訓練1】 下列命題正確的是(),A.兩個面平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺 B.兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺 C.以直角梯形的一條直角腰所在的直線為旋轉軸，其余三邊旋轉形成的面所圍成的旋轉體是圓臺 D.用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形,解析如圖所示，可排除A，B選項.只有截面與圓柱的母線平行或垂直，則截得的截面為矩形或圓，否則為橢圓或橢圓的一部分. 答案C,考點二空間幾何體的直觀圖 【例2】 已知正三角形ABC的邊長為a，那么ABC的平面直觀圖ABC的面積為(),解析如圖所示的實際圖形和直觀圖.,答案D,【訓練2】 如果一個水平放置的圖形的斜二測直觀圖是一個底角為45，腰和上底均為1的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是(),解析恢復后的原圖形為一直角梯形，,答案A,考點三空間幾何體的表面積 【例3】 (1)若正四棱錐的底面邊長和高都為2，則其全面積為_. (2)圓臺的上、下底面半徑分別是10 cm和20 cm，它的側面展開圖的扇環(huán)的圓心角是180，那么圓臺的表面積為_(結果中保留). (3)如圖直平行六面體的底面為菱形，若過不相鄰兩條側棱的截面的面積分別為Q1，Q2，則它的側面積為_.,解析(1)因為四棱錐的側棱長都相等，底面是正方形，所以該四棱錐為正四棱錐，如圖.,由題意知底面正方形的邊長為2，正四棱錐的高為2，,(2)如圖所示，設圓臺的上底周長為C，因為扇環(huán)的圓心角是180，所以CSA.,又C21020，所以SA20. 同理SB40. 所以ABSBSA20.,故圓臺的表面積為1 100 cm2.,規(guī)律方法1.求解有關多面體側面積的問題，關鍵是找到其特征幾何圖形，如棱柱中的矩形、棱臺中的直角梯形、棱錐中的直角三角形，它們是聯(lián)系高與斜高、邊長等幾何元素間的橋梁，從而架起求側面積公式中的未知量與條件中已知幾何元素間的聯(lián)系. 2.多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理. 3.旋轉體的表面積問題注意其側面展開圖的應用.,【訓練3】 (1)圓柱的側面展開圖是邊長為6和4的矩形，則圓柱的表面積為() A.6(43) B.8(31) C.6(43)或8(31) D.6(41)或8(32) (2)(必修2P36A10改編)一直角三角形的三邊長分別為6 cm，8 cm，10 cm，繞斜邊旋轉一周所得幾何體的表面積為_.,解析(1)分兩種情況：以長為6的邊為高時，4為圓柱底面周長，則2r4，r2，所以S底4，S側64242，S表2S底S側82428(31)；以長為4的邊為高時，6為圓柱底面周長，則2r6，r3.所以S底9，S表2S底S側182426(43).,考點四空間幾何體的體積 【例4】 (1)(必修2P27例4改編)圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則球的體積與圓柱的體積比V球V柱為() A.12 B.23 C.34 D.13,(2)(2018天津卷)已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，除面ABCD外，該正方體其余各面的中心分別為點E，F(xiàn)，G，H，M(如圖)，則四棱錐MEFGH的體積為_.,規(guī)律方法1.(直接法)規(guī)則幾何體：對于規(guī)則幾何體，直接利用公式計算即可. 2.(割補法)不規(guī)則幾何體：當一個幾何體的形狀不規(guī)則時，常通過分割或者補形的手段將此幾何體變?yōu)橐粋€或幾個規(guī)則的、體積易求的幾何體，然后再計算.經(jīng)常考慮將三棱錐還原為三棱柱或長方體，將三棱柱還原為平行六面體，將臺體還原為錐體. 3.(等積法)三棱錐：利用三棱錐的“等積性”可以把任一個面作為三棱錐的底面. (1)求體積時，可選擇“容易計算”的方式來計算；(2)利用“等積性”可求“點到面的距離”，關鍵是在面中選取三個點，與已知點構成三棱錐.,【訓練4】 (必修2P28A3改編)如圖，將一個長方體用過相鄰三條棱的中點的平面截出一個棱錐，則該棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比為_.,答案147,考點五多面體與球的切、接問題典例遷移 【例5】 (經(jīng)典母題)(2016全國卷)在封閉的直三棱柱ABCA1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球.若ABBC，AB6，BC8，AA13，則V的最大值是(),解析由ABBC，AB6，BC8，得AC10. 要使球的體積V最大，則球與直三棱柱的部分面相切，若球與三個側面相切，設底面ABC的內(nèi)切圓的半徑為r.,2r43，不合題意. 球與三棱柱的上、下底面相切時，球的半徑R最大.,答案B,【遷移探究1】 若本例中的條件變?yōu)椤爸比庵鵄BCA1B1C1的6個頂點都在球O的球面上”，若AB3，AC4，ABAC，AA112，求球O的表面積.,解將直三棱柱補形為長方體ABECA1B1E1C1， 則球O是長方體ABECA1B1E1C1的外接球. 體對角線BC1的長為球O的直徑.,故S球4R2169.,【遷移探究2】 若本例中的條件變?yōu)椤罢睦忮F的頂點都在球O的球面上”，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，求該球的體積.,解如圖，設球心為O，半徑為r，,規(guī)律方法1.與球有關的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.球與旋轉體的組合通常是作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側棱和球心，或“切點”、“接點”作出截面圖，把空間問題化歸為平面問題. 2.若球面上四點P，A，B，C中PA，PB，PC兩兩垂直或三棱錐的三條側棱兩兩垂直，可構造長方體或正方體確定直徑解決外接問題.,【訓練5】 (2019北京海淀區(qū)調(diào)研)三棱錐PABC中，平面PAC平面ABC，ABAC，PAPCAC2，AB4，則三棱錐PABC的外接球的表面積為(),答案D,思維升華 1.幾何體的截面及作用 (1)常見的幾種截面：過棱柱、棱錐、棱臺的兩條相對側棱的截面；平行于底面的截面；旋轉體中的軸截面；球的截面. (2)作用：利用截面研究幾何體，貫徹了空間問題平面化的思想，截面可以把幾何體的性質(zhì)、畫法及證明、計算融為一體. 2.棱臺和圓臺是分別用平行于棱錐和圓錐的底面的平面截棱錐和圓錐后得到的，所以在解決棱臺和圓臺的相關問題時，?！斑€臺為錐”，體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想.,3.轉化與化歸思想：計算旋轉體的側面積時，一般采用轉化的方法來進行，即將側面展開化為平面圖形，“化曲為直”來解決，因此要熟悉常見旋轉體的側面展開圖的形狀及平面圖形面積的求法. 易錯防范 1.求組合體的表面積時：組合體的銜接部分的面積問題易出錯. 2.底面是梯形的四棱柱側放時，容易和四棱臺混淆，在識別時要緊扣定義，以防出錯.,直觀想象與邏輯推理簡單幾何體的外接球與內(nèi)切球問題,1.直觀想象主要表現(xiàn)為利用幾何圖形描述問題，借助幾何直觀理解問題，運用空間想象認識事物，解決與球有關的問題對該素養(yǎng)有較高的要求. 2.簡單幾何體外接球問題是立體幾何中的難點和重要的考點，此類問題實質(zhì)是解決球的半徑長或確定球心O的位置問題，其中球心的確定是關鍵. 一、知識要點 1.外接球的問題 (1)必備知識： 簡單多面體外接球的球心的結論. 結論1：正方體或長方體的外接球的球心是其體對角線的中點.,結論2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的連線的中點. 結論3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的連線的中點. 構造正方體或長方體確定球心. 利用球心O與截面圓圓心O1的連線垂直于截面圓及球心O與弦中點的連線垂直于弦的性質(zhì)，確定球心. (2)方法技巧：幾何體補成正方體或長方體. 2.內(nèi)切球問題 (1)必備知識： 內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點的距離均相等. 正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合. 正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不一定重合. (2)方法技巧：體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法.,二、突破策略 1.利用長方體的體對角線探索外接球半徑 【例1】 已知各頂點都在同一球面上的正四棱柱的高為4，體積為16，則這個球的表面積是() A.16 B.20 C.24 D.32 解析設正四棱柱的底面邊長為a，高為h，球半徑為R，則正四棱柱的體積為Va2h16，a2，4R2a2a2h2441624，所以球的表面積為S24. 答案C,評析若幾何體存在三條兩兩垂直的線段或者三條線有兩個垂直，可構造墻角模型(如下圖)，直接用公式(2R)2a2b2c2求出R.,2.利用長方體的面對角線探索外接球半徑,解析如圖，在長方體中，設AEa，BEb，CEc.,從而a2b2c214(2R)2，可得S4R214. 故所求三棱錐的外接球的表面積為14. 答案14,評析三棱錐的相對棱相等，探尋球心無從著手，注意到長方體的相對面的面對角線相等，可在長方體中構造三棱錐，從而巧妙探索外接球半徑. 3.利用底面三角形與側面三角形的外心探索球心,答案C,評析三棱錐側面與底面垂直時，可緊扣球心與底面三角形外心連線垂直于底面這一性質(zhì)，利用底面與側面的外心，巧探外接球球心，妙求半徑. 4.利用直棱柱上下底面外接圓圓心的連線確定球心,評析直棱柱的外接球、圓柱的外接球模型如下圖,其外接球球心就是上下底面外接圓圓心連線的中點.,5.錐體的內(nèi)切球問題 (1)題設：如圖，三棱錐PABC是正三棱錐，求其內(nèi)切球的半徑.,圖,圖,6.柱體的內(nèi)切球問題,