高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 第7節(jié) 立體幾何中的向量方法課件 理 新人教A版.ppt

(理)第7節(jié)立體幾何中的向量方法,.理解直線的方向向量與平面的法向量.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系.能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理(包括三垂線定理).能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問題，了解向量方法在研究立體幾何中的應(yīng)用.能用向量法解決空間的距離問題,整合主干知識(shí),1用向量證明空間中的平行或垂直 (1)直線的方向向量：直線的方向向量就是指和這條直線所對(duì)應(yīng)向量_(或共線)的向量，顯然一條直線的方向向量有_個(gè) (2)若直線l，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面的法向量，顯然一個(gè)平面的法向量也有_個(gè)，它們是_向量,平行,無數(shù),無數(shù),共線,質(zhì)疑探究：在求平面法向量時(shí)，所列方程組中有三個(gè)變量，但只有兩個(gè)方程，如何處理？ 提示：給其中某一變量恰當(dāng)賦值，求出該方程組的一組非零解，即可以作為平面法向量的坐標(biāo),(3)用向量證明空間中的平行關(guān)系 設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1l2(或l1與l2重合)v1v2. 設(shè)直線l的方向向量為v，與平面共面的兩個(gè)不共線向量v1和v2，則l或l存在兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y使vxv1yv2. 設(shè)直線l的方向向量為v，平面的法向量為u，則l或lvu. 設(shè)平面和的法向量分別為u1，u2，則u1u2.,(4)用向量證明空間中的垂直關(guān)系 設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1l2v1v2v1v20. 設(shè)直線l的方向向量為v，平面的法向量為u，則lvu. 設(shè)平面和的法向量分別為u1和u2，則u1u2u1u20.,2用向量計(jì)算空間角和距離 空間向量與空間角的關(guān)系 (1)設(shè)異面直線l1，l2的方向向量分別為m1，m2，則l1與l2所成的角滿足cos |cosm1，m2|. (2)設(shè)直線l的方向向量和平面的法向量分別為m，n，則直線l與平面所成角滿足sin |cosm1，m2|.,如圖，n1，n2分別是二面角l的兩個(gè)半平面，的法向量，則二面角的大小滿足cos cosn1，n2或cosn1，n2,1(2015西安模擬)若直線l的方向向量為a(1，1,2)，平面的法向量為u(2,2，4)，則() AlBl Cl Dl與斜交 解析：因?yàn)橹本€l的方向向量a(1，1,2)與平面的法向量u(2,2，4)共線，則說明了直線與平面垂直，故選B. 答案：B,2設(shè)平面的法向量為(1,2，2)，平面的法向量為(2，4，k)，若，則k等于() A2 B4 C4 D2 答案：C,3如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點(diǎn)，N是A1B1的中點(diǎn)，則直線NO、AM的位置關(guān)系是() A平行 B相交 C異面垂直 D異面不垂直,答案：C,4長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E為CC1的中點(diǎn)，則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為_,答案：,聚集熱點(diǎn)題型,典例賞析1 (2015湖北省八校聯(lián)考)如圖，直三棱柱ABCABC的側(cè)棱長(zhǎng)為3，ABBC，且ABBC3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AEBF. (1)求證：無論E在何處，總有BCCE；,用向量證明垂直或求異面直線所成的角,(2)當(dāng)三棱錐BEBF的體積取得最大值時(shí)，求異面直線AF與AC所成角的余弦值 思路索引(1)借助于線面關(guān)系證明BC面ABC，從而可證BCCE.當(dāng)VBEBF為最大值確定E(F)的位置，解三角形求角的余弦值 (2)以B為原點(diǎn)建系，用向量求解,解析(法一)(1)證明：由題意知，四邊形BBCC是正方形，連接AC，BC，則BCBC. 又ABBC，BBAB， AB平面BBCC. BCAB，BC平面ABC. 又CE平面ABC，BCCE.,變式訓(xùn)練 1(2014鄭州第一次質(zhì)檢)如圖，正方形ADEF和等腰梯形ABCD垂直，已知BC2AD4，ABC60，BFAC. (1)求證：AC平面ABF； (2)求異面直線BE與AC所成的角的余弦值,典例賞析2,用向量證明平行或求二面角,(1)證明：PQ平面BCD； (2)若二面角CBMD的大小為60，求BDC的大小,思路索引立體幾何題目一般有兩種思路：傳統(tǒng)法和向量法傳統(tǒng)法是借助立體幾何中的相關(guān)定義、定理，通過邏輯推理證明來完成(1)要證明線面平行，根據(jù)判定定理可通過證明線線平行來實(shí)現(xiàn)；(2)求二面角要先找到或作出二面角的平面角，再通過解三角形求解向量法則是通過建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)的坐標(biāo)，利用向量的計(jì)算完成證明或求解直線一般求其方向向量，平面一般求其法向量(1)只要說明直線的方向向量與對(duì)應(yīng)平面的法向量垂直即可；(2)二面角的大小即為兩個(gè)平面的法向量的夾角或其補(bǔ)角,圖(1),(2)解：如圖(1)，作CGBD于點(diǎn)G，作GHBM于點(diǎn)H，連接CH. 因?yàn)锳D平面BCD，CG平面BCD，所以ADCG. 又CGBD，ADBDD，故CG平面ABD. 又BM平面ABD，所以CGBM. 又GHBM，CGGHG，故BM平面CGH， 所以GHBM，CHBM. 所以CHG為二面角CBMD的平面角，,圖(2),拓展提高本題方法一采用了傳統(tǒng)法，在第二問中要作出CBMD的平面角，這里采用了棱BM的垂面(面CGH)法，作、證、算于一體二面角的做法一直是個(gè)難點(diǎn)，不如建系用向量方法求簡(jiǎn)單，如方法二,變式訓(xùn)練 2(2014四川高考)三棱錐ABCD及其側(cè)視圖、俯視圖如圖所示設(shè)M，N分別為線段AD，AB的中點(diǎn)，P為線段BC上的點(diǎn)，且MNNP.,(1)證明：P是線段BC的中點(diǎn)； (2)求二面角ANPM的余弦值 (1)證明：如圖所示，取BD的中點(diǎn)O，連接AO，CO. 由側(cè)視圖及俯視圖知，ABD，BCD為正三角形， 所以AOBD，OCBD. 因?yàn)锳O，OC平面AOC，且AOOCO， 所以BD平面AOC.,又因?yàn)锳C平面AOC，所以BDAC. 取BO的中點(diǎn)H，連接NH，PH. 又M，N，H分別為線段AD，AB，BO的中點(diǎn)，所以MNBD，NHAO， 因?yàn)锳OBD，所以NHBD. 因?yàn)镸NNP，所以NPBD. 因?yàn)镹H，NP平面NHP，且NHNPN，所以BD平面NHP.,又因?yàn)镠P平面NHP，所以BDHP. 又OCBD，HP平面BCD，OC平面BCD，所以HPOC. 因?yàn)镠為BO的中點(diǎn)，所以P為BC的中點(diǎn) (2)解：方法一：如圖所示，作NQAC于Q，連接MQ.,典例賞析3 (2014福建高考)在平面四邊形ABCD中，ABBDCD1，ABBD，CDBD.將ABD沿BD折起，使得平面ABD平面BCD，如圖所示,用向量求線面角,(1)求證：ABCD； (2)若M為AD中點(diǎn)，求直線AD與平面MBC所成角的正弦值,思路索引(1)轉(zhuǎn)化為證明AB平面BCD；(2)利用坐標(biāo)法 解析(1)證明：平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AB平面ABD，ABBD，AB平面BCD. 又CD平面BCD，ABCD.,(2)解：過點(diǎn)B在平面BCD內(nèi)作BEBD. 由(1)知AB平面BCD，BE平面BCD，BD平面BCD， ABBE，ABBD.,變式訓(xùn)練 3(2015東北三校模擬)如圖，四棱錐PABCD中，PD平面ABCD，PDDC2AD，ADDC，BCD45. (1)設(shè)PD中點(diǎn)為M，求證：AM平面PBC； (2)求PA與平面PBC所成角的正弦值,典例賞析4,用向量求空間距離,思路索引借助面SAC面ABC，建立坐標(biāo)系，求面MNC的法向量，再求距離 解析取AC的中點(diǎn)O，連接OS、OB SASC，ABBC，ACSO，ACBO. 平面SAC平面ABC， 平面SAC平面ABCAC，SO平面ABC， 又BO平面ABC，SOBO.,變式訓(xùn)練 4(2015天津南開調(diào)研)在直三棱柱中，AA1ABBC3，AC2，D是AC的中點(diǎn) (1)求證：B1C平面A1BD； (2)求點(diǎn)B1到平面A1BD的距離,備課札記 _,提升學(xué)科素養(yǎng),(理)向量法求空間角,如圖，已知在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA11，直線BD與平面AA1B1B所成的角為30，AE垂直BD于點(diǎn)E，F(xiàn)為A1B1的中點(diǎn) (1)求異面直線AE與BF所成角的余弦值； (2)求平面BDF與平面AA1B所成二面角(銳角)的余弦值.,審題視角(1)研究的幾何體為長(zhǎng)方體，AB2，AA11. (2)所求的是異面直線所成的角和二面角 (3)可考慮用空間向量法求解,規(guī)范解答(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示),答題模板利用向量求空間角的步驟： 第一步：建立空間直角坐標(biāo)系 第二步：確定點(diǎn)的坐標(biāo) 第三步：求向量(直線的方向向量、平面的法向量)坐標(biāo) 第四步：計(jì)算向量的夾角(或函數(shù)值) 第五步：將向量夾角轉(zhuǎn)化為所求的空間角 第六步：反思回顧查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范,溫馨提醒(1)利用向量求角是高考的熱點(diǎn)，幾乎每年必考，主要是突出向量的工具性作用,(2)本題易錯(cuò)點(diǎn)是在建立坐標(biāo)系時(shí)不能明確指出坐標(biāo)原點(diǎn)和坐標(biāo)軸，導(dǎo)致建系不規(guī)范 (3)將向量的夾角轉(zhuǎn)化成空間角時(shí)，要注意根據(jù)角的概念和圖形特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，否則易錯(cuò),1一種思想 用向量法解決立體幾何問題，是空間向量的一個(gè)具體應(yīng)用，體現(xiàn)了向量的工具性，這種方法可把復(fù)雜的推理證明、輔助線的作法轉(zhuǎn)化為空間向量的運(yùn)算，降低了空間想象演繹推理的難度，體現(xiàn)了由“形”轉(zhuǎn)“數(shù)”的轉(zhuǎn)化思想,2一點(diǎn)注意 利用平面的法向量求二面角的大小時(shí)，當(dāng)求出兩半平面、的法向量n1，n2時(shí)，要根據(jù)向量坐標(biāo)在圖形中觀察法向量的方向，從而確定二面角與向量n1，n2的夾角是相等，還是互補(bǔ)，這是利用向量求二面角的難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn),