北師大版九上第1章 測試卷（3）

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第一章 特殊平行四邊形 一、選擇題（12小題，每小題3分，共36分） 1．下列命題中，真命題是（　?。? A．兩條對角線垂直的四邊形是菱形 B．對角線垂直且相等的四邊形是正方形 C．兩條對角線相等的四邊形是矩形 D．兩條對角線相等的平行四邊形是矩形 2．菱形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是（　?。? A．對角線互相垂直 B．對角線相等 C．對角線互相平分 D．對角互補(bǔ) 3．順次連接一個(gè)四邊形的各邊中點(diǎn)，得到了一個(gè)矩形，則下列四邊形滿足條件的是（　　） ①平行四邊形 ②菱形 ③對角線相等的四邊形 ④對角線互相垂直的四邊形． A．①③ B．②③ C．③④ D．②④ 4．既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，且只有兩條對稱軸的四邊形是（　?。? A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．矩形或菱形 5．（2018?大連）如圖，菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，若AB＝5，AC＝6，則BD的長是（　?。? A．8 B．7 C．4 D．3 6．如圖，邊長為6的大正方形中有兩個(gè)小正方形，若兩個(gè)小正方形的面積分別為S1、S2，則S1+S2的值為（　?。? A．16 B．17 C．18 D．19 7．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=cm，則AB邊上的中線為（　　） A．1cm B．2cm C．1.5cm D．cm 8．如圖，在正方形ABCD外側(cè)作等邊三角形CDE，AE、BD交于點(diǎn)F，則∠AFB的度數(shù)為（　?。? A．45° B．55° C．60° D．75° 9．如圖，?ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別為E、F，∠EDF=60°，AE=2cm，則AD=（　?。? A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 10．如圖：長方形紙片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如圖的方式折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合．折痕為EF，則DE長為（　?。? A．4.8 cm B．5 cm C．5.8 cm D．6 cm 11．如圖，將一個(gè)長為10cm，寬為8cm的矩形紙片先按照從左向右對折，再按照從下向上的方向?qū)φ郏厮镁匦蝺舌忂呏悬c(diǎn)的連線（虛線）剪下（如圖（1）），再打開，得到如圖（2）所示的小菱形的面積為（　?。? A．10cm2 B．20cm2 C．40cm2 D．80cm2 12．（2018?威海）矩形ABCD與CEFG如圖放置，點(diǎn)B，C，E共線，點(diǎn)C，D，G共線，連接AF，取AF的中點(diǎn)H，連接GH．若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，則GH＝（　?。? A．1 B． C． D． 二、填空題（每小題3分，共12分） 13．（2018?錦州）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，連接OH，若OB＝4，S菱形ABCD＝24，則OH的長為　　． 14．（2018?本溪）如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A，C分別在坐標(biāo)軸上，B（8，7），D（5，0），點(diǎn)P是邊AB或邊BC上的一點(diǎn)，連接OP，DP，當(dāng)△ODP為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為　?。? 15．如圖，正方形ABCD的邊長為1，以對角線AC為邊作第二個(gè)正方形，再以對角線AE為邊作第三個(gè)正方形AEGH，如此下去，第n個(gè)正方形的邊長為　?。? 16．如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上的一點(diǎn)，BE=1，F(xiàn)為AB上的一點(diǎn)，AF=2，P為AC上一個(gè)動點(diǎn)，則PF+PE的最小值為　?。? 三、解答題（共52分） 17．（6分）已知：如圖，菱形ABCD中，E、F分別是CB、CD上的點(diǎn)，且BE=DF．求證：∠AEF=∠AFE． 18．（7分）如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD交于點(diǎn)O，∠AOD=60°，AB=，AE⊥BD于點(diǎn)E，求OE的長． 19．（7分）如圖，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四邊形ABED是平行四邊形，DE交BC于點(diǎn)F，連接CE． 求證：四邊形BECD是矩形． 20．（8分）如圖，已知點(diǎn)D在△ABC的BC邊上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F． （1）求證：AE=DF； （2）若AD平分∠BAC，試判斷四邊形AEDF的形狀，并說明理由． 21．（8分）如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是邊AB、CD上的點(diǎn)，AE=CF，連接EF、BF，EF與對角線AC交于點(diǎn)O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC． （1）求證：OE=OF； （2）若BC=2，求AB的長． 22．（8分）正方形ABCD的邊長為3，E、F分別是AB、BC邊上的點(diǎn)，且∠EDF=45°．將△DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM． （1）求證：EF=FM； （2）當(dāng)AE=1時(shí)，求EF的長． 23．（8分）已知，如圖1，BD是邊長為1的正方形ABCD的對角線，BE平分∠DBC交DC于點(diǎn)E，延長BC到點(diǎn)F，使CF=CE，連接DF，交BE的延長線于點(diǎn)G． （1）求證：△BCE≌△DCF； （2）求CF的長； （3）如圖2，在AB上取一點(diǎn)H，且BH=CF，若以BC為x軸，AB為y軸建立直角坐標(biāo)系，問在直線BD上是否存在點(diǎn)P，使得以B、H、P為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．  參考答案 一、選擇題（12小題，每小題3分，共36分） 1．下列命題中，真命題是（　?。? A．兩條對角線垂直的四邊形是菱形 B．對角線垂直且相等的四邊形是正方形 C．兩條對角線相等的四邊形是矩形 D．兩條對角線相等的平行四邊形是矩形 【分析】本題要求熟練掌握平行四邊形、菱形、矩形、正方形的性質(zhì)以及之間的相互聯(lián)系． 【解答】解：A、兩條對角線垂直并且相互平分的四邊形是菱形，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤； B、對角線垂直且相等的平行四邊形是正方形，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤； C、兩條對角線相等的平行四邊形是矩形，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤； D、根據(jù)矩形的判定定理，兩條對角線相等的平行四邊形是矩形，為真命題，故選項(xiàng)D正確； 故選D． 【點(diǎn)評】本題考查的是普通概念，熟練掌握基礎(chǔ)的東西是深入研究的必要準(zhǔn)備． 　 2．菱形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是（　?。? A．對角線互相垂直 B．對角線相等 C．對角線互相平分 D．對角互補(bǔ) 【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；菱形的性質(zhì)． 【專題】推理填空題． 【分析】根據(jù)菱形對角線垂直平分的性質(zhì)及矩形對交線相等平分的性質(zhì)對各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而得到最后的答案． 【解答】解：A、菱形對角線相互垂直，而矩形的對角線則不垂直；故本選項(xiàng)符合要求； B、矩形的對角線相等，而菱形的不具備這一性質(zhì)；故本選項(xiàng)不符合要求； C、菱形和矩形的對角線都互相平分；故本選項(xiàng)不符合要求； D、菱形對角相等；但菱形不具備對角互補(bǔ)，故本選項(xiàng)不符合要求； 故選A． 【點(diǎn)評】此題主要考查了學(xué)生對菱形及矩形的性質(zhì)的理解及運(yùn)用．菱形和矩形都具有平行四邊形的性質(zhì)，但是菱形的特性是：對角線互相垂直、平分，四條邊都相等． 　 3．順次連接一個(gè)四邊形的各邊中點(diǎn)，得到了一個(gè)矩形，則下列四邊形滿足條件的是（　?。? ①平行四邊形 ②菱形 ③對角線相等的四邊形 ④對角線互相垂直的四邊形． A．①③ B．②③ C．③④ D．②④ 【考點(diǎn)】矩形的定義及性質(zhì)． 【分析】已知梯形四邊中點(diǎn)得到的四邊形是矩形，則根據(jù)矩形的性質(zhì)及三角形的中位線的性質(zhì)進(jìn)行分析，從而不難求解． 【解答】解：如圖點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是梯形各邊的中點(diǎn)，且四邊形EFGH是矩形． ∵點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是梯形各邊的中點(diǎn)，且四邊形EFGH是矩形． ∴∠FEH=90°，EF∥BD∥HG，F(xiàn)G∥AC∥EH，EF≠GH． ∴AC⊥BD． ①平行四邊形的對角線不一定互相垂直，故①錯(cuò)誤； ②菱形的對角線互相垂直，故②正確； ③對角線相等的四邊形，故③錯(cuò)誤； ④對角線互相垂直的四邊形，故④正確． 綜上所述，正確的結(jié)論是：②④． 故選：D． 【點(diǎn)評】此題主要考查矩形的性質(zhì)及三角形中位線定理的綜合運(yùn)用，正確掌握矩形的判定方法是解題關(guān)鍵． 　 4．既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，且只有兩條對稱軸的四邊形是（　　） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．矩形或菱形 【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)，矩形的定義及性質(zhì)，正方形的定義及性質(zhì)． 【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解． 【解答】解：正方形是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，有4條對稱軸； 矩形是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，有2條對稱軸； 菱形是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，有2條對稱軸． 故選D． 【點(diǎn)評】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合． 5．（2018?大連）如圖，菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，若AB＝5，AC＝6，則BD的長是（　?。? A．8 B．7 C．4 D．3 【考點(diǎn)】L8：菱形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)菱形的對角線互相垂直，利用勾股定理列式求出OB即可； 【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形， ∴OA＝OC＝3，OB＝OD，AC⊥BD， 在Rt△AOB中，∠AOB＝90°， 根據(jù)勾股定理，得：OB＝＝＝4， ∴BD＝2OB＝8， 故選：A． 【點(diǎn)評】本題考查了菱形性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等知識，比較簡單，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 6．如圖，邊長為6的大正方形中有兩個(gè)小正方形，若兩個(gè)小正方形的面積分別為S1、S2，則S1+S2的值為（　?。? A．16 B．17 C．18 D．19 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)． 【分析】由圖可得，S2的邊長為3，由AC=BC，BC=CE=CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=2；然后，分別算出S1、S2的面積，即可解答． 【解答】解：如圖， 設(shè)正方形S1的邊長為x， ∵△ABC和△CDE都為等腰直角三角形， ∴AB=BC，DE=DC，∠ABC=∠D=90°， ∴sin∠CAB=sin45°==，即AC=BC，同理可得：BC=CE=CD， ∴AC=BC=2CD， 又∵AD=AC+CD=6， ∴CD==2， ∴EC2=22+22，即EC=2； ∴S1的面積為EC2=2×2=8； ∵∠MAO=∠MOA=45°， ∴AM=MO， ∵M(jìn)O=MN， ∴AM=MN， ∴M為AN的中點(diǎn)， ∴S2的邊長為3， ∴S2的面積為3×3=9， ∴S1+S2=8+9=17． 故選B． 【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)，找到相等的量，再結(jié)合三角函數(shù)進(jìn)行解答． 　 7．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=cm，則AB邊上的中線為（　　） A．1cm B．2cm C．1.5cm D．cm 【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線． 【專題】計(jì)算題． 【分析】由直角三角形的性質(zhì)知：斜邊上的中線等于斜邊的一半；已知了直角三角形的兩條直角邊，由勾股定理可求得斜邊的長，由此得解 【解答】解：∵Rt△ABC中，AC=cm，且∠ACB=90°，∠B=30°， ∴AB=2， ∴AB邊上的中線CD=AB=cm． 故選D． 【點(diǎn)評】此題主要考查直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等知識點(diǎn)的理解和掌握，難度不大，屬于基礎(chǔ)題． 　 8．如圖，在正方形ABCD外側(cè)作等邊三角形CDE，AE、BD交于點(diǎn)F，則∠AFB的度數(shù)為（　?。? A．45° B．55° C．60° D．75° 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)正方形以及等邊三角形的性質(zhì)可得出AD=DE，∠ADF=45°，∠ADC=90°，∠CDE=60°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得出∠DAE=∠DEA=15°，再結(jié)合三角形外角性質(zhì)即可算出∠AFB的值． 【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形，△CDE為等邊三角形， ∴AD=CD=DE，∠ADF=∠ABF=45°，∠ADC=90°，∠CDE=60°， ∴∠ADE=150°． ∵AD=DE， ∴∠DAE=∠DEA=15°， ∴∠AFB=∠ADF+∠DAF=45°+15°=60°． 故選C． 【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出∠ADF=45°、∠DAF=15°．本題屬于基礎(chǔ)題，解決該題型題目時(shí)，通過正方形、等邊三角形以及等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算出角的度數(shù)是關(guān)鍵． 　 9．如圖，?ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別為E、F，∠EDF=60°，AE=2cm，則AD=（　?。? A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 【考點(diǎn)】含30度角的直角三角形；多邊形內(nèi)角與外角；平行四邊形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，得出AB∥CD，∠A=∠C，∠CDE=∠AED，根據(jù)DE⊥AB，得出∠AED和∠CDE是直角，求出∠CDF的度數(shù)，最后根據(jù)DF⊥BC，求出∠C、∠A的度數(shù)，最后根據(jù)∠ADE=30°，AE=2cm，即可求出答案． 【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB∥CD，∠A=∠C， ∴∠CDE=∠AED， ∵DE⊥AB， ∴∠AED=90°， ∴∠CDE=90°， ∵∠EDF=60°， ∴∠CDF=30°， ∵DF⊥BC， ∴∠DFC=90°， ∴∠C=60°， ∴∠A=60°， ∴∠ADE=30°， ∴AD=2DE， ∵AE=2， ∴AD=2×2=4（cm）； 故選A． 【點(diǎn)評】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)和含30°角的直角三角形，用到的知識點(diǎn)是平行四邊形的性質(zhì)和垂直的定義30°角的直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是求出∠ADE=30°． 　 10．如圖：長方形紙片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如圖的方式折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合．折痕為EF，則DE長為（　?。? A．4.8 cm B．5 cm C．5.8 cm D．6 cm 【考點(diǎn)】矩形的定義及性質(zhì)． 【分析】在折疊的過程中，BE=DE，從而設(shè)BE=DE=x，即可表示AE，在直角三角形ADE中，根據(jù)勾股定理列方程即可求解． 【解答】解：設(shè)DE=xcm，則BE=DE=x，AE=AB﹣BE=10﹣x， 在Rt△ADE中，DE2=AE2+AD2， 即x2=（10﹣x）2+16． 解得：x=5.8． 故選C． 【點(diǎn)評】此題主要考查了翻折變換的問題，解答本題的關(guān)鍵是掌握翻折前后對應(yīng)線段相等，另外要熟練運(yùn)用勾股定理解直角三角形． 　 11．如圖，將一個(gè)長為10cm，寬為8cm的矩形紙片先按照從左向右對折，再按照從下向上的方向?qū)φ?，沿所得矩形兩鄰邊中點(diǎn)的連線（虛線）剪下（如圖（1）），再打開，得到如圖（2）所示的小菱形的面積為（　?。? A．10cm2 B．20cm2 C．40cm2 D．80cm2 【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)． 【分析】利用折疊的方式得出AC，BD的長，再利用菱形面積公式求出面積即可． 【解答】解：由題意可得：圖1中矩形的長為5cm，寬為4cm， ∵虛線的端點(diǎn)為矩形兩鄰邊中點(diǎn)， ∴AC=4cm，BD=5cm， ∴如圖（2）所示的小菱形的面積為：×4×5=10（cm2）． 故選：A． 【點(diǎn)評】此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及剪紙問題，得出菱形對角線的長是解題關(guān)鍵．翻折變換（折疊問題）實(shí)質(zhì)上就是軸對稱變換． 　　 12．（2018?威海）矩形ABCD與CEFG如圖放置，點(diǎn)B，C，E共線，點(diǎn)C，D，G共線，連接AF，取AF的中點(diǎn)H，連接GH．若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，則GH＝（　?。? A．1 B． C． D． 【考點(diǎn)】KQ：勾股定理；LB：矩形的性質(zhì)． 【分析】延長GH交AD于點(diǎn)P，先證△APH≌△FGH得AP＝GF＝1，GH＝PH＝PG，再利用勾股定理求得PG＝，從而得出答案． 【解答】解：如圖，延長GH交AD于點(diǎn)P， ∵四邊形ABCD和四邊形CEFG都是矩形， ∴∠ADC＝∠ADG＝∠CGF＝90°，AD＝BC＝2、GF＝CE＝1， ∴AD∥GF， ∴∠GFH＝∠PAH， 又∵H是AF的中點(diǎn)， ∴AH＝FH， 在△APH和△FGH中， ∵， ∴△APH≌△FGH（ASA）， ∴AP＝GF＝1，GH＝PH＝PG， ∴PD＝AD﹣AP＝1， ∵CG＝2、CD＝1， ∴DG＝1， 則GH＝PG＝×＝， 故選：C． 【點(diǎn)評】本題主要考查矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識點(diǎn)． 二、填空題（每小題3分，共12分） 13．（2018?錦州）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，連接OH，若OB＝4，S菱形ABCD＝24，則OH的長為　3?。? 【考點(diǎn)】L8：菱形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)菱形面積＝對角線積的一半可求AC，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半． 【解答】解：∵ABCD是菱形， ∴BO＝DO＝4，AO＝CO，S菱形ABCD＝＝24， ∴AC＝6， ∵AH⊥BC，AO＝CO＝3， ∴OH＝AC＝3． 【點(diǎn)評】本題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題． 14．（2018?本溪）如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A，C分別在坐標(biāo)軸上，B（8，7），D（5，0），點(diǎn)P是邊AB或邊BC上的一點(diǎn)，連接OP，DP，當(dāng)△ODP為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為　（8，4）或（，7）?。? 【分析】分兩種情形分別討論即可解決問題； 【解答】解：∵四邊形OABC是矩形，B（8，7）， ∴OA＝BC＝8，OC＝AB＝7， ∵D（5，0）， ∴OD＝5， ∵點(diǎn)P是邊AB或邊BC上的一點(diǎn)， ∴當(dāng)點(diǎn)P在AB邊時(shí)，OD＝DP＝5， ∵AD＝3， ∴PA＝＝4， ∴P（8，4）． 當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上時(shí)，只有PO＝PD，此時(shí)P（，7）． 綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（8，4）或（，7）． 故答案為（8，4）或（，7）． 【點(diǎn)評】本題考查矩形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型． 15．如圖，正方形ABCD的邊長為1，以對角線AC為邊作第二個(gè)正方形，再以對角線AE為邊作第三個(gè)正方形AEGH，如此下去，第n個(gè)正方形的邊長為　（）n﹣1?。? 【分析】首先求出AC、AE、HE的長度，然后猜測命題中隱含的數(shù)學(xué)規(guī)律，即可解決問題． 【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形， ∴AB=BC=1，∠B=90°， ∴AC2=12+12，AC=； 同理可求：AE=（）2，HE=（）3…， ∴第n個(gè)正方形的邊長an=（）n﹣1． 故答案為（）n﹣1． 【點(diǎn)評】該題主要考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理及其應(yīng)用問題；應(yīng)牢固掌握正方形有關(guān)定理并能靈活運(yùn)用． 　 16．如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上的一點(diǎn)，BE=1，F(xiàn)為AB上的一點(diǎn)，AF=2，P為AC上一個(gè)動點(diǎn)，則PF+PE的最小值為　?。? 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)． 【分析】作E關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)E′，連接E′F，則E′F即為所求，過F作FG⊥CD于G，在Rt△E′FG中，利用勾股定理即可求出E′F的長． 【解答】解：作E關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)E′，連接E′F，則E′F即為所求， 過F作FG⊥CD于G， 在Rt△E′FG中， GE′=CD﹣BE﹣BF=4﹣1﹣2=1，GF=4， 所以E′F==． 故答案為：． 【點(diǎn)評】本題考查的是最短線路問題，熟知兩點(diǎn)之間線段最短是解答此題的關(guān)鍵． 　 三、解答題（共52分） 17．（6分）已知：如圖，菱形ABCD中，E、F分別是CB、CD上的點(diǎn)，且BE=DF．求證：∠AEF=∠AFE． 【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】在菱形中，由SAS求得△ABE≌△ADF，再由等邊對等角得到∠AEF=∠AFE． 【解答】證明：∵ABCD是菱形， ∴AB=AD，∠B=∠D． 又∵EB=DF， ∴△ABE≌△ADF， ∴AE=AF， ∴∠AEF=∠AFE． 【點(diǎn)評】本題利用了菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊對等角求解． 　 18．（7分）如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD交于點(diǎn)O，∠AOD=60°，AB=，AE⊥BD于點(diǎn)E，求OE的長． 【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)． 【專題】計(jì)算題． 【分析】矩形對角線相等且互相平分，即OA=OD，根據(jù)∠AOD=60°可得△AOD為等邊三角形，即OA=AD，∵AE⊥BD，∴E為OD的中點(diǎn)，即可求OE的值． 【解答】解：∵對角線相等且互相平分， ∴OA=OD ∵∠AOD=60° ∴△AOD為等邊三角形，則OA=AD， BD=2DO，AB=AD， ∴AD=2， ∵AE⊥BD，∴E為OD的中點(diǎn) ∴OE=OD=AD=1， 答：OE的長度為 1． 【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用，考查了等邊三角形的判定和等腰三角形三線合一的性質(zhì)，本題中求得E為OD的中點(diǎn)是解題的關(guān)鍵． 　 19．（7分）如圖，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四邊形ABED是平行四邊形，DE交BC于點(diǎn)F，連接CE． 求證：四邊形BECD是矩形． 【考點(diǎn)】矩形的判定． 【專題】證明題． 【分析】根據(jù)已知條件易推知四邊形BECD是平行四邊形．結(jié)合等腰△ABC“三線合一”的性質(zhì)證得BD⊥AC，即∠BDC=90°，所以由“有一內(nèi)角為直角的平行四邊形是矩形”得到?BECD是矩形． 【解答】證明：∵AB=BC，BD平分∠ABC， ∴BD⊥AC，AD=CD． ∵四邊形ABED是平行四邊形， ∴BE∥AD，BE=AD， ∴BE=CD， ∴四邊形BECD是平行四邊形． ∵BD⊥AC， ∴∠BDC=90°， ∴?BECD是矩形． 【點(diǎn)評】本題考查了矩形的判定．矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形． 　 20．（8分）如圖，已知點(diǎn)D在△ABC的BC邊上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F． （1）求證：AE=DF； （2）若AD平分∠BAC，試判斷四邊形AEDF的形狀，并說明理由． 【考點(diǎn)】菱形的判定． 【專題】證明題． 【分析】（1）利用AAS推出△ADE≌△DAF，再根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得出AE=DF； （2）先根據(jù)已知中的兩組平行線，可證四邊形DEFA是?，再利用AD是角平分線，結(jié)合AE∥DF，易證∠DAF=∠FDA，利用等角對等邊，可得AE=DF，從而可證?AEDF實(shí)菱形． 【解答】證明：（1）∵DE∥AC，∠ADE=∠DAF， 同理∠DAE=∠FDA， ∵AD=DA， ∴△ADE≌△DAF， ∴AE=DF； （2）若AD平分∠BAC，四邊形AEDF是菱形， ∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四邊形AEDF是平行四邊形， ∴∠DAF=∠FDA． ∴AF=DF． ∴平行四邊形AEDF為菱形． 【點(diǎn)評】考查了全等三角形的判定方法及菱形的判定的掌握情況． 　 21．（8分）如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是邊AB、CD上的點(diǎn)，AE=CF，連接EF、BF，EF與對角線AC交于點(diǎn)O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC． （1）求證：OE=OF； （2）若BC=2，求AB的長． 【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)． 【分析】（1）根據(jù)矩形的對邊平行可得AB∥CD，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠BAC=∠FCO，然后利用“角角邊”證明△AOE和△COF全等，再根據(jù)全等三角形的即可得證； （2）連接OB，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BO⊥EF，再根據(jù)矩形的性質(zhì)可得OA=OB，根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)可得∠BAC=∠ABO，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式求出∠ABO=30°，即∠BAC=30°，根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC，再利用勾股定理列式計(jì)算即可求出AB． 【解答】（1）證明：在矩形ABCD中，AB∥CD， ∴∠BAC=∠FCO， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴OE=OF； （2）解：如圖，連接OB， ∵BE=BF，OE=OF， ∴BO⊥EF， ∴在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90°， 由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半可知：OA=OB=OC， ∴∠BAC=∠ABO， 又∵∠BEF=2∠BAC， 即2∠BAC+∠BAC=90°， 解得∠BAC=30°， ∵BC=2， ∴AC=2BC=4， ∴AB===6． 【點(diǎn)評】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，綜合題，但難度不大，（2）作輔助線并求出∠BAC=30°是解題的關(guān)鍵． 　 22．（8分）正方形ABCD的邊長為3，E、F分別是AB、BC邊上的點(diǎn)，且∠EDF=45°．將△DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM． （1）求證：EF=FM； （2）當(dāng)AE=1時(shí)，求EF的長． 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)． 【專題】計(jì)算題． 【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)可得DE=DM，∠EDM為直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=45°，得到∠MDF為45°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF與三角形MDF全等，由全等三角形的對應(yīng)邊相等可得出EF=MF； （2）由第一問的全等得到AE=CM=1，正方形的邊長為3，用AB﹣AE求出EB的長，再由BC+CM求出BM的長，設(shè)EF=MF=x，可得出BF=BM﹣FM=BM﹣EF=4﹣x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為EF的長． 【解答】解：（1）證明：∵△DAE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCM， ∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°， ∴F、C、M三點(diǎn)共線， ∴DE=DM，∠EDM=90°， ∴∠EDF+∠FDM=90°， ∵∠EDF=45°， ∴∠FDM=∠EDF=45°， 在△DEF和△DMF中， ， ∴△DEF≌△DMF（SAS）， ∴EF=MF； （2）設(shè)EF=MF=x， ∵AE=CM=1，且BC=3， ∴BM=BC+CM=3+1=4， ∴BF=BM﹣MF=BM﹣EF=4﹣x， ∵EB=AB﹣AE=3﹣1=2， 在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2， 即22+（4﹣x）2=x2， 解得：x=， 則EF=． 【點(diǎn)評】此題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理，利用了轉(zhuǎn)化及方程的思想，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵． 　 23．（8分）已知，如圖1，BD是邊長為1的正方形ABCD的對角線，BE平分∠DBC交DC于點(diǎn)E，延長BC到點(diǎn)F，使CF=CE，連接DF，交BE的延長線于點(diǎn)G． （1）求證：△BCE≌△DCF； （2）求CF的長； （3）如圖2，在AB上取一點(diǎn)H，且BH=CF，若以BC為x軸，AB為y軸建立直角坐標(biāo)系，問在直線BD上是否存在點(diǎn)P，使得以B、H、P為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由． 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)． 【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)，由全等三角形的判定定理SAS即可證得△BCE≌△DCF； （2）通過△DBG≌△FBG的對應(yīng)邊相等知BD=BF=；然后由CF=BF﹣BC=即可求得； （3）分三種情況分別討論即可求得． 【解答】（1）證明：如圖1， 在△BCE和△DCF中， ， ∴△BCE≌△DCF（SAS）； （2）證明：如圖1， ∵BE平分∠DBC，OD是正方形ABCD的對角線， ∴∠EBC=∠DBC=22.5°， 由（1）知△BCE≌△DCF， ∴∠EBC=∠FDC=22.5°（全等三角形的對應(yīng)角相等）； ∴∠BGD=90°（三角形內(nèi)角和定理）， ∴∠BGF=90°； 在△DBG和△FBG中， ， ∴△DBG≌△FBG（ASA）， ∴BD=BF，DG=FG（全等三角形的對應(yīng)邊相等）， ∵BD==， ∴BF=， ∴CF=BF﹣BC=﹣1； （3）解：如圖2，∵CF=﹣1，BH=CF ∴BH=﹣1， ①當(dāng)BH=BP時(shí)，則BP=﹣1， ∵∠PBC=45°， 設(shè)P（x，x）， ∴2x2=（﹣1）2， 解得x=1﹣或﹣1+， ∴P（1﹣，1﹣）或（﹣1+，﹣1+）； ②當(dāng)BH=HP時(shí)，則HP=PB=﹣1， ∵∠ABD=45°， ∴△PBH是等腰直角三角形， ∴P（﹣1，﹣1）； ③當(dāng)PH=PB時(shí)，∵∠ABD=45°， ∴△PBH是等腰直角三角形， ∴P（，）， 綜上，在直線BD上是否存在點(diǎn)P，使得以B、H、P為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形，所有符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（1﹣，1﹣）、（﹣1+，﹣1+）、（﹣1，﹣1）、（，）． 【點(diǎn)評】本題是四邊形的綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵． 第21頁（共21頁）